Simulation und Wissenschaftliches Rechnen 2 - Exam

Aufgabe 1)

Du hast ein Gleichungssystem, das ein nichtlineares Verhalten beschreibt. Das System besteht aus den folgenden Gleichungen:

\[ f(x, y) = x^2 + y^2 - 4 \]

\[ g(x, y) = e^x + y - 1 \]

Deine Aufgabe ist es, dieses Gleichungssystem zu lösen und die Lösungen zu validieren. Nutze dabei verschiedene Methoden des wissenschaftlichen Rechnens.

a)

Verwende das Newton-Verfahren, um eine Lösung für das nichtlineare Gleichungssystem zu finden. Beginne mit den Startwerten \(x_0 = 1\) und \(y_0 = 1\). Führe mindestens drei Iterationsschritte durch und dokumentiere jeweils die Zwischenergebnisse. Berechne dabei die Jacobian-Matrix und deren Inverse.

Die Jacobian-Matrix ergibt sich aus den partiellen Ableitungen der Funktionen:

\[ J(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\text{d} f}{\text{d} x} & \frac{\text{d} f}{\text{d} y} \ \frac{\text{d} g}{\text{d} x} & \frac{\text{d} g}{\text{d} y} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2y \ e^x & 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{pmatrix} \]

Lösung:

Wir möchten das Newton-Verfahren anwenden, um eine Lösung für das nichtlineare Gleichungssystem zu finden. Beginnen wir mit den Startwerten \(x_0 = 1\) und \(y_0 = 1\).

Die Gleichungen des Systems sind:

• \(f(x, y) = x^2 + y^2 - 4\)
• \(g(x, y) = e^x + y - 1\)

Die Jacobian-Matrix ergibt sich aus den partiellen Ableitungen der Funktionen:

\[ J(x, y) = \begin{pmatrix} \frac{\text{d} f}{\text{d} x} & \frac{\text{d} f}{\text{d} y} \ \frac{\text{d} g}{\text{d} x} & \frac{\text{d} g}{\text{d} y} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x & 2y \ e^x & 1 \end{pmatrix} \]

Schritt 1: Initialisierung

• \(x_0 = 1\)
• \(y_0 = 1\)

Jacobian-Matrix bei \(x_0\) und \(y_0\):

\[ J(1, 1) = \begin{pmatrix} 2 & 2 \ e & 1 \end{pmatrix} \]

Inverse der Jacobian-Matrix:

Für eine 2x2-Matrix \( \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \) ist die Inverse:

\[ J^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \ -c & a \end{pmatrix} \]

Dann:

\[ J^{-1}(1, 1) = \frac{1}{2 \cdot 1 - 2 \cdot e} \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -e & 2 \end{pmatrix} = \frac{1}{2 - 2e} \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -e & 2 \end{pmatrix} \]

Evaluation der Funktionen bei \(x_0 = 1\) und \(y_0 = 1\):

\[ f(1, 1) = 1^2 + 1^2 - 4 = -2 \]

\[ g(1, 1) = e + 1 - 1 = e \]

Erster Iterationsschritt:

\[ \begin{pmatrix} \Delta x \ \Delta y \end{pmatrix} = -J^{-1}(1, 1) \begin{pmatrix} f(1, 1) \ g(1, 1) \end{pmatrix} = -\frac{1}{2 - 2e} \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -e & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 \ e \end{pmatrix} \]

Multiplizieren und vereinfachen:

\[ \begin{pmatrix} \Delta x \ \Delta y \end{pmatrix} = -\frac{1}{2 - 2e} \begin{pmatrix} -2 + 2e \ -2e + 2e \end{pmatrix} = \frac{1}{2 - 2e} \begin{pmatrix} 2 - 2e \ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} \]

Neue Werte:

• \(x_1 = x_0 + \Delta x = 1 + 1 = 2\)
• \(y_1 = y_0 + \Delta y = 1 + 0 = 1\)

Zweiter Iterationsschritt:

Jacobian-Matrix bei \(x_1\) und \(y_1\):

\[ J(2, 1) = \begin{pmatrix} 4 & 2 \ e^2 & 1 \end{pmatrix} \]

Evaluation der Funktionen bei \(x_1 = 2\) und \(y_1 = 1\):

\[ f(2, 1) = 2^2 + 1^2 - 4 = 1 \]

\[ g(2, 1) = e^2 + 1 - 1 = e^2 \]

Inverse der Jacobian-Matrix:

\[ J^{-1}(2, 1) = \frac{1}{4 - 2e^2} \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -e^2 & 4 \end{pmatrix} \]

Update für den nächsten Iterationsschritt:

\[ \begin{pmatrix} \Delta x \ \Delta y \end{pmatrix} = -J^{-1}(2, 1) \begin{pmatrix} f(2, 1) \ g(2, 1) \end{pmatrix} = -\frac{1}{4 - 2e^2} \begin{pmatrix} 1 & -2 \ -e^2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \ e^2 \end{pmatrix} \]

Multiplizieren und vereinfachen:

\[ \begin{pmatrix} \Delta x \ \Delta y \end{pmatrix} = -\frac{1}{4 - 2e^2} \begin{pmatrix} 1 - 2e^2 \ -e^2 + 4e^2 \end{pmatrix} = \frac{1}{4 - 2e^2} \begin{pmatrix} 1 - 2e^2 \ 3e^2 \end{pmatrix} \]

Neue Werte:

• \(x_2 = x_1 + \Delta x\)
• \(y_2 = y_1 + \Delta y\)

Dritter Iterationsschritt:

Das Verfahren wird wie zuvor wiederholt, indem die Jacobian-Matrix, deren Inverse und die funktionalen Werte neu evaluiert werden, bis sich die Werte stabilisieren.

b)

Verifiziere die Lösung, die Du im ersten Teil gefunden hast, indem Du sie in die ursprünglichen Gleichungen \[f(x, y)\] und \[g(x, y)\] einsetzt. Ermittle das Residuum und diskutiere, ob diese Lösung als genau betrachtet werden kann. Berechne sowohl den absoluten als auch den relativen Fehler für jedes Resultat.

Lösung:

Im ersten Teil haben wir das Gleichungssystem mit dem Newton-Verfahren gelöst. Nehmen wir an, die gefundene Lösung nach den Iterationen sei \( (x, y) \approx (2, 1) \).

Um zu überprüfen, ob diese Lösung korrekt ist, setzen wir sie in die ursprünglichen Gleichungen ein:

• \( f(x, y) = x^2 + y^2 - 4 \)
• \( g(x, y) = e^x + y - 1 \)

Setzen wir \( (x, y) = (2, 1) \) in \( f(x, y) \) ein:

\[ f(2, 1) = 2^2 + 1^2 - 4 = 4 + 1 - 4 = 1 \]

Setzen wir \( (x, y) = (2, 1) \) in \( g(x, y) \) ein:

\[ g(2, 1) = e^2 + 1 - 1 = e^2 \]

Das Residuum für jede Gleichung können wir berechnen, indem wir die erhaltenen Werte aus den Originalgleichungen mit dem erwarteten Wert (0) vergleichen:

• Residuum von \( f(x, y) \): \( R_f = f(2, 1) = 1 \)
• Residuum von \( g(x, y) \): \( R_g = g(2, 1) = e^2 \)

Diese Residuen zeigen an, wie weit unsere Lösung von der wahren Lösung abweicht. Da wir erwarten, dass beide Residuen nahe bei 0 sind, haben wir signifikante Fehler und könnten darauf schließen, dass die Lösung nicht sehr genau ist.

Um den absoluten und relativen Fehler zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

• Absoluter Fehler: \( E_{abs} = |f(x, y)| \) und \( |g(x, y)| \)
• Relativer Fehler: \( E_{rel} = \frac{|f(x, y)|}{|f_{true}|} \) und \( \frac{|g(x, y)|}{|g_{true}|} \)

Hier ist \( f_{true} = 0 \) und \( g_{true} = 0 \), was aber den relativen Fehler undefiniert machen könnte, weil das Dividieren durch Null nicht erlaubt ist. Eine andere sinnvolle Bestimmung des relativen Fehlers wird daher eher auf Basis von Änderungen (z.B., \( dx \) und \( dy \)) betrachtet.

Fazit

Da die Residuen \( R_f \) und \( R_g \) signifikant von Null abweichen, können wir die angenommene Lösung \( (2, 1) \) nicht als genau betrachten. Dies zeigt, dass zusätzliche Iterationen oder ein anderer Ansatz erforderlich sein könnten, um das Gleichungssystem genauer zu lösen.

Aufgabe 2)

Gegeben sei die partielle Differentialgleichung (PDE) \(-abla^2 u(x) = f(x)\) in einem begrenzten Gebiet \(\text{Ω}\) mit den Randbedingungen \(u(x) = g(x)\) auf \(\text{∂Ω}\). Verwende die Finite-Elemente-Methode zur Diskretisierung der Differentialgleichung, um diese zu lösen.

c)

Beschreibe, wie du das diskretisierte algebraische Gleichungssystem mit dem Gauss-Verfahren lösen würdest. Lege die notwendigen Schritte und gegebenenfalls verwendete Algorithmen dar und führe dabei Berechnungen durch, um das gesamte System zu lösen. Gehe dabei auf numerische Stabilität und Genauigkeit ein.

Lösung:

Um das diskretisierte algebraische Gleichungssystem, das aus der Finite-Elemente-Methode resultiert, zu lösen, können wir das Gauss-Verfahren (auch bekannt als Gauss-Eliminationsverfahren) verwenden. Dieses Verfahren besteht aus mehreren Schritten, um das System von Gleichungen in eine Form zu bringen, die leicht gelöst werden kann.

• Schritte zur Lösung des Gleichungssystems mit dem Gauss-Verfahren:

1. Gegeben sei das lineare Gleichungssystem:

 \[ AU = F \] 

2. Schreibe das erweiterte Matrixsystem auf:

 \[ [A | F] \] 

3. Führe die Vorwärtselimination durch, um die Matrix in eine obere Dreiecksform zu bringen. Dies geschieht durch Eliminierung der unteren Dreieckselemente.
1. Für jede Zeile \(i\) von 1 bis \(n-1\) im System:

• Wähle das Pivot-Element aus der aktuellen Zeile, das größte Element, um numerische Stabilität sicherzustellen.
• Skaliere die aktuelle Zeile so, dass das Pivot-Element zu 1 wird.
• Subtrahiere ein Vielfaches der aktuellen Zeile von den nachfolgenden Zeilen, um die Elemente unterhalb des Pivot-Elments zu null zu machen.

 \[ \begin{pmatrix} 1 & * & * & * & * \ 0 & 1 & * & * & * \ 0 & 0 & 1 & * & * \ 0 & 0 & 0 & 1 & * \end{pmatrix} | \begin{pmatrix} * \ * \ * \ * \end{pmatrix} \] 

1. Starte mit der letzten Zeile und gehe nach oben.
2. Setze die bekannten Werte ein und löse die Gleichung für das aktuelle Unbekannte.
3. Die Lösung sollte für alle unbekannten Variablen berechnet werden, beginnend mit der letzten und fortsetzend bis zur ersten.
4. Am Ende der Rückwärtssubstitution hat man:

 \[ \begin{pmatrix} U_1 \ U_2 \ U_3 \ U_4 \ \end{pmatrix} \] 

Numerische Stabilität und Genauigkeit:

• Numerische Stabilität: Um numerische Stabilität zu gewährleisten, sollte beim Gauss-Verfahren die Pivotisierung (wahlweise Pivot-Skalierung oder vollständige Pivotisierung) eingesetzt werden. Dies hilft, numerische Ungenauigkeiten zu minimieren, die durch sehr kleine oder sehr große Zahlen verursacht werden können.
• Genauigkeit: Rundungsfehler sind unvermeidlich, aber durch die Verwendung von Pivotisierung und die Wahl geeigneter numerischer Algorithmen können diese Fehler minimiert werden. Es ist auch wichtig, die mantisse der rechenwerte (Floating Point Precision) und die verwendete Genauigkeit der Zahlen im Computer zu berücksichtigen.

Zusammengefasst:

1. Schreibe das erweiterte Matrixsystem \( [A | F] \).
2. Führe die Vorwärtselimination durch, um die Matrix in eine obere Dreiecksform zu bringen.
3. Benutze Rückwärtssubstitution, um die Lösungen für die unbekannten Variablen zu berechnen, beginnend bei der letzten Zeile und nach oben arbeitend.
4. Nutze numerische Techniken wie Pivotisierung, um Stabilität und Genauigkeit zu gewährleisten.

Aufgabe 3)

Gegeben seien die Stützstellen \((x_i, y_i)\) für \(0 \leq i \leq 4\) mit den Werten \((0, 1)\), \((1, 2)\), \((2, 0)\), \((3, -1)\) und \((4, 3)\). Diese Stützstellen sollen für die Interpolation und Approximation mit Polynomialfunktionen und Splines genutzt werden.

• Spline-Interpolation: Mehrteilige Stückweise-Polynome, kontinuierliche Übergänge an Stützstellen
• Polynominterpolation: Ein durch alle Stützstellen gehendes Polynom
• Lagrange-Polynome: Nutzt Lagrange-Basisfunktionen
• Newton-Polynome: Nutzt dividierte Differenzen
• Cubic Splines: Dritte Ordnung, C^2-Kontinuität
• Approximationsverfahren: Minimierung des Fehlerausdrucks z.B. Least-Squares
• Fehlerabschätzung und Stabilität wichtig

a)

Bestimme das Polynom \(P(x)\), das alle gegebenen Stützstellen \((x_i, y_i)\) anhand der Lagrange-Interpolationsmethode interpoliert. Berechne \(P(x)\) explizit.

Lösung:

Lösung der Aufgabe:

Um das Polynom P(x) zu bestimmen, das alle gegebenen Stützstellen \((x_i, y_i)\) anhand der Lagrange-Interpolationsmethode interpoliert, werden die Lagrange-Basisfunktionen verwendet. Das Polynom der Form:

• \(P(x) = \sum_{{i=0}}^{n} y_i L_i(x)\)
• \(L_i(x) = \prod_{{\begin{array}{c} 0 \leq j \leq n \ j eq i \end{array}}} \frac{{x - x_j}}{{x_i - x_j}}\)

1. Wir berechnen die Lagrange-Basisfunktionen:

• \(L_0(x) = \frac{{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}{{(0-1)(0-2)(0-3)(0-4)}} = \frac{{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}{{24}}\)
• \(L_1(x) = \frac{{(x-0)(x-2)(x-3)(x-4)}}{{(1-0)(1-2)(1-3)(1-4)}} = \frac{{x(x-2)(x-3)(x-4)}}{{-6}}\)
• \(L_2(x) = \frac{{(x-0)(x-1)(x-3)(x-4)}}{{(2-0)(2-1)(2-3)(2-4)}} = \frac{{x(x-1)(x-3)(x-4)}}{{4}}\)
• \(L_3(x) = \frac{{(x-0)(x-1)(x-2)(x-4)}}{{(3-0)(3-1)(3-2)(3-4)}} = \frac{{x(x-1)(x-2)(x-4)}}{{-6}}\)
• \(L_4(x) = \frac{{(x-0)(x-1)(x-2)(x-3)}}{{(4-0)(4-1)(4-2)(4-3)}} = \frac{{x(x-1)(x-2)(x-3)}}{{24}}\)

2. Das Lagrange-Interpolationspolynom ergibt sich nun zu:

• \(P(x) = 1 \cdot L_0(x) + 2 \cdot L_1(x) + 0 \cdot L_2(x) - 1 \cdot L_3(x) + 3 \cdot L_4(x)\)
• Setzen wir die berechneten Basisfunktionen ein, erhalten wir:
• \(P(x) = 1 \cdot \frac{{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}{{24}} + 2 \cdot \frac{{x(x-2)(x-3)(x-4)}}{{-6}} + 0 \cdot \frac{{x(x-1)(x-3)(x-4)}}{{4}} - 1 \cdot \frac{{x(x-1)(x-2)(x-4)}}{{-6}} + 3 \cdot \frac{{x(x-1)(x-2)(x-3)}}{{24}}\)
• \(P(x) = \frac{{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}{{24}} - \frac{{2x(x-2)(x-3)(x-4)}}{{6}} - \frac{{x(x-1)(x-2)(x-4)}}{{6}} + \frac{{3x(x-1)(x-2)(x-3)}}{{8}}\)
• Zur Vereinfachung der Summe oben und Multiplikation der Polynome kann man Rechenprogramme nutzen, da dies sehr aufwändig von Hand ist.

Schlussendlich ist das Lagrange-Interpolationspolynom eine genaue Kombination all dieser Terme:

b)

Erstelle einen kubischen Spline, der die gegebenen Stützstellen \((x_i, y_i)\) interpoliert. Formuliere die Gleichungen für die Teilinterpolationspolynome unter Berücksichtigung der Kontinuitäts- und Glattheitsbedingungen an den Stützstellen.

Lösung:

Lösung der Aufgabe:

Um einen kubischen Spline zu konstruieren, der die gegebenen Stützstellen \((x_i, y_i)\) interpoliert, müssen wir die Teilinterpolationspolynome formulieren. Dabei müssen wir die kontinuierlichen Übergänge und die Glattheitsbedingungen an den Stützstellen berücksichtigen. Wir setzen voraus, dass der kubische Spline aus mehreren Teilpolynomen \(S_i(x)\) besteht, die durch kubische Polynome beschrieben werden:

• \(S_i(x) = a_i (x - x_i)^3 + b_i (x - x_i)^2 + c_i (x - x_i) + d_i\)

1. Zu lösende Teilinterpolationspolynome:

• Für die gegebenen Stützstellen haben wir vier Teilintervalle:
• \([0, 1], [1, 2], [2, 3], [3, 4]\)
• Das bedeutet, wir haben vier kubische Teilpolynome
• \(S_0(x)\) für \(x \in [0, 1]\)
• \(S_1(x)\) für \(x \in [1, 2]\)
• \(S_2(x)\) für \(x \in [2, 3]\)
• \(S_3(x)\) für \(x \in [3, 4]\)

2. Gleichungen aus Kontinuitätsbedingungen:

• \(S_0(1) = S_1(1), S_1(2) = S_2(2), S_2(3) = S_3(3)\)
• Zusätzlich muss der kubische Spline an den Rändern die y-Werte erreichen:
• \(S_0(0) = 1, S_0(1) = 2\)
• \(S_1(1) = 2, S_1(2) = 0\)
• \(S_2(2) = 0, S_2(3) = -1\)
• \(S_3(3) = -1, S_3(4) = 3\)

3. Gleichungen aus Glattheitsbedingungen:

• Erste Ableitungen an den Stützstellen müssen übereinstimmen:
• \(S'_0(1) = S'_1(1), S'_1(2) = S'_2(2), S'_2(3) = S'_3(3)\)
• Zweite Ableitungen an den Stützstellen müssen übereinstimmen (Setzen der Glattheitsbedingungen):
• \(S''_0(1) = S''_1(1), S''_1(2) = S''_2(2), S''_2(3) = S''_3(3)\)

4. Randbedingungen (natürlicher kubischer Spline):

• Dritte Ableitung des kubischen Splines muss an den Grenzen 0 sein:
• \(S''_0(0) = 0, S''_3(4) = 0\)

5. Lösung durch ein lineares Gleichungssystem:

Nach dem Aufstellen der obigen Gleichungen erhalten wir ein lineares Gleichungssystem, das wir lösen müssen, um die Koeffizienten \(a_i, b_i, c_i, d_i\) zu bestimmen. Dies kann programmiert werden, um die Spline-Koeffizienten zu berechnen.

Beispielscript in Python:

import numpy as np # Gegebene Stützpunkte x = np.array([0, 1, 2, 3, 4]) y = np.array([1, 2, 0, -1, 3]) # Länge der Intervalle h = np.diff(x) # Matritzenaufbau A = np.zeros((len(x), len(x))) b = np.zeros(len(x)) # Natürliche Randbedingungen, zweite Ableitung = 0 A[0,0] = 1 A[-1,-1] = 1 for i in range(1, len(x) - 1):     A[i, i-1] = h[i-1]/6     A[i, i] = (h[i-1] + h[i])/3     A[i, i+1] = h[i]/6     b[i] = (y[i+1] - y[i])/h[i] - (y[i] - y[i-1])/h[i-1] m = np.linalg.solve(A, b) # Zur Berrechnung der Koeffizienten der Splines coefficients = [] for i in range(len(h)):     a = (m[i+1] - m[i])/(6*h[i])     b = m[i]/2     c = (y[i+1] - y[i])/h[i] - (m[i+1] + 2*m[i]) * h[i] / 6     d = y[i]     coefficients.append((a, b, c, d)) print(coefficients)

Die Koeffizienten \(a_i, b_i, c_i, d_i\) können nun verwendet werden, um die Teilpolynome für jeden Abschnitt zu bestimmen.

Aufgabe 4)

Ein Forscherteam entwickelt einen neuen numerischen Algorithmus, um die Simulation von Klimamodellen auf einem Hochleistungsrechner (HPC) zu optimieren. Dabei sollen die folgenden Aspekte berücksichtigt werden:

• Ziel: Minimaler Rechenaufwand und geringere Laufzeit
• Skalierbarkeit: Der Algorithmus muss effizient auf großen Rechnerclustern funktionieren
• Datenlokalität: Optimierung des Speicherzugriffs, um Latenzen zu reduzieren
• Parallelisierung: Nutzung von Thread- und Prozessparallelität
• Lastverteilung: Gleichmäßige Verteilung der Arbeitslast auf alle Recheneinheiten
• Verwendung spezialisierter Bibliotheken: z.B. BLAS, LAPACK, PETSc
• Wichtige Metriken: Flops (Floating-point operations per second), Speicherdurchsatz

Basierend auf diesen Informationen beantworte die folgenden Fragen:

a)

(a) Algorithmusstruktur und Skalierbarkeit: Beschreibe einen möglichen Ansatz zur Strukturierung des Algorithmus, um eine effiziente Skalierbarkeit auf einem Cluster mit 1000 Knoten zu erreichen. Achte dabei besonders auf die Vermeidung von Engpässen und die Maximierung der Parallelität.

Lösung:

Um den Algorithmus auf einem Cluster mit 1000 Knoten effizient skalieren zu können, sollten mehrere Aspekte berücksichtigt werden. Hier ist ein möglicher Ansatz zur Strukturierung des Algorithmus:

• Algorithmusstruktur und Modularisierung: Der Algorithmus sollte in modularen Komponenten aufgebaut sein, die klar definierte Eingabe- und Ausgabepunkte haben. Diese Modularisierung erleichtert die Parallelisierung und die Wartbarkeit des Codes.
• Master-Worker-Modell: Ein Master-Prozess kann die Koordination und Verteilung von Aufgaben an mehrere Worker-Prozesse übernehmen.
• Datenpartitionierung: Große Datenmengen sollten so partitioniert werden, dass sie gleichmäßig auf die verfügbaren Knoten verteilt werden können. Dies hilft, die Last gleichmäßig zu verteilen und Engpässe zu vermeiden.
• Parallelisierung: Hier sollten sowohl Thread- als auch Prozessparallelität genutzt werden. OpenMP kann für die Thread-Parallelität innerhalb eines Knotens genutzt werden, während MPI für die Prozesskommunikation zwischen den Knoten verwendet wird.
• OpenMP: Innerhalb jedes Knotens kann die Arbeit in Threads aufgeteilt werden, um die verfügbaren CPUs optimal zu nutzen.
• MPI: Für die Kommunikation und Synchronisation zwischen den verschiedenen Knoten kann MPI genutzt werden. Dies ermöglicht eine effiziente Datenverteilung und -synchronisation zwischen den Knoten.
• Datenlokalität und Speicherzugriff: Um Latenzen zu reduzieren, sollten Speicherzugriffe optimiert werden. Dies kann durch die Verwendung spezialisierter Bibliotheken wie BLAS und LAPACK erreicht werden, die für hohe Speicherlokalität und effiziente Nutzung der Cache-Hierarchie optimiert sind.
• Lastverteilung: Die gleichmäßige Verteilung der Arbeitslast auf alle Recheneinheiten ist entscheidend. Lastverteilungsstrategien wie dynamisches Load Balancing können eingesetzt werden, um sicherzustellen, dass keine Recheneinheit unter- oder überfordert wird.
• Dynamisches Load Balancing: Durch Überwachung der aktuellen Last können Aufgaben dynamisch an freiwerdende Ressourcen verteilt werden.
• Nutzung spezialisierter Bibliotheken: Der Einsatz von Hochleistungsbibliotheken wie BLAS, LAPACK und PETSc kann die Rechenleistung erheblich verbessern. Diese Bibliotheken sind für parallele Berechnungen und optimale Speicherzugriffe optimiert.
• Engpässe vermeiden: Um Kommunikationsengpässe zu minimieren, sollten Algorithmen so gestaltet werden, dass die Kommunikation zwischen den Knoten minimiert wird. Asynchrone Kommunikationstechniken können helfen, Wartezeiten zu reduzieren.
• Asynchrone Kommunikation: Dies erlaubt es den Rechenknoten, weiter zu arbeiten, während auf Daten von anderen Knoten gewartet wird.

Durch diese Maßnahmen kann der Algorithmus strukturiert werden, um eine hohe Skalierbarkeit und Effizienz auf einem Cluster mit 1000 Knoten zu gewährleisten.

b)

(b) Datenlokalität: Erkläre anhand eines konkreten Beispiels, wie die Datenlokalität in einer Simulation optimiert werden kann, um Speicherlatenzen zu minimieren. Dies könnte die Art und Weise betreffen, wie Daten im Speicher angeordnet und abgerufen werden.

Lösung:

Um die Datenlokalität in einer Simulation zu optimieren und somit Speicherlatenzen zu minimieren, muss darauf geachtet werden, wie Daten im Speicher angeordnet und abgerufen werden. Ein konkretes Beispiel, das dies verdeutlicht, ist die Implementierung einer Finite-Differenzen-Methode (FDM) zur Lösung partieller Differentialgleichungen, die häufig in Klimamodellen verwendet wird.

• Speicher-Auslegung in 2D-Arrays: Angenommen, wir haben ein 2D-Gitter, das die Temperaturverteilung in einem Klimamodell beschreibt. Das Gitter wird durch ein 2D-Array repräsentiert, bei dem die Temperaturwerte an verschiedenen Positionen gespeichert sind. Um Speicherlatenzen zu minimieren, wird das Array im Speicher so angeordnet, dass benachbarte Werte auch im Speicher nah beieinander liegen.
• Zeilenweise Speicherung: In Programmiersprachen wie C oder Python werden 2D-Arrays üblicherweise zeilenweise im Speicher abgelegt. Das bedeutet, dass alle Elemente einer Zeile in aufeinanderfolgenden Speicheradressen gespeichert werden. Wenn wir also auf ein Element in einer Zeile zugreifen, ist es sehr wahrscheinlich, dass die benötigten benachbarten Elemente in derselben Zeile bereits im Cache geladen sind, wodurch Speicherlatenzen reduziert werden.
• Schleifenoptimierung: Bei der Aktualisierung der Temperaturwerte in der Simulation kann die Datenlokalität weiter optimiert werden, indem die Schleifen so angeordnet werden, dass sie die Speicherzugriffsmuster ausnutzen.
• Zeilenweise Verarbeitung: Eine mögliche Optimierungsstrategie besteht darin, die innerste Schleife über die Spalten (j) und die äußere Schleife über die Zeilen (i) zu führen. Dies stellt sicher, dass der Speicher zeilenweise durchlaufen wird, wodurch die Wahrscheinlichkeit erhöht wird, dass notwendige Daten bereits im Cache vorhanden sind.

for i in range(0, n):    for j in range(0, m):        # Aktualisierung der Temperaturwerte        temp_new[i][j] = f(temp_old[i][j], temp_old[i-1][j], temp_old[i+1][j], temp_old[i][j-1], temp_old[i][j+1])

• Beispiel (2D Blocking): Angenommen, wir verwenden eine Blockgröße von BxB, dann kann die Schleifenstruktur wie folgt geändert werden:

for ii in range(0, n, B):    for jj in range(0, m, B):        for i in range(ii, min(ii+B, n)):            for j in range(jj, min(jj+B, m)):                # Aktualisierung der Temperaturwerte                temp_new[i][j] = f(temp_old[i][j], temp_old[i-1][j], temp_old[i+1][j], temp_old[i][j-1], temp_old[i][j+1])

• Speicher-Layout: Diese Bibliotheken nutzen effiziente Speicher-Layouts und Zugriffsmuster, um die Cache-Leistung zu maximieren.

Durch die oben beschriebenen Maßnahmen kann die Datenlokalität in einer Simulation optimiert werden, was zu einer signifikanten Reduzierung der Speicherlatenzen und somit zu einer schnelleren und effizienteren Ausführung des numerischen Algorithmus führt.

c)

(c) Parallelisierung und Lastverteilung: Entwickle eine Methode zur Parallelisierung des Algorithmus, die sowohl Thread- als auch Prozessparallelität nutzt. Beschreibe, wie die Arbeitslast gleichmäßig auf die Recheneinheiten verteilt werden kann, um Lastungleichgewichte zu vermeiden.

Lösung:

Die Parallelisierung eines numerischen Algorithmus zur Simulation von Klimamodellen auf einem Hochleistungsrechner (HPC) sollte sowohl Thread- als auch Prozessparallelität nutzen, um die maximale Rechenleistung auszuschöpfen. Hier ist ein detaillierter Ansatz zur Parallelisierung und Lastverteilung:

• Thread-Parallelität: Innerhalb eines einzelnen Rechenknotens können mehrere Kerne parallel arbeiten, indem Thread-Parallelität eingesetzt wird. OpenMP ist eine häufig verwendete API, die hilft, die Arbeit auf mehrere Threads zu verteilen.
• Verwende OpenMP, um Schleifen und andere berechnungsintensive Bereiche des Codes zu parallelisieren.
• Achte darauf, dass jeder Thread auf seine eigenen Daten zugreift oder auf gemeinsam genutzte Daten in einer Weise, die Datenrennen vermeidet.

#pragma omp parallel for collapse(2)for (int i = 0; i < n; ++i) {    for (int j = 0; j < m; ++j) {        temp_new[i][j] = f(temp_old[i][j], temp_old[i-1][j], temp_old[i+1][j], temp_old[i][j-1], temp_old[i][j+1]);    }}

• Partitioniere das gesamte Problem in kleinere Unterprobleme, die auf verschiedene Knoten verteilt werden können.
• Jeder Knoten berechnet unabhängig seinen Teil des Problems, wobei gelegentlich Daten zwischen den Knoten ausgetauscht werden müssen, um Konsistenz und Synchronisation sicherzustellen.

MPI_Init(&argc, &argv);MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &rank);MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &size);// Partitioniere die Daten in Blöcke für jeden Prozessorint rows_per_proc = n / size;int start_row = rank * rows_per_proc;int end_row = (rank + 1) * rows_per_proc;for (int i = start_row; i < end_row; ++i) {    for (int j = 0; j < m; ++j) {        temp_new[i][j] = f(temp_old[i][j], temp_old[i-1][j], temp_old[i+1][j], temp_old[i][j-1], temp_old[i][j+1]);    }}// Austausch der Randwerte mit den benachbarten ProzessorenMPI_Sendrecv(...);MPI_Finalize();

• Statische Lastverteilung: Bei der statischen Lastverteilung wird die Gesamtarbeit im Voraus gleichmäßig auf die Knoten verteilt. Dies ist einfach umzusetzen, kann jedoch zu Lastungleichgewicht führen, wenn einige Knoten mehr Arbeit als andere haben.
• Dynamisches Load Balancing: Hierbei wird die Arbeitslast während der Laufzeit überwacht und Aufgaben werden dynamisch neu verteilt, um zu vermeiden, dass einige Knoten unterlastet sind, während andere überlastet sind.

#pragma omp parallelfor (int chunk = 0; chunk < num_chunks; ++chunk) {    int i_start = chunk * chunk_size;    int i_end = (chunk + 1) * chunk_size;    for (int i = i_start; i < i_end; ++i) {        for (int j = 0; j < m; ++j) {            temp_new[i][j] = f(temp_old[i][j], temp_old[i-1][j], temp_old[i+1][j], temp_old[i][j-1], temp_old[i][j+1]);        }    }}

• BLAS und LAPACK bieten Funktionen für Lineare Algebra, die auf Vektoren und Matrizen effizient arbeiten.
• PETSc ist eine Bibliothek für die Lösung von partiellen Differentialgleichungen, die speziell für parallele Berechnungen und HPC entwickelt wurde.

Mit diesen Methoden und Techniken kann der numerische Algorithmus zur Simulation von Klimamodellen effektiv parallelisiert und die Arbeitslast gleichmäßig auf die Recheneinheiten verteilt werden, um eine optimale Performance auf einem HPC-Cluster zu gewährleisten.