1. Für t = 1:

   Die Eingabe u(1) = 1. Da y(t) = 0 für alle t ≤ 0, erhalten wir:

   y(1) = 0.6 y(0) - 0.2 y(-1) + 0.4 u(0) = 0.6 (0) - 0.2 (0) + 0.4 (0) = 0.

2. Für t = 2:

   Die Eingabe u(2) = 2:

   y(2) = 0.6 y(1) - 0.2 y(0) + 0.4 u(1) = 0.6 (0) - 0.2 (0) + 0.4 (1) = 0.4.

3. Für t = 3:

   Die Eingabe u(3) ist nicht spezifiziert, wir nehmen also an, dass sie null ist (u(3) = 0):

   y(3) = 0.6 y(2) - 0.2 y(1) + 0.4 u(2) = 0.6 (0.4) - 0.2 (0) + 0.4 (2) = 0.24 + 0.8 = 0.24 + 0.8 = 1.04.

Zusammenfassung der Ausgabewerte:

• y(1) = 0
• y(2) = 0.4
• y(3) = 1.04

c)

Betrachte nun ein nichtlineares System, beschrieben durch die Gleichung y(t) = (y(t-1))^2 + u(t). Angenommen, die Eingabe u(t) ist dieselbe wie im linear System, berechne die Ausgabewerte y(t) für t = 1 und t = 2.

Lösung:

Um die Ausgabewerte für das nichtlineare System zu berechnen, das durch die Gleichung y(t) = (y(t-1))^2 + u(t) beschrieben wird, verwenden wir die gleiche Eingabesequenz u(t) wie im linearen System:

• u(t) = 1 für t = 1
• u(t) = 2 für t = 2

Da das System anfänglich in Ruhe ist, setzen wir y(t) = 0 für alle t ≤ 0.

Berechnung der Ausgabewerte:

Für t = 1:

1. Gegebene Eingabe: u(1) = 1
2. Berechne die Ausgabe:
   • y(1) = (y(0))^2 + u(1)
   • Da y(0) = 0, haben wir:
   • y(1) = (0)^2 + 1 = 1

Für t = 2:

1. Gegebene Eingabe: u(2) = 2
2. Berechne die Ausgabe:
   • y(2) = (y(1))^2 + u(2)
   • Da y(1) = 1, haben wir:
   • y(2) = (1)^2 + 2 = 1 + 2 = 3

Zusammenfassung der Ausgabewerte:

• y(1) = 1
• y(2) = 3

d)

Diskutiere die Unterschiede zwischen den beiden Systemen hinsichtlich Stabilität und erwarteter Langzeitverhalten. Im Kontext von Steuerungs- und Regelungssystemen, wann wäre es vorteilhaft, ein lineares gegenüber einem nichtlinearen System zu nutzen?

Lösung:

Um die Unterschiede zwischen dem linearen und dem nichtlinearen System zu diskutieren, betrachten wir die Stabilität und das erwartete Langzeitverhalten beider Systeme sowie die Anwendungsfälle, in denen ein lineares System gegenüber einem nichtlinearen System vorteilhaft ist.

• Lineares System: Das lineare System ist gegeben durch: y(t) = 0.6 y(t-1) - 0.2 y(t-2) + 0.4 u(t-1). Die Stabilität des Systems hängt von den Eigenwerten des charakteristischen Polynoms ab. Hier sind die Koeffizienten so gewählt, dass das System stabil ist, vorausgesetzt die Eigenwerte liegen innerhalb des Einheitskreises.
• Nichtlineares System: Das nichtlineare System ist gegeben durch: y(t) = (y(t-1))^2 + u(t). Das quadratische Glied (y(t-1))^2 führt zu einem viel unberechenbareren Verhalten. Kleine Anfangsstörungen können zu großen Abweichungen führen, was zu Instabilität führen kann. Räume von Attraktoren könnten in Betracht gezogen werden, um die Stabilität zu analysieren, was eine komplexere Analyse als bei linearen Systemen darstellt.

• Lineares System: Lineare Systeme haben analysierbare und vorhersagbare Langzeitverhalten. Wenn das System stabil ist, wird es sich auf einen festgelegten Punkt oder eine periodische Lösung zubewegen.
• Nichtlineares System: Das nichtlineare System kann eine Vielzahl von Verhalten aufweisen, wie chaotisches Verhalten, stabile Schwingungen oder sogar divergierende Lösungen. Langzeitvorhersagen sind schwieriger und oft nichtlinear.

• Vorteile eines linearen Systems:
  • Mathematisch einfacher zu analysieren und zu entwerfen.
  • Vorhersagbares und stabiles Verhalten, wenn die Parameter richtig gewählt sind.
  • Eingangs-Antwort-Analyse ist einfacher, was es einfacher macht, geeignete Regelstrategien durchzusetzen.
• Vorteile eines nichtlinearen Systems:
  • Besser geeignet zur Modellierung realer Systeme, die inhärent nichtlinear sind.
  • Möglichkeit zur Darstellung komplexer Dynamiken und Nichtlinearitäten, die in linearen Modellen nicht erfasst werden können.
  • Potenzial zur Erzielung von Leistungssteigerungen in Situationen, in denen nichtlineares Verhalten genutzt werden kann (z.B. in spezifischen Steuerungsstrategien wie variabler Strukturregelung).

Fazit: Die Wahl zwischen einem linearen und einem nichtlinearen System hängt von der spezifischen Anwendung, den Anforderungen an die Stabilität und Vorhersagbarkeit sowie der Komplexität des zu modellierenden Systems ab. Lineare Systeme sind in der Regel einfacher zu handhaben und bieten eine ausreichende Genauigkeit für viele Anwendungen. Nichtlineare Systeme sind komplexer und können genaue Modellierungen und Steuerungen ermöglichen. In Steuerungs- und Regelungssystemen wird oft ein lineares Modell bevorzugt, es sei denn, die spezifischen Nichtlinearitäten des Systems erfordern eine nichtlineare Modellierung.

Aufgabe 2)

Betrachte ein lineares zeitinvariantes System, dessen Übertragungsfunktion gegeben ist durch \[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{3s + 2}{s^2 + 4s + 5}\].Nutze das Wissen über Übertragungsfunktionen und die mathematische Darstellung dynamischer Systeme im Frequenzbereich, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

a)

Bestimme die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion \(G(s)\). Überprüfe, ob das System stabil ist.

Lösung:

Übertragungsfunktion und Systemanalyse

Betrachte ein lineares zeitinvariantes System, dessen Übertragungsfunktion gegeben ist durch:

\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{3s + 2}{s^2 + 4s + 5}\]

Nutze das Wissen über Übertragungsfunktionen und die mathematische Darstellung dynamischer Systeme im Frequenzbereich, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

Pole und Nullstellen bestimmen

• Nullstellen: Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die Werte, bei denen der Zähler gleich Null ist.

Der Zähler der Übertragungsfunktion ist:

\[3s + 2 = 0\]

\[s = -\frac{2}{3}\]

Das System hat eine Nullstelle bei:

\[s = -\frac{2}{3}\]

• Pole: Pole der Übertragungsfunktion sind die Werte, bei denen der Nenner gleich Null ist.

Der Nenner der Übertragungsfunktion ist:

\[s^2 + 4s + 5 = 0\] 

\[s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

In diesem Fall:

\[a = 1, b = 4, c = 5\]

\[s = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\]

\[s = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}\]

\[s = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

\[s = \frac{-4 \pm 2i}{2}\]

\[s = -2 \pm i\]

Das System hat zwei Pole bei:

\[s = -2 + i \text{ und } s = -2 - i\]

Stabilität des Systems überprüfen

• Stabilität: Ein System ist stabil, wenn alle Pole negative Realteile haben.

Betrachte die Pole:

\[s = -2 + i \]

\[s = -2 - i \]

Beide Pole haben einen negativen Realteil (-2).

Daher ist das System stabil.

b)

Zeichne das Pol-Nullstellen-Diagramm für das angegebene System im s-Plan. Kennzeichne die Pole und Nullstellen und diskutiere deren Auswirkungen auf die Stabilität des Systems.

Lösung:

Übertragungsfunktion und Systemanalyse

Betrachte ein lineares zeitinvariantes System, dessen Übertragungsfunktion gegeben ist durch:

\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{3s + 2}{s^2 + 4s + 5}\]

Nutze das Wissen über Übertragungsfunktionen und die mathematische Darstellung dynamischer Systeme im Frequenzbereich, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

Pol-Nullstellen-Diagramm im s-Plan

• Nullstellen: Nullstellen der Übertragungsfunktion sind die Werte, bei denen der Zähler gleich Null ist.

Der Zähler der Übertragungsfunktion ist:

\[3s + 2 = 0\]

\[s = -\frac{2}{3}\]

Das System hat eine Nullstelle bei:

\[s = -\frac{2}{3}\]

• Pole: Pole der Übertragungsfunktion sind die Werte, bei denen der Nenner gleich Null ist.

Der Nenner der Übertragungsfunktion ist:

\[s^2 + 4s + 5 = 0\]

\[s = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

In diesem Fall:

\[a = 1, b = 4, c = 5\]

\[s = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}\]

\[s = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}\]

\[s = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2}\]

\[s = \frac{-4 \pm 2i}{2}\]

\[s = -2 \pm i\]

Das System hat zwei Pole bei:

\[s = -2 + i \text{ und } s = -2 - i\]

Pol-Nullstellen-Diagramm erstellen und analysieren

Zur Erstellung des Pol-Nullstellen-Diagramms zeichnen wir die Pole und Nullstellen im s-Plan, also in der komplexen Ebene.

• Nullstelle bei \(s = -\frac{2}{3}\) wird auf der reellen Achse (Realteil) bei -2/3 eingezeichnet.
• Pole bei \(s = -2 + i\) und \(s = -2 - i\) werden auf der linken Seite der komplexen Ebene eingezeichnet, da beide negative Realteile haben:

   * Pole: -2 + i (Imaginary part +1)   *        -2 - i (Imaginary part -1)   * Nullstelle: -2/3   

Auswirkungen auf die Stabilität des Systems

• Stabilität: Ein System ist stabil, wenn alle Pole in der linken Hälfte der komplexen Ebene liegen (d.h., sie haben alle negative Realteile).
• Betrachte die Pole:

   -2 + i   -2 - i

Daher liegt das gesamte System in der linken Halbebene, was bedeutet, dass es stabil ist.

Diagramm:

Leider kann ich keine Grafiken erstellen, aber Du kannst das Diagramm per Hand zeichnen. Positioniere die Nullstelle bei -2/3 auf der reellen Achse und die beiden Pole bei -2 ± i in der komplexen Ebene.

c)

Berechne die Frequenzantwort des Systems \(G(j\omega)\) für \(\omega = 0, 1, 2, 5\) rad/s. Diskutiere, wie sich die Frequenzantwort auf die Leistung des Systems auswirkt.

Lösung:

Übertragungsfunktion und Frequenzantwort

Betrachte ein lineares zeitinvariantes System, dessen Übertragungsfunktion gegeben ist durch:

\[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{3s + 2}{s^2 + 4s + 5}\]

Nutze das Wissen über Übertragungsfunktionen und die mathematische Darstellung dynamischer Systeme im Frequenzbereich, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

Frequenzantwort berechnen

Um die Frequenzantwort des Systems bei bestimmten Frequenzen zu berechnen, setzen wir \(s = j\omega\) in die Übertragungsfunktion ein.

• Übertragungsfunktion im Frequenzbereich:

\[G(j\omega) = \frac{3j\omega + 2}{(j\omega)^2 + 4j\omega + 5}\]

Frequenzantwort bei \(\omega = 0\) rad/s

\[G(j0) = \frac{3j \cdot 0 + 2}{(j \cdot 0)^2 + 4j \cdot 0 + 5} = \frac{2}{5} = 0.4\]

Frequenzantwort bei \(\omega = 1\) rad/s

\[G(j1) = \frac{3j \cdot 1 + 2}{(j1)^2 + 4j \cdot 1 + 5}\]

\[= \frac{3j + 2}{-1 + 4j + 5}\]

\[= \frac{3j + 2}{4j + 4}\]

\[= \frac{(3j + 2) \cdot (4 - 4j)}{(4 + 4j) \cdot (4 - 4j)}\]

\[= \frac{12j - 12j^2 + 8 - 8j}{16 + 16}\]

\[= \frac{12j + 12 + 8 - 8j}{32}\]

\[= \frac{4j + 20}{32} = \frac{1j + 5}{8}\]

Frequenzantwort bei \(\omega = 2\) rad/s

\[G(j2) = \frac{3j \cdot 2 + 2}{(j2)^2 + 4j \cdot 2 + 5}\]

\[= \frac{6j + 2}{-4 + 8j + 5}\]

\[= \frac{6j + 2}{1 + 8j}\]

\[= \frac{(6j + 2) \cdot (1 - 8j)}{(1 + 8j) \cdot (1 - 8j)}\]

\[= \frac{6j - 48j^2 + 2 - 16j}{1 - 64}\]

\[= \frac{6j + 48 + 2 - 16j}{-63}\]

\[= \frac{50 - 10j}{-63}\]

\[= -\frac{50}{63} + \frac{10j}{63}\]

Frequenzantwort bei \(\omega = 5\) rad/s

\[G(j5) = \frac{3j \cdot 5 + 2}{(j5)^2 + 4j \cdot 5 + 5}\]

\[= \frac{15j + 2}{-25 + 20j + 5}\]

\[= \frac{15j + 2}{-20 + 20j}\]

\[= \frac{(15j + 2) \cdot (-20 - 20j)}{(-20 + 20j) \cdot (-20 - 20j)}\]

\[= \frac{-300 - 300j^2 - 40j + 40j^2}{400 + 400j^2}\]

\[= \frac{-300 + 300 - 40j - 40}{400 - 400}\]

\[= \frac{-40j - 40}{0}\]

\[= -> undifined-loss\]

Einfluss der Frequenzantwort auf die Systemleistung

Die Frequenzantwort zeigt, wie das System auf verschiedene Eingangssignale unterschiedlicher Frequenzen reagiert:

• Bei \(\omega = 0\): Das System hat einen Gain von 0,4, was einem niedrigen Verstärkungsfaktor entspricht.
• Bei \(\omega = 1\): Das System zeigt eine komplexe Antwort mit einem Realteil von \(\frac{1}{8}\) und einem Imaginärteil von \(\frac{5}{8}\). Dies bedeutet, dass das System auf diese Frequenz beinahe gleichmäßig reagiert.
• Bei \(\omega = 2\): Die Antwort zeigt ebenfalls eine Real- und Imaginärteil. Hier ist das System leicht verstärkend.
• Bei \(\omega = 5\): Die Frequenzantwort hat zu einer unbestimmten Antwort geführt, was zu einer Systeminstabilität führen könnte.

Diese Frequenzantworten zeigen, dass das System bei niedrigen Frequenzen stabil bleibt. Jedoch steigt mit höheren Frequenzen die Wahrscheinlichkeit der Instabilität oder unerwartetes Verhalten. Eine geeignete Abstimmung der Schaltung oder Filterung wäre erforderlich, um eine optimale Leistung zu gewährleisten.

Aufgabe 3)

In einem industriellen Prozess soll die Temperatur eines Reaktors geregelt werden, um die Produktqualität zu gewährleisten. Ein PID-Regler wird hierfür eingesetzt. Dabei beträgt der proportionale Verstärkungsfaktor (P) 10, der integrale Verstärkungsfaktor (I) 5 und der differentielle Verstärkungsfaktor (D) 2. Die zu regelnde Größe ist die Temperaturabweichung e(t) in Grad Celsius.

a)

• Bestimme die Regelabweichung e(t), wenn die Ausgangstemperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt t auf 2 Grad Celsius steigt, der Zielwert jedoch bei 0 Grad Celsius liegen sollte. Berücksichtige auch, dass die Änderung der Temperaturabweichung \frac{de(t)}{dt} zu diesem Zeitpunkt 0,5 Grad Celsius pro Sekunde beträgt und die aufsummierte Temperaturabweichung \ \ \int e(\tau) d\tau von Zeit t_0 bis t 3 Grad Celsius * Sekunde beträgt.
• Nutze die Gesamtformel des PID-Reglers u(t) = K_p e(t) + K_i \int e(\tau) d\tau + K_d \frac{de(t)}{dt}, um den am Ausgang berechneten Wert u(t) zum Zeitpunkt t zu bestimmen.

Lösung:

Um die Aufgabenstellung zu lösen, werden wir die gegebenen Werte verwenden und die PID-Regler-Formel anwenden. Gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Gegebene Werte:
  • Proportionaler Verstärkungsfaktor (P): K_p = 10
  • Integraler Verstärkungsfaktor (I): K_i = 5
  • Differentielle Verstärkungsfaktor (D): K_d = 2
  • Temperaturabweichung e(t): 2 Grad Celsius
  • Änderung der Temperaturabweichung \(\frac{de(t)}{dt}\) = 0,5 Grad Celsius pro Sekunde
  • Aufsummierte Temperaturabweichung \(\int e(\tau) d\tau\) = 3 Grad Celsius * Sekunde

Mithilfe dieser Werte können wir die PID-Regler-Formel anwenden:

• PID-Regler-Formel:u(t) = K_p e(t) + K_i \(\int e(\tau) d\tau\) + K_d \(\frac{de(t)}{dt}\)

Jetzt setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

• K_p e(t) = 10 * 2 = 20
• K_i \(\int e(\tau) d\tau\) = 5 * 3 = 15
• K_d \(\frac{de(t)}{dt}\) = 2 * 0,5 = 1

Nun addieren wir die Komponenten zusammen, um den am Ausgang berechneten Wert u(t) zum Zeitpunkt t zu bestimmen:

• u(t) = 20 + 15 + 1 = 36

Daher beträgt der am Ausgang berechnete Wert u(t) zum Zeitpunkt t 36.

b)

• Simuliere den am Ausgang berechneten Wert u(t), wenn zunächst nur der proportionale Anteil eingesetzt wird. Verwende die gleiche Temperaturabweichung e(t) wie zuvor. Erläutere zudem, wie sich der Regler verhält, wenn nur der proportionale Anteil des PID-Reglers genutzt wird.
• Diskutiere, inwiefern das hinzugefügte Integral- und Differentialglied den Regelkreis im Vergleich zum lediglich proportionalen Regler verbessern kann. Berücksichtige dabei Stabilität, Regelgüte und die Reaktionszeit des Systems.

Lösung:

Um die Aufgabenstellung zu lösen, betrachten wir zunächst den Fall, bei dem nur der proportionale Anteil des PID-Reglers verwendet wird, und erklären dann, wie die integralen und differentiellen Anteile den Regelkreis verbessern können.

• 1. Proportionaler Anteil:

  Gegebene Werte:

  • Proportionaler Verstärkungsfaktor (P): K_p = 10
  • Temperaturabweichung e(t): 2 Grad Celsius

  Die Formel für den lediglich proportionalen Regler lautet:

  • u(t) = K_p e(t)

  Setzen wir die gegebenen Werte in die Formel ein:

  • u(t) = 10 * 2 = 20

  Der am Ausgang berechnete Wert u(t) beträgt in diesem Fall 20.

  Erläuterung des Reglerverhaltens: Ein Regler, der nur den proportionalen Anteil nutzt, reagiert direkt proportional zur Regelabweichung e(t). Dies führt zu einer schnellen Reaktion auf Änderungen der Abweichung. Allerdings hat ein rein proportionaler Regler einige Nachteile:

  • Es kann eine dauerhafte Regelabweichung (Überschwinger) vorhanden sein, da kein Mechanismus zur Korrektur dieser Abweichung existiert.
  • Der Regler kann anfangen zu schwingen, wenn die Verstärkung zu hoch eingestellt ist.
  • Die Regelung erfolgt instabil, wenn plötzliche Änderungen auftreten.
• 2. Verbesserung durch Integral- und Differentialglied:

  Zusätzlich zum proportionalen Anteil berücksichtigen Integral- und Differentialglieder vergangene und zukünftige Fehlertrends, was zu einer besseren Regelung führt.

  • Integrales Glied (I):Das integrale Glied addiert fortlaufend die Fehler (Temperaturabweichung) über die Zeit auf und summiert sie. Es ermöglicht die Korrektur dauerhafter Fehler, die durch den proportionalen Regler nicht behoben werden. Dadurch wird die Regelabweichung auf lange Sicht reduziert.
  • Differentialglied (D): Das differentielle Glied reagiert auf die Ableitung (Änderungsrate) des Fehlers. Es trägt dazu bei, die Vorhersage zukünftiger Fehler zu verbessern und die Reaktionszeit des Systems zu optimieren. Dadurch werden schnelle Änderungen und Schwankungen besser korrigiert.

  Zusammenfassung der Vorteile:

  • Stabilität: Der Regler verhält sich stabiler, da schnelle Änderungen und Schwankungen besser korrigiert werden.
  • Regelgüte: Die Genauigkeit der Regelung wird verbessert und dauerhafte Regelabweichungen werden reduziert.
  • Reaktionszeit: Das System reagiert schneller und präziser auf Veränderungen der Regelabweichung.

  Durch das Hinzufügen des integralen und differentiellen Gliedes wird der allein proportional wirkende Regler in wichtigen Aspekten deutlich verbessert.

Aufgabe 4)

Gegeben: Betrachte ein Regelungssystem mit der Übertragungsfunktion

• Offene Schleifenübertragungsfunktion: \[ G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+2)(s+4)} \]
• Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises lautet: \[ 1 + G(s)H(s) = 1 + \frac{K}{s(s+2)(s+4)} = 0 \]

a)

Zeichne die Wurzelortskurve für das gegebene System und markiere die offenen Polstellen.

Lösung:

Um die Wurzelortskurve zu zeichnen, folge diesen detaillierten Schritten:

• Schritt 1: Identifiziere die Polstellen und Nullstellen des offenen Regelkreises: Die Übertragungsfunktion des Systems lautet:
  • \( G(s)H(s) = \frac{K}{s(s+2)(s+4)} \)
  Die Polstellen sind die Werte von \( s \), für die der Nenner Null ist. In diesem Fall sind die Polstellen:
  • \( s = 0 \)
  • \( s = -2 \)
  • \( s = -4 \)
  Das System hat keine Nullstellen, da der Zähler keine Nullstellen besitzt.
• Schritt 2: Zeichne die Polstellen und Nullstellen in der komplexen Ebene: Markiere die Polstellen \( s = 0 \), \( s = -2 \) und \( s = -4 \)auf der reellen Achse. Da es keine Nullstellen gibt, werden keine weiteren Punkte aufgetragen.
• Schritt 3: Zeichne die Asymptoten: Da es drei Polstellen und keine Nullstellen gibt, gibt es insgesamt drei Asymptoten. Die Asymptoten verlaufen von den Polstellen weg. Die Winkel der Asymptoten lauten: \( \theta_k = \frac{(2k+1)180^\circ}{n-m} = \frac{(2k+1)180^\circ}{3} \)für \( k = 0, 1, 2 \). Das ergibt die Winkel 60°, 180°, und 300°.
• Schritt 4: Berechne den Schwerpunkt der Asymptoten: Der Schwerpunkt \( \sigma \) kann aus den Polstellen berechnet werden: \( \sigma = \frac{\sum P - \sum Z}{n-m} = \frac{(0) + (-2) + (-4) - 0}{3 - 0} = \frac{-6}{3} = -2 \). Der Schwerpunkt liegt also bei \( s = -2 \).
• Schritt 5: Zeichne die Wurzelortskurve: Beginne an den angegebenen Polstellen und zeichne die Kurven, die nach links verlaufen und sich zu den Asymptoten hinbewegen. Die Kurven konvergieren schließlich zu den Asymptoten. Die Kurvenanfänge und die Bewegung wie folgt:
  • Von \( s = 0 \) nach links und oben entlang der Achse bis es zur Asymptote um 60° führt.
  • Von \( s = -2 \) nach links und entlang der Achse zur Stabilität. Es bleibt stabil bei \( s=-2 \) bis zu einem bestimmten Wert von \( K \).
  • Von \( s = -4 \) nach links und unten entlang der Achse, um zur Asymptote bei 300° zu führen.

• Polstellen: \( s = 0 \), \( s = -2 \), \( s = -4 \)
• Keine Nullstellen.
• Verlauf der Asymptoten: Mittelpunkt bei \( s = -2 \), Winkel 60°, 180° und 300°.
• Die Wurzelortskurve: beginnt an den Polstellen und bewegt sich entlang der gekennzeichneten Pfaden, konvergiert schließlich zu den Asymptoten.

b)

Bestimme die Werte von K, bei denen das System instabil wird. Erläutere deinen Ansatz.

Lösung:

Um die Werte von \( K \) zu bestimmen, bei denen das System instabil wird, gehe wie folgt vor:

• Schritt 1: Bestimme die charakteristische Gleichung: Die charakteristische Gleichung des geschlossenen Regelkreises lautet: \[ 1 + G(s)H(s) = 1 + \frac{K}{s(s+2)(s+4)} = 0 \] Dies kann umgeschrieben werden zu: \[ s(s+2)(s+4) + K = 0 \] oder \[ s^3 + 6s^2 + 8s + K = 0 \]
• Schritt 2: Erstelle die Routh-Tabelle: Der Routh-Hurwitz-Kriterium ist eine Methode, um festzustellen, ob alle Wurzeln des charakteristischen Polynoms negative Realteile haben (d.h. ob das System stabil ist). Um den Routh-Array zu erstellen, beginne mit den Koeffizienten des charakteristischen Polynoms. Das charakteristische Polynom ist \( s^3 + 6s^2 + 8s + K \). Die Koeffizienten sind 1, 6, 8 und K. Routh-Tabelle:

  s^3	1	8
  s^2	6	K
  s^1	\(\frac{48 - K}{6}\)	0
  s^0	K

• Schritt 3: Anwendung des Routh-Hurwitz-Kriteriums: Das System ist stabil, wenn alle Einträge in der ersten Spalte der Routh-Tabelle positiv sind.
  • Der erste Eintrag ist immer positiv (1).
  • Der zweite Eintrag ist auch positiv (6).
  • Für den dritten Eintrag muss gelten: \(\frac{48 - K}{6} > 0 \). Dies bedeutet: \( 48 - K > 0 \) \( K < 48 \)
  • Für den vierten Eintrag muss gelten: \( K > 0 \)
• Schritt 4: Bestimme den Bereich von \( K \): Kombiniere die Bedingungen:
  • \( 0 < K < 48 \)

• Wenn \( K \leq 0 \) oder \( K \geq 48 \)