Signale und Systeme II - Cheatsheet

Transformation von Zeitdomain zu Frequenzdomain (Fourier-Transformation)

Definition:

Überführung eines Signals von der Zeitdomäne in die Frequenzdomäne mittels Fourier-Transformation

Details:

• Kontinuierliche Fourier-Transformation (CFT): \[ \mathcal{F}\{x(t)\}(f) = X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt \]
• Diskrete Fourier-Transformation (DFT): \[ X[k] = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi \frac{kn}{N}} \]
• Inverse Fourier-Transformation: \[ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} X(f) e^{j 2 \pi f t} \, df \]
• Eigenschaften: Linearität, Zeitverschiebung, Frequenzverschiebung, Faltung im Zeitbereich entspricht Multiplikation im Frequenzbereich

Umwandlung von Differenzialgleichungen (Laplace-Transformation)

Definition:

Umwandlung von Differenzialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation zur vereinfachten Lösung im Frequenzbereich.

Details:

• Anwendung der Laplace-Transformation: \(\mathcal{L}\{f(t)\} = F(s)\)
• Ableitungen im Zeitbereich werden zu Polynomen im Frequenzbereich: \(\mathcal{L}\{f'(t)\} = sF(s) - f(0)\) und \(\mathcal{L}\{f''(t)\} = s^2F(s) - sf(0) - f'(0)\)
• Algebraische Lösung der transformierten Gleichung \(ax^2 + bxs + c = 0\)
• Rücktransformation mit Hilfe der Inversen Laplace-Transformation: \(\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = f(t)\)

Sampling und Quantisierung diskreter Zeit-Signale

Definition:

Sampling: Umwandlung eines kontinuierlichen Signals in ein diskretes Zeit-Signal durch zeitabgetastete Werte. Quantisierung: Wandlung dieser abgetasteten Werte in diskrete Amplitudenwerte.

Details:

• Abtasttheorem: Ein kontinuierliches Signal kann fehlerfrei rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz \(f_s\) größer als das Doppelte der höchsten Frequenz des Signals \(f_{max}\) ist: \[f_s > 2 f_{max}\]
• Aliasing-Effekt: Tritt auf, wenn \(f_s\) zu niedrig ist, was zu Frequenzüberlagerungen führt. Vermeidung durch Anti-Aliasing-Filter vor dem Sampling.
• Quantisierungsrauschen: Ergebnis der Rundung bei der Quantisierung. Fehler kann durch Erhöhung der Bit-Anzahl minimiert werden.
• Quantisierungsstufen: Die Anzahl der diskreten Werte, die zur Darstellung der Amplitude verwendet werden, bestimmt durch \(2^n\), wobei \(n\) die Anzahl der Bits ist.

Diskrete Fourier-Transformation (DFT)

Definition:

Transformiert eine endliche, diskrete Zeitsequenz in den Frequenzbereich. Analysiert periodische Signale durch die Umwandlung von Zeitbereichsdaten in Frequenzkomponenten.

Details:

• DFT Formel: \[X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi \frac{k}{N} n} \]
• Inverse DFT (IDFT) Formel: \[x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j 2 \pi \frac{k}{N} n} \]
• Wichtige Eigenschaften: Linearität, Periodizität, Zeitverschiebung, Faltung
• DFT-Berechnungen effizient durchgeführt mittels FFT (Fast Fourier Transform)

Stabilität und Kausalität in der Z-Transformation

Definition:

Stabilität und Kausalität bestimmen das Verhalten eines Systems im z-Bereich.

Details:

• Ein System ist stabil, wenn sich alle Pole der Übertragungsfunktion innerhalb des Einheitskreises befinden \(\left| z \right| < 1\).
• Ein System ist kausal, wenn die ROC der Z-Transformation außerhalb des äußeren Pols liegt.

Impulseantwort und Faltung (Systemtheorie)

Definition:

Impulseantwort: Reaktion eines Systems auf Dirac-Impuls. Faltung: Methode zur Bestimmung der Systemantwort auf beliebiges Eingangssignal.

Details:

• Impulseantwort: Wird häufig als h(t) für kontinuierliche Systeme und h[n] für diskrete Systeme notiert.
• Faltung: Integral für kontinuierliche Systeme, Summe für diskrete Systeme.
• Formel kontinuierlich: \[ y(t) = \int_{-\infin}^{\infin} x(\tau) h(t-\tau) \,d\tau \]
• Formel diskret: \[ y[n] = \sum_{k=-\infin}^{\infin} x[k] h[n-k] \]
• Lineare Zeitinvariante (LTI) Systeme: Benutzung der Faltung zur Bestimmung der Ausgangsreaktion.
• Zeitumkehr und Shift-Eigenschaften: Wesentlich für Faltungsoperation.

Frequenzgang und Bodediagramme (Systemtheorie)

Definition:

Stellt dar, wie ein System auf sinusförmige Eingangssignale in Abhängigkeit von deren Frequenz reagiert.

Details:

• Bodediagramm: logarithmische Darstellung des Frequenzgangs
• Dargestellt: Betrag \( |H(j\omega)| \) und Phase \( \angle H(j\omega) \) als Funktionen der Frequenz
• Magnitude-Plot: y-Achse in dB \( 20 \log_{10} |H(j\omega)| \)
• Phasen-Plot: y-Achse in Grad \( \angle H(j\omega) \)
• Wichtige Punkte: Durchtrittsfrequenz, Phasenrand, Verstärkungsrand

Stabilität und FeedbackSysteme (Systemtheorie)

Definition:

Behandlung der Stabilität und Design von Feedbacksystemen zur Sicherstellung von stabilen und zuverlässigen Systemen.

Details:

• Lineare zeitinvariante (LTI) Systeme: Stabilität durch Pole in der linken Halbebene der s-Ebene
• BIBO-Stabilität: Ein System ist BIBO-stabil (bounded-input, bounded-output), wenn jeder begrenzte Eingang zu einem begrenzten Ausgang führt
• Euler-Kreis-Kriterium: Für einfache lineare Systeme
• Nyquist-Kriterium: Diagramm-Analyse zur Bestimmung der Stabilität
• Routh-Hurwitz-Kriterium: Mathematische Kriterien zur Bestimmung der Stabilität
• Feedback-Systeme: Verwendung von Rückkopplung zur Stabilitätsverbesserung; Korrektur von Fehlern und Störungen