Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) - Cheatsheet

Definition und Bedeutung von Zustandsgrößen

Definition:

Zustandsgrößen beschreiben den aktuellen Zustand eines dynamischen Systems und sind notwendig für die Zustandsraumdarstellung.

Details:

• Zustandsvektor: \(\textbf{x}(t)\) beschreibt alle Zustandsgrößen zusammengefasst.
• Verwendung zur Systemanalyse und Regelung.
• Beeinflussen das zukünftige Verhalten des Systems.
• Anwendung in den Zustandsraumgleichungen: \[ \frac{d\textbf{x}(t)}{dt} = \textbf{A}\textbf{x}(t) + \textbf{B}\textbf{u}(t) \] \[ \textbf{y}(t) = \textbf{C}\textbf{x}(t) + \textbf{D}\textbf{u}(t) \]
• Vektorgrößen dimensioniert durch die Anzahl der Zustandsgrößen.

Kalman-Rank-Kriterium

Definition:

Kriterium zur Überprüfungen der Steuerbarkeit eines Zustandsraummodells

Details:

• System: \begin{align*} \dot{x}(t) &= A x(t) + B u(t) \end{align*}
• Kalman-Rank-Kriterium: Das System ist steuerbar, wenn der Rang der Steuerbarkeitsmatrix gleich der Dimension des Zustandsvektors ist:
• \[ \text{Steuerbarkeitsmatrix } C_s = [B \ AB \ A^2B \ ... \ A^{n-1}B] \]
• Formel für die Bedingung: \[ \text{Rang}(C_s) = n \]
• n: Dimension des Zustandsvektors

Eigenwertplatzierung

Definition:

Methode zur Bestimmung der Rückführmatrix \textbf{K}, um die geschlossenen Polstellen eines Systems zu platzieren.

Details:

• Ziel: gewünschtes dynamisches Verhalten des Systems.
• System: \dot{x} = A x + B u, \ u = -K x.
• Charakteristisches Polynom des geschlossenen Systems: \text{det}(sI - (A - BK)).
• Wähle \textbf{K} so, dass die Eigenwerte von A - BK an definierten Positionen liegen.
• Voraussetzung: vollständig steuerbares System.

Luenberger-Beobachter

Definition:

Konstruiert einen Schätzer für den Zustand eines dynamischen Systems, basierend auf einem bekannten Systemmodell und den gemessenen Ausgangsgrößen.

Details:

• Nutzt Zustandsraummodell: \( \begin{align} \boldsymbol{\tilde{x}}(t+1) &= \boldsymbol{A}\boldsymbol{\tilde{x}}(t) + \boldsymbol{B}\boldsymbol{u}(t) + \boldsymbol{L}(\boldsymbol{y}(t) - \boldsymbol{C}\boldsymbol{\tilde{x}}(t)) \ \boldsymbol{y}(t) &= \boldsymbol{C}\boldsymbol{x}(t) + \boldsymbol{D}\boldsymbol{u}(t) \ \boldsymbol{\tilde{x}}(0) &= \boldsymbol{\tilde{x}}_0 \ \boldsymbol{L} &= \textrm{Beobachter-Gain} \end{align} \)
• Beobachterfehler = Differenz zwischen tatsächlichem Zustand und Schätzzustand
• Beobachter-Gain L so gewählt, dass die Eigenwerte der Beobachterfehlerdynamik in einem stabilen Bereich liegen

MIMO-Systeme: Analyse der Stabilität und Performance

Definition:

MIMO (Multiple Input Multiple Output)-Systeme: Systeme mit mehreren Ein- und Ausgängen. Analyse hinsichtlich Stabilität und Performance ist zentral in der Regelungstechnik.

Details:

• Übertragungsfunktion darstellbar als Matrix: \(\textbf{G(s)}\)
• Stabilitätsanalyse: Eigenwerte der Systemmatrix \(A\) untersuchen
• Performance: Häufigkeitsantworten und Zustandsraumdarstellung nutzen
• Wichtige Werkzeuge: Pole Placement, LQR, LQG
• Robustheit: Störeinflüsse und Modellunsicherheiten berücksichtigen

Diskrete Zustandsraummodele

Definition:

Diskrete Zustandsraummodelle beschreiben dynamische Systeme in diskreter Zeit mithilfe von Zustandsgrößen.

Details:

• Allgemeine Form: \[ x(k+1) = A \, x(k) + B \, u(k) \] \[ y(k) = C \, x(k) + D \, u(k) \]
• \(x(k)\): Zustandsvektor zur Zeit \(k\)
• \(u(k)\): Eingangsvektor zur Zeit \(k\)
• \(y(k)\): Ausgangsvektor zur Zeit \(k\)
• \(A, B, C, D\): Systemmatrizen
• Beispiel für Zustandsübersetzung: \(x(k+1)\) wird durch \(A\)-Matrix auf \(x(k)\) und \(B\)-Matrix auf \(u(k)\) abgebildet

Transformation von Zustandsvektoren

Definition:

Transformation der Zustandsvektoren in ein anderes Koordinatensystem zur Vereinfachung der Analyse und Regelung.

Details:

• Neue Zustandsgröße: \vec{x}' = T \vec{x}
• Transformationmatrix T: invertierbar
• Zustandsraumdarstellung bleibt erhalten
• Änderung der Dynamik: \dot{\vec{x}}' = A' \vec{x}' + B' \vec{u} mit A' = TAT^{-1}, B' = TB
• Messmatrix: C' = CT^{-1}
• Beobachtungsmatrix: \mathcal{O}' = \left[ C', C'A', C'A'^2, \ldots, C'A'^{n-1} \right]
• Steuerbarkeitsmatrix: \mathcal{S}' = \left[ B', A'B', A'^2B', \ldots, A'^{n-1}B' \right]

Erreichbarkeitsmatrix und Beobachtbarkeitsmatrix

Definition:

Erreichbarkeits- und Beobachtbarkeitsmatrizen werden verwendet, um zu bestimmen, ob ein System steuerbar bzw. beobachtbar ist.

Details:

• Erreichbarkeitsmatrix: Untersucht, ob jeder Zustand eines Systems durch geeignete Wahl der Eingänge erreichbar ist
• Definition: \[ C = [B, AB, A^2B, \ldots, A^{n-1}B] \]
• Ein System ist vollständig erreichbar, wenn die Erreichbarkeitsmatrix vollen Rang hat (Rang(C) = n).
• Beobachtbarkeitsmatrix: Untersucht, ob jeder Zustand des Systems durch die Ausgangssignale beobachtbar ist
• Definition: \[ O = \begin{bmatrix} C \ CA \ CA^2 \ \vdots \ CA^{n-1} \end{bmatrix} \]
• Ein System ist vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix vollen Rang hat (Rang(O) = n).