Statik und Festigkeitslehre - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei ein Balken der Länge L, der an beiden Enden A und B unterstützt ist. An Punkt C, welcher sich in der Mitte des Balkens befindet, wirkt eine Kraft von F vertikal nach unten. Der Balken befindet sich im Gleichgewicht.

b)

b) Berechne das Moment um den Punkt A unter Berücksichtigung der Auflagekraft an Punkt B und der externen Kraft an Punkt C.

Lösung:

Um das Moment um den Punkt A zu berechnen, müssen wir die Summe der Momente, die durch die Auflagekraft an Punkt B und die externe Kraft an Punkt C verursacht werden, berücksichtigen.

Gegebene Größen:

• L: Länge des Balkens
• F: Kraft, die am Punkt C (Mitte des Balkens) nach unten wirkt
• R_B: Auflagekraft an Punkt B

Basierend auf den Berechnungen von Teilaufgabe (a) wissen wir, dass:

• R_B = \( \frac{F}{2} \)

Schritte zur Berechnung des Moments um den Punkt A:

• Berechne das Moment, das durch die Auflagekraft an Punkt B verursacht wird.

Die Auflagekraft an Punkt B wirkt in einem Abstand von L zur Auflage A. Das Moment um Punkt A ist daher:

\begin{equation} M_{B} = R_B \times L \end{equation}

Einsetzen von \( R_B = \frac{F}{2} \):

\begin{equation} M_{B} = \frac{F}{2} \times L \end{equation}

• Berechne das Moment, das durch die externe Kraft an Punkt C verursacht wird.

Die Kraft F wirkt in einem Abstand von \( \frac{L}{2} \) zur Auflage A. Das Moment um Punkt A ist daher:

\begin{equation} M_{C} = F \times \frac{L}{2} \end{equation}

• Summe der Momente um Punkt A:

Beide Momente wirken im Uhrzeigersinn um Punkt A, daher müssen sie addiert werden:

\begin{equation} M_{total} = M_{B} + M_{C} \end{equation}

Einsetzen der berechneten Momente:

\begin{equation} M_{total} = \frac{F}{2} \times L + F \times \frac{L}{2} \end{equation}

Zusammenfassen ergibt:

\begin{equation} M_{total} = \frac{F \cdot L}{2} + \frac{F \cdot L}{2} = F \cdot L \end{equation}

Das Moment um Punkt A beträgt also:

\begin{equation} M_{A} = F \cdot L \end{equation}

c)

c) Bestimme die resultierende Kraft auf den Balken. Zeige, dass die Summe der resultierenden Kräfte Null ist, um die Gleichgewichtsbedingungen zu bestätigen.

Lösung:

Um die resultierende Kraft auf den Balken zu bestimmen und zu zeigen, dass die Summe der resultierenden Kräfte Null ist, müssen wir die Auflagekräfte an den Punkten A und B sowie die externe Kraft bei Punkt C berücksichtigen.

Bereits gegebene oder berechnete Größen:

• R_A: Auflagekraft an Punkt A
• R_B: Auflagekraft an Punkt B
• F: Vertikale Kraft, die an Punkt C nach unten wirkt

Aus den vorherigen Teilaufgaben wissen wir bereits:

• \( R_A = \frac{F}{2} \)
• \( R_B = \frac{F}{2} \)

Schritte zur Bestimmung der resultierenden Kraft:

• Bestimmung der einzelnen Kräfte:

Die Auflagekraft an Punkt A:

\[ R_A = \frac{F}{2} \]

Die Auflagekraft an Punkt B:

\[ R_B = \frac{F}{2} \]

Die externe Kraft an Punkt C:

\[ F \]

• Summieren der vertikal wirkenden Kräfte:

Die Summe der Kräfte (die nach oben wirken) durch die Auflagekräfte ist:

\[ R_A + R_B = \frac{F}{2} + \frac{F}{2} = F \]

Die nach unten gerichtete Kraft am Punkt C ist:

\[ F \]

• Prüfen, ob die Summe der resultierenden Kräfte Null ist:

Die Summe der vertikalen Kräfte ist:

\[ R_A + R_B - F = F - F = 0 \]

Die Gleichgewichtsbedingungen sind erfüllt, wenn die Summe der resultierenden Kräfte Null ist. Hier zeigt sich, dass die summierten Kräfte tatsächlich Null ergeben:

\[ 0 \]

• Zusammenfassung:

Die resultierende Kraft auf den Balken ist Null. Dies bestätigt, dass der Balken im Gleichgewicht ist und die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind.

d)

d) Berechne das Moment um den Punkt C unter Berücksichtigung der Auflagekräfte an den Punkten A und B. Bestätige, dass die Summe der Momente null ist, um die Gleichgewichtsbedingungen zu erfüllen.

Lösung:

Um das Moment um den Punkt C zu berechnen und zu bestätigen, dass die Summe der Momente Null ist, müssen wir die Auflagekräfte an den Punkten A und B berücksichtigen. Punkt C befindet sich in der Mitte des Balkens.

Gegebene oder berechnete Größen:

• L: Länge des Balkens
• F: Kraft, die am Punkt C vertikal nach unten wirkt
• R_A: Auflagekraft an Punkt A
• R_B: Auflagekraft an Punkt B

Aus den vorherigen Teilaufgaben wissen wir bereits:

• \( R_A = \frac{F}{2} \)
• \( R_B = \frac{F}{2} \)

Schritte zur Berechnung des Moments um Punkt C:

• Berechnen der Momente, die durch die Auflagekräfte verursacht werden:

Auflagekraft \( R_A \) an Punkt A wirkt in einem Abstand von \( \frac{L}{2} \) zur Mitte des Balkens, also Punkt C:

\begin{equation} M_A = R_A \times \frac{L}{2} = \frac{F}{2} \times \frac{L}{2} = \frac{F \cdot L}{4} \end{equation}

Auflagekraft \( R_B \) an Punkt B wirkt ebenfalls in einem Abstand von \( \frac{L}{2} \) zur Mitte des Balkens, also Punkt C:

\begin{equation} M_B = R_B \times \frac{L}{2} = \frac{F}{2} \times \frac{L}{2} = \frac{F \cdot L}{4} \end{equation}

• Richtung der Momente:

Die Auflagekraft \( R_A \) erzeugt ein positives Moment um Punkt C (im Uhrzeigersinn), während die Auflagekraft \( R_B \) ein negatives Moment um Punkt C (gegen den Uhrzeigersinn) erzeugt.

Das Moment um Punkt C durch \( R_A \) ist:

\begin{equation} M_{C,A} = \frac{F \cdot L}{4} \end{equation}

Das Moment um Punkt C durch \( R_B \) ist:

\begin{equation} M_{C,B} = - \frac{F \cdot L}{4} \end{equation}

• Summe der Momente um Punkt C:

Die Summe der Momente um Punkt C beträgt:

\begin{equation} M_{C,\text{summe}} = M_{C,A} + M_{C,B} = \frac{F \cdot L}{4} - \frac{F \cdot L}{4} = 0 \end{equation}

• Bestätigung der Gleichgewichtsbedingungen:

Die Summe der Momente um Punkt C ist Null, was bestätigt, dass der Balken im Gleichgewicht ist und die Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind.

Aufgabe 2)

Gegeben: Einfaches statisches SystemEine Stahlbrücke wird von vier vertikalen Seilen gehalten, die symmetrisch entlang der Länge der Brücke angebracht sind. Die Brücke hat eine gleichmäßig verteilte Last von 5 kN/m über ihre gesamte Länge von 10 Metern. Die Seile sind an den Punkten A, B, C und D befestigt, wobei A und D an den Enden der Brücke und B und C je 3 Meter von den Enden entfernt sind. Vernachlässige das Eigengewicht der Brücke.

a)

Teilaufgabe a: Bestimme die System- und Teilsystemgrenzen für dieses statische System und zeichne das Freikörperbild für den gesamten Brückenabschnitt. Trage alle bekannten und unbekannten Kräfte sowie Momente ein.

Lösung:

• Systemgrenzen:Die Systemgrenzen umfassen die gesamte Brücke, die von den vier vertikalen Seilen (A, B, C, D) gehalten wird. Die Brücke ist eine homogene Struktur mit gleichmäßig verteilter Last entlang ihrer gesamten Länge von 10 Metern.
• Teilsystemgrenzen:Die Teilsystemgrenzen können durch die Positionen der Seilbefestigungen definiert werden:
• A: am linken Ende der Brücke
• B: 3 Meter vom linken Ende entfernt
• C: 7 Meter vom linken Ende entfernt (ebenfalls 3 Meter vom rechten Ende)
• D: am rechten Ende der Brücke
• Freikörperbild (FKB)Das Freikörperbild für den gesamten Brückenabschnitt sieht wie folgt aus:
• Die Brücke ist eine horizontale Linie mit einer Länge von 10 Metern, wobei die nach unten wirkende gleichmäßig verteilte Last von 5 kN/m über die gesamte Länge dargestellt ist.
• Markiere die Positionen der vertikalen Seilkraftangriffspunkte A, B, C, und D:
• A ist am linken Ende (x = 0)
• B ist 3 Meter vom linken Ende entfernt (x = 3 m)
• C ist 7 Meter vom linken Ende entfernt (x = 7 m)
• D ist am rechten Ende (x = 10 m)
• Trage die Reaktionskräfte an den Punkten A, B, C und D ein:
• F_A: nach oben gerichtete Kraft am Punkt A
• F_B: nach oben gerichtete Kraft am Punkt B
• F_C: nach oben gerichtete Kraft am Punkt C
• F_D: nach oben gerichtete Kraft am Punkt D
• Die gleichmäßig verteilte Last von 5 kN/m wird als eine Reihe von kleinen Pfeilen nach unten gezeigt, die über die gesamte Länge der Brücke verteilt sind (10 Meter).
• Zusätzlich sollte das resultierende Moment (M) und die resultierenden Kräfte (Summen aller vertikalen Lasten) an jedem Angriffspunkt berücksichtigt und markiert werden.

 |-----|-----|-----|-----|A--- 3m---B--- 4m---C--- 3m---D |-------- 10 Meter --------|

• Pfeile nach oben bei A, B, C und D (Reaktionskräfte F_A, F_B, F_C, F_D)
• Pfeile nach unten über die gesamte Länge der Brücke (gleichmäßig verteilte Last 5 kN/m).

b)

Teilaufgabe b: Statische Gleichgewichtsbedingungen:

• Formuliere die Gleichgewichtsbedingungen für die horizontalen Kräfte für die gesamte Brücke.
• Formuliere die Gleichgewichtsbedingungen für die vertikalen Kräfte für die gesamte Brücke.
• Formuliere die Momentengleichgewichtsbedingungen um Punkt A.

Lösung:

• Gleichgewichtsbedingungen für die horizontalen Kräfte:Da alle Lasten und Reaktionskräfte vertikal wirken, existieren keine horizontalen Kräfte. Daher ist die Gleichgewichtsbedingung für die horizontalen Kräfte:
• Summe der horizontalen Kräfte:

 \begin{equation} \sum F_x = 0 \ \therefore 0 = 0 \ \text{Es gibt keine horizontalen Kräfte.} \end{equation} 

 \begin{equation} \sum F_y = 0 \ F_A + F_B + F_C + F_D - (5 \text{ kN/m} \times 10 \text{ m}) = 0 \ \therefore F_A + F_B + F_C + F_D = 50 \text{ kN} \end{equation} 

 \begin{equation} \sum M_A = 0 \ (F_B \times 3 \text{ m}) + (F_C \times 7 \text{ m}) + (F_D \times 10 \text{ m}) - (5 \text{ kN/m} \times 10 \text{ m} \times 5 \text{ m}) = 0 \ \therefore 3 F_B + 7 F_C + 10 F_D = 250 \text{ kNm} \end{equation} 

d)

Teilaufgabe d: Überprüfe Deine Berechnungen, indem Du sicherstellst, dass die Summe der vertikalen Reaktionskräfte gleich der gesamten verteilten Last auf der Brücke ist.

Lösung:

• Gegeben: Eine Stahlbrücke wird von vier vertikalen Seilen (A, B, C, D) gehalten. Die Brücke hat eine gleichmäßig verteilte Last von 5 kN/m über eine Länge von 10 Metern.
• Berechnung der Reaktionskräfte: Die zuvor berechneten Reaktionskräfte sind wie folgt:
• F_A = F_D = 12.5 kN
• F_B = F_C = 12.5 kN
• Teilaufgabe d: Überprüfung der Berechnungen:Stelle sicher, dass die Summe der vertikalen Reaktionskräfte gleich der gesamten verteilten Last auf der Brücke ist:
• 1. Summiere die vertikalen Reaktionskräfte:

 \begin{equation} \sum F_y = F_A + F_B + F_C + F_D \end{equation} \begin{equation} \sum F_y = 12.5 \text{ kN} + 12.5 \text{ kN} + 12.5 \text{ kN} + 12.5 \text{ kN} = 50 \text{ kN} \end{equation} 

 \begin{equation} \text{Gesamte verteilte Last} = 5 \text{ kN/m} \times 10 \text{ m} = 50 \text{ kN} \end{equation} 

 \begin{equation} \sum F_y = 50 \text{ kN} \end{equation} \begin{equation} \text{Verteilte Last} = 50 \text{ kN} \end{equation} \therefore \text{Die Summe der vertikalen Reaktionskräfte ist gleich der Gesamtlast. Die Berechnungen sind korrekt.} \end{equation} 

Aufgabe 3)

Gegeben: Ein statisch bestimmtes Fachwerk besteht aus sechs Stäben (AB, BC, AC, AD, BD und CD), die durch die Knoten A, B, C und D verbunden sind. Die Knoten befinden sich auf den Koordinaten: A (0,0), B (4,0), C (8,0), D (4,3). Am Knoten C wird eine vertikale Last von 10 kN nach unten angebracht. Die Knoten A und B sind jeweils durch zwei Auflager fixiert. Für Knoten A gilt eine feste Einspannung, bei Knoten B handelt es sich um ein Rollauflager. Bestimme die Stabkräfte in jedem Stab unter Anwendung des Knotenpunktverfahrens und der Schnittmethode.

b)

2. Verwende das Knotenpunktverfahren für Knoten A, um die Stabkräfte in den Stäben AB und AD zu bestimmen. Notiere alle Gleichgewichtsbedingungen und berechne die Unbekannten.

Lösung:

Um die Stabkräfte in den Stäben AB und AD am Knoten A unter Verwendung des Knotenpunktverfahrens zu bestimmen, müssen wir die Gleichgewichtsbedingungen für Knoten A aufstellen. Bei Knoten A gibt es eine feste Einspannung, daher hat dieser Knoten sowohl horizontale als auch vertikale Reaktionen.

• Berechne die Auflagerreaktionen an den Punkten A und B, wie bereits durchgeführt:
• \(A_x = 0\)
• \(A_y = -10 \text{kN}\)
• \(B_y = 20 \text{kN}\)
• Nun betrachten wir die Gleichgewichtsbedingungen für Knoten A und stellen die folgenden Bedingungen auf:
• Summe der horizontalen Kräfte:

\(\sum F_x = 0\)

• Summe der vertikalen Kräfte:

\(\sum F_y = 0\)

Angenommen, die Stabkräfte AB und AD sind:

• \(F_{AB}\): Stabkraft im Stab AB
• \(F_{AD}\): Stabkraft im Stab AD
• \(\theta_{AD}\): Winkel von AD zur Horizontalen, dieser kann berechnet werden mittels \(\tan(\theta_{AD}) = \frac{3}{4} \rightarrow \theta_{AD} = \tan^{-1}(\frac{3}{4})\)

Setzen wir die Gleichgewichtsbedingungen um die Kräfte zu berechnen:

Summe der horizontalen Kräfte am Knotenpunkt A:

• \(\sum F_x = 0\)
• \(Ax - F_{AB} + F_{AD} \cos(\theta_{AD}) = 0\)
• Da \(A_x = 0\):
• \(- F_{AB} + F_{AD} \frac{4}{5} = 0\)
• \(\rightarrow F_{AB} = F_{AD} \frac{4}{5}\)

Summe der vertikalen Kräfte am Knotenpunkt A:

• \(\sum F_y = 0\)
• \(A_y + F_{AD} \sin(\theta_{AD}) = 0\)
• Da \(A_y = -10 \text{kN}\) und \(\sin(\theta_{AD}) = \frac{3}{5}\):
• \(-10 + F_{AD} \frac{3}{5} = 0\)
• \(\rightarrow F_{AD} \frac{3}{5} = 10\)
• \(\rightarrow F_{AD} = \frac{10 \times 5}{3} = \frac{50}{3} \text{kN} \approx 16.67 \text{kN}\)

Nun setzen wir \(F_{AD}\) in die Gleichung für \(F_{AB}\) ein:

• \(F_{AB} = \frac{4}{5} \times F_{AD}\)
• \(F_{AB} = \frac{4}{5} \times \frac{50}{3} = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \text{kN} \approx 13.33 \text{kN}\)

Also sind die Stabkräfte:

• \(F_{AB} \approx 13.33 \text{kN}\)
• \(F_{AD} \approx 16.67 \text{kN}\)

c)

3. Wende das Knotenpunktverfahren auf Knoten B an, um die Stabkräfte in den Stäben BD und BC zu bestimmen. Beachte erneut alle Gleichgewichtsbedingungen in den x- und y-Richtungen.

Lösung:

Um die Stabkräfte in den Stäben BD und BC am Knoten B unter Verwendung des Knotenpunktverfahrens zu bestimmen, müssen wir die Gleichgewichtsbedingungen für Knoten B aufstellen. Bei Knoten B gibt es ein Rollauflager, daher hat dieser Knoten nur eine vertikale Reaktion, die bereits als \(B_y = 20 \text{kN}\) berechnet wurde und keine horizontale Reaktion (\(B_x = 0\)).

• Berechne die Stabkräfte an den Punkten B, wie bereits durchgeführt:
• \(B_x = 0\)
• \(B_y = 20 \text{kN}\)

Die Stäbe, die vom Knoten B ausgehen, sind BC und BD. Wir berücksichtigen die Gleichgewichtsbedingungen für Knoten B und stellen die folgenden Gleichungen auf:

• Summe der horizontalen Kräfte:

\(\sum F_x = 0\)

• Summe der vertikalen Kräfte:

\(\sum F_y = 0\)

Angenommen, die Stabkräfte in den Stäben BD und BC sind:

• \(F_{BD}\): Stabkraft im Stab BD
• \(F_{BC}\): Stabkraft im Stab BC
• \(\theta_{BD}\): Winkel von BD zur Horizontalen, dieser kann berechnet werden mittels \(\tan(\theta_{BD}) = \frac{3}{4}\rightarrow \theta_{BD} = \tan^{-1}(\frac{3}{4})\)

Setzen wir die Gleichgewichtsbedingungen um die Kräfte zu berechnen:

Summe der horizontalen Kräfte am Knotenpunkt B:

• \(\sum F_x = 0\)
• \(-F_{BC} - F_{BD} \cos(\theta_{BD}) = 0\)
• \(\rightarrow -F_{BC} - F_{BD} \frac{4}{5} = 0\)
• \(\rightarrow F_{BC} = -F_{BD} \frac{4}{5}\)

Summe der vertikalen Kräfte am Knotenpunkt B:

• \(\sum F_y = 0\)
• \(B_y + F_{BD} \sin(\theta_{BD}) = 0\)
• Da \(B_y = 20 \text{kN}\) und \(\sin(\theta_{BD}) = \frac{3}{5}\):
• \(20 + F_{BD} \frac{3}{5} = 0\)
• \(\rightarrow F_{BD} \frac{3}{5} = -20\)
• \(\rightarrow F_{BD} = \frac{-20 \times 5}{3} = \frac{-100}{3} \text{kN} \approx -33.33 \text{kN}\)

Nun setzen wir \(F_{BD}\) in die Gleichung für \(F_{BC}\) ein:

• \(F_{BC} = -F_{BD} \frac{4}{5}\)
• \(F_{BC} = -\left(\frac{-100}{3}\right) \frac{4}{5} = \frac{400}{15} = \frac{80}{3} \text{kN} \approx 26.67 \text{kN}\)

Also sind die Stabkräfte:

• \(F_{BD} \approx -33.33 \text{kN}\) (die negative Stabkraft bedeutet, dass der Stab auf Druck beansprucht wird)
• \(F_{BC} \approx 26.67 \text{kN}\)

d)

4. Bestimme zum Abschluss die noch fehlenden Stabkräfte in den übrigen Stäben (AC und CD) mithilfe der Schnittmethode. Dazu trenne das Fachwerk an geeigneter Stelle auf und nutze die Gleichgewichtsbedingungen für die geschnittenen Teile.

Lösung:

Um die noch fehlenden Stabkräfte in den übrigen Stäben (AC und CD) zu bestimmen, verwenden wir die Schnittmethode. Dazu trennen wir das Fachwerk an einer geeigneten Stelle und setzen die Gleichgewichtsbedingungen für die geschnittenen Teile ein. Bevor wir beginnen, fassen wir die bisher gefundenen Stabkräfte zusammen:

• \(F_{AB} \approx 13.33 \text{kN}\)
• \(F_{AD} \approx 16.67 \text{kN}\)
• \(F_{BD} \approx -33.33 \text{kN}\) (auf Druck)
• \(F_{BC} \approx 26.67 \text{kN}\)

Für die Schnittmethode trennen wir das Fachwerk an einer Linie, die die Stäbe AC und CD schneidet. Diese Trennung erzeugt ein freigeschnittenes Teil, an dem wir die Gleichgewichtsbedingungen anwenden können.

Betrachten wir das freigeschnittene Teil, das die Kräfte in den Stäben AC und CD enthält. Wir verwenden die folgenden Gleichgewichtsbedingungen:

• Summe der horizontalen Kräfte:

\(\sum F_x = 0\)

• Summe der vertikalen Kräfte:

\(\sum F_y = 0\)

• Summe der Momente:

\(\sum M = 0\)

Um die Kräfte zu berechnen, betrachten wir zunächst die Gleichgewichtsbedingungen für das geschnittene Teil.

Summe der horizontalen Kräfte:

• \(F_{AC} \cos(0°) + F_{CD} \cos(\theta_{CD}) = 0\)
• Wobei \(\theta_{CD}\) der Winkel ist, den der Stab CD mit der Horizontalen bildet.\(\tan(\theta_{CD}) = \frac{3}{4} \rightarrow \theta_{CD} = \tan^{-1}(\frac{3}{4})\)
• \(F_{AC} - F_{CD} \frac{4}{5} = 0\)
• \(F_{AC} = F_{CD} \frac{4}{5}\)

Summe der vertikalen Kräfte:

• \(F_{CD} \sin(\theta_{CD}) - 10\text{kN} = 0\)
• \(F_{CD} \frac{3}{5} - 10 = 0\)
• \(F_{CD} \frac{3}{5} = 10\)
• \(F_{CD} = \frac{10 * 5}{3} = \frac{50}{3} \text{kN} \approx 16.67 \text{kN}\)

Nun setzen wir \(F_{CD}\) in die horizontale Gleichgewichtsbedingung ein:

• \(F_{AC} = F_{CD} \frac{4}{5}\)
• \(F_{AC} = \frac{50}{3} * \frac{4}{5} = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \text{kN} \approx 13.33 \text{kN}\)

Also sind die Stabkräfte:

• \(F_{AC} \approx 13.33 \text{kN}\)
• \(F_{CD} \approx 16.67 \text{kN}\)

Aufgabe 4)

Du hast einen horizontalen Balken der Länge L, eingelagert auf zwei Stützen (einfacher Balken) mit einem Elastizitätsmodul E und einem Flächenträgheitsmoment I. Der Balken wird in der Mitte durch eine Punktlast F nach unten belastet. Bestimme die maximale Durchbiegung w(x) des Balkens aufgrund dieser Belastung unter Berücksichtigung der gegebenen Randbedingungen.

a)

(a) Leite die Differentialgleichung der Durchbiegung w(x) des Balkens her. Erkläre, wie $M(x)$, das Biegemoment, in Abhängigkeit von $x$, $F$ und $L$ zu finden ist. Nutze die folgenden Randbedingungen:

• w(0) = 0
• w(L) = 0

Lösung:

Um die Differentialgleichung der Durchbiegung w(x) des Balkens herzuleiten, müssen wir das Biegemoment M(x) in Abhängigkeit von x, F und L bestimmen. Beginnen wir mit den grundlegenden Gleichungen.

• Die Differentialgleichung der Durchbiegung eines Balkens unter einer Last lautet:

\[EI \, \frac{{d^4 w(x)}}{{dx^4}} = q(x)\]

Da die Punktlast F nur an einem Punkt in der Mitte des Balkens wirkt, ist q(x) = 0 für alle x außer bei x = L/2. Das bedeutet, dass wir das Problem in zwei Abschnitte unterteilen müssen: von 0 bis L/2 und von L/2 bis L.

Wir leiten zunächst das Biegemoment M(x) in jedem Bereich her:

• Für 0 ≤ x < L/2: Der Bereich von 0 bis L/2 ist ein einfacher Stab, wobei die Reaktionskraft an der linken Stütze F/2 beträgt (durch Gleichgewichtsbedingungen). Das Biegemoment ist dann:

\[M(x) = \frac{F}{2} x\]

• Für L/2 ≤ x ≤ L: Im Bereich von L/2 bis L wirkt dieselbe Reaktionskraft von der rechten Stütze. Das Biegemoment ist dann:

\[M(x) = \frac{F}{2} (L - x)\]

Die nächste Aufgabe besteht darin, diese Momente in die Biegedifferentialgleichung einzusetzen und die Durchbiegung w(x) zu bestimmen.

Die Biegedifferentialgleichung lautet allgemein:

\[EI \, \frac{{d^2 w(x)}}{{dx^2}} = - M(x)\]

• Für 0 ≤ x < L/2:

\[EI \, \frac{{d^2 w(x)}}{{dx^2}} = - \frac{F}{2} x\]

Dies muss zweimal integriert werden, um w(x) zu erhalten. Zuerst integrieren wir einmal:

\[EI \, \frac{d w(x)}{{dx}} = - \frac{F}{4} x^2 + C_1\]

Dann integrieren wir ein zweites Mal:

\[EI \, w(x) = - \frac{F}{12} x^3 + C_1 x + C_2\]

• Für L/2 ≤ x ≤ L:

\[EI \, \frac{{d^2 w(x)}}{{dx^2}} = - \frac{F}{2} (L - x)\]

Wieder integrieren wir zweimal:

\[EI \, \frac{d w(x)}{{dx}} = - \frac{F}{2} (Lx - \frac{x^2}{2}) + D_1\]

\[EI \, w(x) = - \frac{F}{12} x^3 + \frac{F}{4} L x^2 + D_1 x + D_2\]

Wir nutzen die Randbedingungen:

• w(0) = 0: \[C_2 = 0\]
• w(L) = 0: Einsetzen in die Gleichung für \(x = L\) ergibt:

\[ - \frac{F L^3}{48 EI} + \frac{F L^3}{16 EI} = 0\]

Zusammenfassend: Die maximale Durchbiegung des Balkens tritt in der Mitte auf (x = L/2) und kann mit folgender Gleichung berechnet werden:

\[w_{\text{max}} = - \frac{F L^3}{48 EI} \]

Um die genaue Funktion w(x) zu finden, müssen wir die Integrationsergebnisse mit den Randbedingungen kombinieren und die Konstanten C_1, C_2, D_1 und D_2 bestimmen. Dies ergibt die endgültige Durchbiegungsfunktion in beiden Bereichen.

b)

(b) Integriere die Differentialgleichung zur Bestimmung der Funktion w(x). Bestimme die Integrationskonstanten durch Anwendung der gegebenen Randbedingungen. Berechne schließlich die maximale Durchbiegung an der Stelle, wo die Last F auf den Balken wirkt, und gib sie im Verhältnis zu E, I, F und L an.

Lösung:

Um die Funktion w(x) zu bestimmen, müssen wir die Differentialgleichung integrieren und die Integrationskonstanten durch Anwendung der gegebenen Randbedingungen bestimmen. Schließlich berechnen wir die maximale Durchbiegung an der Stelle, wo die Last F auf den Balken wirkt.

Wir beginnen mit der Differentialgleichung:

\[EI \, \frac{{d^4 w(x)}}{{dx^4}} = 0\]

Da die Punktlast F in der Mitte des Balkens (bei x = L/2) wirkt, ist q(x) = 0 für alle x außer bei x = L/2:

• Für 0 \leq x < \frac{L}{2}:

\[EI \, \frac{{d^2 w(x)}}{{dx^2}} = - \frac{F}{2} x\]

Integrieren wir diese Gleichung zweimal:

\[EI \, \frac{{d w(x)}}{{dx}} = - \frac{F}{4} x^2 + C_1\]

\[EI \, w(x) = - \frac{F}{12} x^3 + C_1 x + C_2\]

• Für \frac{L}{2} \leq x \leq L:

\[EI \, \frac{{d^2 w(x)}}{{dx^2}} = - \frac{F}{2} (L - x)\]

Integrieren wir diese Gleichung zweimal:

\[EI \, \frac{{d w(x)}}{{dx}} = - \frac{F}{2} (Lx - \frac{x^2}{2}) + D_1\]

\[EI \, w(x) = - \frac{F}{12} x^3 + \frac{F}{4} L x^2 + D_1 x + D_2\]

Nächster Schritt: Bestimmung der Integrationskonstanten durch Anwendung der Randbedingungen:

• w(0) = 0:

\[EI \, w(0) = 0 = - \frac{F}{12} (0)^3 + C_1 (0) + C_2\]

Daraus folgt:

\[C_2 = 0\]

• w(L) = 0:

Setzen wir in die Gleichung für den Bereich \frac{L}{2} \leq x \leq L ein:

\[0 = - \frac{F}{12} L^3 + \frac{F}{4} L L^2 + D_1 L + D_2\]

Da w(L) = 0 und D_2 = 0, ergibt sich:

\[0 = - \frac{F}{12} L^3 + \frac{F}{4} L^3 + D_1 L\]

\[D_1 = \frac{F L^2}{12} - \frac{F L^2}{4}\]

\[D_1 = - \frac{F L^2}{6}\]

Die letzte Konstante C_1 wird durch Kontinuität bei x = \frac{L}{2} bestimmt:

Setzen wir in die Gleichung für 0 \leq x < \frac{L}{2} ein:

\[EI \, w(\frac{L}{2}) = - \frac{F}{12} (\frac{L}{2})^3 + C_1 (\frac{L}{2})\]

Setzen wir in die Gleichung für \frac{L}{2} \leq x \leq L ein:

\[EI \, w(\frac{L}{2}) = - \frac{F}{12} (\frac{L}{2})^3 + \frac{F}{4} L (\frac{L}{2})^2 - \frac{F L^2}{6} (\frac{L}{2})\]

Kontinuität verlangt:

\[- \frac{F}{12} (\frac{L}{2})^3 + C_1 (\frac{L}{2}) = - \frac{F}{12} (\frac{L}{2})^3 + \frac{F}{4} L (\frac{L}{2})^2 - \frac{F L^2}{6} (\frac{L}{2})\]

\[C_1 = - \frac{F L^2}{24} + \frac{F L^2}{24}\]

\[C_1 = 0\]

Schließlich erhalten wir die maximale Durchbiegung durch Einsetzen von x = \frac{L}{2} in die Gleichung:

\[w_{\text{max}} = - \frac{F}{48 EI} L^3\]

Dies gibt die maximale Durchbiegung des Balkens im Verhältnis zu E, I, F und L an.