Signale und Systeme II - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei ein kontinuierliches Zeitsignal \(x(t)\) welches periodisch ist und dessen Fourier-Transformation \(X(f)\) eine kontinuierliche Funktion in der Frequenzdomäne darstellt. Die diskreten Werte des Zeitsignals werden mit einer Abtastrate von 1 kHz abgetastet, und die Länge des diskreten Signals beträgt 1024 Samples. Wende die Methoden der Fourier-Transformation an, um das Signal und seine Frequenzkomponenten zu analysieren.

b)

Demonstriere die Inverse Fourier-Transformation für das DFT-Resultat. Berechne das rekonstruierte Zeitsignal \(x[n]\) aus den ersten drei Frequenzkomponenten \(X[0], X[1], X[2]\). Stelle sicher, dass Du die Übergänge zwischen Zeit- und Frequenzdomäne erklärst und wie diese Transformationen zur Analyse des Signals verwendet werden können.

Lösung:

Um die Inverse Fourier-Transformation des DFT-Resultats zu demonstrieren, befolgen wir die Schritte zur Rekonstruktion des Zeitsignals x[n] aus den ersten drei Frequenzkomponenten X[0], X[1] und X[2]. Zusätzlich werden wir die Übergänge zwischen Zeit- und Frequenzdomäne erklären.

1. Inverse Fourier-Transformation (IDFT) Formel:Die Formel der Inversen Diskreten Fourier-Transformation (IDFT) für ein Signal X[k] der Länge N lautet:

• x[n] = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] e^{j \frac{2 \pi k n}{N}}

Hier sind:

• x[n]: Rekonstruierte Zeitwerte des Signals
• X[k]: Frequenzkomponenten
• N: Länge des Signals
• j: Imaginäre Einheit
• n: Zeitindex
• k: Frequenzindex

2. Berechnung des rekonstruierten Zeitsignals x[n] für die ersten drei Frequenzkomponenten:Angenommen, wir haben die ersten drei Frequenzkomponenten X[0], X[1] und X[2]. Die Berechnung des rekonstruierte Zeitsignals x[n] erfolgt wie folgt:

• Gegeben N = 1024, berechnen wir x[n] für n = 0, 1, 2, ..., 1023.
• Formel für x[n]:

  x[n] = \frac{1}{1024} \left( X[0] + X[1] e^{j \frac{2 \pi 1 n}{1024}} + X[2] e^{j \frac{2 \pi 2 n}{1024}} \right)

3. Beispielrechnung:Angenommen, X[0] = A_0, X[1] = A_1 e^{j \phi_1} und X[2] = A_2 e^{j \phi_2}, dann:

• Für n = 0:

  x[0] = \frac{1}{1024} \left( A_0 + A_1 e^{j \phi_1} + A_2 e^{j \phi_2} \right)

• Für n = 1:

  x[1] = \frac{1}{1024} \left( A_0 + A_1 e^{j (\phi_1 + \frac{2 \pi 1}{1024})} + A_2 e^{j (\phi_2 + \frac{2 \pi 2}{1024})} \right)

• Für n = 2:

  x[2] = \frac{1}{1024} \left( A_0 + A_1 e^{j (\phi_1 + \frac{2 \pi 2}{1024})} + A_2 e^{j (\phi_2 + \frac{2 \pi 4}{1024})} \right)

4. Übergänge zwischen Zeit- und Frequenzdomäne:

• Von der Zeit- zur Frequenzdomäne: Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) wandelt ein diskretes Zeitsignal x[n] in seine Frequenzkomponenten X[k] um. Dadurch wird das Signal im Frequenzraum analysiert, was die Identifikation der Frequenzen, die im Signal enthalten sind, erleichtert.
• Von der Frequenz- zur Zeitdomäne: Die Inverse Diskrete Fourier-Transformation (IDFT) ermöglicht die Rekonstruktion des Originals signals x[n] aus seinen Frequenzkomponenten X[k]. Dies ist besonders nützlich, um das Signal im Zeitbereich darzustellen und zu analysieren, nachdem es im Frequenzbereich transformationsmäßig bearbeitet wurde.

Aufgabe 2)

Betrachte ein mechanisches Schwingungssystem, welches durch die Differenzialgleichung \ \[m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + c \frac{dx(t)}{dt} + kx(t) = F(t)\] beschrieben wird. Hierbei steht:

• m für die Masse des Systems
• c für den Dämpfungskoeffizienten
• k für die Federkonstante
• F(t) für die äußere Kraft
• x(t) für die Auslenkung

a)

Transformiere die gegebene Differenzialgleichung mittels der Laplace-Transformation. Dabei sei die anfängliche Auslenkung x(0) = x_0 und die anfängliche Geschwindigkeit x'(0) = v_0 bekannt.

Lösung:

Um die gegebene Differenzialgleichung mittels der Laplace-Transformation zu transformieren, wenden wir die Laplace-Transformation auf beide Seiten der Gleichung an. Die ursprüngliche Differenzialgleichung lautet:

\(m \frac{d^2 x(t)}{dt^2} + c \frac{dx(t)}{dt} + k x(t) = F(t)\)

Vor der Anwendung der Laplace-Transformation wollen wir uns einige Grundregeln der Laplace-Transformation in Erinnerung rufen:

• \( \mathcal{L} \left\{ \frac{d x(t)}{dt} \right\} = s X(s) - x(0) \)
• \( \mathcal{L} \left\{ \frac{d^2 x(t)}{dt^2} \right\} = s^2 X(s) - s x(0) - x'(0) \)

Nun wenden wir die Laplace-Transformation auf die gegebene Differenzialgleichung an:

\(m (s^2 X(s) - s x_0 - v_0) + c (s X(s) - x_0) + k X(s) = \mathcal{L}\left\{F(t)\right\} = F(s) \)

Jetzt fassen wir alle Glieder zusammen, die \(X(s)\) enthalten:

\(m s^2 X(s) + c s X(s) + k X(s) - m s x_0 - m v_0 - c x_0 = F(s)\)

Um \(X(s)\) zu isolieren, bringen wir alles auf eine Seite:

\(X(s) (m s^2 + c s + k) = F(s) + m s x_0 + m v_0 + c x_0 \)

Durch Umstellen folgt:

\(X(s) = \frac{F(s) + m s x_0 + m v_0 + c x_0}{m s^2 + c s + k} \)

Dies ist die transformierte Form der gegebenen Differenzialgleichung mittels der Laplace-Transformation.

Aufgabe 3)

Ein analoges Signal mit der Funktion \( x(t) = 3 \sin(2 \pi \, 1000 \ t) + 2 \ \sin(2 \pi \, 3000 \ t) \) soll digitalisiert werden. Dazu muss das Signal zunächst zeitlich abgetastet und anschließend quantisiert werden.

a)

Teilaufgabe 1: Berechne die minimal erforderliche Abtastfrequenz, um das Signal fehlerfrei rekonstruieren zu können. Verwende das Abtasttheorem und berücksichtige die maximal vorhandene Frequenzkomponente im Signal. Zusatz: Angenommen, die Abtastrate beträgt 10 kHz. Berechne die periodische Fortsetzung bzw. Aliasing der Frequenzen 1000 Hz und 3000 Hz.

Lösung:

Um diese Aufgabe zu lösen, gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Berechnung der minimal erforderlichen Abtastfrequenz:

Das Abtasttheorem, auch Nyquist-Theorem genannt, besagt, dass die Abtastfrequenz mindestens das Doppelte der höchsten im Signal vorhandenen Frequenz betragen muss, um das Signal fehlerfrei rekonstruieren zu können. Unsere Signalgleichung lautet:

\( x(t) = 3 \sin(2\pi \, 1000 \, t) + 2 \, \sin(2\pi \, 3000 \, t) \)

Die höchste Frequenzkomponente in diesem Signal beträgt 3000 Hz. Daher berechnen wir die minimale Abtastfrequenz wie folgt:

\( f_s = 2 \times 3000 \, \text{Hz} = 6000 \, \text{Hz} \)

Die minimal erforderliche Abtastfrequenz beträgt also 6000 Hz.

• Zusatz: Aliasing-Effekt bei einer Abtastrate von 10 kHz:

Angenommen, die Abtastrate beträgt 10 kHz. Wir müssen die periodische Fortsetzung bzw. das Aliasing der Frequenzen 1000 Hz und 3000 Hz berechnen. Dazu verwenden wir die Formel für das Aliasing:

\( f_{alias} = | f - n \cdot f_s | \)

wobei \( f \) die Originalfrequenz, \( f_s \) die Abtastfrequenz und \( n \) eine ganze Zahl ist.

• Berechnung für 1000 Hz:

\( f_{alias}(1000 \text{Hz}) = | 1000 \text{Hz} - n \cdot 10000 \text{Hz} | \)

Für \( n = 0 \) ergibt sich:

\( f_{alias}(1000 \text{Hz}) = | 1000 \text{Hz} - 0 \cdot 10000 \text{Hz} | = 1000 \text{Hz} \)

Für \( n = 1 \) ergibt sich:

\( f_{alias}(1000 \text{Hz}) = | 1000 \text{Hz} - 1 \cdot 10000 \text{Hz} | = 9000 \text{Hz} \)

• Berechnung für 3000 Hz:

\( f_{alias}(3000 \text{Hz}) = | 3000 \text{Hz} - n \cdot 10000 \text{Hz} | \)

Für \( n = 0 \) ergibt sich:

\( f_{alias}(3000 \text{Hz}) = | 3000 \text{Hz} - 0 \cdot 10000 \text{Hz} | = 3000 \text{Hz} \)

Für \( n = 1 \) ergibt sich:

\( f_{alias}(3000 \text{Hz}) = | 3000 \text{Hz} - 1 \cdot 10000 \text{Hz} | = 7000 \text{Hz} \)

Daher entstehen bei einer Abtastrate von 10 kHz:

• Aliasing für 1000 Hz ergibt Frequenzen von 1000 Hz und 9000 Hz.
• Aliasing für 3000 Hz ergibt Frequenzen von 3000 Hz und 7000 Hz.

b)

Teilaufgabe 2: Angenommen, das Signal wird mit einer Abtastrate von 10 kHz und einer Quantisierungsauflösung von 3 Bit quantisiert.

• Berechne die Anzahl der möglichen Quantisierungsstufen.
• Diskutiere die Auswirkungen des Quantisierungsrauschens und berechne die theoretisch maximale SNR (Signal-to-Noise Ratio) für diesen Quantisierungsprozess.
• Bestimme den Quantisierungsfehler statistisch, indem Du die Leistungsdichte des Quantisierungsrauschens in Bezug auf das Signal darstellst.

Lösung:

Um diese Teilaufgabe zu lösen, gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Berechne die Anzahl der möglichen Quantisierungsstufen:

Die Anzahl der Quantisierungsstufen bei einer n-Bit-Quantisierung wird durch die Formel \(2^n\) gegeben. Bei einer Quantisierungsauflösung von 3 Bit beträgt die Anzahl der Quantisierungsstufen:

\[ 2^3 = 8 \]

Es gibt also 8 mögliche Quantisierungsstufen.

• Auswirkungen des Quantisierungsrauschens und Berechnung der theoretisch maximalen SNR (Signal-to-Noise Ratio):

Das Quantisierungsrauschen entsteht durch die Rundungen während des Quantisierungsprozesses und kann als gleichverteiltes Rauschen betrachtet werden. Die Signal-to-Noise Ratio (SNR) einer n-Bit-Quantisierung kann theoretisch mit folgender Formel berechnet werden:

\( \text{SNR}_{\text{max}} = 6.02 \cdot n + 1.76 \; \text{dB} \)

Für eine Quantisierungsauflösung von 3 Bit ergibt sich:

\[ \text{SNR}_{\text{max}} = 6.02 \cdot 3 + 1.76 = 18.82 \; \text{dB} \]

Die theoretisch maximale SNR für diesen Quantisierungsprozess beträgt also 18.82 dB.

• Bestimmung des Quantisierungsfehlers durch die Leistungsdichte des Quantisierungsrauschens:

Der Quantisierungsfehler kann statistisch durch die Leistungsdichte des Quantisierungsrauschens dargestellt werden. Bei gleichverteiltem Quantisierungsrauschen beträgt die mittlere quadratische Größe des Quantisierungsrauschens:

\[ P_Q = \frac{\Delta^2}{12} \]

wobei \( \Delta \) die Quantisierungsschrittweite ist. Die Schrittweite \( \Delta \) kann berechnet werden, wenn die Spannungsbereich des Signals \(V_{\text{span}}\) und die Anzahl der Quantisierungsstufen (hier 8) bekannt sind.

Angenommen, das Signal hat eine maximale Amplitude von A (in diesem Fall die Summe der Spitzenamplituden von 3 und 2, also 5V):

\[ V_{\text{span}} = 2A = 2 \cdot 5\text{V} = 10\text{V} \]

Die Quantisierungsschrittweite \( \Delta \) ist daher:

\[ \Delta = \frac{V_{\text{span}}}{2^n} = \frac{10\text{V}}{8} = 1.25\text{V} \]

Die mittlere quadratische Leistung des Quantisierungsrauschens ist also:

\[ P_Q = \frac{1.25^2}{12} = \frac{1.5625}{12} = 0.1302\text{V}^2 \]

Es wird erwartet, dass das Quantisierungsrauschen eine geringe Wirkung auf das Signal hat, insbesondere wenn die Anzahl der Quantisierungsstufen hoch ist.

Aufgabe 4)

Gegeben sei eine diskrete Zeitsequenz \(|x[n]|, n=0,1,2,3\) mit den Werten \(x[0] = 1, x[1] = 2, x[2] = 0, x[3] = -1\). Du sollst die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) dieser Sequenz berechnen und analysieren. Nutze die gegebene DFT Formel und ihre Eigenschaften.

a)

Berechne die DFT \(X[k]\) der gegebenen Sequenz händisch für jedes \(k, k=0,1,2,3\). Notiere die Zwischenschritte und erkläre jeden Schritt im Detail.

Lösung:

Berechnung der Diskreten Fourier-Transformation (DFT)

• Die DFT einer diskreten Zeitsequenz \(x[n]\) von Länge N wird durch die Formel definiert:

  X[k] = \sum_{{n=0}}^{{N-1}} x[n] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{N}} \, k n}

Gegeben sei die Sequenz:

• x[0] = 1
• x[1] = 2
• x[2] = 0
• x[3] = -1

Für N = 4 (da die Länge der Sequenz 4 ist), berechnen wir nun die DFT für jedes k:

• Für k=0:

  X[0] = x[0] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 0 \cdot 0} + x[1] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 0 \cdot 1} + x[2] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 0 \cdot 2} + x[3] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 0 \cdot 3}

  die Exponentialfaktoren reduzieren sich zu 1, also:

  X[0] = 1 + 2 + 0 - 1 = 2

• Für k=1:

  X[1] = x[0] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 1 \cdot 0} + x[1] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 1 \cdot 1} + x[2] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 1 \cdot 2} + x[3] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 1 \cdot 3}

  die Exponentialfaktoren berechnen sich zu:

  e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}}} = \cos \left(\frac{{\pi}}{{2}}\right) - j \sin \left(\frac{{\pi}}{{2}}\right) = 0 - j = -je^{-j \, \frac{{4 \pi}}{{4}}} = \cos \left(\pi\right) - j \sin \left(\pi\right) = -1e^{-j \, \frac{{6 \pi}}{{4}}} = \cos \left(\frac{{3 \pi}}{{2}}\right) - j \sin \left(\frac{{3 \pi}}{{2}}\right) = 0 + j = j

  , ergibt:

  X[1] = 1 + 2 \, (-j) + 0 \, (-1) - (-j) = 1 - 2j + j = 1 - j

• Für k=2:

  X[2] = x[0] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 2 \cdot 0} + x[1] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 2 \cdot 1} + x[2] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 2 \cdot 2} + x[3] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 2 \cdot 3}

  die Exponentialfaktoren berechnen sich zu:

  e^{-j \, \frac{{4 \pi}}{{4}}} = \cos \left(\pi\right) - j \sin \left(\pi\right) = -1e^{-j \, \frac{{8 \pi}}{{4}}} = \cos \left(2 \pi\right) - j \sin \left(2 \pi\right) = 1e^{-j \, \frac{{12 \pi}}{{4}}} = \cos \left(3 \pi\right) - j \sin \left(3 \pi\right) = -1

  , ergibt:

  X[2] = 1 + 2 \, (-1) + 0 \, 1 - (-1) = 1 - 2 + 1 = 0

• Für k=3:

  X[3] = x[0] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 3 \cdot 0} + x[1] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 3 \cdot 1} + x[2] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 3 \cdot 2} + x[3] \, e^{-j \, \frac{{2 \pi}}{{4}} \, 3 \cdot 3}

  die Exponentialfaktoren berechnen sich zu:

  e^{-j \, \frac{{6 \pi}}{{4}}} = \cos \left(\frac{{3 \pi}}{{2}}\right) - j \sin \left(\frac{{3 \pi}}{{2}}\right) = 0 + j = je^{-j \, \frac{{12 \pi}}{{4}}} = \cos \left(3 \pi\right) - j \sin \left(3 \pi\right) = -1e^{-j \, \frac{{18 \pi}}{{4}}} = \cos \left(\frac{{9 \pi}}{{2}}\right) - j \sin \left(\frac{{9 \pi}}{{2}}\right) = 0 - j = -j

  , ergibt:

  X[3] = 1 + 2 \, j + 0 \, (-1) - (-j) = 1 + 2j + j = 1 + 3j

Zusammengefasst:

• X[0] = 2
• X[1] = 1 - j
• X[2] = 0
• X[3] = 1 + 3j

c)

Führe eine Analyse der Frequenzkomponenten durch. Erkläre, welche Bedeutung jede der Frequenzkomponenten \(X[k]\) für die Zeitsequenz hat. Vergleiche die Ergebnisse mit den Eigenschaften der DFT, wie Linearität, Periodizität, und Zeitverschiebung.

Lösung:

Analyse der Frequenzkomponenten

Die Diskrete Fourier-Transformation (DFT) zerlegt eine Zeitsequenz in ihre Frequenzkomponenten. Jede Frequenzkomponente \(X[k]\) hat eine bestimmte Bedeutung in Bezug auf die ursprüngliche Zeitsequenz \(x[n]\).

Unsere berechneten DFT-Komponenten sind:

• \(X[0] = 2\)
• \(X[1] = 1 - j\)
• \(X[2] = 0\)
• \(X[3] = 1 + 3j\)

Eine DFT gibt uns die Amplitude und Phase jeder Frequenzkomponente. Lassen uns jede Frequenzkomponente im Detail betrachten:

• \(X[0]\): Dies ist der Gleichanteil (DC-Komponente), auch als Nullfrequenzterm bezeichnet. Ein Nicht-Null-Wert hier bedeutet, dass die Zeitsequenz einen mittleren Wert hat. In unserem Fall ist dieser Wert 2, was bedeutet, dass die Sequenz einen mittleren Wert (durchschnittlichen Wert) von 2 hat.
• \(X[1]\): Diese Frequenzkomponente repräsentiert die erste Oberwelle (die fundamentale Frequenzkomponente). Der Wert \(1 - j\) zeigt eine komplexe Zahl mit einer Amplitude von \(\sqrt{(1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\) und einer Phase von \(- \tan^{-1}(1) = -45°\).
• \(X[2]\): Diese Frequenzkomponente repräsentiert die zweite Oberwelle, die in unserem Fall null ist. Das bedeutet, dass die Frequenzkomponente dieser Frequenz in der Zeitsequenz nicht vorhanden ist.
• \(X[3]\): Diese Frequenzkomponente repräsentiert die maximale Frequenz, die in einer Sequenz mit vier Punkten möglich ist. Der Wert \(1 + 3j\) zeigt eine Amplitude von \(\sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{10}\) und eine Phase von \(\tan^{-1}(3) = 71.565°\).

Vergleich mit DFT-Eigenschaften

• Linearität: Die Eigenschaft der Linearität besagt, dass die DFT einer Summe von Sequenzen die Summe der DFTs der einzelnen Sequenzen ist. Dies bedeutet, dass, wenn wir zwei Zeitsequenzen addieren und dann die DFT berechnen, dies dasselbe ist, wie wenn wir die DFTs der beiden Zeitsequenzen getrennt berechnen und dann addieren.
• Periodizität: Die DFT ist periodisch mit Periode N. Dies bedeutet, dass die Frequenzkomponenten \(X[k+N]\) und \(X[k]\) gleich sind. In unserem Beispiel mit N=4 sind die DFT-Werte für k+4 dieselben wie für k (beispielsweise \(X[4] = X[0]\), und das gilt für alle k.
• Zeitverschiebung: Wenn eine Zeitsequenz verschoben wird, wird die resultierende DFT mit einem phasenverändernden Faktor multipliziert. Dies bedeutet, dass, wenn wir \(x[n]\) um m Einheiten verschieben, die DFT-Komponenten von \(X[k]\) zu \(X[k] \, e^{-j \, \frac{2 \pi}{N} \, k m}\) werden.

Zusammengefasst geben uns die Frequenzkomponenten \(X[k]\) Informationen über die Zusammensetzung der ursprünglichen Zeitsequenz. Jede Frequenzkomponente hat eine Amplitude und eine Phase, und die Kombination dieser Komponenten kann verwendet werden, um die ursprüngliche Sequenz wiederherzustellen..