Statik und Festigkeitslehre - Cheatsheet

Grundlagen der Kräfte und Momente

Definition:

Grundlegend in der Statik zur Analyse von Strukturen, die im Gleichgewicht sind.

Details:

• Kraft (\textbf{F}): Einfluss, der einen Körper verformen oder seine Bewegung ändern kann. Einheitsvector: \( \textbf{F} = m \textbf{a} \)
• Resultierende Kraft (\textbf{R}): Gesamtwirkung mehrerer Kräfte. \( \textbf{R} = \textbf{F}_1 + \textbf{F}_2 + \textbf{F}_3 + ... \)
• Moment (\textbf{M}): Drehwirkung einer Kraft um einen Punkt oder eine Achse. \( \textbf{M} = \textbf{r} \times \textbf{F} \)
• Gleichgewichtsbedingungen: \( \textbf{R} = 0 \) und \( \textbf{M} = 0 \)
• Einheiten: \( F: [N] \), \( M: [Nm] \)

Freischnittverfahren

Definition:

Methode zur Analyse von Kräften in einem statischen System durch Freischneiden eines Teils und Ersetzen der umgebenden Verbindungen durch entsprechende Kräfte

Details:

• Bestimme System- und Teilsystemgrenzen
• Zeichne Freikörperbild (alle Kräfte und Momente einzeichnen)
• Statische Gleichgewichtsbedingungen aufstellen
• Wichtige Gleichgewichtsbedingungen: \[ \sum F_x = 0 \] \[ \sum F_y = 0 \] \[ \sum M = 0 \]

Analysemethoden für Fachwerke

Definition:

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Details:

• Knotenpunktverfahren: Gleichgewichtsbedingungen für jeden Knoten aufstellen
• Fachwerkanalyse: Annahme, dass alle Stäbe nur Zug oder Druck aufnehmen
• Gleichungen: \(\sum F_x = 0\ \,und\, \ \sum F_y = 0\)
• Schnittmethode: Definition eines Schnitts durch das Fachwerk, innere Kräfte in Stäben freilegen
• Gleichgewichtsbedingungen für geschnittene Teile: \(\sum M = 0\)

Biegelinientheorie

Definition:

Berechnung der Durchbiegung einer Balkenstruktur unter einer Belastung.

Details:

• Grundgleichung: \frac{d^2w}{dx^2} = \frac{M(x)}{EI}
• w: Durchbiegung
• x: Längskoordinate
• M(x): Biegemoment
• E: Elastizitätsmodul
• I: Flächenträgheitsmoment
• Randbedingungen und Belastungsarten berücksichtigen

Stress- und Dehnungsanalyse

Definition:

Analyse von Spannungen und Dehnungen in Materialien unter äußeren und inneren Kräften.

Details:

• Normalspannung: \( \sigma = \frac{F}{A} \)
• Schubspannung: \( \tau = \frac{F_s}{A} \)
• Normaldehnung: \( \epsilon = \frac{\Delta L}{L} \)
• Schubdehnung: \( \gamma = \frac{\Delta x}{y} \)
• Hooke'sches Gesetz: \( \sigma = E \epsilon \)
• Poissonzahl: \( u = -\frac{\epsilon_{quer}}{\epsilon_{längs}} \)
• Spannungszustände: einachsig, mehrachsig
• Dehnungszustände: linear, nichtlinear
• Von-Mises-Spannung: \[ \sigma_{vm} = \sqrt{ \frac{ (\sigma_1 - \sigma_2)^2 + (\sigma_2 - \sigma_3)^2 + (\sigma_3 - \sigma_1)^2 }{2} } \]

Theorie der Torsion

Definition:

Theorie zur Verdrillung von stabförmigen Körpern unter Wirkung von Torsionsmomenten.

Details:

• Torsionsspannung \(\tau_t = \frac{T \times r}{J_t} \)
• Polares Flächenträgheitsmoment: \[J_t = \frac{\text{π} \times d^4}{32} für Kreisprofile \]
• Verdrehwinkel: \[ \theta = \frac{T \times l}{G \times J_t} \]
• Drehmoment: \( T \)
• Radius: \( r \)
• Länge: \( l \)
• Scherelastizitätsmodul: \( G \)

Euler'sche Knicktheorie

Definition:

Berechnung der kritischen Last, bei der ein Stab unter Druckbelastung knickt.

Details:

• Knicklast: \[ F_k = \frac{\pi^2 \cdot E \cdot I}{(k \cdot L)^2} \]
• E: Elastizitätsmodul
• I: Flächenträgheitsmoment
• k: Knicklängefaktor
• L: Länge des Stabes
• Unterscheide verschiedene Einspannbedingungen und ihre Knicklängefaktoren

Anwendung von Software-Tools zur Simulation und Analyse

Definition:

Nutzung von Software-Tools, um statische und festigkeitstechnische Probleme zu simulieren und zu analysieren.

Details:

• Software-Tools bieten Visualisierungen und numerische Lösungen.
• Beispiele: ANSYS, Abaqus, SolidWorks Simulation.
• Ermöglichen das Überprüfen von Spannungen, Verformungen und Stabilität.
• Wichtige Methoden: Finiten-Elemente-Methode (FEM).
• Typische Schritte: Modellierung, Belastungsszenarien, Simulation, Ergebnisinterpretation.