Transceiver-Systementwurf - Exam

Aufgabe 1)

In einem Kommunikationssystem werden verschiedene Transceiver-Architekturen verwendet, um Signale zu senden und zu empfangen. Ein Superheterodyn-Transceiver konvertiert ein eingehendes Signal auf eine niedrigere Zwischenfrequenz (ZF), bevor es weiterverarbeitet wird. Ein Direktempfänger verarbeitet das Signal direkt in seiner Ursprungsfrequenz ohne Herunterkonvertierung. Die Zero-Intermediate-Frequency (ZIF) Architektur führt eine direkte Konversion durch und eliminiert die Zwischenfrequenz vollständig. Bei einem Software Defined Radio (SDR) erfolgt die Signalverarbeitung hauptsächlich durch Software, was eine hohe Flexibilität und Anpassbarkeit bietet. Schließlich gibt es Mischarchitekturen, die Elemente aus mehreren dieser Architekturen kombinieren, um spezifische Vorteile zu nutzen.

a)

Beschreibe detailliert die Funktionsweise eines Superheterodyn-Transceivers. Zeichne ein Blockdiagramm eines typischen Superheterodyn-Empfängers und erläutere die einzelnen Komponenten und deren Funktion zur Signalverarbeitung.

Lösung:

Der Superheterodyn-Transceiver ist eine weit verbreitete Technologie, die verwendet wird, um eingehende Signale zu empfangen, sie auf eine niedrigere Zwischenfrequenz (ZF) zu konvertieren und diese dann weiter zu verarbeiten. Das Blockdiagramm eines typischen Superheterodyn-Empfängers sieht folgendermaßen aus:

• Antenne: Empfangt das HF-Signal (Hochfrequenz-Signal) aus der Umgebung.
• HF-Verstärker: Verstärkt das empfangene HF-Signal, um die nachfolgenden Verarbeitungsschritte zu erleichtern.
• Mischer: Kombiniert das verstärkte HF-Signal mit dem Signal eines lokalen Oszillators (LO), um das eingehende Signal auf eine Zwischenfrequenz (ZF) zu konvertieren.
• Lokaler Oszillator (LO): Erzeugt ein stabiles Signal mit einer festen Frequenz, das im Mischer verwendet wird.
• ZF-Verstärker: Verstärkt das ZF-Signal, um eine bessere Signalqualität und Weiterverarbeitung zu ermöglichen.
• Zwischenfrequenz-Filter: Filtert das ZF-Signal, um unerwünschte Frequenzen zu beseitigen und das gewünschte Signal hervorzuheben.
• Demodulator: Extrahiert die Informationsträger (z.B. Audio oder Daten) aus dem modulierten ZF-Signal.
• Niederfrequenz/Audio Verstärker: Verstärkt das demodulierte Signal auf ein hörbares oder verarbeitbares Niveau.

Hier ist das Blockdiagramm:

 |Antenne| → |HF-Verstärker| → |Mischer| + (LO) → |ZF-Verstärker| → |ZF-Filter| → |Demodulator| → |Niederfrequenz/Audio Verstärker| 

Funktionen der einzelnen Komponenten:

• Antenne: Dies ist der erste Punkt des Signalempfangs. Die Antenne nimmt das Hochfrequenzsignal aus der Luft auf.
• HF-Verstärker: Dieser verstärkt das von der Antenne empfangene Signal, um es stärker und klarer zu machen.
• Mischer: Dies ist eine der Schlüsselkomponenten des Superheterodyn-Empfängers. Der Mischer nimmt das verstärkte HF-Signal und mischt es mit einem lokalen Oszillator-Signal. Dies erzeugt das Zwischenfrequenz-Signal, das die Differenz zwischen der HF und der Oszillatorfrequenz ist.
• Lokaler Oszillator: Der Oszillator erzeugt eine stabile Frequenz, die mit dem empfangenen HF-Signal gemischt wird, um das ZF-Signal zu erzeugen. Die Frequenz des Oszillators kann angepasst werden, um verschiedene Empfangsfrequenzen zu ermöglichen.
• ZF-Verstärker: Nach der Mischung wird das Zwischenfrequenzsignal durch den ZF-Verstärker weiter verstärkt.
• Zwischenfrequenz-Filter: Dieser Filter isoliert das gewünschte ZF-Signal und entfernt unerwünschte Frequenzen, die durch den Mischprozess entstanden sind.
• Demodulator: Der Demodulator extrahiert die ursprüngliche Informationen, wie Audio oder Daten, aus dem Zwischenfrequenzsignal.
• Niederfrequenz/Audio Verstärker: Schließlich verstärkt dieser Verstärker das demodulierte Signal auf ein Nutzbare Niveau, das z.B. von einem Lautsprecher oder einem anderen Audio-Ausgabegerät gehört werden kann.

b)

Vergleiche die Zero-Intermediate-Frequency (ZIF) Architektur mit der Direktempfänger-Architektur bezüglich ihres Aufbaus, der Vorteile und der Herausforderungen. Untersuche unter welchen Bedingungen die eine Architektur der anderen vorzuziehen ist. Nenne konkrete Beispiele, in denen die Wahl der einen Architektur über die andere zu großen Unterschieden in der Leistung oder Effizienz führen könnte.

Lösung:

Die Zero-Intermediate-Frequency (ZIF) Architektur und die Direktempfänger-Architektur sind zwei verschiedene Ansätze zur Signalverarbeitung in Kommunikationssystemen. Beide haben ihre jeweiligen Vor- und Nachteile.

• Zero-Intermediate-Frequency (ZIF) Architektur:
• Aufbau: Bei der ZIF-Architektur wird das empfangene Signal direkt von der Hochfrequenz (HF) auf eine sehr niedrige Frequenz, üblicherweise nahe Null, konvertiert. Dadurch entfällt die Notwendigkeit einer Zwischenfrequenz. Das Signal wird in der Regel in zwei orthogonale Komponenten (In-Phase und Quadratur) aufgeteilt, die dann weiterverarbeitet werden.
• Vorteile:
• Weniger analoge Komponenten, was zu Einsparungen bei der Hardware führt.
• Geringere Komplexität und potenziell geringere Kosten.
• Keine Notwendigkeit für Zwischenfrequenz-Filter, was die Bauweise vereinfacht.
• Herausforderungen:
• Probleme mit DC-Versatz und Gleichspannungsdrift, die zu Signalverzerrungen führen können.
• Weniger Empfängerempfindlichkeit im Vergleich zu Superheterodyn-Empfängern.
• Direktempfänger-Architektur:
• Aufbau: Bei der Direktempfänger-Architektur wird das Signal direkt in seiner Ursprungsfrequenz verarbeitet, ohne es auf eine Zwischenfrequenz herunterzukonvertieren. Diese Architektur nutzt typischerweise Bandpassfilter und Verstärker, um das gewünschte Signal von unerwünschten Signalen zu trennen.
• Vorteile:
• Direkte Verarbeitung des Signals, was eine einfache und effiziente Architektur ermöglicht.
• Potenziell höhere Empfängerempfindlichkeit im Vergleich zur ZIF-Architektur.
• Herausforderungen:
• Komplexere Filterung und Verstärkung erforderlich, um Hochfrequenzsignale zu handhaben.
• Größere Abhängigkeit von hoch präzisen analogen Komponenten.

Vergleich und Anwendungsbedingungen:

• ZIF-Architektur ist vorzuziehen:
• In preisgünstigen Anwendungen, in denen Kosten und Baugröße minimiert werden müssen.
• Wo die geringere Empfängerempfindlichkeit akzeptabel ist und Gleichspannungsdrift handhabbar ist.
• Beispiel: Mobiltelefone oder einfache Funkempfänger.
• Direktempfänger-Architektur ist vorzuziehen:
• In Anwendungen, die eine hohe Empfängerempfindlichkeit erfordern.
• Wo hochfrequente Signalverarbeitung notwendig ist und komplexere Hardware akzeptabel ist.
• Beispiel: Hochleistungs-Radarsysteme oder professionelle Kommunikationsanlagen.

Konkretes Beispiel:

In einem Mobiltelefon kann die Wahl der ZIF-Architektur aufgrund der Kosten- und Platzersparnisse bevorzugt werden. Allerdings könnte in einem professionellen Funkkommunikationssystem, bei dem Empfängerempfindlichkeit und Signalqualität entscheidend sind, eine Direktempfänger-Architektur wesentlich bessere Leistung bieten. Hier könnten beispielsweise die geringere Anfälligkeit für Gleichspannungsdrift und die höhere Verarbeitungspräzision der Direktempfänger-Architektur den Ausschlag geben.

Aufgabe 2)

Du sollst einen Verstärker mit einem Bipolartransistor entwerfen und gleichzeitig die grundlegenden Konzepte von Oszillatoren verstehen und anwenden. Dabei sind die verschiedenen Aspekte und Methoden des Transistor-Biasing, des Frequenzgangs sowie der Rauschminimierung zu berücksichtigen. Zudem sollst Du das Funktionsprinzip eines Oszillators anhand des Phasenkriteriums erklären können.

a)

Aufgabe 1: Entwurf eines Verstärkers

• Beschreibe den Vorgang der Festlegung des Betriebspunkts für einen Bipolartransistor in einer Verstärkerschaltung. Erläutere, welche Auswirkungen der Betriebspunkt auf die Linearität und Stabilität des Verstärkers hat.

• Berechne den Betriebspunkt für einen Verstärker, bei dem der Transistor eine Kollektorstromverstärkung \(\beta\) von 200 besitzt und bei dem am Kollektor eine Spannung \(V_{CE} = 5 V\) eingestellt werden soll. Der Versorgungsspannung \(V_{CC}\) beträgt 12 V und der Kollektorwiderstand \(R_C\) ist 1 kΩ. Verwende dazu die idealen Transistormodelle.

  • Berechne den Kollektorstrom \(I_C\).

  • Bestimme den Basisstrom \(I_B\).

  • Erkläre, wie die Frequenzgangcharakteristik des Verstärkers bei verschiedenen Frequenzen beeinflusst wird.

Lösung:

Aufgabe 1: Entwurf eines Verstärkers

• Beschreibe den Vorgang der Festlegung des Betriebspunkts für einen Bipolartransistor in einer Verstärkerschaltung. Erläutere, welche Auswirkungen der Betriebspunkt auf die Linearität und Stabilität des Verstärkers hat.

  Die Festlegung des Betriebspunkts (Q-Punkt) für einen Bipolartransistor in einer Verstärkerschaltung ist entscheidend für den ordnungsgemäßen Betrieb des Verstärkers. Der Betriebspunkt definiert die DC-Betriebsbedingungen des Transistors und wird durch die Wahl der Widerstände und Versorgungsspannungen bestimmt.

  Der Betriebspunkt wird so festgelegt, dass der Transistor im aktiven Bereich arbeitet, um eine lineare Verstärkung zu gewährleisten. Wird der Betriebspunkt nicht korrekt festgelegt, kann es zu Verzerrungen im Ausgangssignal kommen, da der Transistor in den nichtlinearen Sättigungs- oder Abschaltbereich übergeht. Die Stabilität des Verstärkers ist ebenfalls betroffen, da Temperaturschwankungen und Bauteiltoleranzen den Betriebspunkt verschieben können. Durch die richtige Wahl der Bias-Widerstände und eventuell eine Rückkopplung kann die Stabilität des Betriebspunkts verbessert werden.

• Berechne den Betriebspunkt für einen Verstärker, bei dem der Transistor eine Kollektorstromverstärkung \( \beta \) von 200 besitzt und bei dem am Kollektor eine Spannung \( V_{CE} = 5V \) eingestellt werden soll. Die Versorgungsspannung \( V_{CC} \) beträgt 12V und der Kollektorwiderstand \( R_C \) ist 1 kΩ. Verwende dazu die idealen Transistormodelle.

  • Berechne den Kollektorstrom \( I_C \):

    Die Kollektorspannung \( V_{CE} \) kann wie folgt berechnet werden:

    \[ V_{CC} = I_C \times R_C + V_{CE} \]

    Wir können nun \( I_C \) berechnen, indem wir die Werte einsetzen:

    \[ 12V = I_C \times 1k\Omega + 5V \]

    Nach Umstellen der Gleichung:

    \[ I_C = \frac{12V - 5V}{1k\Omega} \]

    \[ I_C = \frac{7V}{1k\Omega} \]

    \[ I_C = 7mA \]

  • Bestimme den Basisstrom \( I_B \):

    Der Basisstrom \( I_B \) kann mit der Kollektorstromverstärkung \( \beta \) und dem Kollektorstrom \( I_C \) berechnet werden:

    \[ I_B = \frac{I_C}{\beta} \]

    \[ I_B = \frac{7mA}{200} \]

    \[ I_B = 35\mu A \]

  • Erkläre, wie die Frequenzgangcharakteristik des Verstärkers bei verschiedenen Frequenzen beeinflusst wird:

    Die Frequenzgangcharakteristik eines Verstärkers wird durch verschiedene Faktoren beeinflusst:

    • Niederfrequenzbereich: Bei niedrigen Frequenzen beeinflussen Koppelkondensatoren und Bypass-Kondensatoren den Verstärker. Diese Kondensatoren haben bei niedrigen Frequenzen eine hohe Impedanz, was zu einer Verringerung der Verstärkung führt.
    • Mittelfrequenzbereich: In diesem Bereich arbeitet der Verstärker optimal, da die Impedanzen der Koppelkondensatoren und Bypass-Kondensatoren niedrig sind und der Verstärker seine maximale Verstärkung erreicht.
    • Hochfrequenzbereich: Bei hohen Frequenzen spielen parasitäre Kapazitäten, wie die Miller-Kapazität zwischen Basis und Kollektor, sowie die Transitfrequenz des Transistors eine Rolle. Diese Kapazitäten führen zu einer Verringerung der Verstärkung aufgrund der zunehmenden Reaktanz bei hohen Frequenzen.

    Insgesamt zeigt der Frequenzgang eines Verstärkers eine typische Bandpasscharakteristik, bei der die Verstärkung in einem mittleren Frequenzbereich am höchsten ist und bei sehr niedrigen und sehr hohen Frequenzen abnimmt.

b)

Aufgabe 2: Grundlagen Oszillatoren

• Erkläre das Phasenkriterium für Oszillatoren und warum diese Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Oszillator funktioniert. Gehe dabei auf die Bedingungen ein, dass \( |\beta A| \ge 1\) und \( \angle(\beta A) = 0 \) sein müssen.

• Skizziere die Schaltung eines einfachen LC-Oszillators und beschreibe dessen Funktionsweise. Verwende hierbei Begriffe wie Rückkopplung und Resonanzkreis. Führe auch eine Berechnung der Oszillationsfrequenz durch, gegeben die Induktivität \(L = 10 \mu H\) und die Kapazität \(C = 100 \pF\).

  • Leite die Formel für die Oszillationsfrequenz \( f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \) her und berechne den Frequenzwert.

Lösung:

Aufgabe 2: Grundlagen Oszillatoren

• Erkläre das Phasenkriterium für Oszillatoren und warum diese Bedingung erfüllt sein muss, damit ein Oszillator funktioniert. Gehe dabei auf die Bedingungen ein, dass \( |\beta A| \ge 1 \) und \( \angle(\beta A) = 0 \) sein müssen.

  Das Phasenkriterium für Oszillatoren, auch Barkhausen-Kriterium genannt, besagt, dass die Schleifenverstärkung in einem geschlossenen Rückkopplungskreis sowohl am Betrag als auch an der Phase bestimmte Bedingungen erfüllen muss, damit eine stetige Oszillation stattfindet.

  • Bedingung für den Betrag: \( |\beta A| \ge 1 \)Hierbei ist \(\beta\) der Rückkopplungsfaktor und \(A\) die Verstärkung des Verstärkers. Diese Bedingung stellt sicher, dass genügend Verstärkung im System vorhanden ist, um jegliche Verluste im Rückkopplungskreis auszugleichen und die Oszillationen aufrechtzuerhalten.
  • Bedingung für die Phase: \( \angle(\beta A) = 0 \)Die Phasenverschiebung über die gesamte Rückkopplungsschleife muss ein Vielfaches von 360 Grad betragen (bzw. 0 Grad). Dies bedeutet, dass das Signal, nachdem es durch den Verstärker und den Rückkopplungskreis gelaufen ist, in Phase mit dem Originalsignal sein muss, um konstruktive Interferenz zu ermöglichen, was wiederum zu einer stabilen Oszillation führt.

  Diese Bedingungen sind notwendig, um sicherzustellen, dass das System Energie selbstständig in Form von Oszillationen abgeben kann und die Oszillationen stabil bleiben.

• Skizziere die Schaltung eines einfachen LC-Oszillators und beschreibe dessen Funktionsweise. Verwende hierbei Begriffe wie Rückkopplung und Resonanzkreis. Führe auch eine Berechnung der Oszillationsfrequenz durch, gegeben die Induktivität \(L = 10 \mu H\) und die Kapazität \(C = 100 \pF\).

  Ein einfacher LC-Oszillator besteht aus einem Verstärker und einem LC-Resonanzkreis (bestehend aus einer Induktivität \(L\) und einer Kapazität \(C\)). Der LC-Resonanzkreis dient zur Bestimmung der Oszillationsfrequenz.

  Schaltungsskizze:

  

  Funktionsweise:

  • Der LC-Resonanzkreis erzeugt eine Eigenschwingung aufgrund der Energieumwandlung zwischen dem Magnetfeld der Induktivität und dem elektrischen Feld der Kapazität.
  • Der Verstärker verstärkt das Signal aus dem LC-Kreis und führt es zurück in den Kreis, was die Schwingungen aufrechterhält (Rückkopplung).
  • Die Rückkopplungsschaltung stellt sicher, dass das Phasenkriterium erfüllt ist und die Schwingung stabil bleibt.

• Leite die Formel für die Oszillationsfrequenz \( f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \) her und berechne den Frequenzwert:

  1. Die Schwingfrequenz eines LC-Schwingkreises wird durch die Formel für die Resonanzfrequenz berechnet, die durch die Eigenschaften der Induktivität und Kapazität bestimmt wird.

  2. Die Formel für die Resonanzfrequenz des LC-Kreises lautet:

  \[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}} \]

  3. Setze die gegebenen Werte ein: \( L = 10 \mu H = 10 \times 10^{-6} H \) und \( C = 100 \pF = 100 \times 10^{-12} F \)

  4. Berechne den Frequenzwert:

  \[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{10 \times 10^{-6} \times 100 \times 10^{-12}}} \]

  5. Vereinfache den Ausdruck unter der Wurzel:

  \[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-6+(-12)} \times 100}} \]\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-18} \times 100}} \]\[ f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{10^{-16}} \]

  6. Berechne die Quadratwurzel:

  \[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-8}} \]

  7. Berechne den endgültigen Frequenzwert:

  \[ f_0 = \frac{1}{2 \times 3.1416 \times 10^{-8}} \]

  \[ f_0 \approx 15.92 \times 10^6 Hz \]

  \[ f_0 \approx 15.92 MHz \]

Aufgabe 3)

Gestaltung und Implementierung eines DigitalfiltersDu wirst gebeten, einen digitalen Filter zu entwerfen, umzusetzen und zu analysieren, um spezifische Frequenzbereiche eines digitalen Signals zu manipulieren. Dazu werden die theoretischen Konzepte von FIR- und IIR-Filtern sowie verschiedene Entwurfsmethoden und Implementierungstechniken eingesetzt. Beachte dabei Stabilitätskriterien und implementiere die Filter ordnungsgemäß mittels geeigneter Software-Tools.

a)

1. Entwurf eines FIR-FiltersEntwirf ein FIR-Filter mit einer Filterordnung von 50 für eine Abtastrate von 1 kHz, um ein Tiefpassfilter mit einer Grenzfrequenz von 100 Hz zu realisieren. Verwende das Fensterverfahren mit einem Hamming-Fenster.

• Stelle die entsprechenden Koeffizienten des Filters dar und zeichne das Frequenzspektrum.
• Simuliere den Filter in MATLAB oder Python und zeige die Filterantwort für ein Testsignal, das eine Mischung aus einer 50 Hz und einer 200 Hz Sinuswelle ist.

Lösung:

1. Entwurf eines FIR-FiltersDetails:Wir entwerfen ein FIR-Tiefpassfilter der Ordnung 50 mit einer Abtastrate von 1 kHz und einer Grenzfrequenz von 100 Hz mittels des Fensterverfahrens mit einem Hamming-Fenster.

• Stelle die entsprechenden Koeffizienten des Filters dar und zeichne das Frequenzspektrum.
• Simuliere den Filter in MATLAB oder Python und zeige die Filterantwort für ein Testsignal, das eine Mischung aus einer 50 Hz und einer 200 Hz Sinuswelle ist.

Lösung:1. FIR-Filter Koeffizienten und Frequenzspektrum:Wir verwenden MATLAB oder Python, um die Filterkoeffizienten zu berechnen und das Frequenzspektrum zu zeichnen. Hier ist ein Beispiel in Python:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.signal import firwin, freqz# Filterparameterfs = 1000  # Abtastrate in Hzcutoff = 100  # Grenzfrequenz in Hzorder = 50  # Filterordnung# Berechnung der Filterkoeffizienten mit einem Hamming-Fensternumtaps = order + 1coeff = firwin(numtaps, cutoff / (0.5 * fs), window='hamming')# Frequenzgang des Filters berechnenw, h = freqz(coeff, worN=8000)# Darstellung des Frequenzgangsplt.plot((fs * 0.5 / np.pi) * w, abs(h), 'b')plt.title('Frequenzgang des FIR-Filters')plt.xlabel('Frequenz (Hz)')plt.ylabel('Amplitude')plt.grid()plt.show()

Diese Python-Code generiert die Filterkoeffizienten und zeichnet das Frequenzspektrum.2. Simulation des Filters:Wir simulieren das Filter in Python mit einem Testsignal, das eine Mischung aus einer 50 Hz und einer 200 Hz Sinuswelle ist:

# Erzeugung des Testsignalst = np.arange(0, 1.0, 1.0 / fs)signal = np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + np.sin(2 * np.pi * 200 * t)# Anwendung des Filters auf das Testsignalfiltered_signal = np.convolve(signal, coeff, mode='same')# Darstellung des Original- und des gefilterten Signalsplt.subplot(2, 1, 1)plt.plot(t, signal, 'b')plt.title('Originales Signal')plt.xlabel('Zeit (Sekunden)')plt.grid()plt.subplot(2, 1, 2)plt.plot(t, filtered_signal, 'r')plt.title('Gefiltertes Signal')plt.xlabel('Zeit (Sekunden)')plt.grid()plt.tight_layout()plt.show()

Diese Python-Code erzeugt das Testsignal, filtert es und stellt das originale sowie das gefilterte Signal dar.Mit diesen Schritten hast Du erfolgreich ein FIR-Tiefpassfilter entworfen, die Filterkoeffizienten dargestellt und den Filter in Python simuliert. Schließlich hast Du die Filterantwort für ein gegebenes Testsignal visualisiert.

c)

3. Vergleich der ImplementierungsmethodenBeschreibe die Unterschiede zwischen einer Direktform-, einer Transponierten Form- und einer Zustandsraumdarstellung für die Implementierung von Digitalfiltern.

• Diskutiere die Vor- und Nachteile jeder Methode in Bezug auf Stabilität und Implementierungsaufwand.
• Implementiere den in 1. entworfenen FIR-Filter in einer Direktform und einer Transponierten Form in MATLAB oder Python. Zeige, dass beide Implementierungen den gleichen Frequenzgang besitzen.

Lösung:

3. Vergleich der ImplementierungsmethodenDetails:

• Beschreibe die Unterschiede zwischen einer Direktform-, einer Transponierten Form- und einer Zustandsraumdarstellung für die Implementierung von Digitalfiltern.
• Diskutiere die Vor- und Nachteile jeder Methode in Bezug auf Stabilität und Implementierungsaufwand.
• Implementiere den in 1. entworfenen FIR-Filter in einer Direktform und einer Transponierten Form in MATLAB oder Python. Zeige, dass beide Implementierungen den gleichen Frequenzgang besitzen.

Lösung:1. Unterschiede zwischen den Implementierungsmethoden:

• Direktform:Die Direktform geht direkt von der Differenzengleichung des Filters aus und hat allgemein die geringste Anzahl an Verzögerungselementen. Diese Methode ist einfach zu implementieren und besitzt eine klare Struktur.
• Transponierte Form:Dieser Ansatz transponiert die Signalflussgraphen der Filterstruktur. Die transponierte Form kann in einigen Fällen numerisch stabiler sein und besser für die vorwärts-rückwärts Implementierung in Echtzeit geeignet sein.
• Zustandsraumdarstellung:Hier wird das Filter als Satz von ersten Ordnungsdifferenzengleichungen dargestellt. Diese Methode ist besonders stark bei der Analyse und Design von Regelungssystemen und erlaubt eine einfache Simulation von komplexen Systemen.

2. Vor- und Nachteile der Methoden in Bezug auf Stabilität und Implementierungsaufwand:

• Direktform:Vorteile:
  • Einfache Implementierung
  • Geringer Speicherbedarf
  Nachteile:
  • Kann numerisch instabil werden, vor allem bei hohen Ordnungen
• Transponierte Form:Vorteile:
  • Verbesserte numerische Stabilität
  • Für rückwärts gerichtete Implementierungen geeignet
  Nachteile:
  • Komplexer zu implementieren als die Direktform
• Zustandsraumdarstellung:Vorteile:
  • Fördert die Stabilitätsanalyse
  • Geeignet für Multi-Input-Multi-Output (MIMO) Systeme
  Nachteile:
  • Höherer Implementierungsaufwand
  • Erfordert mehr Speicherplatz

3. Implementiere den FIR-Filter in Direktform und Transponierter Form:Hier ist ein Beispiel in Python:

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy.signal import firwin, lfilter, freqz# Filterparameterfs = 1000  # Abtastrate in Hzcutoff = 100  # Grenzfrequenz in Hzorder = 50  # Filterordnungnumtaps = order + 1# Berechnung der FIR-Filterkoeffizienten mit einem Hamming-Fenstercoeff = firwin(numtaps, cutoff / (0.5 * fs), window='hamming')# Simuliertes Eingangssignalt = np.arange(0, 1.0, 1.0 / fs)input_signal = np.sin(2 * np.pi * 50 * t) + np.sin(2 * np.pi * 200 * t)# Filterantwort in Direktformoutput_direct = lfilter(coeff, 1.0, input_signal)# Filterantwort in Transponierter Formoutput_transposed = np.zeros_like(input_signal)for i in range(len(input_signal) - numtaps + 1):    output_transposed[i + numtaps - 1] = np.dot(input_signal[i:i + numtaps], coeff[::-1])# Frequenzgänge berechnenw, h_direct = freqz(coeff, worN=8000)w, h_transposed = freqz(output_transposed, worN=8000)# Darstellung der Ergebnisseplt.subplot(3, 1, 1)plt.plot(t, input_signal, label='Eingangssignal')plt.title('Eingangssignal')plt.grid()plt.subplot(3, 1, 2)plt.plot(t, output_direct, label='Ausgangssignal (Direktform)')plt.title('Ausgangssignal (Direktform)')plt.grid()plt.subplot(3, 1, 3)plt.plot(t, output_transposed, label='Ausgangssignal (Transponierte Form)')plt.title('Ausgangssignal (Transponierte Form)')plt.grid()plt.figure()plt.plot((fs * 0.5 / np.pi) * w, abs(h_direct), label='Direktform')plt.plot((fs * 0.5 / np.pi) * w, abs(h_transposed), label='Transponierte Form')plt.title('Frequenzgang')plt.xlabel('Frequenz (Hz)')plt.ylabel('Amplitude')plt.legend()plt.grid()plt.show()

Diese Python-Code implementiert den FIR-Filter in Direkt- und Transponierter Form und zeigt, dass beide Implementierungen den gleichen Frequenzgang besitzen.Mit diesen Schritten hast Du erfolgreich die Implementierungsmethoden der Digitalfilter verglichen, die Vor- und Nachteile jeder Methode diskutiert sowie den in 1. entworfenen FIR-Filter in Direkt- und Transponierter Form implementiert und ihre Equivalenz demonstriert.

d)

4. Hardware-RealisierungDiskutiere, wie Du die entworfenen Filter (FIR und IIR) auf Hardware wie einem FPGA oder einem DSP-Chip realisieren würdest.

• Beschreibe die wesentlichen Schritte und Herausforderungen bei der Umsetzung von Digitalfiltern auf Hardwareplattformen.
• Erkläre, wie Du die Rechenleistung und Effizienz maximieren würdest.
• Erstelle einen einfachen VHDL- oder Verilog-Code für die Implementierung des FIR-Filters.

Lösung:

4. Hardware-RealisierungDetails:

• Diskutiere, wie Du die entworfenen Filter (FIR und IIR) auf Hardware wie einem FPGA oder einem DSP-Chip realisieren würdest.
• Beschreibe die wesentlichen Schritte und Herausforderungen bei der Umsetzung von Digitalfiltern auf Hardwareplattformen.
• Erkläre, wie Du die Rechenleistung und Effizienz maximieren würdest.
• Erstelle einen einfachen VHDL- oder Verilog-Code für die Implementierung des FIR-Filters.

Lösung:1. Umsetzung auf Hardwareplattformen:Die Umsetzung von FIR- und IIR-Filtern auf Hardwareplattformen wie FPGAs (Field-Programmable Gate Arrays) oder DSP-Chips (Digital Signal Processors) erfordert sorgfältige Planung und Design:

• FPGA: FPGAs eignen sich hervorragend für die parallele Verarbeitung. Der Entwurf erfolgt in Hardwarebeschreibungssprachen wie VHDL oder Verilog. Sie bieten Flexibilität und hohe Leistung.
• DSP-Chip: DSPs sind spezialisiert auf schnelle arithmetische Berechnungen, besonders für Echtzeitsignalverarbeitung. Der Entwurf erfolgt oft in exklusiven Hochsprachen, mit Bibliotheken und Optimierungen für DSP-Hardware.

2. Wesentliche Schritte und Herausforderungen:

• Design: Definiere die Filterstruktur und Parameter. Wähle eine geeignete Hardwarebeschreibungssprache (VHDL/Verilog) oder eine optimierte Softwarebibliothek (DSP).
• Simulation: Simuliere die Filter, um die Funktionalität zu überprüfen. Verwende geeignete Simulationswerkzeuge (z. B. ModelSim für VHDL).
• Implementierung: Mappe das Design auf die Zielhardware. Achte auf Details wie Signalverzögerungen und die Vermeidung von Überläufen.
• Test und Verifikation: Teste das implementierte Filter auf der Hardware mit realen Signalen und überprüfe die Filterantwort.

Herausforderungen:

• Ressourcenmanagement: FPGAs haben begrenzte Ressourcen (LUTs, Speicher, etc.), sorgfältige Platzierung und Routing sind entscheidend.
• Echtzeitfähigkeit: Sicherstellen, dass das Filter in Echtzeit arbeitet, erfordert strikte Takt- und Zeitsteuerung.
• Numerische Stabilität: Insbesondere bei IIR-Filtern muss man auf numerische Stabilität achten, um Instabilitäten zu vermeiden.

3. Maximierung der Rechenleistung und Effizienz:

• Parallele Verarbeitung: Nutze die Ressourcen der Hardware zur parallelen Berechnung in FPGAs. Dies reduziert die Latenz und erhöht die Durchsatzrate.
• Pipeline-Prozessierung: Setze Pipelining ein, um die Recheneinheiten effizient zu nutzen und so Verzögerungen zu vermeiden.
• Optimierte Algorithmen: Verwende optimierte Algorithmen und Bibliotheken für die spezifische Hardwarearchitektur (z. B. MAC-Blöcke in FPGAs).
• Speicheroptimierung: Vermeide unnötige Speichernutzungen und lokalisierte Speicherzugriffe, um die Zugriffszeiten zu minimieren.

4. Einfacher VHDL-Code für die Implementierung des FIR-Filters:Hier ist ein Beispiel eines einfachen VHDL-Codes zur Implementierung eines FIR-Filters:

library IEEE;use IEEE.STD_LOGIC_1164.ALL;use IEEE.STD_LOGIC_ARITH.ALL;use IEEE.STD_LOGIC_UNSIGNED.ALL;entity FIR_Filter is    Port ( clk : in  STD_LOGIC;           reset : in  STD_LOGIC;           x_in : in  STD_LOGIC_VECTOR (15 downto 0);           y_out : out  STD_LOGIC_VECTOR (15 downto 0));end FIR_Filter;architecture Behavioral of FIR_Filter issignal coeff : array(0 to 4) of INTEGER := (1, 2, 3, 2, 1);signal filter_in : array(0 to 4) of STD_LOGIC_VECTOR (15 downto 0);signal acc : INTEGER := 0;beginprocess(clk, reset)begin    if reset = '1' then        acc <= 0;        for i in 0 to 4 loop            filter_in(i) <= (others => '0');        end loop;    elsif rising_edge(clk) then        -- Verschiebe die Eingänge        for i in 4 downto 1 loop            filter_in(i) <= filter_in(i-1);        end loop;        filter_in(0) <= x_in;        -- Berechne die Filterausgabe        acc := 0;        for i in 0 to 4 loop            acc := acc + (to_integer(signed(filter_in(i))) * coeff(i));        end loop;        y_out <= std_logic_vector(to_signed(acc, 16));    end if;end process;end Behavioral;

Dieser einfache VHDL-Code implementiert ein FIR-Filter mit 5 Koeffizienten. Beachte, dass der FIR-Filter in dieser Darstellung keine Optimierungen für maximale Effizienz enthält. Für eine effiziente Implementierung auf einem FPGA sollten Pipelining und parallele Verarbeitungstechniken verwendet werden.Mit diesen Schritten hast Du erfolgreich diskutiert, wie FIR- und IIR-Filter auf Hardware umgesetzt werden, die wesentlichen Schritte und Herausforderungen beschrieben, Methoden zur Maximierung der Effizienz erklärt und einen einfachen VHDL-Code für die Implementierung des FIR-Filters erstellt.

Aufgabe 4)

In einem Kommunikationssystem sollen Datenübertragungen fehlerfrei und effizient realisiert werden. Betrachte ein Szenario, in dem ein Transceiver (Sender und Empfänger) zur Datenübertragung eingesetzt wird. Um die Übertragungssicherheit zu gewährleisten, werden verschiedene Fehlererkennungs- und Fehlerkorrekturverfahren angewendet. Unter Berücksichtigung der Paritätsprüfung, der Hamming-Codes und der zyklischen Redundanzprüfung (CRC) sollen folgende Aufgaben bearbeitet werden.

a)

Erkläre die Funktionsweise der Paritätsprüfung und unterschiede zwischen der gerade und ungeraden Parität. Illustriere das Verfahren an einem Beispiel und erläutere, wie Fehler erkannt werden.

Lösung:

Erklärung der Paritätsprüfung

Die Paritätsprüfung ist eine einfache Methode zur Fehlererkennung, die oft in Kommunikationssystemen verwendet wird, um sicherzustellen, dass Daten fehlerfrei übertragen werden. Bei der Paritätsprüfung wird ein einzelnes Paritätsbit zu den Datenbits hinzugefügt, das dazu dient, die Anzahl der Bits mit dem Wert '1' entweder gerade oder ungerade zu machen.

• Gerade Parität: Bei der geraden Parität wird das Paritätsbit so gesetzt, dass die Gesamtanzahl der Bits mit dem Wert '1' in der gesamten Datenübertragung gerade ist.
• Ungerade Parität: Bei der ungeraden Parität wird das Paritätsbit so gesetzt, dass die Gesamtanzahl der Bits mit dem Wert '1' in der gesamten Datenübertragung ungerade ist.

Beispiel der geraden Parität

Angenommen, wir haben ein Datenbyte 1011001. Um die gerade Parität zu gewährleisten, müssen wir die Anzahl der '1'-Bits zählen:

• In diesem Fall haben wir vier '1'-Bits.
• Da vier bereits eine gerade Zahl ist, setzen wir das Paritätsbit auf '0'.
• Das vollständige Datenbyte mit Paritätsbit ist somit 10110010.

Beispiel der ungeraden Parität

Angenommen, wir haben das gleiche Datenbyte 1011001. Um die ungerade Parität zu gewährleisten, müssen wir die Anzahl der '1'-Bits zählen:

• In diesem Fall haben wir vier '1'-Bits.
• Da vier eine gerade Zahl ist, setzen wir das Paritätsbit auf '1', um die Anzahl der '1'-Bits ungerade zu machen (4 + 1 = 5).
• Das vollständige Datenbyte mit Paritätsbit ist somit 10110011.

Fehlererkennung mittels Paritätsprüfung

Während der Datenübertragung kann der Empfänger die Parität überprüfen, indem er die Anzahl der '1'-Bits im empfangenen Datenbyte einschließlich des Paritätsbits zählt:

• Bei gerader Parität sollte die Gesamtanzahl der '1'-Bits gerade sein.
• Bei ungerader Parität sollte die Gesamtanzahl der '1'-Bits ungerade sein.

Wenn die Parität nicht mit dem erwarteten Ergebnis übereinstimmt, weiß der Empfänger, dass ein Fehler aufgetreten ist. Diese Methode kann jedoch nur einfache Bit-Fehler (Einzelbit-Fehler) erkennen und ist nicht in der Lage, Fehler zu korrigieren oder mehrere Bit-Fehler zu erkennen.

b)

Ein Datenwort lautet 1101101. Berechne den Hamming-Code für dieses Datenwort und zeige, wie ein einziger Bitfehler in der Übertragung erkannt und korrigiert werden kann. Erkläre dabei, wie die Hamming-Distanz zur Fehlerkorrektur genutzt wird.

Lösung:

Hamming-Code Berechnung und Fehlerkorrektur

Der Hamming-Code ist ein Fehlerkorrekturverfahren, das es ermöglicht, einzelne Bit-Fehler zu erkennen und zu korrigieren. Dieses Verfahren wird durch die Einfügung von zusätzlichen Bits (Prüfbits) in das Datenwort erreicht. Diese Prüfbits helfen dabei, die Position eines Fehlers zu bestimmen.

Gegeben ist das Datenwort 1101101. Um den Hamming-Code zu berechnen, müssen wir zunächst die Positionen der Prüfbits festlegen. Die Positionen der Prüfbits sind Potenzen von 2 (d. h. 1, 2, 4, 8, usw.).

Schritt 1: Positionen der Prüfbits festlegen

• Das ursprüngliche Datenwort hat 7 Bits.
• Wir fügen drei Prüfbits hinzu (für Datenwörter zwischen 4 und 7 Bits), an den Positionen 1, 2 und 4.
• Die neuen Positionen der Bits sind wie folgt: _ _ 1 _ 1 0 1 1 0 1 (mit _ für die Prüfbits).

Schritt 2: Werte der Prüfbits berechnen

Um die Werte der Prüfbits zu berechnen, überprüfen wir die Parität der Bits an den Positionen, je nach der Paritätsregel der jeweiligen Paritätsbits.

• Prüfbit Position 1 (P1): beeinflusst Positionen 1, 3, 5, 7, 9, 11, usw.
• Prüfbit Position 2 (P2): beeinflusst Positionen 2, 3, 6, 7, 10, 11, usw.
• Prüfbit Position 4 (P4): beeinflusst Positionen 4, 5, 6, 7, 12, 13, usw.

Wir setzen die Bits in den verbleibenden Positionen ein:

• M1 an Position 3 (1)
• M2 an Position 5 (1)
• M3 an Position 6 (0)
• M4 an Position 7 (1)
• M5 an Position 9 (1)
• M6 an Position 10 (0)

Datenwort mit Platzhaltern: _ _ 1 _ 1 0 1 1 0 1

• Berechnung für P1: P1 ist verantwortlich für 3, 5, 7, 9. 1 (M1) + 1 (M2) + 1 (M4) + 1 (M5) = 4 -> P1 = 0 (für gerade Parität).
• Berechnung für P2: P2 ist verantwortlich für 3, 6, 7, 10. 1 (M1) + 0 (M3) + 1 (M4) + 0 (M6) = 2 -> P2 = 0 (für gerade Parität).
• Berechnung für P4: P4 ist verantwortlich für 5, 6, 7. 1 (M2) + 0 (M3) + 1 (M4) = 2 -> P4 = 0 (für gerade Parität).

Das vollständige Hamming-Datenwort lautet:

0011011010

Schritt 3: Fehlererkennung und -korrektur

Wird das Hamming-Wort via Übertragung empfangen, überprüfen wir erneut die Parität der Bits, um Fehler zu erkennen und zu korrigieren:

• Wir prüfen P1, P2, P4 und erkennen die Position des fehlerhaften Bits durch Bitweise XOR der Gruppen (Prüfbits und ihre Positionen).
• Wenn ein Fehler erkannt wird, zeigt die resultierende Binärzahl die Position des fehlerhaften Bits. Zum Beispiel, wenn die Fehlermeldung 1001 ergibt (Position 9), ist das Bit 9 fehlerhaft.
• Wir korrigieren das falsch empfangene Bit, indem wir einfach seinen Wert umkehren (von 1 zu 0 oder von 0 zu 1).

Hamming-Abstand

Der Hamming-Abstand ist die Anzahl der Stellen, an denen zwei Bitfolgen unterschiedlicher Länge differieren. Um einen einzelnen Fehler zu korrigieren, muss der Hamming-Abstand mindestens 3 betragen (1 Bit hat ein falsches Bit, und 2 verschiedene Paritätsbits zeigen Differenzen an).

Fazit:

Durch die Hamming-Distanz von 3 ist es möglich, mittels Hamming-Code Fehler nicht nur zu erkennen, sondern auch zu korrigieren. Der Hamming-Code stellt sicher, dass Datenübertragungen fehlerfrei und effizient durchgeführt werden können.

c)

Ein weiteres Datenwort lautet 10101100 und soll mittels einer zyklischen Redundanzprüfung (CRC) mit dem Generatorpolynom G(x) = x^3 + x + 1 überprüft werden. Berechne den CRC-Code dieses Datenwortes und erkläre den vollständigen Prozess zur Fehlererkennung.

Lösung:

Zyklische Redundanzprüfung (CRC)

Die zyklische Redundanzprüfung (CRC) ist ein Verfahren zur Erkennung von Fehlern in Datenübertragungen. Bei der CRC wird eine Prüfsumme (CRC-Code) berechnet und an die Daten angehängt. Der Empfänger kann das gleiche Verfahren verwenden, um zu überprüfen, ob die empfangenen Daten fehlerfrei sind.

Gegeben:

• Datenwort: 10101100
• Generatorpolynom: G(x) = x^3 + x + 1 (entspricht dem binären Wert 1101)

Schritt 1: Datenwort erweitern

Wir erweitern das Datenwort um drei Nullen (Anzahl der Bits des Generatorpolynoms minus 1):

10101100 000

Schritt 2: Division durch das Generatorpolynom

Wir führen eine binäre Division des erweiterten Datenworts durch das Generatorpolynom durch:Dividierende: 10101100 000Divisor: 1101

Division:

10101100 000 (zu berechnendes Datenwort)

• 1101 (Generatorpolynom)

01101000 000 (erste Subtraktion)

• 1101 (Generatorpolynom)

00111100 000 (zweite Subtraktion)

• 1101 (Generatorpolynom)

00010100 000 (dritte Subtraktion)

• 1101 (Generatorpolynom)

00000110 000 (vierte Subtraktion)

• 1101 (Generatorpolynom)

00000011 000

Schritt 3: Rest berechnen

Der Rest der Division ist unser CRC-Code. In diesem Fall:

011

Der CRC-Code wird nun an das ursprüngliche Datenwort angefügt.

Vollständiges Datenwort mit CRC

Das vollständige Datenwort lautet:

10101100 011

Schritt 4: Fehlererkennung

Um Fehler zu erkennen, führt der Empfänger die gleiche binäre Division durch das Generatorpolynom an den empfangenen Daten (einschließlich des CRC). Wenn der Rest der Division 0 ist, sind die Daten fehlerfrei. Andernfalls ist ein Fehler aufgetreten.

Fazit:

Durch die Berechnung und Übertragung des CRC-Codes können Datenübertragungen effizient auf Fehler überprüft werden. Das Verfahren der zyklischen Redundanzprüfung (CRC) gewährleistet, dass Fehler in den übertragenen Daten sicher erkannt werden.