Simulation und Wissenschaftliches Rechnen 2 - Cheatsheet

Lösungsstrategien für lineare und nichtlineare Gleichungssysteme

Definition:

Strategien zur Lösung von linearen und nichtlinearen Gleichungssystemen, wichtig für die Simulation und das wissenschaftliche Rechnen.

Details:

• Lineare Gleichungssysteme:
• Direkte Methoden: z.B. Gauss-Elimination, LU-Dekomposition
• Iterative Methoden: z.B. Jacobi-Verfahren, Gauss-Seidel-Verfahren, Krylov-Unterraum-Verfahren (CG, GMRES)
• Nichtlineare Gleichungssysteme:
• Newton-Verfahren: Benötigt Jacobian-Matrix
• Sekanten-Verfahren: Approximation der Jacobian-Matrix
• Fixpunkt-Iteration: Einfach aber oft langsam konvergent
• Konvergenz und Stabilität: Wichtige Kriterien für die Wahl der Lösungsmethode
• Fehleranalyse: Umfasst absolute und relative Fehler, Residuum

Finite-Elemente-Methode: Diskretisierung von Differentialgleichungen

Definition:

Numerische Methode zur Lösung partieller Differentialgleichungen (PDEs) durch Diskretisierung.

Details:

• Diskretisierung des Lösungsbereichs durch finitere Elemente.
• Verwendung von Ansatzfunktionen wie linearen oder quadratischen Basisfunktionen.
• Umwandlung der PDEs in ein algebraisches Gleichungssystem:
• Formulierung eines schwachen (variationsmäßigen) Problems:
• Versteifungsmatrix und Lastvektor berechnen.
• Lösen des algebraischen Systems mithilfe numerischer Methoden wie dem Gauss-Verfahren oder iterativen Verfahren.

Interpolation und Approximation: Splines und Polynomialfunktionen

Definition:

Interpolation und Approximation mit Splines und Polynomfunktionen.

Details:

• Spline-Interpolation: Mehrteilige Stückweise-Polynome, kontinuierliche Übergänge an Stützstellen
• Polynominterpolation: Ein durch alle Stützstellen gehendes Polynom
• Lagrange-Polynome: Nutzt Lagrange-Basisfunktionen
• Newton-Polynome: Nutzt dividierte Differenzen
• Cubic Splines: Dritte Ordnung, C^2-Kontinuität
• Approximationsverfahren: Minimierung des Fehlerausdrucks z.B. Least-Squares
• Fehlerabschätzung und Stabilität wichtig

Optimierung numerischer Algorithmen für Hochleistungsrechnen

Definition:

Optimierung numerischer Algorithmen für Hochleistungsrechnen (HPC) bezieht sich auf die Anpassung und Verbesserung von Algorithmen, um die Leistung auf Hochleistungsrechnern zu maximieren.

Details:

• Ziel: Minimaler Rechenaufwand und geringere Laufzeit
• Skalierbarkeit: Algorithmus muss effizient auf großen Rechnerclustern funktionieren
• Datenlokalität: Optimierung des Speicherzugriffs, um Latenzen zu reduzieren
• Parallelisierung: Nutzung von Thread- und Prozessparallelität
• Lastverteilung: Gleichmäßige Verteilung der Arbeitslast auf alle Recheneinheiten
• Verwendung spezialisierter Bibliotheken: z.B. BLAS, LAPACK, PETSc
• Wichtige Metriken: Flops (Floating-point operations per second), Speicherdurchsatz

Synchronisation und Kommunikation in parallelen Systemen

Definition:

Mechanismen zur Steuerung und Abstimmung von parallel ablaufenden Prozessen, um Konflikte zu vermeiden und die Kommunikation effektiver zu gestalten.

Details:

• Synchronisation: Vermeidung von Race Conditions und Deadlocks.
• Locks: Mutexe, Spinlocks, Semaphoren.
• Kommunikation: Nachrichtenaustausch über Shared Memory, Message Passing.
• Wichtige Protokolle: MPI (Message Passing Interface), OpenMP.
• Wartezeiten minimieren, Load Balancing optimieren.

Dynamische Systeme und ihre Simulation: Differentialgleichungen

Definition:

Dynamische Systeme: Modellierung zeitabhängiger Prozesse. Differentialgleichungen beschreiben Änderungen eines Systems in kontinuierlichen Zeitintervallen.

Details:

• Dynamische Systeme: Zustandsänderungen über die Zeit
• Wichtige Werkzeuge: Differentialgleichungen
• Modellierung: Zustandsvektor \(\boldsymbol{x}(t)\) und dessen Änderung \(\frac{d\boldsymbol{x}(t)}{dt}\)
• Lösungsmethoden: analytisch (genaue Lösungen), numerisch (approximative Lösungen)
• Beispiele: Populationwachstum, physikalische Systeme
• Numerische Verfahren: Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren

Parallele Programmierparadigmen: MPI und OpenMP

Definition:

Parallele Programmierparadigmen zur Steigerung der Rechenleistung durch gleichzeitige Ausführung mehrerer Prozesse/Threads.

Details:

• MPI (Message Passing Interface): Standard für parallele Programmierung mittels Nachrichtenaustausch.
• Ermöglicht skalierbare Lösungen auf verteilten Speichersystemen.
• Funktioniert gut bei großen Supercomputersystemen.
• Wichtige Funktionen: \texttt{MPI\textunderscore Send}, \texttt{MPI\textunderscore Recv}, \texttt{MPI\textunderscore Bcast}, \texttt{MPI\textunderscore Reduce}.
• OpenMP (Open Multi-Processing): API für parallele Programmierung auf Speicher mit gemeinsamem Zugriff.
• Verwendet Compiler-Direktiven, um parallele Regionen im Code zu definieren.
• Ideal für Multi-Core-Prozessoren.
• Wichtige Direktiven: \texttt{\textpragma omp parallel}, \texttt{\textpragma omp for}, \texttt{\textpragma omp critical}, \texttt{\textpragma omp barrier}.

Validierung und Verifikation von Modellen

Definition:

Validierung und Verifikation sind Methoden zur Bewertung der Genauigkeit und Zuverlässigkeit von Modellen in der Simulation und wissenschaftlichem Rechnen.

Details:

• Verifikation: Überprüfung, ob das Modell nach den spezifizierten Anforderungen und mathematischen Gleichungen korrekt implementiert ist.
• Validierung: Untersuchung, ob das Modell die realen Phänomene korrekt widerspiegelt und geeignete Ergebnisse liefert.
• Verifikationstechniken: Code-Reviews, Debugging, statische und dynamische Analysen.
• Validierungstechniken: Vergleich mit experimentellen Daten, Sensitivitätsanalysen, Szenariotests.