Schaltungstechnik - Exam

Aufgabe 1)

• Widerstände (R): Begrenzen den Stromfluss und setzen Spannung in Wärme um. Ohmsches Gesetz: \[ U = R \times I \]
• Kondensatoren (C): Speichern elektrische Energie in einem elektrischen Feld. Kapazität in Farad (F): \[ Q = C \times U \]
• Induktivitäten (L): Speichern Energie in einem magnetischen Feld. Induktivität in Henry (H): \[ V = L \times \frac{dI}{dt} \]

a)

Teilaufgabe 1: Berechne die Spannung über einen Widerstand von 10 Ohm, wenn ein Strom von 2 A fließt.

Lösung:

Um die Spannung über einen Widerstand zu berechnen, wenn ein bestimmter Strom fließt, verwenden wir das Ohmsche Gesetz:

• Ohmsches Gesetz:

   U = R \times I 

Wir haben folgende gegebene Werte:

• Widerstand (R): 10 Ohm
• Strom (I): 2 A

Indem wir die Werte in die Formel einsetzen, erhalten wir:

 U = 10 \times 2 

Dies ergibt:

 U = 20 V 

Die Spannung über den 10-Ohm-Widerstand beträgt also 20 Volt.

Aufgabe 2)

In einer einfachen elektrischen Schaltung sind drei Widerstände R1, R2 und R3 in Reihe geschaltet. Eine Spannungsquelle liefert eine Spannung von U = 12V. Die Widerstandsgrößen sind wie folgt gegeben: R1 = 2Ω, R2 = 3Ω, und R3 = 5Ω. Verwende das Ohmsche Gesetz sowie die Kirchhoffsche Maschenregel (KVL), um die folgenden Aufgaben zu lösen.

a)

Berechne den Gesamtwiderstand R_gesamt der Schaltung.

Lösung:

Um den Gesamtwiderstand einer Reihenschaltung zu berechnen, müssen wir die einzelnen Widerstände addieren. Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass bei einer Reihenschaltung der Gesamtwiderstand die Summe der einzelnen Widerstände ist.

Hier sind die Schritte zur Berechnung des Gesamtwiderstands:

• Gegeben:R1 = 2ΩR2 = 3ΩR3 = 5Ω
• Reihenschaltung:In einer Reihenschaltung addieren sich die Widerstände:

  R_gesamt = R1 + R2 + R3

• Berechnung:
• Setze die gegebenen Werte ein:

  R_gesamt = 2Ω + 3Ω + 5Ω

• Führe die Addition durch:

  R_gesamt = 10Ω

Daher beträgt der Gesamtwiderstand R_gesamt der Schaltung 10Ω.

c)

Berechne die Spannungsabfälle an jedem der Widerstände (U1, U2 und U3). Überprüfe, ob die Summe der Spannungsabfälle der Summe der angelegten Spannung entspricht.

Lösung:

Um die Spannungsabfälle an jedem der Widerstände zu berechnen, verwenden wir das Ohmsche Gesetz (\(U = R \times I\)). Da die Widerstände in Reihe geschaltet sind, fließt durch jeden Widerstand derselbe Strom. Der Gesamtstrom (\(I\)) wurde bereits zuvor berechnet und beträgt 1.2A.

Nun berechnen wir die Spannungsabfälle an jedem Widerstand:

• Spannungsabfall über R1 (\(U1\)):\(U1 = R1 \times I\)Setze die Werte ein:\(U1 = 2Ω \times 1.2A\)Berechne:\(U1 = 2.4V\)
• Spannungsabfall über R2 (\(U2\)):\(U2 = R2 \times I\)Setze die Werte ein:\(U2 = 3Ω \times 1.2A\)Berechne:\(U2 = 3.6V\)
• Spannungsabfall über R3 (\(U3\)):\(U3 = R3 \times I\)Setze die Werte ein:\(U3 = 5Ω \times 1.2A\)Berechne:\(U3 = 6V\)

Um zu überprüfen, ob die Summe der Spannungsabfälle der Gesamtspannung entspricht, addieren wir die Spannungsabfälle:

• \(U_{ges} = U1 + U2 + U3\)Setze die Werte ein:\(U_{ges} = 2.4V + 3.6V + 6V\)Berechne die Summe:\(U_{ges} = 12V\)

Die Summe der Spannungsabfälle beträgt 12V, was der angelegten Spannung entspricht. Dies bestätigt, dass die Berechnung korrekt ist.

Aufgabe 3)

Analyse eines komplexen elektrischen Netzwerks: Gegeben ist ein Netzwerk aus Widerständen, Kondensatoren und Induktivitäten, das an eine Spannungsquelle angeschlossen ist. Das Netzwerk besteht aus den folgenden Komponenten und deren Verbindungen:

• Ein Widerstand von 10 Ohm in Serie mit einem Kondensator von 10 µF.
• Parallel zu diesem Zweig liegt eine Induktivität von 100 mH in Serie mit einem Widerstand von 20 Ohm.
• Eine Spannungsquelle von 10 V (effektiv) mit einer Frequenz von 50 Hz speist das Netzwerk.

a)

1. Berechne die komplexe Impedanz des gesamten Netzwerks für die gegebene Frequenz. Nutze hierbei die folgenden Beziehungen:

• Impedanz eines Widerstands: \(Z_R = R\)
• Impedanz eines Kondensators: \(Z_C = \frac{1}{j\omega C}\)
• Impedanz einer Induktivität: \(Z_L = j\omega L\)

Bei der Frequenz \( \omega = 2 \pi f \).

Lösung:

Analyse eines komplexen elektrischen Netzwerks

Gegeben:

• Ein Widerstand von 10 Ohm (R1) in Serie mit einem Kondensator von 10 µF (C1).
• Parallel zu diesem Zweig liegt eine Induktivität von 100 mH (L1) in Serie mit einem Widerstand von 20 Ohm (R2).
• Eine Spannungsquelle von 10 V (effektiv) mit einer Frequenz von 50 Hz speist das Netzwerk.

Berechnung der komplexen Impedanz des gesamten Netzwerks

1. Berechnung der Kreisfrequenz:Die Frequenz beträgt 50 Hz, somit ist die Kreisfrequenz offensichtlich gegeben durch:\[\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 = 100\pi \ \text{rad/s}\]2. Impedanz der einzelnen Komponenten:

• Widerstand R1
\[Z_{R1} = R1 = 10 \Omega\]
• Kondensator C1
\[Z_{C1} = \frac{1}{j\omega C1} = \frac{1}{j \cdot 100\pi \cdot 10 \times 10^{-6}} = \frac{1}{j \cdot 100\pi \cdot 10^{-5}} = \frac{1}{j \cdot 0.001\pi} = \frac{10^3}{j\pi} \approx -318.31j \ \text{Ohm}\]
• Induktivität L1
\[Z_{L1} = j \omega L1 = j \cdot 100\pi \cdot 100 \times 10^{-3} = j \cdot 100\pi \cdot 0.1 = j \cdot 10\pi \approx 31.83j \ \text{Ohm}\]
• Widerstand R2
\[Z_{R2} = R2 = 20 \Omega\]

3. Impedanz der Serienschaltungen:

• Impedanz des ersten Zweigs (R1 und C1 in Serie):
\[Z_{R1C1}= Z_{R1} + Z_{C1}= 10 - 318.31j \Omega\]
• Impedanz des zweiten Zweigs (R2 und L1 in Serie):
\[Z_{R2L1} = Z_{R2} + Z_{L1} = 20 + 31.83j \Omega\]

4. Gesamtimpedanz des Netzwerks:Da die beiden Zweige parallel geschaltet sind, ergibt sich die Gesamtimpedanz über den Kehrwert der Summe der Kehrwerte:\[\frac{1}{Z_{ges}} = \frac{1}{Z_{R1C1}} + \frac{1}{Z_{R2L1}}\]Rechnen wir es aus:\[Z_{R1C1} = 10 - 318.31j\]\[Z_{R2L1} = 20 + 31.83j\]\[\frac{1}{Z_{R1C1}} = \frac{1}{10 - 318.31j} = \frac{10 + 318.31j}{(10)^2 + (-318.31)^2} = \frac{10 + 318.31j}{10^2 + 318.31^2} = \frac{10 + 318.31j}{10 + 101239.56} \approx \frac{10 + 318.31j}{101249.56} \approx 9.87 \cdot 10^{-5} + 3.14 \cdot 10^{-3}j \ \text{Ohm}^{-1}\]\[\frac{1}{Z_{R2L1}} = \frac{1}{20 + 31.83j} = \frac{20 - 31.83j}{(20)^2 + (31.83)^2} = \frac{20 - 31.83j}{20^2 + 31.83^2} = \frac{20 - 31.83j}{400 + 1013.63} \approx \frac{20 - 31.83j}{1413.63} \approx 1.41 \cdot 10^{-2} - 2.25 \cdot 10^{-2}j \ \text{Ohm}^{-1}\]Nun summieren wir die Kehrwerte:\[\frac{1}{Z_{ges}} = 9.87 \cdot 10^{-5}+ 3.14 \cdot 10^{-3}j + 1.41 \cdot 10^{-2} - 2.25 \cdot 10^{-2}j \approx 0.014 \cdot (1 - j) \text{Ohm}^{-1}\]Der Kehrwert dieser Summe ergibt dann die Gesamtimpedanz:\[Z_{ges} \approx \frac{1}{0.014 \cdot (1 - j)} \approx 71.4 + 71.4j \Omega\]Dies ist die komplexe Impedanz des gesamten Netzwerks bei der gegebenen Frequenz von 50 Hz.

b)

2. Berechne den Gesamtstrom, der durch das Netzwerk fließt. Verwende Ohmsches Gesetz für die Berechnung: \(I = \frac{U}{Z_{ges}}\). Berücksichtige die zuvor bestimmte Gesamtimpedanz.

Lösung:

Analyse eines komplexen elektrischen Netzwerks

Gegeben:

• Ein Widerstand von 10 Ohm (R1) in Serie mit einem Kondensator von 10 µF (C1).
• Parallel zu diesem Zweig liegt eine Induktivität von 100 mH (L1) in Serie mit einem Widerstand von 20 Ohm (R2).
• Eine Spannungsquelle von 10 V (effektiv) mit einer Frequenz von 50 Hz speist das Netzwerk.

Berechnung des Gesamtstroms I

1. Vorher bestimmte Gesamtimpedanz:

• In der vorherigen Aufgabe haben wir die komplexe Gesamtimpedanz bestimmt:
\[Z_{ges} \approx 71.4 + 71.4j \, \Omega\]

2. Anlegen der Spannung:

• Die Spannung beträgt 10 V (effektiv).

3. Berechnung des Gesamtstroms mit dem Ohmschen Gesetz:

• Anwendung von Ohms Gesetz: \(I = \frac{U}{Z_{ges}}\)
\[I = \frac{10 \, V}{71.4 + 71.4j \, \Omega} \]\[I = \frac{10}{71.4 + 71.4j} \, A\]
• Zur Berechnung des Stroms verwenden wir die komplexe Konjugation:
\[I = \frac{10}{71.4 + 71.4j} = \frac{10}{71.4(1+j)} \approx \frac{10}{71.4} \cdot \frac{1-j}{2} \cdot \frac{1}{1+j}\approx \frac{10}{71.4 \cdot 2} \cdot (1-j) \approx \frac{10}{142.8} \cdot (1-j) \approx 0.07(1-j) \, A\]

4. Vereinfachung:

• Schlussendlicher Gesamtstrom durch das Netzwerk:
\[I \approx 0.07 - 0.07 j \, A\]Der Gesamtstrom durch das Netzwerk beträgt somit:\(I \approx 0.07 - 0.07 j \, A\)

c)

3. Bestimme die Spannungen an jedem der Parallelzweige des Netzwerks. Nutze dafür den Gesamtstrom und die einzelnen Impedanzen der Zweige.

Lösung:

Analyse eines komplexen elektrischen Netzwerks

Gegeben:
• Ein Widerstand von 10 Ohm (R1) in Serie mit einem Kondensator von 10 µF (C1).
• Parallel zu diesem Zweig liegt eine Induktivität von 100 mH (L1) in Serie mit einem Widerstand von 20 Ohm (R2).
• Eine Spannungsquelle von 10 V (effektiv) mit einer Frequenz von 50 Hz speist das Netzwerk.

Berechnung der Spannungen an den einzelnen Parallelzweigen

1. Bisherige Ergebnisse:
• Gesamtstrom: \(I_{ges} \approx 0.07 - 0.07j \, A\)
• Gesamtimpedanz: \(Z_{ges} \approx 71.4 + 71.4j \, \Omega\)
• Impedanz des ersten Zweigs (R1 und C1 in Serie): \(Z_{R1C1} = 10 - 318.31j \, \Omega\)
• Impedanz des zweiten Zweigs (R2 und L1 in Serie): \(Z_{R2L1} = 20 + 31.83j \, \Omega\)
2. Berechnung der Ströme in den einzelnen Zweigen:
• Strom durch den ersten Zweig:
\[I_{R1C1} = \frac{V}{Z_{R1C1}} = \frac{10}{10 - 318.31j} = 10 \cdot \frac{10 + 318.31j}{(10)^2 + (-318.31)^2} \approx 0.000956 + 0.03139j \, A\]
• Strom durch den zweiten Zweig:
\[I_{R2L1} = \frac{V}{Z_{R2L1}} = \frac{10}{20 + 31.83j} = 10 \cdot \frac{20 - 31.83j}{(20)^2 + (31.83)^2} \approx 0.141 - 0.225j \, A\]
3. Berechnung der Spannungen an den einzelnen Zweigen:
• Spannung über den ersten Zweig:
\[V_{R1C1} = I_{R1C1} \cdot Z_{R1C1} = (0.000956 + 0.03139j) \cdot (10 - 318.31j) \approx 10V\](was bereits aus der allgemeinen Berechnung folgt)\[\]
• Spannung über den zweiten Zweig:
\[V_{R2L1} = I_{R2L1} \cdot Z_{R2L1} = (0.141 - 0.225j) \cdot (20 + 31.83j) \approx 9.91V\](was ebenfalls aus der allgemeinen Berechnung folgt)

Ergebnisse:

• Spannung über den ersten Zweig (R1 und C1): \(V_{R1C1} \approx 10 \, V\)
• Spannung über den zweiten Zweig (R2 und L1): \(V_{R2L1} \approx 9.91 \, V\)

Aufgabe 4)

In Deinem Informatikstudium an der Universität Erlangen-Nürnberg hast Du die Grundlagen der analogen und digitalen Signalverarbeitung kennengelernt. Dazu zählt das Verständnis für kontinuierliche (analoge) und diskrete (digitale) Signale, die Methoden zur Umwandlung von analog in digital, sowie die Aspekte von Rauschen und Signalgüte. Bearbeite die folgenden Aufgaben, um Dein Wissen zu diesen Themen zu testen.

a)

Erkläre anhand des Abtasttheorems in Deinen eigenen Worten, warum die Abtastfrequenz \( f_s \) mehr als das Doppelte der höchsten Frequenz \( f_{max} \) des analogen Signals sein muss. Verdeutliche Deine Erklärung mit einer beispielhaften Berechnung für ein analoges Signal mit einer maximalen Frequenz von 10 kHz.

Lösung:

Erklärung des Abtasttheorems

Das Abtasttheorem, auch Nyquist-Shannon-Abtasttheorem genannt, besagt, dass ein kontinuierliches (analoges) Signal vollständig rekonstruiert werden kann, wenn es mit einer Abtastfrequenz \(\f_s\) abgetastet wird, die mehr als das Doppelte der höchsten Frequenz \(\f_{max}\) des analogen Signals beträgt. Mathematisch ausgedrückt:

• \(f_s > 2 \times f_{max}\)

Wenn diese Bedingung erfüllt ist, können sowohl die Amplitude als auch die Phase des analogen Signals korrekt erfasst und rekonstruiert werden. Andernfalls treten Aliasing-Effekte auf, bei denen verschiedene Frequenzanteile im digitalisierten Signal untrennbar vermischt werden, was zu Informationsverlust und Verfälschungen führt.

Beispielhafte Berechnung

Angenommen, wir haben ein analoges Signal mit einer maximalen Frequenz \(\f_{max}\) von 10 kHz. Um dieses Signal ordnungsgemäß abzutasten, berechnen wir die notwendige Abtastfrequenz \(\f_s\) wie folgt:

• \(f_{max} = 10 \text{kHz}\)
• \(f_s > 2 \times 10 \text{kHz}\)
• \(f_s > 20 \text{kHz}\)

In diesem Beispiel bedeutet dies, dass die Abtastfrequenz mindestens 20 kHz betragen muss, um das analoge Signal korrekt digitalisieren zu können.

Zusammenfassend sorgt die Bedingung \(f_s > 2 \times f_{max}\) dafür, dass alle Frequenzkomponenten des analogen Signals erfasst und ohne Informationsverlust in ein digitales Signal umgewandelt werden können.

b)

Du hast ein analoges Audiosignal, das Rauschen und Verzerrungen unterliegt. Diskutiere, warum und wie die digitale Signalverarbeitung geeigneter sein kann, um die Qualität dieses Signals zu verbessern. Gehen in Deiner Antwort darauf ein, wie Quantisierung und Diskretisierung zur Rauschunterdrückung beitragen können. Optional: Zeige durch eine mathematische Gleichung, wie Quantisiertes Rauschen bei digitalisierten Signalen reduziert sein könnte.

Lösung:

Warum und wie digitale Signalverarbeitung die Qualität eines analogen Audiosignals verbessern kann

Die digitale Signalverarbeitung (DSP) bietet erhebliche Vorteile zur Verbesserung der Qualität analoger Audiosignale, die Rauschen und Verzerrungen unterliegen. Hier sind mehrere Gründe und Methoden, wie DSP dies erreichen kann:

• Präzise Filterung: Digitale Filter sind genauer und flexibler als ihre analogen Gegenstücke. Sie können speziell darauf abgestimmt werden, bestimmte Rauschen oder Verzerrungen zu eliminieren, ohne das nützliche Signal zu beeinträchtigen.

Quantisierung und Diskretisierung

Wenn ein analoges Signal in ein digitales Signal umgewandelt wird, sind zwei wesentliche Schritte beteiligt: Diskretisierung und Quantisierung.

• Diskretisierung: Der Prozess der Umwandlung eines kontinuierlichen analogen Signals in ein diskretes Signal durch Abtastung. Dies ist notwendig, um das Signal in digitaler Form bearbeiten zu können.
• Quantisierung: Die Werte der diskreten Abtastpunkte werden in eine endliche Anzahl von Werten konvertiert. Dieser Prozess kann zu Quantisierungsrauschen führen, aber durch geeignete Techniken kann das Rauschen minimiert werden.

Bei der Rauschunterdrückung helfen

Quantisierungsrauschen entsteht, wenn das analoge Signal in diskrete Werte umgewandelt wird. Allerdings können verschiedene Techniken verwendet werden, um Quantisierungsrauschen zu minimieren:

• Dithering: Durch die Zugabe von geringfügigem, zufälligem Rauschen vor der Quantisierung kann das resultierende Quantisierungsrauschen randomisiert und weniger hörbar gemacht werden.
• Oversampling: Durch die Anwendung einer höheren Abtastrate als nötig kann das Hochfrequenzrauschen nach der A/D-Umwandlung weggefiltet werden.

Mathematische Betrachtung der Quantisierung

Angenommen, das analoge Signal wird durch die Gleichung \(x(t)\) repräsentiert, und nach der Quantisierung ergibt sich ein digitales Signal \(x_q[n]\). Das Quantisierungsrauschen \(e_q[n]\) kann als Differenz zwischen dem ursprünglichen analogen Signal und dem quantisierten Signal dargestellt werden:

• \(e_q[n] = x(nT) - x_q[n]\)

Hierbei ist \(T\) der Abtastintervall. Wenn geeignete Techniken wie Dithering angewendet werden, kann \(e_q[n]\) minimiert und gleichmäßiger verteilt werden, wodurch das Rauschen im endgültigen Audiosignal reduziert wird.

Zusammenfassend ermöglicht die digitale Signalverarbeitung mittels präziser Filter und Techniken wie Dithering und Oversampling, die Qualität eines analogen Audiosignals durch effektive Rauschunterdrückung und Minimierung von Verzerrungen zu verbessern.