Satellitengestützte Ortsbestimmung - Exam

Aufgabe 1)

Im Verlauf der letzten Jahrzehnte hat sich die Satellitennavigation von einfachen Anfängen zu einem hochkomplexen globalen System entwickelt. Eine kurze Chronologie dieser Entwicklung umfasst mehrere wichtige Meilensteine:

• 1957: Der Start von Sputnik, dem ersten künstlichen Satelliten. Die Veränderung der Funksignale durch den Dopplereffekt führte zur Entwicklung erster Navigationsmethoden.
• 1960er: Das Transit-System (NAVSAT) der US-Marine war das erste operationelle Satellitennavigationssystem.
• 1978: Die ersten GPS-Satelliten wurden gestartet, und das Global Positioning System (GPS) wurde entwickelt.
• 1993: Das GPS-QZSS (Quasi-Zenith Satellite System) und GLONASS (das russische Pendant) wurden vollständig funktionsfähig.
• 2003: Die Einführung von Galileo, dem europäischen globalen Satellitennavigationssystem.
• Anwendungen der Satellitennavigation umfassen Bereiche wie Navigation, Geodäsie, Zeitmessung und das Verkehrs- und Transportwesen.

a)

Beschreibe die Bedeutung des Dopplereffekts in der Satellitennavigation und erläutere, wie dieser Effekt zur Ortsbestimmung genutzt wird.

Lösung:

Der Dopplereffekt spielt eine zentrale Rolle in der Satellitennavigation, insbesondere in den frühen Tagen der Satellitensysteme wie dem Transit-System der US-Marine. Der Dopplereffekt beschreibt die Verschiebung der Frequenz von Wellen, wie Licht oder Radiowellen, die von einer Quelle emittiert werden, die sich relativ zu einem Beobachter bewegt.

• Wenn sich eine Signalquelle (z.B. ein Satellit) auf den Beobachter zubewegt, steigt die Frequenz des empfangenen Signals.
• Wenn sich die Signalquelle von dem Beobachter entfernt, sinkt die Frequenz des empfangenen Signals.

In der Satellitennavigation wird dieser Effekt genutzt, um die Position des Empfängers bzw. des Beobachters zu bestimmen. Hier ist eine detaillierte Erklärung des Prozesses:

• Ein Satellit sendet kontinuierlich ein Signal mit einer bekannten Frequenz zur Erde.
• Ein Empfänger auf der Erde registriert diese Signale und misst die Abweichungen in der Frequenz, die durch den Dopplereffekt verursacht werden.
• Indem der Empfänger die Rate der Frequenzänderung analysiert, kann er die Relativgeschwindigkeit zwischen sich selbst und dem Satelliten berechnen.
• Diese Daten werden über einen bestimmten Zeitraum hinweg gesammelt, während der Satellit über den Himmel zieht. Mit diesen Informationen kann der Empfänger eine genaue Positionierung und Bahnbestimmung des Satelliten vornehmen.
• Durch die Kombination von Daten von mehreren Satelliten lässt sich schließlich die genaue Position des Empfängers bestimmen. Dies funktioniert, indem die verschiedenen Relativgeschwindigkeiten und ihre Änderungen durch den Dopplereffekt trianguliert werden.

Zusammengefasst ermöglicht der Dopplereffekt den Empfängern, die genaue Position aus den Frequenzverschiebungen der empfangenen Signale zu berechnen, indem die Bewegungen des Satelliten relativ zum Empfänger ausgewertet werden.

b)

Vergleiche und kontrastiere das Transit-System (NAVSAT) mit dem modernen GPS-System. Nenne mindestens drei Unterschiede in Bezug auf Technologie und Anwendungsgebiete.

Lösung:

Das Transit-System (NAVSAT) der US-Marine und das moderne Global Positioning System (GPS) unterscheiden sich in mehreren Aspekten, sowohl technologisch als auch in ihren Anwendungsgebieten. Hier sind drei wesentliche Unterschiede:

• Technologie und Genauigkeit:
  • Transit-System (NAVSAT): Das Transit-System nutzte den Dopplereffekt, um Positionsbestimmungen mit einer Genauigkeit im Bereich von 100 Metern bis zu einigen Kilometern zu erreichen. Die Positionsupdates waren relativ langsam, da die Nutzer auf die Überflüge der Satelliten warten mussten.
  • GPS: Das heutige GPS basiert auf einer Konstellation von mindestens 24 Satelliten, die Signale in mehreren Frequenzen senden. Es bietet eine Positionsgenauigkeit von wenigen Metern bis hin zu Zentimetern bei Differenzial-GPS-Anwendungen. Die Aktualisierung der Position erfolgt kontinuierlich und bietet nahezu Echtzeitdaten.
• Anwendungsgebiete:
  • Transit-System (NAVSAT): Hauptsächlich von militärischen und maritimen Nutzern eingesetzt, diente es der Navigation von U-Booten und Schiffen sowie der Präzision von militärischen Operationen.
  • GPS: Breite Anwendung in verschiedenen Bereichen wie ziviler Navigation (Straßenfahrzeuge, Luftfahrt, Schifffahrt), Geodäsie, wissenschaftlicher Forschung, Zeitmessung und sogar in alltäglichen Anwendungen wie Smartphones und Fitnessgeräten.
• Sende- und Empfangsinfrastruktur:
  • Transit-System (NAVSAT): Die Satelliten des Transit-Systems sendeten kontinuierlich auf einer einzigen Frequenz. Empfänger waren größer und spezialisierter, oft nur in größeren Marinen und militärischen Anwendungen zu finden.
  • GPS: GPS-Satelliten senden auf mehreren unterschiedlichen Frequenzen (L1, L2, L5 usw.), was höhere Genauigkeiten und Robustheit gegenüber Signalstörungen ermöglicht. GPS-Empfänger sind kompakt, kostengünstig und in einer Vielzahl von Geräten integriert, von Autos bis hin zu Smartphones.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Transit-System ein wichtiger erster Schritt in der Satellitennavigation war, das moderne GPS jedoch eine weitaus höhere Genauigkeit, eine breitere Palette an Anwendungen und eine verbesserte Frequenzinfrastruktur bietet.

d)

Erkläre die Unterschiede zwischen dem GPS- und dem Galileo-System in Bezug auf ihre Architektur und die Vorteile, die Galileo gegenüber GPS bietet. Berücksichtige dabei Aspekte wie Genauigkeit, Integrität und Dienstleistungen.

Lösung:

Sowohl das Global Positioning System (GPS) der USA als auch das europäische Galileo-System sind globale Satellitennavigationssysteme, die auf einer Konstellation von Satelliten zur Positionsbestimmung basieren. Allerdings gibt es Unterschiede in ihrer Architektur und den angebotenen Dienstleistungen, die Galileo einige Vorteile gegenüber GPS verleihen.

• Architektur:
  • GPS: Das GPS besteht aus mindestens 24 Satelliten, die gleichmäßig auf sechs orbitalen Ebenen verteilt sind, mit einer Höhe von etwa 20.000 Kilometern über der Erde. GPS bietet weltweit Abdeckung und ist in erster Linie für militärische Anwendungen entwickelt worden, aber es wird auch weit verbreitet im zivilen Bereich genutzt.
  • Galileo: Das Galileo-System umfasst ebenfalls eine Konstellation von 24 Satelliten, die auf drei orbitalen Ebenen verteilt sind, aber mit einer Höhe von etwa 23.222 Kilometern über der Erde. Galileo wurde speziell für zivile Zwecke entwickelt und unterliegt nicht der Kontrolle des Militärs. Es ist darauf ausgelegt, sowohl die GPS-Dienste zu ergänzen als auch eine unabhängige Alternative zu bieten.
• Genauigkeit:
  • GPS: Die Genauigkeit von GPS liegt im Bereich von 3 bis 5 Metern für zivile Nutzer, während militärische Nutzer eine höhere Genauigkeit erhalten können. Mit differenziellen GPS (DGPS)-Systemen kann die Genauigkeit weiter verbessert werden.
  • Galileo: Galileo wird eine genaue Bestimmung der Position ermöglichen, mit einer zivilen Genauigkeit von etwa einem Meter. In Kombination mit dem Public Regulated Service (PRS), der für Regierungsbehörden und kritische Infrastrukturen vorgesehen ist, kann die Genauigkeit noch weiter gesteigert werden.
• Integrität:
  • GPS: Das GPS bietet keine integritätsbezogenen Überwachungsdienste für zivile Nutzer. Das bedeutet, dass es keine unmittelbare Warnung gibt, wenn ein Satellit oder das System insgesamt eine Fehlfunktion aufweist.
  • Galileo: Galileo bietet einen Service zur Integritätsüberwachung, besonders für Anwendungen, die eine hohe Genauigkeit und Zuverlässigkeit benötigen, wie etwa im Luftverkehr. Das Galileo-System kann den Nutzern innerhalb von Sekunden eine Benachrichtigung senden, wenn ein Satellit eine Fehlfunktion aufweist oder falsche Signale sendet.
• Dienstleistungen:
  • GPS: GPS bietet verschiedene Dienste an, darunter den Standard Positioning Service (SPS) für die zivile Nutzung und den verschlüsselten Precise Positioning Service (PPS) für militärische und autorisierte Benutzer.
  • Galileo: Galileo bietet verschiedene Dienste, vom Open Service (OS) für zivile Nutzer, der eine höhere Genauigkeit als GPS bietet, über den Commercial Service (CS), der zusätzliche Funktionen wie eine verschlüsselte Signalübertragung für kommerzielle Anwendungen bietet, bis hin zum Public Regulated Service (PRS), der bei beschädigten oder gestörten Signalen eine verlässliche Navigation gewährleistet. Zudem bietet Galileo den Search and Rescue Service (SAR), der wesentlich schnellere und genauere Ortungen zur Rettung von in Not geratenen Personen ermöglicht.

Zusammengefasst bietet Galileo aufgrund seiner zivilen Ausrichtung, höheren Genauigkeit, integrierten Integritätsüberwachung und vielseitigen Dienstleistungen gegenüber GPS einige signifikante Vorteile. Galileo ist darauf ausgelegt, die Nutzung der Satellitennavigation noch zuverlässiger und präziser zu gestalten, insbesondere in Bereichen, in denen eine hohe Genauigkeit und Verlässlichkeit entscheidend sind.

Aufgabe 2)

Gegeben sind die Grundlagen der Orbitalmechanik, die die Bewegung von Satelliten im Weltraum anhand der Gesetze der Himmelsmechanik und der Newtonschen Physik beschreiben:

• Keplersche Gesetze: Beschreiben die Bewegung von Planeten und Satelliten.
• Newtonsche Gravitationsgesetz: \[ F = G \frac{m_1 m_2}{r^2} \]
• Geschwindigkeitsberechnung in der Umlaufbahn: \[ v = \sqrt{\frac{GM}{r}} \]
• Bahngleichung: Bestimmt die Form und Position der Satellitenbahn. \[ r(\theta) = \frac{h^2}{GM} \frac{1}{1 + e \cos(\theta)} \]

b)

Ein Satellit folgt einer elliptischen Umlaufbahn um die Erde mit der Exzentrizität \[ e = 0.1 \] und dem parameter \[ h = 80.000 \]. Bestimme den minimalen und den maximalen Abstand des Satelliten zur Erde während seiner Umrundung. Verwende hierfür die Bahngleichung \[ r(\theta) = \frac{h^2}{GM} \frac{1}{1 + e \cos(\theta)} \].

Lösung:

Lösung des Teilübungsaufgabe:

Um den minimalen und maximalen Abstand eines Satelliten zur Erde während seiner Umrundung in einer elliptischen Umlaufbahn zu berechnen, verwenden wir die Bahngleichung:

 r(\theta) = \frac{h^2}{GM} \frac{1}{1 + e \cos(\theta)} 

Gegebene Werte:

• Exzentrizität: e = 0.1
• Bahndrehimpuls pro Masseeinheit (Parameter): h = 80.000 m²/s
• Gravitationskonstante: G = 6.67430 × 10^{-11} m³ kg^-1 s^-2
• Erdmasse: M = 5.972 × 10^{24} kg

Berechnung:

Um den minimalen und maximalen Abstand zu finden, betrachten wir die Werte von \(\theta\) für Perihelion (nächster Punkt) und Aphelion (entferntester Punkt).

• Minimaler Abstand (\(\theta = 0\)):

 r_{min} = \frac{h^2}{GM} \frac{1}{1 + e \cos(0)}  r_{min} = \frac{h^2}{GM} \frac{1}{1 + e}  r_{min} = \frac{(80.000 m^2/s)^2}{(6.67430 × 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}) \times (5.972 × 10^{24} kg)} \times \frac{1}{1 + 0.1}  r_{min} = \frac{6.4 × 10^9 m^4/s^2}{3.9857 × 10^{14} m^3/s^2} \times \frac{1}{1.1}  r_{min} \approx 1.606 × 10^{-5} m \times \frac{1}{1.1}  r_{min} \approx 1.460 × 10^{-5} m

Maximaler Abstand (\(\theta = \pi\)):

 r_{max} = \frac{h^2}{GM} \frac{1}{1 + e \cos(\pi)}  r_{max} = \frac{h^2}{GM} \frac{1}{1 - e}  r_{max} = \frac{(80.000 m^2/s)^2}{(6.67430 × 10^{-11} m^3 kg^{-1} s^{-2}) \times (5.972 × 10^{24} kg)} \times \frac{1}{1 - 0.1}  r_{max} = \frac{6.4 × 10^9 m^4/s^2}{3.9857 × 10^{14} m^3/s^2} \times \frac{1}{0.9}  r_{max} \approx 1.606 × 10^{-5} m \times \frac{1}{0.9}  r_{max} \approx 1.784 × 10^{-5} m

Demnach sind die minimalen und maximalen Abstände des Satelliten zur Erde während seiner Umrundung ungefähr 1.460 × 10^{-5} m und 1.784 × 10^{-5} m.

Aufgabe 3)

Das GPS-System besteht aus einer Konstellation von mindestens 24 Satelliten, die auf 6 Bahnebenen verteilt sind, mit einer Bahnneigung von 55° und einer Höhe von etwa 20.200 km. Das System ist in drei Segmente unterteilt: Weltraumsegment, Kontrollsegment und Benutzersegment. Das Weltraumsegment besteht aus den Satelliten, die Signale senden. Das Kontrollsegment besteht aus Bodenstationen, die die Satelliten überwachen und steuern. Das Benutzersegment umfasst die GPS-Empfänger, die Signale empfangen und zur Positionsbestimmung verwenden. Die Positionierung erfolgt durch Triangulation mittels Laufzeitmessung der Signale, und die Genauigkeit der Positionsbestimmung liegt im Bereich von Metern bis Zentimetern, insbesondere mit Korrekturmethoden.

a)

Erkläre detailliert, wie die Triangulation mittels Laufzeitmessung der Signale zur Positionsbestimmung im GPS funktioniert. Gehe dabei von einem idealen Szenario ohne Störeinflüsse aus und beschreibe auch die mathematischen Formeln, die verwendet werden, um die Position eines Empfängers zu berechnen.

Lösung:

Erklärung der Triangulation mittels Laufzeitmessung der Signale zur Positionsbestimmung im GPS

Die Triangulation im GPS-System basiert auf der Messung der Laufzeit von Signalen, die von mehreren Satelliten gesendet und von einem GPS-Empfänger empfangen werden. Diese Methode ermöglicht es, die Position des Empfängers auf der Erdoberfläche zu berechnen. Dabei gehen wir von einem idealen Szenario ohne Störeinflüsse aus. Der Prozess lässt sich wie folgt detailliert beschreiben:

• Signalübertragung: Jeder GPS-Satellit sendet kontinuierlich Signale mit Informationen über seine genaue Position und die exakte Zeit des Sendens. Die Signale breiten sich mit Lichtgeschwindigkeit (\(c\)) von ca. 299.792 km/s aus.
• Laufzeitmessung: Der GPS-Empfänger misst die Zeit (\(t\)), die das Signal benötigt, um von einem Satelliten zum Empfänger zu gelangen.
• Entfernungsmessung: Aus der gemessenen Laufzeit (\(t\)) wird die Entfernung (\(r\)) zu jedem Satelliten berechnet. Die Formel dafür ist: \[ r = c \times t \] wobei \(c\) die Lichtgeschwindigkeit ist (ungefähr 299.792 km/s).
• Bestimmung der Position durch Trilateration: Um die genaue Position (\(x, y, z\)) des Empfängers zu ermitteln, werden Signale von mindestens vier Satelliten benötigt. Mit diesen Signalen kann der GPS-Empfänger seine Position durch das Lösen eines Gleichungssystems bestimmen, das aus den folgenden vier Gleichungen besteht:\[ \begin{cases} (x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (z - z_1)^2 = r_1^2 \ (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 + (z - z_2)^2 = r_2^2 \ (x - x_3)^2 + (y - y_3)^2 + (z - z_3)^2 = r_3^2 \ (x - x_4)^2 + (y - y_4)^2 + (z - z_4)^2 = r_4^2 \end{cases} \] wobei \((x_i, y_i, z_i)\) die bekannten Koordinaten des i-ten Satelliten sind und \(r_i\) die berechnete Entfernung zwischen dem Empfänger und dem i-ten Satelliten ist.

Diese Gleichungen beschreiben Kugeln mit den Radien \(r_1, r_2, r_3\) und \(r_4\) und den Zentren an den Positionen der Satelliten. Der Schnittpunkt dieser vier Kugeln ergibt die Position (\(x, y, z\)) des Empfängers. In einem idealen Szenario ohne Störeinflüsse und mit präziser Zeitmessung kann der Empfänger seine Position bis auf wenige Meter oder sogar Zentimeter genau bestimmen. Korrekturmethoden wie Differential GPS (DGPS) können die Genauigkeit zusätzlich erhöhen.

b)

Welche Rolle spielen die Korrekturmethoden bei der GPS-Positionsbestimmung und wie tragen sie dazu bei, die Genauigkeit von Metern auf Zentimeter zu verbessern?

Beschreibe dabei mindestens zwei Korrekturmöglichkeiten und erläutere den technischen und mathematischen Hintergrund dieser Methoden.

Lösung:

Die Rolle der Korrekturmethoden bei der GPS-Positionsbestimmung

GPS-Positionsbestimmung kann durch verschiedene Faktoren wie atmosphärische Störungen, Mehrwegeffekte und Ungenauigkeiten in den Satellitenuhren beeinflusst werden. Korrekturmethoden spielen eine entscheidende Rolle dabei, diese Fehler zu minimieren und die Genauigkeit der Positionsbestimmung von Metern auf Zentimeter zu verbessern. Im Folgenden werden zwei wichtige Korrekturmöglichkeiten und deren technische und mathematische Hintergründe beschrieben:

• Differential GPS (DGPS):
  • Technischer Hintergrund: DGPS verwendet Referenzstationen an bekannten Positionen, die die von den GPS-Satelliten empfangenen Signale analysieren. Diese Stationen berechnen die Differenz zwischen ihrer bekannten Position und der durch das GPS berechneten Position. Diese Differenz (oder Korrektur) wird dann an benachbarte GPS-Empfänger gesendet, die diese Information verwenden, um ihre eigene Positionsgenauigkeit zu verbessern.
  • Mathematische Erklärung: Wenn die Position der Referenzstation \((x_r, y_r, z_r)\) bekannt ist und die durch GPS berechnete Position \((x'_r, y'_r, z'_r)\) lautet, wird die Korrektur als Differenz \((\Delta x_r, \Delta y_r, \Delta z_r)\) berechnet:
  \[ \Delta x_r = x_r - x'_r \] \[ \Delta y_r = y_r - y'_r \] \[ \Delta z_r = z_r - z'_r \] Diese Korrektur wird dann an benachbarte GPS-Empfänger gesendet, die ihre berechnete Position entsprechend anpassen:
\[ x = x' + \Delta x_r \] \[ y = y' + \Delta y_r \] \[ z = z' + \Delta z_r \]
• Real-Time Kinematic (RTK):
  • Technischer Hintergrund: RTK ist eine weiterentwickelte Form von DGPS, die Korrekturen für die Positionsermittlung in Echtzeit bereitstellt. Es verwendet sowohl eine Referenzstation als auch mobile GPS-Empfänger. Die Referenzstation und die mobilen Empfänger messen die Phase des Trägersignals der GPS-Satelliten. Durch die Synchronisation dieser Phasenmessungen können hochgenaue Positionsdaten erzielt werden.
  • Mathematische Erklärung: RTK basiert auf der genauen Messung der Phasendifferenz \(\Phi\) zwischen dem Referenzsignal und dem empfangenen Signal. Die Methode verwendet die Formel für die Phasendifferenz \(\Delta \Phi\) zwischen den gemessenen Phasen:
  \[ \Delta \Phi = \Phi_r - \Phi_m \] wobei \(\Phi_r\) die Phase des Referenzsignals und \(\Phi_m\) die Phase des mobilen Empfängers ist. Die Positionskorrektur kann dann durch die Berechnung der genauen Wellenlänge \(\lambda\) und der Anzahl der Wellenzyklen \(N\) zwischen dem Referenzsignal und dem empfangenen Signal erzielt werden:
\[ x = x' + N \cdot \lambda \] \[ y = y' + N \cdot \lambda \] \[ z = z' + N \cdot \lambda \]

Beide Methoden verbessern die Genauigkeit der GPS-Positionsbestimmung erheblich. DGPS reduziert stationäre Fehler durch die Verwendung bekannter Positionen, während RTK durch die Nutzung von Phasenmessungen in Echtzeit noch genauere Korrekturen ermöglicht. Durch den Einsatz dieser Korrekturmethoden kann die Positionsgenauigkeit von GPS-Systemen auf Zentimeterebene erhöht werden, was besonders in Präzisionsanwendungen wie Landwirtschaft, Bauwesen und Vermessung von entscheidender Bedeutung ist.

Aufgabe 4)

Betrachte das Global Positioning System (GPS) und die verschiedenen Fehlerquellen und Korrekturmethoden, welche die Genauigkeit der Positionsbestimmung beeinflussen. Es gibt mehrere wesentliche Fehlerquellen, wie z.B. Satellitenbahnfehler, atmosphärische Störungen, Uhrfehler, Mehrwegeffekte, und Nutzergerätefehler. Verschiedene Korrekturmethoden wie Differential GPS (DGPS), Carrier-Phase Enhancement (CPGPS) und der Einsatz von Kalman-Filtern werden genutzt, um die Genauigkeit zu verbessern.

b)

Beschreibe die Ursache und die Auswirkungen von atmosphärischen Störungen, insbesondere durch die Ionosphäre und die Troposphäre, auf das GPS-Signal. Wie können diese Fehler minimiert oder eliminiert werden? Gehe dabei auf die spezifischen Korrekturmethoden ein und erläutere die Funktionsweise mathematisch.

Lösung:

Ursache und Auswirkungen von atmosphärischen Störungen auf das GPS-Signal

• Ionosphäre: Die Ionosphäre ist ein Bereich der oberen Atmosphäre, der mit ionisierten Partikeln gefüllt ist. Wenn GPS-Signale durch die Ionosphäre passieren, werden sie aufgrund der variablen Elektronendichte verzögert. Diese Verzögerung ist frequenzabhängig, sodass Signale auf verschiedenen Frequenzen unterschiedlich beeinflusst werden. Diese Variation führt zu Fehlern in der berechneten Entfernung zwischen Satelliten und Empfänger.
• Troposphäre: Die Troposphäre ist der unterste Teil der Atmosphäre und enthält die meisten atmosphärischen Gase sowie Wasserdampf. Die GPS-Signale werden durch die Troposphäre verlangsamt, hauptsächlich durch die Variationen in Temperatur, Druck und Feuchtigkeit. Diese Verlangsamung ist nicht frequenzabhängig, aber sie variiert je nach den atmosphärischen Bedingungen.

Minimierung oder Eliminierung von atmosphärischen Fehlern

• Ionosphärenkorrektur: Das GPS-System nutzt ein duales Frequenzband (L1 und L2). Da die Verzögerung in der Ionosphäre frequenzabhängig ist, können Empfänger die Differenz der Signalverzögerungen zwischen zwei Frequenzen messen und diese zur Schätzung und Korrektur der Ionosphärenverzögerung verwenden. Der zu korrigierende Fehler (\(T_{iono}\)) wird durch:

  T_{iono} = k \times \bigg(\frac{f_{L1}^2}{f_{L1}^2 - f_{L2}^2}\bigg) \times (\rho_{L1} - \rho_{L2})

  Hierbei sind:
  • \(\rho_{L1}\) und \(\rho_{L2}\) die gemessenen Entfernungen auf den Frequenzen L1 und L2
  • \(f_{L1}\) und \(f_{L2}\) die Frequenzen der L1- und L2-Signale
  • \(k\) eine Konstante, die von der Ionosphäreneigenschaft abhängt
• Troposphärenkorrektur: Die Verlangsamung des GPS-Signals in der Troposphäre kann mittels Modelle oder empirischen Daten korrigiert werden. Eine übliche Methode ist das Saastamoinen-Modell, das den troposphärischen Fehler (\(T_{tropo}\)) als Funktion von Temperatur (\(T\)), Druck (\(P\)) und Feuchtigkeit (\(H\)) beschreibt:

  T_{tropo} = (0.0022768 \times P) / (1 - 0.00266 \times \text{cos}(2\theta) - 0.00028 \times h) + 0.002277 \times (1255/T + 0.05) \times H

  Hierbei sind:
  • \(\theta\) die geodätische Breite des Empfängers
  • \(h\) die Höhe über dem Meeresspiegel
  • \(T\) die Temperatur in Kelvin
  • \(P\) der Druck in hPa
  • \(H\) die relative Feuchtigkeit

Spezifische Korrekturmethoden

• Kombination von Signalen unterschiedlicher Frequenzen: Durch die Analyse der Differenz in den Ankunftszeiten der Signale auf verschiedenen Frequenzen kann die Verzögerung, verursacht durch die Ionosphäre, präzise abgeschätzt und korrigiert werden.
• Verwendung von Modellen: Die troposphärischen Effekte können durch Standard-Atmosphärenmodelle wie das Saastamoinen-Modell korrigiert werden. Diese Modelle nutzen meteorologische Daten, um die Refraktivität der Troposphäre zu berechnen und somit die Verzögerung zu korrigieren.
• Differential GPS (DGPS): DGPS kann auch bei der Korrektur von atmosphärischen Fehlern helfen, da Referenzstationen Korrekturen bereitstellen, die den Einfluss der Atmosphäre berücksichtigen.
• Carrier-Phase Enhancement (CPGPS): Bei der CPGPS-Methode werden Phasendifferenzen der Trägersignale analysiert. Da die Phase eines Signals weniger von der Ionosphären- und Troposphärenverzögerung beeinflusst wird, können präzisere Positionen ermittelt werden.

Durch diese Korrekturmethoden und mathematischen Ansätze können die Auswirkungen der atmosphärischen Störungen auf die GPS-Positionsbestimmung effektiv minimiert werden, was zu einer verbesserten Genauigkeit führt.

c)

Mehrwegeffekte sind häufige Fehlerquellen in der satellitengestützten Positionsbestimmung. Erkläre, was Mehrwegeffekte sind und wie sie die Genauigkeit des GPS-Signals beeinflussen können. Welche Technologien oder Algorithmen werden verwendet, um diese Effekte zu reduzieren oder zu eliminieren?

Lösung:

Mehrwegeffekte in der GPS-Positionsbestimmung

• Was sind Mehrwegeffekte? Mehrwegeffekte treten auf, wenn GPS-Signale auf ihrem Weg von Satelliten zum Empfänger auf Hindernisse wie Gebäude, Berge oder andere Strukturen treffen und reflektiert werden. Dies führt dazu, dass das Signal den Empfänger auf unterschiedlichen Wegen mit verschiedenen Laufzeiten erreicht. Der Empfänger erhält dadurch nicht nur das direkte Signal, sondern auch reflektierte Signale.

Auswirkungen auf die GPS-Genauigkeit

• Die reflektierten Signale haben längere Laufzeiten als das direkte Signal, was zu Fehlern in der Abstandsmessung zwischen Satellit und Empfänger führt.
• Diese längeren Laufzeiten führen zu Positionsfehlern, da der Empfänger die reflektierten Signale als direkte Signale interpretiert und die Berechnungen verzerrt.
• Mehrwegeffekte können besonders in städtischen Gebieten und anderen Umgebungen mit vielen Reflexionsflächen bedeutende Fehler verursachen.

Reduzierung oder Eliminierung von Mehrwegeffekten

• Antennendesign: Spezielle Antennendesigns, wie Choke-Ring-Antennen, sind so konstruiert, dass sie Signale, die von unten oder in flachen Winkeln kommen (typisch für reflektierte Signale), besser ableiten können.
• Carrier-Phase Enhancement (CPGPS): Diese Methode nutzt die Phaseninformationen der Trägersignale, die weniger anfällig für Mehrwegeffekte sind im Vergleich zu den Pseudorange-Messungen. Durch die Auswertung der Phasenverschiebungen können präzisere Positionsbestimmungen erreicht werden.
• Signalverarbeitungstechniken: Fortgeschrittene Algorithmen zur Signalverarbeitung, wie das RAIM (Receiver Autonomous Integrity Monitoring) und das Kalman-Filter-Verfahren, helfen, die Auswirkungen von Mehrwegeffekten zu minimieren. Diese Algorithmen filtern ungewöhnliche Signalverzögerungen und verbessern die Genauigkeit des Systems.

  X_{k|k-1} = F_{k}X_{k-1|k-1}P_{k|k-1} = F_{k}P_{k-1|k-1}F_{k}^T + Q_{k}K_{k} = P_{k|k-1}H_{k}^T (H_{k}P_{k|k-1}H_{k}^T + R_{k})^{-1}X_{k|k} = X_{k|k-1} + K_{k}(z_{k} - H_{k}X_{k|k-1})P_{k|k} = (I - K_{k}H_{k})P_{k|k-1}

  Hierbei sind:
  • \(F_{k}\) die Zustandsübergangsmatrix
  • \(Q_{k}\) die Prozessrauschkovarianz
  • \(P_{k}\) die Fehlerkovarianz
  • \(K_{k}\) der Kalman-Korrekturgewinn
  • \(H_{k}\) die Messmatrix
  • \(z_{k}\) die Messung
  • \(R_{k}\) die Messrauschkovarianz
• Differential GPS (DGPS): DGPS verwendet Bodenstationen, die bekannte Positionen haben, zur Bereitstellung von Korrekturdaten. Diese Korrekturen können auch verschiedene Fehlerquellen, einschließlich Mehrwegeffekte, kompensieren.
• Softwarelösungen: Moderne GPS-Empfänger und Navigationsgeräte sind oft mit Softwarealgorithmen ausgestattet, die in der Lage sind, reflektierte Signale zu erkennen und zu ignorieren. Diese Algorithmen analysieren die Signalcharakteristiken, wie Signalstärke und Ankunftszeit, um reflektierte von direkten Signalen zu unterscheiden.
• Erhöhung der Satellitenanzahl: Durch die Verfügbarkeit von mehr Satelliten in Sichtweite des Empfängers kann der Einfluss von Mehrwegeffekten verringert werden, da der Empfänger in der Lage ist, die besten Signale auszuwählen und reflektierte Signale auszuschließen.

Durch den Einsatz dieser Technologien und Algorithmen können die negativen Auswirkungen der Mehrwegeffekte auf die GPS-Positionsbestimmung deutlich reduziert werden, was zu einer genaueren und zuverlässigeren Positionsbestimmung führt.

d)

Diskutiere die Rolle von Kalman-Filtern in der GPS-Positionsbestimmung. Erkläre, wie ein Kalman-Filter funktioniert und wie er hilft, die Genauigkeit der Positionsbestimmung zu verbessern. Formuliere die mathematischen Gleichungen, die mit dem Kalman-Filter verbunden sind, und erkläre deren Bedeutung. Nutze dabei folgendes Szenario: Ein GPS-Empfänger erhält eine Reihe von gestörten Messungen seiner Position.

Lösung:

Die Rolle von Kalman-Filtern in der GPS-Positionsbestimmung

• Ein Kalman-Filter ist ein rekursiver Algorithmus, der in der GPS-Positionsbestimmung bedeutend zur Verbesserung der Genauigkeit beiträgt. Er filtert Rauschen und Unsicherheiten aus den empfangenen GPS-Messungen und optimiert die Schätzung der aktuellen Position eines GPS-Empfängers.

Funktionsweise eines Kalman-Filters

• Ein Kalman-Filter verwendet ein Zustandsmodell, das die Bewegung und Dynamik des Systems beschreibt. Dieses Modell beinhaltet Vorhersagen der Position, Geschwindigkeit und möglicherweise der Beschleunigung des GPS-Empfängers.
• Der Kalman-Filter integriert kontinuierlich neue Messungen und aktualisiert seine Schätzungen mithilfe mathematischer Modelle und vorheriger Datenpunkte.

Mathematische Gleichungen des Kalman-Filters

• Vorhersagephase: Diese Phase nutzt die bisherigen Zustände, um den aktuellen Zustand und die Fehlerkovarianz zu schätzen.

  Zustandsvorhersage:X_{k|k-1} = F_k X_{k-1|k-1} + B_k u_kFehlerkovarianzvorhersage:P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^T + Q_k

  Hierbei sind:
  • \(X_{k|k-1}\): der vorhergesagte Zustandsvektor zum Zeitpunkt \(k\)
  • \(F_k\): die Zustandsübergangsmatrix
  • \(X_{k-1|k-1}\): der aktualisierte Zustandsvektor zum Zeitpunkt \(k-1\)
  • \(B_k\): die Steuerungsmatrix (optional, wenn eine Kontrollvariable \(u_k\) existiert)
  • \(u_k\): die Kontrollvariable
  • \(P_{k|k-1}\): die vorhergesagte Fehlerkovarianz
  • \(Q_k\): die Prozessrauschkovarianz
• Aktualisierungsphase: Diese Phase nutzt die neuen Messungen zur Korrektur der vorhergesagten Zustände.

  Gewinnberechnung:K_k = P_{k|k-1} H_k^T (H_k P_{k|k-1} H_k^T + R_k)^{-1}Zustandsaktualisierung:X_{k|k} = X_{k|k-1} + K_k (z_k - H_k X_{k|k-1})Fehlerkovarianzaktualisierung:P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}

  Hierbei handelt es sich um:
  • \(K_k\): den Kalman-Gewinn oder Korrekturgewinn
  • \(H_k\): die Beobachtungsmatrix
  • \(z_k\): die neue Messung
  • \(R_k\): die Messrauschkovarianz
  • \(I\): die Einheitsmatrix
  • \(P_{k|k}\): die aktualisierte Fehlerkovarianz
  • \(X_{k|k}\): den aktualisierten Zustandsvektor

Beispielscenario: GPS-Empfänger mit gestörten Messungen

• Angenommen, ein GPS-Empfänger erhält durch atmosphärische Störungen und andere Einflüsse gestörte Messungen seiner Position.
• In der Vorhersagephase des Kalman-Filters wird die Position des Empfängers basierend auf den vorherigen Zuständen und Modellen geschätzt.
• In der Aktualisierungsphase werden dann die neuen, gestörten Messungen genutzt, um die vorhergesagte Position zu korrigieren. Der Kalman-Gewinn gewichtet dabei die Unsicherheiten in den Vorhersagen und Messungen, sodass eine optimierte Positionsschätzung erzielt wird.

Durch kontinuierliche Ausführung dieser Vorhersage- und Aktualisierungszyklen hilft der Kalman-Filter dabei, die Auswirkungen von Rauschen und Störungen in GPS-Signalen zu minimieren. Dies führt zu präziseren und zuverlässigeren Positionsbestimmungen.