Signale und Systeme I - Cheatsheet

Definition und Klassifikation von Signalen und Systemen

Definition:

Definition und Einteilung von Signalen und Systemen in verschiedene Kategorien zur Analyse und Verarbeitung.

Details:

• Signale: Funktionen, die Informationsgehalt über Zeit oder Raum veranschaulichen.
• Systeme: Einheiten, die Signale aufnehmen, verändern und ausgeben.
• Deterministisch vs. Stochastisch: Bestimmt(Bekannt) vs. Zufallssignal.
• Kontinuierlich vs. Diskret: Zeitdomäne (kontinuierlich) vs. Zeitfolgen (diskret).
• Linear vs. Nichtlinear: Superpositionsprinzip gültig vs. nicht gültig.
• Zeitinvariant vs. Zeitvariant: Zeitlich unabhängig vs. zeitlich abhängig.
• Kausal vs. Nichtkausal: Ausgang nur von gegenwärtigen und vergangenen Eingangswerten abhängig vs. auch zukünftigen.
• Stabil vs. Instabil: Begrenzter Eingang führt zu begrenztem Ausgang vs. unbegrenztem.

LTI-Systeme und ihre Eigenschaften

Definition:

Linear Time-Invariant (LTI) Systeme sind Systeme, deren Verhalten durch Linearität und Zeitinvarianz charakterisiert ist.

Details:

• Linearität: Ein System ist linear, wenn es das Superpositionsprinzip erfüllt. Mathematisch: Wenn das System auf Eingangssignale x1(t) und x2(t) mit Ausgangssignalen y1(t) und y2(t) reagiert, dann gilt für beliebige Skalare a und b: \( a \cdot x1(t) + b \cdot x2(t) \rightarrow a \cdot y1(t) + b \cdot y2(t) \)
• Zeitinvarianz: Ein System ist zeitinvariant, wenn eine Verschiebung des Eingangssignals zu einer gleichermaßen verschobenen Ausgabe führt. Mathematisch: Wenn das System auf Eingang x(t) mit y(t) reagiert, dann gilt: \( x(t - \tau) \rightarrow y(t - \tau) \)
• Eigenschaften von LTI-Systemen:
• Faltung (Convolution): Das Ausgangssignal y(t) eines LTI-Systems ist die Faltung des Eingangssignals x(t) mit der Impulsantwort h(t): \[ y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau \]
• Übertragungsfunktion: Im Frequenzbereich wird das Verhalten eines LTI-Systems durch die Übertragungsfunktion H(f) beschrieben. \[ H(f) = \mathcal{F}\{h(t)\} \]

Impulsantwort und Faltung

Definition:

Impulsantwort beschreibt Reaktion eines Systems auf einen Dirac-Impuls. Faltung verknüpft Eingangs- und Ausgangssignal über die Impulsantwort.

Details:

• Impulsantwort: Antwort des Systems auf Dirac-Impuls
• Faltung: Integral der Multiplikation von Impulsantwort und Eingangssignal
• Faltung im kontinuierlichen System: \[ y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) \, d\tau \] - Faltung im diskreten System: \[ y[n] = (x * h)[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x[k] h[n - k] \]

Fourier-Transformation für nicht-periodische Signale

Definition:

Fourier-Transformation (FT) für nicht-periodische Signale: Transformation eines zeitlich kontinuierlichen, unendlichen Signals in den Frequenzbereich.

Details:

• Analytische Darstellung: \[ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} \, dt \]
• Umgekehrte Fourier-Transformation: \[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j2\pi ft} \, df \]
• Erlaubt die Analyse von Frequenzkomponenten in nicht-periodischen Signalen
• Alle notwendigen Frequenzinformationen sind im resultierenden Spektrum enthalten

Regionen der Konvergenz bei der Laplace-Transformation

Definition:

Regionen der Konvergenz (ROC) bei der Laplace-Transformation bestimmen, wo die Laplace-Transformierte existiert.

Details:

• ROC: Bereich in der komplexen Ebene (s-Ebene), in dem die Laplace-Transformierte konvergiert.
• Rational-förmige Funktion: \[ X(s) = \frac{N(s)}{D(s)} \]
• Falls alle Pole links der ROC-Grenze: stabil.
• Falls ROC rechtsseitig: kausales System.
• Falls ROC linksseitig: antikausales System.
• Pol-Nullstellen-Diagramm zur Bestimmung der ROC verwenden.

Bode-Diagramme und Nyquist-Diagramme

Definition:

Bode-Diagramme und Nyquist-Diagramme zur grafischen Analyse von Frequenzantworten linearer, zeitinvarianter Systeme. Hilft Stabilität und Verhalten im Frequenzbereich zu verstehen.

Details:

• Bode-Diagramme: getrennte Darstellung von Amplitude und Phase in Abhängigkeit von Logarithmus der Frequenz.
• Amplitudengang: \(20 \log_{10} |H(j\omega)|\)
• Phasengang: \(\text{arg}(H(j\omega))\)
• Frequent: \(\text{Dezibel (dB)}\)
• Nyquist-Diagramme: Darstellung des Frequenzgangs in der komplexen Ebene.
• Zeigt Stabilität nach der Nyquist-Kriterium: Anzahl der Umrundungen des kritischen Punktes (-1).
• Umwandlung zwischen Frequenzgangdarstellungen oft erforderlich.

Digitale Signalverarbeitung: Abtastung und Quantisierung

Definition:

Abtastung wandelt kontinuierliche Signale in zeitdiskrete Signale um; Quantisierung wandelt amplitudenkontinuierliche in amplitudendiskrete Signale um

Details:

• Abtasttheorem: Zur Vermeidung von Alias-Effekten muss die Abtastrate mindestens doppelt so hoch sein wie die höchste Frequenz im Signal ( \(f_s \geq 2f_{max}\) ).
• Quantisierung: Teilung des Amplitudenbereichs in diskrete Stufen, wodurch Rundungsfehler entstehen.
• Abtastung: \[ x_d(nT) = x(n) \] mit Abtastrate \(T\).
• Quantisierungsfehler: \[ e_q(t) = x_q(t) - x(t) \] wobei \( x_q(t) \) das quantisierte Signal ist.

Diskrete Fourier-Transformation (DFT) und schnelle Fourier-Transformation (FFT)

Definition:

Diskrete Fourier-Transformation (DFT) wandelt eine endliche, diskrete Folge von Zeitpunkten in eine diskrete Frequenzdarstellung um. Schnellere Fourier-Transformation (FFT) ist ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der DFT.

Details:

• DFT: Transformation einer zeitdiskreten Folge \(x[n]\) in Frequenzspektrum \(X[k]\).
• Formel: \[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-i2\pi kn/N}\]
• Invers: \[x[n] = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{i2\pi kn/N}\]
• FFT: Effiziente Berechnung der DFT in \(O(N \log N)\) statt \(O(N^2)\).
• Verwendung: Signalverarbeitung, Bildverarbeitung, Datenkompression.