Signale und Systeme I - Exam

Aufgabe 1)

Definition und Klassifikation von Signalen und SystemenEin wichtiges Konzept in der Analyse und Verarbeitung von Signalen und Systemen ist die Einteilung dieser in verschiedene Kategorien. Dies ermöglicht eine strukturelle und methodische Herangehensweise, um diese zu analysieren und zu verstehen.

• Signale: Funktionen, die Informationsgehalt über Zeit oder Raum veranschaulichen.
• Systeme: Einheiten, die Signale aufnehmen, verändern und ausgeben.
• Deterministisch vs. Stochastisch: Bestimmt (Bekannt) vs. Zufallssignal.
• Kontinuierlich vs. Diskret: Zeitdomäne (kontinuierlich) vs. Zeitfolgen (diskret).
• Linear vs. Nichtlinear: Superpositionsprinzip gültig vs. nicht gültig.
• Zeitinvariant vs. Zeitvariant: Zeitlich unabhängig vs. zeitlich abhängig.
• Kausal vs. Nichtkausal: Ausgang nur von gegenwärtigen und vergangenen Eingangswerten abhängig vs. auch zukünftigen.
• Stabil vs. Instabil: Begrenzter Eingang führt zu begrenztem Ausgang vs. unbegrenztem.

a)

Du hast ein Signal gegeben, das durch die Funktion \(x(t) = 3e^{-2t}u(t)\) beschrieben wird, wobei \(u(t)\) die Einheitssprungfunktion ist.

• Teil A: Bestimme, ob dieses Signal kontinuierlich oder diskret ist.
• Teil B: Untersuche, ob dieses Signal deterministisch oder stochastisch ist.
• Teil C: Kategorisiere dieses Signal als kausal oder nichtkausal.

Lösung:

Definition und Klassifikation von Signalen und Systemen Ein wichtiges Konzept in der Analyse und Verarbeitung von Signalen und Systemen ist die Einteilung dieser in verschiedene Kategorien. Dies ermöglicht eine strukturelle und methodische Herangehensweise, um diese zu analysieren und zu verstehen.

• Signale: Funktionen, die Informationsgehalt über Zeit oder Raum veranschaulichen.
• Systeme: Einheiten, die Signale aufnehmen, verändern und ausgeben.
• Deterministisch vs. Stochastisch: Bestimmt (Bekannt) vs. Zufallssignal.
• Kontinuierlich vs. Diskret: Zeitdomäne (kontinuierlich) vs. Zeitfolgen (diskret).
• Linear vs. Nichtlinear: Superpositionsprinzip gültig vs. nicht gültig.
• Zeitinvariant vs. Zeitvariant: Zeitlich unabhängig vs. zeitlich abhängig.
• Kausal vs. Nichtkausal: Ausgang nur von gegenwärtigen und vergangenen Eingangswerten abhängig vs. auch zukünftigen.
• Stabil vs. Instabil: Begrenzter Eingang führt zu begrenztem Ausgang vs. unbegrenztem.

Teil A:Bestimme, ob dieses Signal kontinuierlich oder diskret ist.

• Analyse:Das gegebene Signal ist in Form einer Funktion der kontinuierlichen Variable t gegeben. Somit handelt es sich um ein kontinuierliches Signal.

Teil B:Untersuche, ob dieses Signal deterministisch oder stochastisch ist.

• Analyse:Die Funktion des Signals ist eindeutig und frei von zufälligen Komponenten definiert. Daher ist dieses Signal deterministisch.

Teil C:Kategorisiere dieses Signal als kausal oder nichtkausal.

• Analyse:Die Einheitssprungfunktion u(t) ist nur für t ≥ 0 definiert. Das Signal x(t) = 3e^{-2t}u(t) existiert also nur für t ≥ 0. Demnach hängt der Ausgang des Signals nur von aktuellen und vergangenen Werten ab, und daher ist das Signal kausal.

b)

Betrachte das System, das durch die Differentialgleichung \(\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 4\frac{dy(t)}{dt} + 4y(t) = x(t)\) beschrieben wird, wobei \(x(t)\) der Eingang und \(y(t)\) der Ausgang ist.

• Teil A: Bestimme, ob dieses System linear oder nichtlinear ist.
• Teil B: Untersuche, ob dieses System zeitinvariant oder zeitvariant ist.
• Teil C: Bewerte, ob dieses System stabil oder instabil ist. Nutze dazu die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms.

Lösung:

Definition und Klassifikation von Signalen und SystemenEin wichtiges Konzept in der Analyse und Verarbeitung von Signalen und Systemen ist die Einteilung dieser in verschiedene Kategorien. Dies ermöglicht eine strukturelle und methodische Herangehensweise, um diese zu analysieren und zu verstehen.

• Signale: Funktionen, die Informationsgehalt über Zeit oder Raum veranschaulichen.
• Systeme: Einheiten, die Signale aufnehmen, verändern und ausgeben.
• Deterministisch vs. Stochastisch: Bestimmt (Bekannt) vs. Zufallssignal.
• Kontinuierlich vs. Diskret: Zeitdomäne (kontinuierlich) vs. Zeitfolgen (diskret).
• Linear vs. Nichtlinear: Superpositionsprinzip gültig vs. nicht gültig.
• Zeitinvariant vs. Zeitvariant: Zeitlich unabhängig vs. zeitlich abhängig.
• Kausal vs. Nichtkausal: Ausgang nur von gegenwärtigen und vergangenen Eingangswerten abhängig vs. auch zukünftigen.
• Stabil vs. Instabil: Begrenzter Eingang führt zu begrenztem Ausgang vs. unbegrenztem.

Aufgabe:Betrachte das System, das durch die Differentialgleichung \(\frac{d^2y(t)}{dt^2} + 4\frac{dy(t)}{dt} + 4y(t) = x(t)\) beschrieben wird, wobei \(x(t)\) der Eingang und \(y(t)\) der Ausgang ist.

• Teil A: Bestimme, ob dieses System linear oder nichtlinear ist.
• Teil B: Untersuche, ob dieses System zeitinvariant oder zeitvariant ist.
• Teil C: Bewerte, ob dieses System stabil oder instabil ist. Nutze dazu die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms.

Teil A: Bestimme, ob dieses System linear oder nichtlinear ist.

• Analyse: Die gegebene Differentialgleichung lautet:

  \( \frac{d^2y(t)}{dt^2} + 4\frac{dy(t)}{dt} + 4y(t) = x(t) \)

  Alle Terme sind linear in Bezug auf \(y(t)\) sowie deren Ableitungen. Daher ist das System linear.

Teil B: Untersuche, ob dieses System zeitinvariant oder zeitvariant ist.

• Analyse: Ersetze \(t\) durch \(t + T\) in der Differentialgleichung:

  \( \frac{d^2y(t+T)}{dt^2} + 4\frac{dy(t+T)}{dt} + 4y(t+T) = x(t+T) \)

  Diese Antwort ist formal die gleiche wie die ursprüngliche Gleichung (abgesehen von der Zeitverschiebung). Daher ist das System zeitinvariant.

Teil C: Bewerte, ob dieses System stabil oder instabil ist. Nutze dazu die Eigenwerte des charakteristischen Polynoms.

• Analyse: Bestimme das charakteristische Polynom:Das charakteristische Polynom der homogenen Gleichung ist:

  \( \frac{d^2y(t)}{dt^2} + 4\frac{dy(t)}{dt} + 4y(t) = 0 \rightarrow s^2 + 4s + 4 = 0 \rightarrow (s+2)(s+2) = 0 \rightarrow s = -2, -2 \)

  Die Wurzeln des charakteristischen Polynoms sind \(s = -2, -2\).Da diese Wurzeln negative Realteile haben, bedeutet dies, dass das System stabil ist.

c)

Gegeben sei ein System, dessen Ausgang durch die Faltung des Eingangs mit einer Impulsantwort \(h(t)=e^{-t}u(t)\) bestimmt wird, wobei \(u(t)\) die Einheitssprungfunktion ist.

• Teil A: Bestimme die Impulsantwort dieses Systems.
• Teil B: Überprüfe, ob dieses System kausal ist.
• Teil C: Untersuche, ob dieses System stabil ist.

Lösung:

Definition und Klassifikation von Signalen und SystemenEin wichtiges Konzept in der Analyse und Verarbeitung von Signalen und Systemen ist die Einteilung dieser in verschiedene Kategorien. Dies ermöglicht eine strukturelle und methodische Herangehensweise, um diese zu analysieren und zu verstehen.

• Signale: Funktionen, die Informationsgehalt über Zeit oder Raum veranschaulichen.
• Systeme: Einheiten, die Signale aufnehmen, verändern und ausgeben.
• Deterministisch vs. Stochastisch: Bestimmt (Bekannt) vs. Zufallssignal.
• Kontinuierlich vs. Diskret: Zeitdomäne (kontinuierlich) vs. Zeitfolgen (diskret).
• Linear vs. Nichtlinear: Superpositionsprinzip gültig vs. nicht gültig.
• Zeitinvariant vs. Zeitvariant: Zeitlich unabhängig vs. zeitlich abhängig.
• Kausal vs. Nichtkausal: Ausgang nur von gegenwärtigen und vergangenen Eingangswerten abhängig vs. auch zukünftigen.
• Stabil vs. Instabil: Begrenzter Eingang führt zu begrenztem Ausgang vs. unbegrenztem.

Aufgabe:Gegeben sei ein System, dessen Ausgang durch die Faltung des Eingangs mit einer Impulsantwort \(h(t) = e^{-t}u(t)\) bestimmt wird, wobei \(u(t)\) die Einheitssprungfunktion ist.

• Teil A: Bestimme die Impulsantwort dieses Systems.
• Teil B: Überprüfe, ob dieses System kausal ist.
• Teil C: Untersuche, ob dieses System stabil ist.

Teil A: Bestimme die Impulsantwort dieses Systems.

• Analyse: Die gegebene Impulsantwort ist bereits gegeben als \(h(t) = e^{-t}u(t)\). Dies ist die Impulsantwort des Systems.

Teil B: Überprüfe, ob dieses System kausal ist.

• Analyse: Ein System ist kausal, wenn die Impulsantwort \(h(t)\) für \(t < 0\) gleich null ist. Da \(h(t) = e^{-t}u(t)\) die Einheitssprungfunktion \(u(t)\) enthält, gilt:

  \( u(t) = \begin{cases} 1, & t \geq 0 \cr 0, & t < 0 \end{cases} \)

  Daraus folgt, dass \(h(t) = 0\) für \(t < 0\). Somit ist das System kausal.

Teil C: Untersuche, ob dieses System stabil ist.

• Analyse: Ein System ist stabil, wenn die Impulsantwort \(h(t)\) absolut integrierbar ist, d.h.

  \( \int_{-\infty}^{\infty} |h(t)| dt < \infty \) 

  In diesem Fall ist die Integrationsgrenze wegen \( u(t) \) auf \(0\) bis \(\infty\) begrenzt:

  \( \int_{0}^{\infty} |e^{-t}| dt = \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt \) 

  Wir bestimmen das Integral:

  \( \int_{0}^{\infty} e^{-t} dt = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{\infty} = (0 - (-1)) = 1 \) 

  Da das Integral endlich ist, ist das System stabil.

Aufgabe 2)

LTI-Systeme und FaltungEin LTI-System hat die Impulsantwort h(t) und erhält als Eingangssignal x(t). Die Ausgabe y(t) kann durch die Faltung der Eingangssignal x(t) mit der Impulsantwort h(t) berechnet werden. Dies wird ausgedrückt durch die Gleichung:

• \[ y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau \]

a)

Gegeben seien das Eingangssignal x(t) = e^{-t} u(t) und die Impulsantwort h(t) = u(t) - u(t-1). Berechne die Ausgabe y(t) des Systems.

• Hinweis: u(t) ist die Stufenfunktion, die für t ≥ 0 den Wert 1 und für t < 0 den Wert 0 annimmt.

Lösung:

Lösung der Aufgabe:Um die Ausgabe y(t) des Systems zu berechnen, müssen wir die Faltung des Eingangssignals x(t) mit der Impulsantwort h(t) durchführen. Dies wird durch die Faltungsformel gegeben:

• \[ y(t) = x(t) * h(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) d\tau \]

Mit den gegebenen Funktionen:

• x(t) = e^{-t} u(t)
• h(t) = u(t) - u(t-1)

Ersetzen wir diese in die Faltungsgleichung:

• \[ y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\tau} u(\tau) [u(t - \tau) - u(t - 1 - \tau)] d\tau \]

Da die Stufenfunktion u(t) für \( \tau < 0 \) den Wert 0 hat, vereinfacht sich das Integral zu:

• \[ y(t) = \int_{0}^{\infty} e^{-\tau} [u(t - \tau) - u(t - 1 - \tau)] d\tau \]

Wir müssen die Integrationsgrenzen anpassen, um das Integral in Stücke zu zerlegen.Für \( t < 1 \):In diesem Fall ist \( u(t - 1 - \tau) = 0 \) für alle \( \tau \), da \( t - 1 - \tau < 0 \). Die Funktion vereinfacht sich zu:

• \[ y(t) = \int_{0}^{t} e^{-\tau} d\tau \]

Durch Integration erhalten wir:

• \[ y(t) = \left[ -e^{-\tau} \right]_{0}^{t} = 1 - e^{-t} \]

Für \( t \ge 1 \):In diesem Fall ändern sich die Integrationsgrenzen, weil \( u(t - 1 - \tau) = 1 \) für \( \tau \ge t - 1 \). Die Funktion wird:

• \[ y(t) = \int_{0}^{t} e^{-\tau} d\tau - \int_{t-1}^{t} e^{-\tau} d\tau \]

Durch Integration der beiden Teile erhalten wir:

• \[ y(t) = (1 - e^{-t}) - (e^{-(t-1)} - e^{-t}) \]
• \[ y(t) = 1 - e^{-t} - e^{-(t-1)} + e^{-t} \]
• \[ y(t) = 1 - e^{-(t-1)} \]

Zusammengefasst ergibt sich die Ausgabe y(t) des Systems:

• \[ y(t) = \begin{cases} 1 - e^{-t}, & 0 \le t < 1 \ 1 - e^{-(t-1)}, & t \ge 1 \end{cases} \]

Somit haben wir die Ausgabe des Systems y(t) in den verschiedenen Bereichen bestimmt.

b)

Berechne die Übertragungsfunktion H(f) des gegebenen LTI-Systems mit der Impulsantwort h(t) = u(t) - u(t-1).

• Hinweis: Die Fourier-Transformierte der Stufenfunktion u(t) ist gegeben durch: \[ U(f) = \frac{1}{j2\pi f} + \pi \delta(f) \]

Lösung:

Lösung der Aufgabe:Um die Übertragungsfunktion H(f) des gegebenen LTI-Systems mit der Impulsantwort h(t) = u(t) - u(t-1) zu berechnen, verwenden wir die Fourier-Transformation.Die Fourier-Transformierte der Stufenfunktion u(t) ist gegeben durch:

• \[ U(f) = \frac{1}{j 2\pi f} + \pi \delta(f) \]

Da die Impulsantwort h(t) als Differenz von zwei Stufenfunktionen dargestellt wird, benötigen wir auch die Fourier-Transformierte von u(t-1).Die Fourier-Transformierte einer verschobenen Stufenfunktion u(t-a) kann durch Multiplizieren mit einem komplexen Exponentialterm berechnet werden:

• \[ U_{u(t-a)}(f) = U(f) e^{-j 2\pi f a} \]

Für u(t-1) (\textit{a = 1}):

• \[ U_{u(t-1)}(f) = U(f) e^{-j 2\pi f} = \left( \frac{1}{j 2\pi f} + \pi \delta(f) \right) e^{-j 2\pi f} \]

Da die Funktion \( \pi \delta(f) \) nur bei \( f = 0 \) definiert ist und \( e^{-j 2\pi f} \) bei \( f = 0 \) gleich 1 ist, haben wir:

• \[ U_{u(t-1)}(f) = \frac{e^{-j 2\pi f}}{j 2\pi f} + \pi \delta(f) \]

Nun können wir die Übertragungsfunktion H(f) als Differenz der beiden Fourier-Transformierten bestimmen:

• \[ H(f) = U(f) - U_{u(t-1)}(f) \]

Setzen wir die Ausdrücke ein:

• \[ H(f) = \left( \frac{1}{j 2\pi f} + \pi \delta(f) \right) - \left( \frac{e^{-j 2\pi f}}{j 2\pi f} + \pi \delta(f) \right) \]

Nach Vereinfachung ergibt sich:

• \[ H(f) = \frac{1}{j 2\pi f} - \frac{e^{-j 2\pi f}}{j 2\pi f} \]

Faktorisieren ergibt:

• \[ H(f) = \frac{1 - e^{-j 2\pi f}}{j 2\pi f} \]

Dies ist die Übertragungsfunktion H(f) des gegebenen LTI-Systems.

Aufgabe 3)

Betrachte ein LTI-System (Linear Time-Invariant System) mit der Impulsantwort h(t). Ein gegebenes Eingangssignal x(t) interagiert mit dem System und erzeugt ein Ausgangssignal y(t) durch Faltung. Die Impulsantwort und Eingangssignale sind wie folgt definiert:

• Impulsantwort: h(t) = e^{-t} u(t)
• Eingangssignal: x(t) = u(t) - u(t-2)

Hierbei ist u(t) die Heaviside-Stufenfunktion, definiert als:

• u(t) = 1 für t ≥ 0
• u(t) = 0 für t < 0

a)

Bestimme die analytische Darstellung des Ausgangssignals y(t) durch Faltung von x(t) und h(t). Berechne hierzu das Integral der Faltung für kontinuierliche Systeme: \[ y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) \, d\tau \].

Lösung:

Um die analytische Darstellung des Ausgangssignals y(t) durch Faltung von x(t) und h(t) zu bestimmen, verwenden wir die Faltungsintegralformel:

• \( y(t) = (x * h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) h(t - \tau) \, d\tau \)

Gegeben:

• Impulsantwort: \( h(t) = e^{-t} u(t) \)
• Eingangssignal: \( x(t) = u(t) - u(t-2) \)

Wir müssen \( x(\tau) \) und \( h(t - \tau) \) einsetzen und dann das Integral berechnen. Betrachten wir die beiden Funktionen:

• \( x(\tau) = u(\tau) - u(\tau-2) \)
• \( h(t - \tau) = e^{-(t-\tau)} u(t - \tau) \)

Nun setzen wir diese in das Faltungsintegral ein:

• \( y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} (u(\tau) - u(\tau-2)) e^{-(t - \tau)} u(t - \tau) \ d\tau \)

Sowohl \( u(\tau) - u(\tau-2) \) als auch \( u(t - \tau) \) beschränken die Integrationsgrenzen auf \( 0 \leq \tau \leq \min(t, 2)\), da \( u(\tau) - u(\tau-2) \) nur für \( 0 \leq \tau \leq 2 \) und \( u(t - \tau) \) nur für \( 0 \le t - \tau \) definiert sind.

Das gibt uns:

• \( y(t) = \int_{0}^{\min(t,2)} e^{-(t - \tau)} d\tau \)

Nun berechnen wir das Integral:

• \( y(t) = e^{-t} \int_{0}^{\min(t,2)} e^{\tau} d\tau \)
• Das Integral von \( e^{\tau} \) ist \( e^{\tau} \), daher: \( e^{-t} [e^{\tau}]_{0}^{\min(t,2)} \)
• Das ergibt: \( y(t) = e^{-t} (e^{\min(t,2)} - e^0) \)
• Da \( e^0 = 1 \, erhalten wir: \( y(t) = e^{-t} (e^{\min(t,2)} - 1) \)

Abschließend haben wir:

• - Falls \( t < 2 \, dann: \( y(t) = e^{-t} (e^{t} - 1) = 1 - e^{-t} \)
• - Falls \( t \ge 2 \, dann: \( y(t) = e^{-t} (e^{2} - 1) = (e^{2} - 1) e^{-t} \)

Zusammengefasst:

• \( y(t) = \begin{cases} 1 - e^{-t} & , \quad 0 \le t < 2 \ \ e^{-t} (e^{2} - 1) & , \quad t \ge 2 \ \end{cases} \)

b)

Bestimme die Werte von\[ y(t) \]für t = 0, 1, 2, 3. Nutze deine Lösung in der ersten Teilaufgabe.

Lösung:

Um die Werte von y(t) für t = 0, 1, 2, 3 zu bestimmen, verwenden wir die analytische Darstellung der Funktion y(t), die wir zuvor berechnet haben:

• Für 0 ≤ t < 2: \( y(t) = 1 - e^{-t} \)
• Für t ≥ 2: \( y(t) = (e^2 - 1) e^{-t} \)

Berechnen wir die Werte Schritt für Schritt:

• Für t = 0:Da 0 ≤ t < 2, verwenden wir \( y(t) = 1 - e^{-t} \): \( y(0) = 1 - e^{0} = 1 - 1 = 0 \)
• Für t = 1:Da 0 ≤ t < 2, verwenden wir \( y(t) = 1 - e^{-t} \): \( y(1) = 1 - e^{-1} = 1 - \frac{1}{e} \approx 1 - 0.3679 = 0.6321 \)
• Für t = 2:Da t ≥ 2, verwenden wir \( y(t) = (e^2 - 1) e^{-t} \): \( y(2) = (e^2 - 1) e^{-2} = e^0 - e^{-2} = 1 - \frac{1}{e^2} = 1 - \frac{1}{7.3891} \approx 1 - 0.1353 = 0.8647 \)
• Für t = 3:Da t ≥ 2, verwenden wir \( y(t) = (e^2 - 1) e^{-t} \): \( y(3) = (e^2 - 1) e^{-3} = e^{-1} - e^{-3} = \frac{1}{e} - \frac{1}{e^3} = 0.3679 - 0.0498 = 0.3181 \)

Zusammengefasst sind die Werte von y(t) für t = 0, 1, 2, 3:

• y(0) = 0
• y(1) ≈ 0.6321
• y(2) ≈ 0.8647
• y(3) ≈ 0.3181

c)

Zeichne die Graphen der Funktion x(t), h(t) und y(t) für den Wertebereich t = -1 bis t = 5. Beschrifte deutlich die Achsen und relevante Punkte.

Lösung:

Um die Graphen der Funktionen x(t), h(t) und y(t) für den Wertebereich t = -1 bis t = 5 zu zeichnen, benötigen wir die analytischen Darstellungen der Funktionen und zeichnen sie dann. Hier sind die Schritte und der Python-Code, um die Graphen darzustellen:

Schritt 1: Funktion x(t)

x(t) ist die Differenz der Heaviside-Stufenfunktion:

• \( x(t) = u(t) - u(t-2) \)

Graf für x(t):

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltt = np.linspace(-1, 5, 1000)x_t = np.heaviside(t, 1) - np.heaviside(t-2, 1)# Zeichnen der Funktion x(t)plt.figure(figsize=(10, 4))plt.plot(t, x_t, label='x(t)', color='blue')plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)plt.title('Eingangssignal x(t)')plt.xlabel('t')plt.ylabel('x(t)')plt.legend()plt.show()

Beschreibung: x(t) ist 1 für 0 ≤ t < 2 und 0 sonst.

Schritt 2: Funktion h(t)

h(t) ist die Exponentialfunktion multipliziert mit der Heaviside-Stufenfunktion:

• \( h(t) = e^{-t} u(t) \)

Graf für h(t):

h_t = np.exp(-t) * np.heaviside(t, 1)# Zeichnen der Funktion h(t)plt.figure(figsize=(10, 4))plt.plot(t, h_t, label='h(t)', color='red')plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)plt.title('Impulsantwort h(t)')plt.xlabel('t')plt.ylabel('h(t)')plt.legend()plt.show()

Beschreibung: h(t) ist 0 für t < 0 und folgt dann einem exponentiellen Zerfall für t ≥ 0.

Schritt 3: Funktion y(t)

Das Ausgangssignal y(t) ist die Faltung von x(t) und h(t), gegeben durch:

• \( y(t) = \begin{cases} 1 - e^{-t} & , \, \quad 0 \le t < 2 \ (e^{2} - 1) e^{-t} & , \, \quad t \ge 2 \end{cases} \)

Graf für y(t):

y_t = np.piecewise(t, [t < 0, (t >= 0) & (t < 2), t >= 2], [0, lambda t: 1 - np.exp(-t), lambda t: (np.exp(2) - 1) * np.exp(-t)])# Zeichnen der Funktion y(t)plt.figure(figsize=(10, 4))plt.plot(t, y_t, label='y(t)', color='green')plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)plt.grid(color = 'gray', linestyle = '--', linewidth = 0.5)plt.title('Ausgangssignal y(t)')plt.xlabel('t')plt.ylabel('y(t)')plt.legend()plt.show()

Beschreibung: y(t) ist für 0 ≤ t < 2 gegeben durch \( 1 - e^{-t} \) und für t ≥ 2 durch \( (e^{2} - 1) e^{-t} \).

Zusammenfassung:

Mit diesen Code-Segmenten kannst Du die Graphen der Funktionen x(t), h(t) und y(t) im Bereich von t = -1 bis t = 5 zeichnen. Die Achsen sind beschriftet und relevante Punkte werden hervorgehoben.

d)

Diskutiere das Verhalten des Systems anhand der gegebenen Impulsantwort. Was bedeutet eine negative oder positive Übergangsantwort für das System? Erläutere unter Verwendung des Ausgangssignals y(t), das du im ersten Teil berechnet hast, die Stabilität des Systems.

Lösung:

Um das Verhalten des LTI-Systems anhand der gegebenen Impulsantwort sowie der berechneten Ausgangssignale zu diskutieren, betrachten wir die Impulsantwort, das Eingangssignal und das resultierende Ausgangssignal genauer.

Aufgabe 4)

Fourier-Transformation für nicht-periodische SignaleDie Fourier-Transformation (FT) wird verwendet, um ein zeitlich kontinuierliches, unendliches Signal in den Frequenzbereich zu transformieren. Der Zusammenhang wird durch die analytische Darstellung der FT gegeben:

• Analytische Darstellung: Die Umkehrung dieser Transformation kann genutzt werden, um das ursprüngliche Zeitsignal aus dem Frequenzbereich zurückzugewinnen:
  • Umgekehrte Fourier-Transformation: Diese Transformation erlaubt die Analyse von Frequenzkomponenten in nicht-periodischen Signalen und stellt sicher, dass alle notwendigen Frequenzinformationen im resultierenden Spektrum enthalten sind.

  c)

  Diskutiere die Bedeutung der Frequenzkomponenten in einem nicht-periodischen Signal und erkläre, wie diese durch die Fourier-Transformation identifiziert werden können.

  Lösung:

  Fourier-Transformation für nicht-periodische SignaleDie Fourier-Transformation (FT) wird verwendet, um ein zeitlich kontinuierliches, unendliches Signal in den Frequenzbereich zu transformieren. Der Zusammenhang wird durch die analytische Darstellung der FT gegeben:

  • Analytische Darstellung:
  Die Umkehrung dieser Transformation kann genutzt werden, um das ursprüngliche Zeitsignal aus dem Frequenzbereich zurückzugewinnen:
  • Umgekehrte Fourier-Transformation:
  Diese Transformation erlaubt die Analyse von Frequenzkomponenten in nicht-periodischen Signalen und stellt sicher, dass alle notwendigen Frequenzinformationen im resultierenden Spektrum enthalten sind.

Löse die folgende Teilaufgabe:

• Diskutiere die Bedeutung der Frequenzkomponenten in einem nicht-periodischen Signal und erkläre, wie diese durch die Fourier-Transformation identifiziert werden können.

Diskussion der Bedeutung der Frequenzkomponenten in einem nicht-periodischen Signal:

• Frequenzkomponenten: Frequenzkomponenten in einem nicht-periodischen Signal repräsentieren die verschiedenen sinusförmigen Schwingungen, aus denen sich das Signal zusammensetzt. Jede Frequenzkomponente hat eine spezifische Amplitude und Phase, die beschreiben, wie stark diese Frequenz im Signal vertreten ist und wie sie zeitlich verschoben ist.
• Bedeutung: Die Analyse der Frequenzkomponenten erlaubt es uns, das Verhalten und die Eigenschaften des Signals besser zu verstehen. In der Praxis ist dies besonders nützlich in Bereichen wie der Signalverarbeitung, Kommunikation, Bildverarbeitung und vielen anderen, in denen die Frequenzzusammensetzung entscheidend für die Verarbeitung und Interpretation des Signals ist.

Wie diese durch die Fourier-Transformation identifiziert werden können:

• Fourier-Transformation: Die Fourier-Transformation wandelt ein zeitliches Signal in den Frequenzbereich um. Sie zerlegt das Signal in seine Frequenzkomponenten und gibt uns eine Darstellung, wie stark jede Frequenz im Signal vertreten ist.
• Mathematische Darstellung: Mathematisch ist die Fourier-Transformation eines zeitlichen Signals \( f(t) \) definiert als:
  • \[ F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-i2\pi ut} dt \]
• Spektraldarstellung: Das Ergebnis der Fourier-Transformation ist das Frequenzspektrum \( F(u) \), welches die Amplitude und Phase der verschiedenen Frequenzkomponenten zeigt.

Beispiel: Betrachten wir ein einfaches Signal, z.B. ein Rechtecksignal, das durch seine Fourier-Transformation ein bestimmtes Frequenzspektrum ergibt. Durch die Analyse dieses Spektrums können wir die verschiedenen Frequenzen sehen, die das Rechtecksignal ausmachen, und deren relativen Beiträge zur Gesamtform des Signals.Zusammenfassend ermöglicht die Fourier-Transformation, die komplexen Schwingungen eines nicht-periodischen Signals zu identifizieren und quantitativ zu analysieren. Dies ist notwendig, um das Signal vollständig zu verstehen und in verschiedenen Anwendungen effizient zu verarbeiten.