Regelungstechnik B (Zustandsraummethoden) - Exam

Aufgabe 1)

Ein dynamisches System kann durch Zustandsgrößen beschrieben werden, die den aktuellen Zustand des Systems umfassen. Der Zustandsvektor \(\textbf{x}(t)\) fasst alle Zustandsgrößen zusammen und spielt eine zentrale Rolle bei der Systemanalyse und Regelung. Die Zustandsraumdarstellung eines Systems ist durch die folgenden Zustandsraumgleichungen gegeben:

• \(\frac{d\textbf{x}(t)}{dt} = \textbf{A}\textbf{x}(t) + \textbf{B}\textbf{u}(t)\)
• \(\textbf{y}(t) = \textbf{C}\textbf{x}(t) + \textbf{D}\textbf{u}(t)\)

Dabei beschreibt \(\textbf{A}\) die Systemmatrix, \(\textbf{B}\) die Eingangsmatrix, \(\textbf{C}\) die Ausgangsmatrix und \(\textbf{D}\) die Direkteingangsmatrix. Ein vollständiges Verständnis dieser Darstellungen ist für die Analyse und Regelung von Systemen in der Regelungstechnik essentiell.

b)

2. Entwerfe einen Zustandsregler für das obige System, der die Pole des geschlossenen Regelkreises auf die Positionen \(-1 \pm j\sqrt{3}\) verschiebt. Bestimme die Zustandsreglermatrix \(\textbf{K}\).

Lösung:

Um einen Zustandsregler zu entwerfen, der die Pole des geschlossenen Regelkreises auf die gewünschten Positionen \(-1 \pm j\sqrt{3}\) verschiebt, müssen wir die Zustandsreglermatrix \(\textbf{K}\) finden. Diese Matrix bestimmt die Rückkopplung der Zustände.

Ein dynamisches System mit Zustandsregler wird durch die modifizierte Zustandsraumdarstellung beschrieben:

\( \frac{d\textbf{x}(t)}{dt} = (\textbf{A} - \textbf{B}\textbf{K})\textbf{x}(t) \)

Die gewünschten Pole des Systems sind wie angegeben: \(-1 \pm j\sqrt{3}\). Diese Pole entsprechen den Wurzeln des charakteristischen Polynoms:

\(\lambda^2 + 2\lambda + 4 = 0\)

Unser Ziel ist es, eine Regelmatrix \(\textbf{K}\) zu finden, sodass die Eigenwerte der Matrix \(\textbf{A} - \textbf{B}\textbf{K}\) die gewünschten Pole haben.

1. 1. Bestimme die aktuelle Systemmatrix und Eingangsmatrix:

Die Systemmatrix \(\textbf{A}\) und Eingangsmatrix \(\textbf{B}\) sind gegeben als:

\(\textbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} \)\(\textbf{B} = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \)

2. Berechne das gewünschte charakteristische Polynom:

Die gewünschten Pole führen zu einem charakteristischen Polynom von:

\(\lambda^2 + 2\lambda + 4 = 0\)

3. Bestimme die geschlossene Systemmatrix:

Der geschlossene Kreislauf wird beschrieben durch die Matrix \(\tilde{A} = \textbf{A} - \textbf{B}\textbf{K}\). Wir müssen \(\textbf{K} = [k_1 \ k_2]\) bestimmen.

Die geschlossene Systemmatrix ist dann:

\(\tilde{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 - k_1 & -3 - k_2 \end{bmatrix}\)

4. Bestimme die Eigenwerte der geschlossenen Systemmatrix:

Die Eigenwerte \(\text{eig}(\tilde{A})\) der Matrix \(\tilde{A}\) müssen gleich den gewünschten Polen \(-1 \pm j\sqrt{3}\) sein. Das charakteristische Polynom von \(\tilde{A}\) ist:

\(\lambda^2 + (3 + k_2)\lambda + (2 + k_1)\)

Das charakteristische Polynom muss gleich dem gewünschten Polynom sein:

\(\lambda^2 + 2\lambda + 4 = \lambda^2 + (3 + k_2)\lambda + (2 + k_1)\)

Durch Vergleich der Koeffizienten ergibt sich:

\(3 + k_2 = 2\)\(2 + k_1 = 4\)

Somit erhalten wir:

\(k_2 = -1\)\(k_1 = 2\)

Die Zustandsreglermatrix ist daher:

\(\textbf{K} = \begin{bmatrix} 2 & -1 \end{bmatrix}\)

c)

3. Für das ursprüngliche System ist ein Beobachter zu entwerfen. Bestimme die Beobachtermatrix \(\textbf{L}\), sodass die Eigenwerte des Beobachters \(-5\) und \(-6\) sind.

Lösung:

Um einen Beobachter für das System zu entwerfen, der die Eigenwerte des Beobachters auf die gewünschten Positionen \(-5\) und \(-6\) verschiebt, müssen wir die Beobachtermatrix \(\textbf{L}\) bestimmen. Diese Matrix bestimmt die Rückkopplung der Ausgabefehler.

Ein Beobachtersystem wird durch die modifizierte Zustandsraumdarstellung beschrieben:

\( \frac{d\hat{\textbf{x}}(t)}{dt} = (\textbf{A} - \textbf{L}\textbf{C})\hat{\textbf{x}}(t) + \textbf{L}y(t) \)

Die gewünschten Pole des Beobachters sind wie angegeben: \(-5\) und \(-6\). Diese Pole entsprechen den Wurzeln des charakteristischen Polynoms:

\( (\lambda + 5)(\lambda + 6) = \lambda^2 + 11\lambda + 30 \)

Unser Ziel ist es, eine Beobachtermatrix \(\textbf{L}\) zu finden, sodass die Eigenwerte der Matrix \((\textbf{A} - \textbf{L}\textbf{C})\) die gewünschten Pole haben.

1. 1. Bestimme die aktuelle Systemmatrix und Ausgangsmatrix:

Die Systemmatrix \(\textbf{A}\) und Ausgangsmatrix \(\textbf{C}\) sind gegeben als:

\( \textbf{A} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} \)\( \textbf{C} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \)

1. 2. Berechne das gewünschte charakteristische Polynom:

Die gewünschten Pole führen zu einem charakteristischen Polynom von:

\( \lambda^2 + 11\lambda + 30 \)

1. 3. Bestimme die geschlossene Beobachtermatrix:

Der geschlossene Beobachter wird durch die Matrix \((\textbf{A} - \textbf{L}\textbf{C})\) beschrieben. Wir müssen \(\textbf{L} = \begin{bmatrix} l_1 \ l_2 \end{bmatrix} \) bestimmen.

Die geschlossene Beobachtermatrix ist dann:

\( \textbf{A} - \textbf{L}\textbf{C} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} l_1 \ l_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 - l_1 & 1 \ -2 - l_2 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -l_1 & 1 \ -2 - l_2 & -3 \end{bmatrix} \)

1. 4. Bestimme die Eigenwerte der geschlossenen Beobachtermatrix:

Die Eigenwerte \(\lambda\) der Matrix \((\textbf{A} - \textbf{L}\textbf{C})\) müssen gleich den gewünschten Polen \(-5\) und \(-6\) sein. Das charakteristische Polynom von \((\textbf{A} - \textbf{L}\textbf{C})\) ist:

\( \text{det}(\textbf{A} - \textbf{L}\textbf{C} - \lambda \textbf{I}) = \lambda^2 + (3 + l_2)\lambda + (2 + l_1) \)

Das charakteristische Polynom muss gleich dem gewünschten Polynom sein:

\( \lambda^2 + 11\lambda + 30 = \lambda^2 + (3 + l_2)\lambda + (2 + l_1) \)

Durch Vergleich der Koeffizienten ergibt sich:

\( 3 + l_2 = 11 \)\( 2 + l_1 = 30 \)

Somit erhalten wir:

\( l_2 = 8 \)\( l_1 = 28 \)

Die Beobachtermatrix ist daher:

\( \textbf{L} = \begin{bmatrix} 28 \ 8 \end{bmatrix} \)

Aufgabe 2)

Gegeben sei das Zustandsraummodell eines linearen zeitinvarianten Systems:

• System: \( \dot{x}(t) = A x(t) + B u(t) \)

• Kalman-Rank-Kriterium: Das System ist steuerbar, wenn der Rang der Steuerbarkeitsmatrix gleich der Dimension des Zustandsvektors ist:

• \( \text{Steuerbarkeitsmatrix } C_s = [B \ AB \ A^2B \ ... \ A^{n-1}B] \)

• Formel für die Bedingung: \( \text{Rang}(C_s) = n \)

• n: Dimension des Zustandsvektors

a)

Betrachte das folgende System mit den gegebenen Matrizen:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad B = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} 

Bestimme die Steuerbarkeitsmatrix \(C_s\).

Lösung:

Um die Steuerbarkeitsmatrix C_s für das gegebene System zu bestimmen, sind mehrere Schritte erforderlich. Wir folgen dabei der gegebenen Formel für die Steuerbarkeitsmatrix:

• Die Matrizen sind wie folgt gegeben:

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \ B = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} 

• Die Steuerbarkeitsmatrix C_s ist definiert als:

C_s = [B \ AB ] 

• Da die Dimension des Zustandsvektors n gleich 2 ist, müssen wir B und AB berechnen:

• 1. Berechnen von B:

  B = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} 

• 2. Berechnen von AB:

  AB = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 3 \end{pmatrix} 

• Die Steuerbarkeitsmatrix C_s ergibt sich daher als:

  C_s = \begin{pmatrix} B & AB \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix} 

b)

Berechne den Rang der Steuerbarkeitsmatrix \(C_s\), die du in der letzten Aufgabe bestimmt hast.

Lösung:

Um den Rang der Steuerbarkeitsmatrix C_s zu berechnen, die wir in der letzten Aufgabe bestimmt haben, gehen wir folgendermaßen vor:

• Die Steuerbarkeitsmatrix C_s ist gegeben als:

 C_s = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix} 

• Um den Rang der Matrix zu bestimmen, müssen wir die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen oder Spalten dieser Matrix finden. Eine Methode, dies zu tun, ist die Reduktion der Matrix zur Stufenform (Row Echelon Form, REF) durch elementare Zeilenoperationen:

• Wir beginnen mit der Matrix:

 \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix} 

Da die Matrix bereits in der Stufenform ist (die untere linke Ecke ist Null), können wir leicht den Rang feststellen:

Die erste Zeile ist \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\), die zweite Zeile ist \(\begin{pmatrix} 0 & 3 \end{pmatrix}\).

Beide Zeilen sind linear unabhängig, das bedeutet, dass der Rang der Matrix C_s 2 ist.

Somit ist der Rang der Steuerbarkeitsmatrix:

 \text{Rang}(C_s) = 2 

Da der Rang der Steuerbarkeitsmatrix gleich der Dimension des Zustandsvektors n ist, ist das System gemäß dem Kalman-Rank-Kriterium steuerbar.

c)

Überprüfe, ob das System steuerbar ist, indem du das Kalman-Rank-Kriterium anwendest.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob das gegebene System steuerbar ist, wenden wir das Kalman-Rank-Kriterium an. Dafür müssen wir den Rang der Steuerbarkeitsmatrix C_s bestimmen und diesen mit der Dimension des Zustandsvektors n vergleichen.

• Die Steuerbarkeitsmatrix C_s haben wir bereits bestimmt:

 C_s = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix} 

• Der nächste Schritt ist, den Rang dieser Matrix zu berechnen:

• Die Matrix ist bereits in Stufenform (Row Echelon Form), sodass wir den Rang leicht feststellen können:

 \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix} 

Die erste Zeile ist \(\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}\) und die zweite Zeile ist \(\begin{pmatrix} 0 & 3 \end{pmatrix}\). Beide Zeilen sind linear unabhängig, was bedeutet, dass der Rang der Matrix C_s 2 ist:

 \text{Rang}(C_s) = 2 

Die Dimension des Zustandsvektors n ist ebenfalls 2.

Nach dem Kalman-Rank-Kriterium ist das System steuerbar, wenn der Rang der Steuerbarkeitsmatrix gleich der Dimension des Zustandsvektors ist:

Da der Rang der Steuerbarkeitsmatrix 2 und die Dimension des Zustandsvektors ebenfalls 2 ist, können wir schlussfolgern:

 \text{Das System ist steuerbar.} 

d)

Falls das System nicht steuerbar ist, modifiziere die Matrix \(B\) so, dass das System steuerbar wird. Welche Bedingungen müssen dabei beachtet werden?

Lösung:

Um herauszufinden, ob das gegebene System steuerbar ist, haben wir bereits die Steuerbarkeitsmatrix C_s bestimmt und ihren Rang berechnet. Da das System bereits als steuerbar bestätigt wurde, gibt es keine Notwendigkeit, die Matrix B zu modifizieren. Für den Fall, dass es nicht steuerbar wäre, sind hier jedoch einige Bedingungen und Schritte, die beachtet werden müssen, um B zu modifizieren und das System steuerbar zu machen:

• Die Steuerbarkeitsmatrix C_s für das gegebene System war:

 C_s = \begin{pmatrix} 1 & 1 \ 0 & 3 \end{pmatrix} 

• Der Rang dieser Matrix war 2, was bereits der Dimension des Zustandsvektors n entspricht. Deshalb war das System steuerbar.

• Falls das System nicht steuerbar wäre (beispielsweise wenn eine andere Matrix B gewählt worden wäre), müsste eine geeignete B-Matrix so modifiziert werden, dass der Rang der resultierenden Steuerbarkeitsmatrix C_s gleich der Dimension des Zustandsvektors n wird.

• Im Allgemeinen sollte die geänderte Matrix B sicherstellen, dass die Kolonnen von [B, AB, A^2B, ..., Aⁿ⁻¹B] linear unabhängig sind. Dies bedeutet, dass der Rang der Steuerbarkeitsmatrix C_s gleich n sein muss.

• Beispiel: Angenommen, eine andere B-Matrix ergibt eine Steuerbarkeitsmatrix mit einem Rang, der kleiner als n ist. Dann könnte eine mögliche Modifikation von B wie folgt aussehen:

• Aktuelle Matrizen:

 A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{pmatrix}  B = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix}  C_s = \begin{pmatrix} 0 & 2 \ 1 & 4 \end{pmatrix} 

• Der Rang der Steuerbarkeitsmatrix ist hier 1 (nicht steuerbar, da n=2).

• Modifikation der Matrix B:

 B = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} 

• Neue Steuerbarkeitsmatrix:

 C_s = \begin{pmatrix} 1 & 3 \ 1 & 7 \end{pmatrix} 

• Die neue Steuerbarkeitsmatrix hat einen Rang von 2 (steuerbar, da n=2).

• Zusammenfassung der Bedingung:

• Die Matrix B muss so gewählt werden, dass der Rang der Steuerbarkeitsmatrix C_s gleich der Dimension des Zustandsvektors n ist. Dies erreicht man, indem die Spalten der Matrix C_s linear unabhängig gemacht werden.

Aufgabe 3)

EigenwertplatzierungMethode zur Bestimmung der Rückführmatrix K, um die geschlossenen Polstellen eines Systems zu platzieren.

• Ziel: gewünschtes dynamisches Verhalten des Systems.
• System: \(\dot{x} = A x + B u, \ u = -K x.\)
• Charakteristisches Polynom des geschlossenen Systems: \(\text{det}(sI - (A - BK)).\)
• Wähle K so, dass die Eigenwerte von A - BK an definierten Positionen liegen.
• Voraussetzung: vollständig steuerbares System.

a)

Gegeben sei das Zustandsraummodell eines Systems:

• A = \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}\)
• B = \(\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}\)

Bestimme die Rückführmatrix K so, dass die Eigenwerte des geschlossenen Systems bei -1 und -2 liegen.

Lösung:

EigenwertplatzierungMethode zur Bestimmung der Rückführmatrix K, um die geschlossenen Polstellen eines Systems zu platzieren.

• Ziel: gewünschtes dynamisches Verhalten des Systems.
• System: \(\dot{x} = A x + B u, \, u = -K x.\)
• Charakteristisches Polynom des geschlossenen Systems: \(\text{det}(sI - (A - BK)).\)
• Wähle K so, dass die Eigenwerte von A - BK an definierten Positionen liegen.
• Voraussetzung: vollständig steuerbares System.

Gegeben sei das Zustandsraummodell eines Systems:

• A = \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}\)
• B = \(\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}\)

Bestimme die Rückführmatrix K so, dass die Eigenwerte des geschlossenen Systems bei -1 und -2 liegen.Berechnung:

1. Setze die Ziel-Eigenwerte (Polstellen): \(-1\) und \(-2\).
2. Das charakteristische Polynom des geschlossenen Systems \(\text{det}(sI - (A - BK))\) muss die Form \((s + 1)(s + 2) = s^2 + 3s + 2\) haben.
3. Berechne das charakteristische Polynom der Matrix \(A - BK\): Für \(A - BK = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 - k_1 & -3 - k_2 \end{bmatrix}\)Das charakteristische Polynom dieser Matrix ergibt sich aus der Determinante von \((sI - (A - BK)):\)\[\text{det} \begin{vmatrix} s & -1 \ 2 + k_1 & s + 3 + k_2 \end{vmatrix} = s(s + 3 + k_2) - (-1)(2 + k_1) = s^2 + (3 + k_2)s + 2 + k_1\]
4. Vergleiche die Koeffizienten des gewünschten charakteristischen Polynoms \(s^2 + 3s + 2\) und des berechneten Polynoms:\[s^2 + 3s + 2 = s^2 + (3 + k_2)s + (2 + k_1)\]Daraus erhältst Du folgende Gleichungen:\begin{align*} 3 + k_2 &= 3 \ 2 + k_1 &= 2 \end{align*}
5. Löse diese Gleichungen nach \(k_1\) und \(k_2\):\begin{align*} k_2 &= 0 \ k_1 &= 0 \end{align*}
6. Die Rückführmatrix \(K\) lautet daher:\[K = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}\]

b)

Überprüfe, ob das oben gegebene System vollständig steuerbar ist. Berechne dazu die Steuerbarkeitsmatrix C und gib an, ob C vollen Rang hat.

Lösung:

EigenwertplatzierungMethode zur Bestimmung der Rückführmatrix K, um die geschlossenen Polstellen eines Systems zu platzieren.

• Ziel: gewünschtes dynamisches Verhalten des Systems.
• System: \(\dot{x} = A x + B u, \, u = -K x.\)
• Charakteristisches Polynom des geschlossenen Systems: \(\text{det}(sI - (A - BK)).\)
• Wähle K so, dass die Eigenwerte von A - BK an definierten Positionen liegen.
• Voraussetzung: vollständig steuerbares System.

Solve the following subexercise: Überprüfe, ob das oben gegebene System vollständig steuerbar ist. Berechne dazu die Steuerbarkeitsmatrix C und gib an, ob C vollen Rang hat. Gegeben sei das Zustandsraummodell eines Systems:

• A = \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}\)
• B = \(\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}\)

Berechnung:1. Steuerbarkeitsmatrix C bestimmen:Die Steuerbarkeitsmatrix C wird berechnet als: \[C = [B \, AB]\]Setze die gegebenen Matrizen A und B ein:\begin{align*} AB &= A \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ -3 \end{pmatrix} \end{align*}Daher ist:\[C = [B \, AB] = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ 1 & -3 \end{pmatrix} \]2. Rang der Steuerbarkeitsmatrix C überprüfen:Um die Steuerbarkeit des Systems zu überprüfen, müssen wir den Rang der Matrix C bestimmen. Wenn C vollen Rang hat (also gleich der Anzahl der Zustände), ist das System vollständig steuerbar:Der Rang der Matrix C von \(2 \times 2\) ist 2, weil die beiden Spaltenvektoren linear unabhängig sind.3. Schlussfolgerung:Da die Steuerbarkeitsmatrix C vollen Rang (2) hat, ist das gegebene System vollständig steuerbar.

c)

Bestimme das charakteristische Polynom des geschlossenen Systems nach der Bestimmung der Rückführmatrix K aus der ersten Teilaufgabe. Zeige, dass die Polstellen des geschlossenen Systems den gewünschten Eigenwerten entsprechen.

Lösung:

EigenwertplatzierungMethode zur Bestimmung der Rückführmatrix K, um die geschlossenen Polstellen eines Systems zu platzieren.

• Ziel: gewünschtes dynamisches Verhalten des Systems.
• System: \(\dot{x} = A x + B u, \, u = -K x.\)
• Charakteristisches Polynom des geschlossenen Systems: \(\text{det}(sI - (A - BK)).\)
• Wähle K so, dass die Eigenwerte von A - BK an definierten Positionen liegen.
• Voraussetzung: vollständig steuerbares System.

Gegeben sei das Zustandsraummodell eines Systems:

• A = \(\begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix}\)
• B = \(\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}\)

Bestimme das charakteristische Polynom des geschlossenen Systems nach der Bestimmung der Rückführmatrix K aus der ersten Teilaufgabe. Zeige, dass die Polstellen des geschlossenen Systems den gewünschten Eigenwerten entsprechen.Berechnung:

1. Verwende die Rückführmatrix K aus der ersten Teilaufgabe. Die Rückführmatrix lautet: \(K = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix}\).
2. Bestimme die Matrix \(A - BK\).Setze die gegebenen Matrizen A und B sowie die Rückführmatrix K ein:\begin{align*} A - BK &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} \end{align*}Dies ergibt:\begin{align*} A - BK &= \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ -2 - k_1 & -3 - k_2 \end{bmatrix} \end{align*}
3. Berechne das charakteristische Polynom von \(A - BK\).Das charakteristische Polynom von \(A - BK\) wird durch die Determinante von \(sI - (A - BK)\) bestimmt:\begin{align*} \text{det}(sI - (A - BK)) &= \text{det} \begin{bmatrix} s & -1 \ 2 + k_1 & s + 3 + k_2 \end{bmatrix} \end{align*} Berechne die Determinante:\begin{align*} s(s + 3 + k_2) - (-1)(2 + k_1) &= s^2 + (3 + k_2)s + 2 + k_1 \end{align*}
4. Vergleiche das gewünschte charakteristische Polynom \(s^2 + 3s + 2\) mit dem berechneten Polynom.Das gewünschte charakteristische Polynom hat die Form \(s^2 + 3s + 2\), was zu den Eigenwerten \(-1\) und \(-2\) führt.
5. Vergleiche die Koeffizienten:\begin{align*} 3 + k_2 &= 3 \ 2 + k_1 &= 2 \end{align*}Löse diese Gleichungen, um \(k_1\) und \(k_2\) zu bestimmen:\begin{align*} k_2 &= 0 \ k_1 &= 0 \end{align*}
6. Die Rückführmatrix K lautet daher:\[K = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}\]
7. Bestätige, dass das charakteristische Polynom des geschlossenen Systems den gewünschten Eigenwerten entspricht:\begin{align*} \text{det}(sI - (A - BK)) &= s^2 + 3s + 2 \end{align*}Die Polstellen des geschlossenen Systems sind also wie gewünscht bei \(-1\) und \(-2\).