Thermisches Management in der Leistungselektronik - Exam

Aufgabe 1)

Thermische Widerstände und ihre Berechnung: Thermische Widerstände sind ein Maß für die Fähigkeit eines Materials oder Bauelements, den Wärmefluss zu behindern. Sie werden in K/W (Kelvin pro Watt) gemessen und können in Reihe oder parallel geschaltet werden. Die allgemeine Formel lautet: ewline

• R_{th} = \frac{\triangle T}{P}
• \triangle T: Temperaturdifferenz (K)
• P: Verlustleistung (W)
• Serienschaltung: R_{th, ges} = \sum R_{th, i}
• Parallelschaltung: \frac{1}{R_{th, ges}} = \sum \frac{1}{R_{th, i}}

a)

Ein MOSFET hat eine Verlustleistung von 10 W und eine Temperaturdifferenz zwischen der Sperrschicht und dem Gehäuse von 30 K. Berechne den thermischen Widerstand des MOSFETs. Formuliere die Schritte, die du zur Berechnung benötigst und zeige die mathematische Herleitung.

Lösung:

Thermische Widerstände und ihre Berechnung:

• Thermische Widerstände sind ein Maß für die Fähigkeit eines Materials oder Bauelements, den Wärmefluss zu behindern.
• Sie werden in K/W (Kelvin pro Watt) gemessen.
• Thermische Widerstände können in Reihe oder parallel geschaltet werden.

Die allgemeine Formel lautet:

• Thermischer Widerstand: \(R_{th} = \frac{{\Delta T}}{{P}}\)
  • \(\Delta T\): Temperaturdifferenz (K)
  • P: Verlustleistung (W)
• Serienschaltung: \(R_{th, ges} = \sum R_{th, i}\)
• Parallelschaltung: \(\frac{{1}}{{R_{th, ges}}} = \sum \frac{{1}}{{R_{th, i}}}\)

Teilaufgabe:

Ein MOSFET hat eine Verlustleistung von 10 W und eine Temperaturdifferenz zwischen der Sperrschicht und dem Gehäuse von 30 K. Berechne den thermischen Widerstand des MOSFETs. Formuliere die Schritte, die du zur Berechnung benötigst, und zeige die mathematische Herleitung.

Schritte:

1. Identifiziere die gegebenen Werte:

• \(\Delta T = 30\) K
• P = 10 W

Setze die Werte in die Formel für den thermischen Widerstand ein:

• \(R_{th} = \frac{{\Delta T}}{{P}}\)

Führe die Berechnung durch:

• \(R_{th} = \frac{{30 \text{ K}}}{{10 \text{ W}}} = 3 \frac{{\text{K}}}{{\text{W}}}\)

Ergebnisse zusammenfassen:

• Der thermische Widerstand des MOSFETs beträgt 3 K/W.

Herleitung:

• Gegeben: \(\Delta T = 30\) K, P = 10 W
• Formel: \(R_{th} = \frac{{\Delta T}}{{P}}\)
• Einsetzen der Werte: \(R_{th} = \frac{{30 \text{ K}}}{{10 \text{ W}}}\)
• Berechnung: \(R_{th} = 3 \frac{{\text{K}}}{{\text{W}}}\)

Der thermische Widerstand des MOSFETs beträgt folglich 3 K/W.

b)

Zwei MOSFETs sind in Reihe geschaltet, wobei jede einen thermischen Widerstand von 2 K/W aufweist. Berechne den Gesamtwiderstand der Serienschaltung und erkläre, wie sich dieser Wert auf die Kühlung der Bauelemente auswirkt.

Lösung:

Thermische Widerstände und ihre Berechnung:

• Thermische Widerstände sind ein Maß für die Fähigkeit eines Materials oder Bauelements, den Wärmefluss zu behindern.
• Sie werden in K/W (Kelvin pro Watt) gemessen.
• Thermische Widerstände können in Reihe oder parallel geschaltet werden.

Die allgemeine Formel lautet:

• Thermischer Widerstand: \(R_{th} = \frac{{\Delta T}}{{P}}\)
  • \(\Delta T\): Temperaturdifferenz (K)
  • P: Verlustleistung (W)
• Serienschaltung: \(R_{th, ges} = \sum R_{th, i}\)
• Parallelschaltung: \(\frac{{1}}{{R_{th, ges}}} = \sum \frac{{1}}{{R_{th, i}}}\)

Teilaufgabe:

Zwei MOSFETs sind in Reihe geschaltet, wobei jeder einen thermischen Widerstand von 2 K/W aufweist. Berechne den Gesamtwiderstand der Serienschaltung und erkläre, wie sich dieser Wert auf die Kühlung der Bauelemente auswirkt.

Schritte:

1. Identifiziere den gegebenen Wert für jeden MOSFET:

• Thermischer Widerstand eines MOSFETs: \(R_{th, i} = 2 \frac{{K}}{{W}}\)

Verwende die Formel für die Serienschaltung:

• \(R_{th, ges} = R_{th, 1} + R_{th, 2}\)

Setze die Werte ein:

• \(R_{th, ges} = 2 \frac{{K}}{{W}} + 2 \frac{{K}}{{W}} = 4 \frac{{K}}{{W}}\)

Erkläre, wie sich dieser Wert auf die Kühlung auswirkt:

• Ein höherer Gesamtwiderstand bedeutet, dass der Gesamtwiderstand der Serienschaltung die Wärmedissipation behindert. Dies resultiert in einer höheren Temperaturdifferenz für die gleiche Verlustleistung, was die Kühlung des Systems erschwert.

Zusammenfassung:

• Die Serienschaltung von zwei MOSFETs mit je einem thermischen Widerstand von 2 K/W ergibt einen Gesamtwiderstand von 4 K/W.
• \(R_{th, ges} = 4 \frac{{K}}{{W}}\)

Ein höherer Gesamtwiderstand bedeutet, dass mehr Wärme im System verbleibt, was die Kühlung der Bauelemente erschwert und die Temperatur erhöht. Eine ausreichende Kühlung ist daher entscheidend, um eine Überhitzung zu vermeiden.

c)

Drei Kühlkörper mit den thermischen Widerständen 3 K/W, 4 K/W und 6 K/W sind parallel geschaltet. Berechne den Gesamtwiderstand der Parallelschaltung. Beschreibe dabei die einzelnen Berechnungsschritte und erläutere die praktischen Vorteile der Parallelschaltung von Kühlkörpern.

Lösung:

Thermische Widerstände und ihre Berechnung:

• Thermische Widerstände sind ein Maß für die Fähigkeit eines Materials oder Bauelements, den Wärmefluss zu behindern.
• Sie werden in K/W (Kelvin pro Watt) gemessen.
• Thermische Widerstände können in Reihe oder parallel geschaltet werden.

Die allgemeine Formel lautet:

• Thermischer Widerstand: \(R_{th} = \frac{{\Delta T}}{{P}}\)
  • \(\Delta T\): Temperaturdifferenz (K)
  • P: Verlustleistung (W)
• Serienschaltung: \(R_{th, ges} = \sum R_{th, i}\)
• Parallelschaltung: \(\frac{{1}}{{R_{th, ges}}} = \sum \frac{{1}}{{R_{th, i}}}\)

Teilaufgabe:

Drei Kühlkörper mit den thermischen Widerständen 3 K/W, 4 K/W und 6 K/W sind parallel geschaltet. Berechne den Gesamtwiderstand der Parallelschaltung. Beschreibe dabei die einzelnen Berechnungsschritte und erläutere die praktischen Vorteile der Parallelschaltung von Kühlkörpern.

Schritte zur Berechnung:

1. Identifiziere die thermischen Widerstände der Kühlkörper:

• R1 = 3 K/W
• R2 = 4 K/W
• R3 = 6 K/W

Verwende die Formel für die Parallelschaltung:

• \(\frac{1}{R_{th, ges}} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}}\)

Setze die Werte ein:

• \(\frac{1}{R_{th, ges}} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6}\)

Berechne die einzelnen Brüche:

• \(\frac{1}{3} = 0.333\)
• \(\frac{1}{4} = 0.25\)
• \(\frac{1}{6} = 0.167\)

Addiere die Brüche:

• \(0.333 + 0.25 + 0.167 = 0.75\)

Berechne den Kehrwert der Summe:

• \(R_{th, ges} = \frac{1}{0.75} = 1.333\ K/W\)

Zusammenfassung:

• Der Gesamtwiderstand der Parallelschaltung von drei Kühlkörpern mit 3 K/W, 4 K/W und 6 K/W beträgt 1.333 K/W.
• \(R_{th, ges} = 1.333 \frac{K}{W}\)

Erklärung und Vorteile der Parallelschaltung:

• Bei einer Parallelschaltung von Kühlkörpern wird der Gesamtwiderstand verringert, was zu einer besseren Wärmedissipation führt.
• Eine niedrigere Gesamtwiderstand bedeutet, dass die Wärme effizienter abgeleitet wird.
• Dies verbessert die Kühlung der Bauelemente, was deren Lebensdauer und Zuverlässigkeit erhöht.
• Darüber hinaus kann das System flexibler gestaltet werden, da einzelne Kühlkörper je nach Bedarf hinzugefügt oder entfernt werden können.
• Eine Parallelschaltung ermöglicht auch eine gleichmäßigere Verteilung der Wärme, wodurch Hotspots vermieden werden.

Aufgabe 2)

Wärmeleitfähigkeit und deren Bedeutung im thermischen Management der LeistungselektronikWärmeleitfähigkeit beschreibt die Fähigkeit eines Materials, Wärme zu leiten. Diese Eigenschaft spielt eine zentrale Rolle im thermischen Management der Leistungselektronik, da sie bestimmt, wie effizient überschüssige Wärme von leistungsstarken Komponenten abgeleitet werden kann. Materialeigenschaften wie die Wärmeleitfähigkeit, die in W/(m·K) gemessen wird, sind daher entscheidend.Typische Materialien und ihre Wärmeleitfähigkeit sind:

• Kupfer: etwa 390 W/m·K
• Aluminium: etwa 237 W/m·K
• Silizium: etwa 148 W/m·K
• Keramik: im Bereich von 20 bis 30 W/m·K

Geringe Wärmeleitfähigkeit führt zu Wärmestaus und kann die Lebensdauer von elektronischen Bauteilen erheblich verkürzen.

a)

Berechne den Wärmefluss durch einen Aluminiumblock der Größe 10 cm x 10 cm x 1 cm, wenn die Temperaturdifferenz zwischen den beiden gegenüberliegenden Flächen 50 °C beträgt. Verwende für die Berechnung die Wärmeleitfähigkeit für Aluminium: 237 W/m·K.

Lösung:

Berechnung des Wärmeflusses durch einen Aluminiumblock:Um den Wärmefluss (abla abla abla) durch einen Aluminiumblock zu berechnen, benötigen wir die Wärmeleitfähigkeit (abla abla abla), die Temperaturdifferenz (abla abla abla), die Fläche (abla abla abla) und die Dicke (abla abla abla) des Blocks. Die Formel für den Wärmefluss lautet:\[\phi = \frac{k \times A \times abla T}{d}\]Gegebene Werte:

• Wärmeleitfähigkeit (k): 237 W/(m·K)
• Temperaturdifferenz (ΔT): 50 °C
• Fläche (A): 10 cm x 10 cm = 0,1 m x 0,1 m = 0,01 m²
• Dicke (d): 1 cm = 0,01 m

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:\[\phi = \frac{237 \times 0,01 \times 50}{0,01}\]Einfachen des Ausdrucks:\[\phi = 237 \times 50 = 11850\]Der Wärmefluss durch den Aluminiumblock beträgt somit 11850 Watt.

b)

Diskutiere die Auswirkungen der Verwendung von Keramik im thermischen Management von Hochleistungselektronik. Gehe hierbei auf die Unterschiede in der Wärmeleitfähigkeit zwischen Keramik und Kupfer ein und erläutere, wie dies die Lebensdauer von Bauteilen beeinflusst.

Lösung:

Diskussion der Auswirkungen der Verwendung von Keramik im thermischen Management von Hochleistungselektronik:

• Wärmeleitfähigkeit von Keramik vs. Kupfer: Keramik hat eine Wärmeleitfähigkeit im Bereich von 20 bis 30 W/m·K, während Kupfer eine viel höhere Wärmeleitfähigkeit von etwa 390 W/m·K aufweist. Dieser signifikante Unterschied bedeutet, dass Kupfer etwa 13 bis 19 Mal besser Wärme leitet als Keramik.
• Wärmeableitung: Kupfer kann überschüssige Wärme schnell und effizient von Hochleistungskomponenten ableiten. Dies ist besonders wichtig, um Wärmestaus zu vermeiden, die zu Überhitzung und dem vorzeitigen Ausfall von Bauteilen führen können. Im Vergleich dazu leitet Keramik Wärme viel langsamer ab. Wenn Keramik als thermisches Managementmaterial verwendet wird, kann sich die Wärme ansammeln, was zu höheren Temperaturen in den Komponenten führt.
• Auswirkungen auf die Lebensdauer: Höhere Temperaturen können die Lebensdauer von elektronischen Bauteilen erheblich verkürzen, da sie thermische Belastungen und Materialermüdung beschleunigen. Wenn Keramik anstelle von Kupfer verwendet wird, kann dies bedeuten, dass die Komponenten nicht so effizient gekühlt werden, und somit ihre Lebensdauer verringert wird. Andererseits hat Keramik einige Vorteile wie elektrische Isolierung und mechanische Stabilität, die in bestimmten Anwendungen nützlich sein können, aber ihre geringere Wärmeleitfähigkeit bleibt ein bedeutender Nachteil im Vergleich zu Kupfer.
• Zusammenfassung: Während Keramik in einigen Kontexten von Vorteil sein kann, ist ihre generell niedrigere Wärmeleitfähigkeit ein Problem im thermischen Management von Hochleistungselektronik. Im direkten Vergleich ermöglicht Kupfer eine viel effizientere Wärmeableitung, was zu längerer Lebensdauer und verlässlicherem Betrieb der Bauteile führt.

c)

Vergleiche die Effizienz der Wärmeleitung von Kupfer und Silizium für eine Kühlvorrichtung in einem Halbleiterbauteil. Erkläre, warum Kupfer trotz seiner hohen Kosten oft bevorzugt wird.

Lösung:

Vergleich der Effizienz der Wärmeleitung von Kupfer und Silizium für eine Kühlvorrichtung in einem Halbleiterbauteil:

• Wärmeleitfähigkeit: Kupfer hat eine sehr hohe Wärmeleitfähigkeit von etwa 390 W/m·K, während Silizium eine deutlich geringere Wärmeleitfähigkeit von etwa 148 W/m·K aufweist. Das bedeutet, dass Kupfer etwa 2,6 Mal effizienter Wärme leitet als Silizium.
• Wärmeableitung: Aufgrund seiner hohen Wärmeleitfähigkeit kann Kupfer Wärme viel schneller und effizienter von Halbleiterbauteilen ableiten. Dies verhindert Überhitzung und sorgt dafür, dass die Bauteile innerhalb der sicheren Betriebstemperaturen bleiben.Silizium leitet Wärme langsamer ab, was zu einer höheren Wahrscheinlichkeit von Wärmestaus und Überhitzung führt. Dies kann die Leistung und die Lebensdauer der Halbleiterbauteile negativ beeinflussen.
• Mechanische Eigenschaften: Kupfer ist nicht nur ein ausgezeichneter Wärmeleiter, sondern bietet auch gute mechanische Eigenschaften wie Festigkeit und duktilität. Es kann leicht in verschiedenen Formen und Strukturen verarbeitet werden, um eine effektive Kühlvorrichtung zu erstellen. Silizium hingegen ist spröder und kann bei mechanischer Belastung leichter brechen.
• Warum Kupfer trotz hoher Kosten bevorzugt wird:- Effizienz: Die hohe Wärmeleitfähigkeit von Kupfer sorgt für eine wesentlich effizientere Kühlung, was die Leistungsfähigkeit und die Zuverlässigkeit des Halbleiterbauteils verbessert.- Längere Lebensdauer: Bessere Wärmeableitung bedeutet weniger thermischen Stress für die Bauteile, was ihre Lebensdauer verlängert.- Zuverlässigkeit: Halbleiterbauteile, die effizient gekühlt werden, neigen weniger zu thermisch bedingten Ausfällen und bieten somit eine höhere Betriebssicherheit. - Integration: Kupfer kann leicht mit anderen Materialien und Komponenten in ein Kühlsystem integriert werden, was die Designflexibilität erhöht.Trotz seiner höheren Kosten bietet Kupfer aufgrund seiner hervorragenden Wärmeleitfähigkeit, mechanischen Eigenschaften und Zuverlässigkeit entscheidende Vorteile im thermischen Management von Halbleiterbauteilen.

d)

Unter der Annahme, dass eine Kupferplatte eine Dicke von 2 mm hat und das Temperaturgefälle 100 °C beträgt, wie groß ist der Wärmefluss pro Quadratmeter? Verwende die Wärmeleitfähigkeit von Kupfer: 390 W/m·K.

Lösung:

Berechnung des Wärmeflusses durch eine Kupferplatte:Um den Wärmefluss (Φ) durch eine Kupferplatte zu berechnen, benötigen wir die Wärmeleitfähigkeit (k), die Temperaturdifferenz (ΔT), die Fläche (A) und die Dicke (d) der Platte. Die Formel für den Wärmefluss lautet:\[\Phi = \frac{k \times A \times \Delta T}{d}\]Gegebene Werte:

• Wärmeleitfähigkeit (k): 390 W/(m·K)
• Temperaturdifferenz (ΔT): 100 °C
• Dicke (d): 2 mm = 0,002 m
• Fläche (A): 1 m² (da wir den Wärmefluss pro Quadratmeter berechnen wollen)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:\[\Phi = \frac{390 \times 1 \times 100}{0,002}\]Einfachen des Ausdrucks:\[\Phi = \frac{390 \times 100}{0,002} = \frac{39000}{0,002} = 19500000\]Der Wärmefluss durch die Kupferplatte beträgt somit 19.500.000 W/m².

Aufgabe 3)

Du bist Ingenieur in einem Unternehmen, das elektronische Geräte entwickelt, und wirst beauftragt, die Temperaturverteilung in einer Leiterplatte zu analysieren. Du entscheidest dich, numerische Methoden zu verwenden, um die Wärmeleitungsprobleme zu lösen und Temperaturverteilungen in verschiedenen Abschnitten der Leiterplatte zu berechnen.

Die Wärmeleitung in der Leiterplatte wird durch die Wärmeleitungsgleichung beschrieben:

\[ \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}y^2} + \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}z^2} + \frac{Q}{k} = \frac{1}{\frac{k}{c \rho}} \frac{\text{d} T}{\text{d}t} \]

Nachfolgend sind einige Aspekte, die Du berücksichtigen musst:

• Diskretisierung der Wärmeleitungsgleichung mit geeigneten Randbedingungen
• Verwendung der Finite-Differenzen-Methode zur Approximation der Lösungen
• Implementierung einer zeitabhängigen (transienten) Simulation
• Untersuchung des Einflusses der Gitterauflösung auf die Genauigkeit der Simulationsergebnisse

a)

Teil 1: Diskretisiere die gegebene Wärmeleitungsgleichung (\[ \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}y^2} + \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}z^2} + \frac{Q}{k} = \frac{1}{\frac{k}{c \rho}} \frac{\text{d} T}{\text{d}t} \] ) mithilfe der Finite-Differenzen-Methode für ein zwei-dimensionales Problem (\[ \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}y^2} = 0\] ) unter stationären Bedingungen (\[ \frac{\text{d} T}{\text{d}t} = 0\] ). Zeige alle Einzelschritte der Diskretisierung und erläutere das resultierende Gleichungssystem.

Lösung:

Um die gegebene Wärmeleitungsgleichung für ein zwei-dimensionales, stationäres Problem mithilfe der Finite-Differenzen-Methode zu diskretisieren, folgen wir diesen Schritten:

Die ursprüngliche Wärmeleitungsgleichung lautet:

\[ \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}y^2} + \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}z^2} + \frac{Q}{k} = \frac{1}{\frac{k}{c \rho}} \frac{\text{d} T}{\text{d}t} \]

Für unser spezielles Problem nehmen wir an, dass die Wärmeleitung in der y-Richtung null ist (\[ \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}y^2} = 0 \]) und dass wir stationäre Bedingungen haben (\[ \frac{\text{d} T}{\text{d}t} = 0 \]). Damit vereinfacht sich die Differenzialgleichung zu:

\[ \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}z^2} + \frac{Q}{k} = 0 \]

Wir verwenden nun die Finite-Differenzen-Methode zur Diskretisierung. Dazu ersetzten wir die zweiten Ableitungen durch zentrale Differenzen. Für die zweite Ableitung in x-Richtung ergibt sich:

\[ \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}x^2} \approx \frac{T_{i+1,j} - 2T_{i,j} + T_{i-1,j}}{\Delta x^2} \]

Und für die zweite Ableitung in z-Richtung gilt:

\[ \frac{\text{d}^2 T}{\text{d}z^2} \approx \frac{T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}}{\Delta z^2} \]

Setzen wir diese in die vereinfachte Gleichung ein, erhalten wir:

\[ \frac{T_{i+1,j} - 2T_{i,j} + T_{i-1,j}}{\Delta x^2} + \frac{T_{i,j+1} - 2T_{i,j} + T_{i,j-1}}{\Delta z^2} + \frac{Q}{k} = 0 \]

Nach Umstellung ergibt sich das diskretisierte Gleichungssystem:

\[ T_{i+1,j}\left( \frac{1}{\Delta x^2} \right) + T_{i-1,j}\left( \frac{1}{\Delta x^2} \right) + T_{i,j+1}\left( \frac{1}{\Delta z^2} \right) + T_{i,j-1}\left( \frac{1}{\Delta z^2} \right) - T_{i,j}\left( 2\left( \frac{1}{\Delta x^2} + \frac{1}{\Delta z^2} \right) \right) = -\frac{Q}{k} \]

Diese Gleichung beschreibt die Temperaturverteilung in der Leiterplatte unter den gegebenen Annahmen. Die Lösung dieses Gleichungssystems ergibt die Temperaturen an den Gitterpunkten. Diese Gleichung kann nun mittels numerischer Methoden wie zum Beispiel dem Gauss-Seidel-Verfahren gelöst werden.

b)

Teil 2: Implementiere das resultierende Gleichungssystem mit MATLAB. Verwende dabei ein einfaches rechteckiges Gitter mit der Auflösung von 5x5 Knotenpunkten und nutze geeignete Dirichlet-Randbedingungen. Poste den MATLAB-Code und die berechnete Temperaturverteilung als Ausgabe, die du mit plot() visualisierst:

    codeblock

Lösung:

Um das resultierende Gleichungssystem in MATLAB zu implementieren, verwenden wir ein einfaches rechteckiges Gitter mit einer Auflösung von 5x5 Knotenpunkten und Dirichlet-Randbedingungen. Der MATLAB-Code zur Berechnung der Temperaturverteilung könnte wie folgt aussehen:

 
 % Anzahl der Gitterpunkte Nx = 5; Nz = 5;  % Gitterabstände dx = 1; dz = 1;  % Wärmequellterm und Wärmeleitfähigkeitskoeffizient Q = 10; k = 1;  % Temperaturmatrix initialisieren T = zeros(Nx, Nz);  % Dirichlet-Randbedingungen T(:, 1) = 100;  % linke Kante T(:, end) = 50;  % rechte Kante T(1, :) = 75;   % obere Kante T(end, :) = 25;   % untere Kante  % Iterationsparameter max_iter = 1000; tol = 1e-6;  % Iterationsschleife (Gauss-Seidel-Methode) for iter = 1:max_iter     T_old = T;     for i = 2:Nx-1         for j = 2:Nz-1             T(i,j) = (1/(2/dx^2 + 2/dz^2)) * ((T_old(i+1,j) + T_old(i-1,j))/dx^2 + (T_old(i,j+1) + T_old(i,j-1))/dz^2 - Q/k);         end     end      % Abbruchkriterium     if max(max(abs(T - T_old))) < tol         break;     end end  % Temperaturverteilung plotten figure; surf(T); title('Temperaturverteilung in einer Leiterplatte'); xlabel('X-Richtung'); ylabel('Z-Richtung'); zlabel('Temperatur');  
 
Dieser MATLAB-Code erstellt ein 5x5 Gitter mit den vorgegebenen Dirichlet-Randbedingungen und berechnet die Temperaturverteilung unter Verwendung der Gauss-Seidel-Methode. Die Temperaturverteilung wird schließlich mit der Funktion surf() visualisiert.
c)
 
Teil 3: Erweiter die vorherige Implementierung um zeitabhängige (transiente) Bedingungen. Implementiere die Lösung mit einem expliziten Euler-Verfahren zur Zeitschrittintegration. Verwende eine initiale Temperaturverteilung, bei der alle Stützstellen auf 20°C und der Punkt in der Mitte auf 100°C gesetzt werden. Bestimme die Temperaturverteilung nach 100 Zeitschritten mit geeigneter Zeitschrittlänge. Zeige den MATLAB-Code und die Visualisierung der Temperaturverteilung nach 100 Zeitschritten.
    codeblock
 
 Lösung: 
Um die vorherige Implementierung um zeitabhängige (transiente) Bedingungen zu erweitern, verwenden wir das explizite Euler-Verfahren zur Zeitschrittintegration. Wir setzen die initiale Temperaturverteilung, bei der alle Stützstellen auf 20°C und der Punkt in der Mitte auf 100°C gesetzt werden. Die Schritte zur Umsetzung in MATLAB sehen wie folgt aus:
 % Anzahl der Gitterpunkte Nx = 5; Nz = 5;  % Gitterabstände dx = 1; dz = 1;  % Wärmequellterm und Wärmediffusivität Q = 0; k = 1; c = 1; rho = 1; alpha = k / (c * rho);  % Zeitparameter dt = 0.1; num_steps = 100;  % Initiale Temperaturverteilung T = ones(Nx, Nz) * 20; T(round(Nx/2), round(Nz/2)) = 100;  % Temperaturmatrix für neue Zeitschritte T_new = T;  % Iterationsschleife für Zeitschritte (explizites Euler-Verfahren) for n = 1:num_steps     for i = 2:Nx-1         for j = 2:Nz-1             T_new(i,j) = T(i,j) + alpha * dt * ( ...                 (T(i+1,j) - 2*T(i,j) + T(i-1,j)) / dx^2 + ...                 (T(i,j+1) - 2*T(i,j) + T(i,j-1)) / dz^2 + ...                 Q / k);         end     end     % Temperaturschritte aktualisieren     T = T_new; end  % Temperaturverteilung nach 100 Zeitschritten plotten figure; surf(T); title('Temperaturverteilung nach 100 Zeitschritten'); xlabel('X-Richtung'); ylabel('Z-Richtung'); zlabel('Temperatur'); 
 
Dieser MATLAB-Code setzt die initialen Bedingungen für die Temperaturverteilung und integriert diese anschließend über 100 Zeitschritte mithilfe des expliziten Euler-Verfahrens. Die Temperaturverteilung wird schließlich mit der Funktion surf() visualisiert.
d)
 
Teil 4: Diskutiere, wie sich die Genauigkeit der Simulationsergebnisse mit der Änderung der Gitterauflösung von 5x5 auf 10x10 Knotenpunkte ändert. Implementiere diese Änderung und vergleiche die Ergebnisse der beiden Simulationen. Poste sowohl die MATLAB-Codes als auch die Visualisierungen der Temperaturverteilungen für beide Gitterauflösungen. Analysiere und interpretiere die Unterschiede in den Ergebnissen.
    codeblock
 
 Lösung: 
Die Genauigkeit von Simulationsergebnissen wird stark von der Gitterauflösung beeinflusst. Eine höhere Gitterauflösung führt in der Regel zu präziseren Ergebnissen, da sie eine feinere räumliche Diskretisierung ermöglicht. Für das ursprüngliche 5x5-Gitter und ein erweitertes 10x10-Gitter werden wir die Implementierungen in MATLAB durchführen und die Ergebnisse vergleichen.
Beide Implementierungen verwenden das explizite Euler-Verfahren zur Zeitschrittintegration über 100 Zeitschritte.
MATLAB-Code für 5x5 Gitter:
 % Anzahl der Gitterpunkte Nx = 5; Nz = 5;  % Gitterabstände dx = 1; dz = 1;  % Wärmequellterm und Wärmediffusivität Q = 0; k = 1; c = 1; rho = 1; alpha = k / (c * rho);  % Zeitparameter dt = 0.1; num_steps = 100;  % Initiale Temperaturverteilung T = ones(Nx, Nz) * 20; T(round(Nx/2), round(Nz/2)) = 100;  % Temperaturmatrix für neue Zeitschritte T_new = T;  % Iterationsschleife für Zeitschritte (explizites Euler-Verfahren) for n = 1:num_steps     for i = 2:Nx-1         for j = 2:Nz-1             T_new(i,j) = T(i,j) + alpha * dt * ( ...                 (T(i+1,j) - 2*T(i,j) + T(i-1,j)) / dx^2 + ...                 (T(i,j+1) - 2*T(i,j) + T(i,j-1)) / dz^2 + ...                 Q / k);         end     end     % Temperaturschritte aktualisieren     T = T_new; end  % Temperaturverteilung nach 100 Zeitschritten plotten figure; surf(T); title('Temperaturverteilung nach 100 Zeitschritten (5x5)'); xlabel('X-Richtung'); ylabel('Z-Richtung'); zlabel('Temperatur'); 
MATLAB-Code für 10x10 Gitter:
 % Anzahl der Gitterpunkte Nx = 10; Nz = 10;  % Gitterabstände dx = 1; dz = 1;  % Wärmequellterm und Wärmediffusivität Q = 0; k = 1; c = 1; rho = 1; alpha = k / (c * rho);  % Zeitparameter dt = 0.1; num_steps = 100;  % Initiale Temperaturverteilung T = ones(Nx, Nz) * 20; T(round(Nx/2), round(Nz/2)) = 100;  % Temperaturmatrix für neue Zeitschritte T_new = T;  % Iterationsschleife für Zeitschritte (explizites Euler-Verfahren) for n = 1:num_steps     for i = 2:Nx-1         for j = 2:Nz-1             T_new(i,j) = T(i,j) + alpha * dt * ( ...                 (T(i+1,j) - 2*T(i,j) + T(i-1,j)) / dx^2 + ...                 (T(i,j+1) - 2*T(i,j) + T(i,j-1)) / dz^2 + ...                 Q / k);         end     end     % Temperaturschritte aktualisieren     T = T_new; end  % Temperaturverteilung nach 100 Zeitschritten plotten figure; surf(T); title('Temperaturverteilung nach 100 Zeitschritten (10x10)'); xlabel('X-Richtung'); ylabel('Z-Richtung'); zlabel('Temperatur'); 
Analyse und Interpretation der Unterschiede:Das 10x10-Gitter bietet eine feinere Auflösung und damit ein präziseres Bild der Temperaturverteilung im Vergleich zum 5x5-Gitter. Die feinere Diskretisierung ermöglicht eine bessere Erfassung von Temperaturgradienten und sorgt für eine höhere Genauigkeit insbesondere in Bereichen mit starken Temperaturänderungen.Die Unterschiede in den Temperaturverteilungen können anhand der Visualisierungen der Simulationen deutlich gemacht werden. Das 5x5-Gitter könnte weniger fein aufgelöste Temperaturverteilungen anzeigen, während das 10x10-Gitter die Temperaturgradienten deutlicher und detaillierter darstellt.
Aufgabe 4)
 
Im Bereich des thermischen Managements in der Leistungselektronik kommt der Wahl der Kühlmethoden eine zentrale Bedeutung zu. Dabei unterscheidet man zwischen passiven und aktiven Kühlmethoden, die jeweils spezifische Anwendungen und Charakteristika besitzen:

• Passive Kühlmethoden nutzen Kühlkörper, Heat Pipes und thermische Konvektion, ohne dass externe Energiequellen nötig sind.
• Aktive Kühlmethoden setzen Lüfter, Pumpen oder Peltier-Elemente ein und erfordern somit eine externe Energiequelle.
• Anwendungen:
• - Passiv: Geeignet für niedrige bis mittlere Leistungsdichte, lüfterlose Geräte und geräuschempfindliche Anwendungen.
• - Aktiv: Verwendung bei hoher Leistungsdichte, in Servern, Hochleistungselektronik und in Situationen mit geringer Luftzirkulation.

Zudem sind zwei fundamentale Gleichungen relevant:

• Wärmeleitungsgleichung: \[ Q = k \cdot A \cdot \frac{T_1 - T_2}{d} \]
• Konvektionsgleichung: \[ Q = h \cdot A \cdot (T_s - T_f) \]

a)

Vergleiche die Effizienz der beiden Kühlmethoden anhand eines Beispielsystems, das eine mittlere Leistungsdichte von 50W dissipiert. Diskutiere, welche der beiden Methoden bei der gegebenen Leistungsdichte und Umgebungsbedingungen vorteilhafter ist und begründe Deine Wahl unter Einbeziehung der relevanten Gleichungen.

Lösung:

Um die Effizienz der beiden Kühlmethoden zu vergleichen, betrachten wir ein Beispielsystem, das eine mittlere Leistungsdichte von 50W dissipiert.

Passives Kühlsystem

Betrachten wir eine passive Kühlmethode mit einem Kühlkörper, der eine bestimmte Wärmeableitfähigkeit besitzt:

• Wärmeleitungsgleichung: \[ Q = k \cdot A \cdot \frac{T_1 - T_2}{d} \]
• Annahmen:
  • k = 200 W/m·K (Wärmeleitfähigkeit des Materials)
  • A = 0,01 m² (Oberfläche des Kühlkörpers)
  • d = 0,01 m (Dicke des Materials)
  • T_1 - T_2 (Temperaturdifferenz, die erreicht werden muss)
  Setzen wir die Werte in die Formel ein: \[ 50W = 200 \cdot 0,01 \cdot \frac{T_1 - T_2}{0,01} \] Dies vereinfacht sich zu: \[ 50 = 200 \cdot (T_1 - T_2) \] \[ T_1 - T_2 = 0,25 K \] Die Temperaturdifferenz, die der passive Kühler bei diesen Bedingungen bewältigen muss, beträgt also 0,25 K.

Aktives Kühlsystem

Für ein aktives Kühlsystem wie einen Lüfter oder eine Pumpe betrachten wir die Konvektion:

• Konvektionsgleichung: \[ Q = h \cdot A \cdot (T_s - T_f) \]
• Annahmen:
  • h = 25 W/m²·K (Konvektionskoeffizient, typisch für erzwungene Konvektion)
  • A = 0,01 m² (Oberfläche der Kühlung)
  • T_s - T_f (Temperaturdifferenz, die erreicht werden muss)
  Setzen wir die Werte in die Formel ein: \[ 50W = 25 \cdot 0,01 \cdot (T_s - T_f) \] Das vereinfacht sich zu: \[ 50 = 0,25 \cdot (T_s - T_f) \] \[ T_s - T_f = 200 K \] Die Temperaturdifferenz, die durch das aktive Kühlsystem bei diesen Bedingungen bewältigt werden muss, beträgt also 200 K, was bedeutet, dass das aktive System sehr effizient arbeitet und eine große Temperaturdifferenz erreichen kann.

Fazit

Bei einer mittleren Leistungsdichte von 50W ist das aktive Kühlsystem aufgrund der größeren Temperaturdifferenz, die es erreichen kann, effizienter als das passive Kühlsystem. Das passive System kann zwar ohne externe Energiequellen arbeiten und ist somit für geräuschempfindliche Anwendungen und Umgebungen mit niedriger bis mittlerer Leistungsdichte geeignet, jedoch bietet das aktive System einen signifikanten Vorteil bei hoher Leistungsdichte und geringer Luftzirkulation.

Aus diesen Gründen ist bei der gegebenen Leistungsdichte von 50W und unter den typischen Umgebungsbedingungen ein aktives Kühlsystem vorteilhafter.

b)

Ein Server benötigt eine Kühlung für eine Hochleistungselektronik mit einer Verlustleistung von 500W. Berechne die notwendige Fläche eines Kühlkörpers, der passiv gekühlt werden soll, gegeben seien folgende Werte:

• Wärmeleitkoeffizient des Materials: k = 200 W/mK
• Temperaturgefälle (T_1 - T_2): 50K
• Materialdicke d: 0,01 m
• Konvektionswärmeübertragungskoeffizient h = 25 W/m²K
• Umgebungstemperatur T_f = 25°C
• Temperatur der Kühlkörperoberfläche T_s = 90°C

Diskutiere zudem, ob eine aktive Kühlung hierbei möglicherweise effizienter wäre und warum.

Lösung:

Um die notwendige Fläche eines Kühlkörpers für die passive Kühlung eines Servers mit einer Verlustleistung von 500W zu berechnen, müssen wir die Wärmeleitungsgleichung heranziehen:

• Wärmeleitungsgleichung: \( Q = k \cdot A \cdot \frac{T_1 - T_2}{d} \)

Die gegebenen Werte sind:

• Wärmeleitkoeffizient des Materials, \( k = 200 \) W/mK
• Temperaturgefälle, \( T_1 - T_2 = 50 \) K
• Materialdicke, \( d = 0.01 \) m
• Verlustleistung, \( Q = 500 \) W

Setzen wir diese Werte in die Wärmeleitungsgleichung ein, um die notwendige Fläche \( A \) zu berechnen:

\[ 500 = 200 \cdot A \cdot \frac{50}{0.01} \] \[ 500 = 200 \cdot A \cdot 5000 \] \[ A = \frac{500}{1000000} \] \[ A = 0.0005 \, m^2 \]

Die Fläche des Kühlkörpers muss also 0.0005 Quadratmeter betragen, um eine passive Kühlung bei einer Verlustleistung von 500W zu ermöglichen.

Diskussion zur Effizienz einer aktiven Kühlung

Betrachten wir nun, ob eine aktive Kühlung möglicherweise effizienter wäre:

• Konvektionsgleichung: \( Q = h \cdot A \cdot (T_s - T_f) \)
• Gegeben:
  • Konvektionswärmeübertragungskoeffizient, \( h = 25 \) W/m²K
  • Temperatur der Kühlkörperoberfläche, \( T_s = 90 \) °C
  • Umgebungstemperatur, \( T_f = 25 \) °C
  Setzen wir diese Werte in die Konvektionsgleichung ein, um die notwendige Fläche \( A \) zu berechnen: \[ 500 = 25 \cdot A \cdot (90 - 25) \] \[ 500 = 25 \cdot A \cdot 65 \] \[ A = \frac{500}{25 \cdot 65} \] \[ A = \frac{500}{1625} \] \[ A = 0.3077 \, m^2 \]

Die Fläche des Kühlkörpers müsste 0.3077 Quadratmeter betragen, um eine effiziente Kühlung mit erzwungener Konvektion zu ermöglichen. Dies zeigt, dass für dieselbe Verlustleistung die benötigte Fläche bei aktiver Kühlung größer ist als bei passiver Kühlung, jedoch kann eine aktive Kühlung auch flexibler und effektiver in extremen Bedingungen (wie in Server-Räumen) arbeiten.

Zusammengefasst, während eine passive Kühlung effizient in geringeren Leistungsbereichen sein kann, zeigt die größere notwendige Fläche, dass bei hoher Verlustleistung und bei spezifischen Anforderungen an kompaktere oder flexiblere Kühlung eine aktive Kühlmethode vorteilhafter sein kann. Sie kann hohe Wärmelasten effizienter ableiten und ermöglicht damit eine bessere Steuerung der Arbeitstemperaturen.