Simulation und Wissenschaftliches Rechnen 1 - Cheatsheet

Grundlagen der Interpolation und Approximation

Definition:

Grundlagen der Interpolation und Approximation.

Details:

• Interpolation: Finde Funktion(s), die durch gegebene Punkte geht.
• Polynomialinterpolation: Nutze Polynome, um Punkte exakt zu treffen.
• Lineare Interpolation: Nutze Geraden zwischen benachbarten Punkten.
• Spline-Interpolation: Nutze glatte, stückweise definierte Polynome.
• Approximation: Finde Funktion, die Punkte möglichst gut beschreibt (nicht unbedingt exakt).
• Kleinste-Quadrate-Methode: Reduziere Summe der Quadrate der Abweichungen.
• Orthogonale Polynome: Wähle Polynome, die unsystematische Fehler minimieren.

Fehleranalyse und Stabilität

Definition:

Beurteilt die Genauigkeit numerischer Verfahren und untersucht, wie Fehler propagiert werden.

Details:

• Fehlertypen: Rundungsfehler \((\text{Round-off errors})\), Diskretisierungsfehler \((\text{Discretization errors})\)
• Stabilität: Ein Verfahren ist stabil, wenn Fehler nicht exponentiell anwachsen.
• Konditionszahl: Maß für die Empfindlichkeit der Lösung hinsichtlich kleiner Änderungen in den Eingabedaten.
• Vorwärtsfehler: Differenz zwischen numerischer Lösung und exakter Lösung.
• Rückwärtsfehler: Kleinste Änderung der Eingabedaten, die die numerische Lösung exakt machen würde.

Finite-Differenzen-Methode (FDM)

Definition:

Numerische Methode zur Approximation von Lösungen partieller Differentialgleichungen (PDEs). Diskretisiert kontinuierliche Funktionen.

Details:

• Diskretisierung: Ersetze Ableitungen durch Differenzenquotienten
• Vorwärtsdifferenz: \[ f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]
• Rückwärtsdifferenz: \[ f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h} \]
• Zentrische Differenz: \[ f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h} \]
• Vertikale Struktur: Netzpunkte und Gitternetz
• Anwendung: Wärmeleitungsgleichung, Wellengleichung, Laplace-Gleichung
• Genauigkeit abhängig von Schrittweite \(h\)
• Randbedingungen und Anfangswerte nötig

Finite-Elemente-Methode (FEM)

Definition:

Numerisches Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen über Diskretisierung.

Details:

• Definition des Problems auf einer domäne \(\Omega\)
• Diskretisierung der Domäne in kleine, nicht überlappende Elemente
• Formulierung des Problems als Variationsproblem
• Approximation der Lösung durch Ansatzfunktionen (meist Polynomfunktionen)
• Assemblement des globalen Systems von algebraischen Gleichungen
• Numerische Lösung des Gleichungssystems

LU-Zerlegung

Definition:

Zerlegung einer Matrix A in das Produkt aus einer unteren Dreiecksmatrix L und einer oberen Dreiecksmatrix U (A = LU). Nützlich zur Lösung von linearen Gleichungssystemen, Invertierung von Matrizen und Berechnung der Determinante.

Details:

• Setzt voraus, dass A quadratisch ist.
• GE: Im Allgemeinen durch den Gaußschen Eliminationsprozess durchgeführt.
• L: Untere Dreiecksmatrix, deren Diagonalelemente sind 1.
• U: Obere Dreiecksmatrix, obere Dreiangel kann von LU-Zerlegung als Pivotisierung beachtet werden.
• Pivotisierung: Manchmal notwendig, um numerische Stabilität sicherzustellen.
• Anwendungen: Schnelle Lösung von Gleichungssystemen, Matrixinversion, Determinantenberechnung (Det(A) = Det(L) * Det(U)).

Nebenbedingungen für numerische Stabilität

Definition:

Nebenbedingungen für numerische Stabilität stellen sicher, dass numerische Verfahren bei der Lösung von Gleichungen zuverlässig und genau bleiben.

Details:

• Konditionszahl (\textit{condition number}): Wert, der angibt, wie stark sich die Lösung bei kleinen Änderungen der Eingangsdaten ändert.
• \textit{Backward Stability}: Ein Algorithmus ist rückwärts stabil, wenn das Ergebnis des Algorithmus die exakte Lösung eines Problems darstellt, das nur geringfügig von dem ursprünglichen Problem abweicht.
• \textit{Forward Stability}: Ein Algorithmus ist vorwärts stabil, wenn das Ergebnis genau oder fast genau dem exakten Ergebnis des Problems entspricht.
• Vermeidung von Rundungsfehlern: Minimieren von Fehlern, die durch begrenzte Genauigkeit der Darstellung von Zahlen entstehen.
• \textit{A priori} Fehlerabschätzungen: Vorab Abschätzung der Fehlergrenze eines Verfahrens.
• \textit{A posteriori} Fehlerabschätzung: Beurteilung der Genauigkeit und Zuverlässigkeit der Lösung nach der Berechnung.

Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungen

Definition:

Verfahren zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungen.

Details:

• Gegeben: nichtlineare Gleichung in der Form: f(x) = 0
• Startwert: x_0
• Iteration: x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}
• Konvergenzbedingung: f'(x_n) ≠ 0
• Quadratische Konvergenz bei guter Anfangswahl von x_0

Eigenwerte und QR-Algorithmus

Definition:

Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer Matrix

Details:

• Eigenwert \(\lambda\) und Eigenvektor \(\mathbf{v}\): \(A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\)
• QR-Algorithmus verwendet QR-Zerlegung zur iterativen Berechnung der Eigenwerte.
• Iterative Schritte: \(A_k = Q_kR_k, A_{k+1} = R_kQ_k\)
• Konvergenz: \(A_k \to \text{diagonale Matrix}\)