Microeconomics - Exam

Aufgabe 1)

Context: Betrachten Sie einen Markt für ein bestimmtes Gut, auf dem das Gesetz von Angebot und Nachfrage zur Anwendung kommt. Die Angebotskurve kann durch die Gleichung \( Q_s = 2P - 5 \) und die Nachfragekurve durch die Gleichung \( Q_d = 50 - P \) beschrieben werden. Hier steht \( Q_s \) für die Angebotsmenge, \( Q_d \) für die Nachfragemenge und \( P \) für den Preis des Gutes.

a)

Sub-Exercise 1: Berechne den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge auf diesem Markt. Verwende dafür die Preisbildungsformel \( Q_d = Q_s \).

Lösung:

Lösung des Teilaufgabe 1: Um den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge auf diesem Markt zu berechnen, verwenden wir die Preisbildungsformel \( Q_d = Q_s \). Dies bedeutet, dass die Angebotsmenge und die Nachfragemenge gleich sein müssen. Gegeben sind die folgenden Gleichungen:

• Angebotskurve: \( Q_s = 2P - 5 \)
• Nachfragekurve: \( Q_d = 50 - P \)

Wir setzen die Gleichungen gleich: \[ 2P - 5 = 50 - P \] Jetzt lösen wir die Gleichung nach P auf: \[ 2P + P = 50 + 5 \] \[ 3P = 55 \] \[ P = \frac{55}{3} \] \[ P \approx 18,33 \] Dies ist der Gleichgewichtspreis. Um die Gleichgewichtsmenge zu berechnen, setzen wir den Preis \( P \approx 18,33 \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Wir verwenden hier die Nachfragekurve:

• Nachfragekurve: \( Q_d = 50 - P \)

Also: \[ Q_d = 50 - 18,33 \] \[ Q_d \approx 31,67 \] Somit ist die Gleichgewichtsmenge etwa 31,67. Zusammengefasst:

• Gleichgewichtspreis: \( P \approx 18,33 \)
• Gleichgewichtsmenge: \( Q \approx 31,67 \)

b)

Sub-Exercise 2: Angenommen, die Nachfrage steigt, sodass die neue Nachfragekurve durch die Gleichung \( Q_d = 70 - P \) beschrieben wird. Bestimme den neuen Gleichgewichtspreis und die neue Gleichgewichtsmenge. Erkläre, wie dies das Grundprinzip der Preisbildung und das Gesetz von Angebot und Nachfrage illustriert.

Lösung:

Lösung des Teilaufgabe 2: Wenn die Nachfrage steigt, ändert sich die Nachfragekurve. Die neue Nachfragekurve lautet: \( Q_d = 70 - P \) Die Angebotskurve bleibt unverändert: \( Q_s = 2P - 5 \) Um den neuen Gleichgewichtspreis und die neue Gleichgewichtsmenge zu finden, setzen wir die beiden Gleichungen gleich: \[ 2P - 5 = 70 - P \] Nun lösen wir die Gleichung nach \( P \) auf: \[ 2P + P = 70 + 5 \] \[ 3P = 75 \] \[ P = \frac{75}{3} \] \[ P = 25 \] Dies ist der neue Gleichgewichtspreis. Um die neue Gleichgewichtsmenge zu berechnen, setzen wir den Preis \( P = 25 \) in eine der ursprünglichen Gleichungen ein. Wir verwenden hier die Angebotskurve:

• Angebotskurve: \( Q_s = 2P - 5 \)

Also: \[ Q_s = 2 \cdot 25 - 5 \] \[ Q_s = 50 - 5 \] \[ Q_s = 45 \] Somit ist die neue Gleichgewichtsmenge 45. Zusammengefasst:

• Neuer Gleichgewichtspreis: \( P = 25 \)
• Neue Gleichgewichtsmenge: \( Q = 45 \)

Erklärung: Dieses Ergebnis illustriert das Grundprinzip der Preisbildung und das Gesetz von Angebot und Nachfrage. Wenn die Nachfrage nach einem Gut steigt (in diesem Fall von \( Q_d = 50 - P \) zu \( Q_d = 70 - P \)), führt dies zu einem höheren Gleichgewichtspreis und einer höheren Gleichgewichtsmenge. Dies liegt daran, dass ein höherer Preis mehr Anbieter anzieht (gesetzmäßig mehr wird angeboten) und gleichzeitig die höhere Nachfrage eine größere Menge nachfragt, bis ein neues Gleichgewicht erreicht wird. Dies zeigt, wie sich Marktkräfte ausgleichen und wie Preise und Mengen reagiert, um Marktgleichgewichte zu finden.

Aufgabe 2)

Betrachten wir einen Markt, der durch die folgenden Angebots- und Nachfragefunktionen beschrieben wird: Die Angebotsfunktion ist gegeben durch \( Q_s = 2P - 4 \) und die Nachfragefunktion ist gegeben durch \( Q_d = 16 - 3P \).

a)

Bestimme den Gleichgewichtspreis (P) und die Gleichgewichtsmenge (Q) auf diesem Markt. Stelle sicher, dass Du den Schritt zeigst, wie Du die Funktionen gleichsetzt und löst.

Lösung:

Um den Gleichgewichtspreis (P) und die Gleichgewichtsmenge (Q) auf diesem Markt zu bestimmen, müssen wir die Angebotsfunktion und die Nachfragefunktion gleichsetzen. Der Markt ist im Gleichgewicht, wenn die angebotene Menge gleich der nachgefragten Menge ist, also wenn Q_s = Q_d.

• Die Angebotsfunktion ist: Q_s = 2P - 4
• Die Nachfragefunktion ist: Q_d = 16 - 3P

Im Gleichgewicht gilt:

 2P - 4 = 16 - 3P 

Um diese Gleichung zu lösen, folgen wir diesen Schritten:

• Addiere 3P auf beiden Seiten der Gleichung:

 2P + 3P - 4 = 16 

• Vereinfachen ergibt:

 5P - 4 = 16 

• Addiere 4 auf beiden Seiten der Gleichung:

 5P = 20 

• Teile beide Seiten durch 5:

 P = 4 

Nun, da wir den Gleichgewichtspreis P gefunden haben, können wir ihn verwenden, um die Gleichgewichtsmenge Q zu bestimmen. Setze P = 4 in eine der beiden Ausgangsfunktionen ein (hier verwenden wir die Angebotsfunktion):

 Q_s = 2P - 4 = 2(4) - 4 = 8 - 4 = 4 

Daher sind der Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge:

• Gleichgewichtspreis (P): 4
• Gleichgewichtsmenge (Q): 4

b)

Zeichne sowohl die Angebotskurve als auch die Nachfragekurve auf einem Diagramm. Markiere deutlich den Gleichgewichtspunkt. Achte darauf, Achsen zu beschriften und die Funktionen korrekt zu zeichnen.

Lösung:

Um sowohl die Angebotskurve als auch die Nachfragekurve in einem Diagramm zu zeichnen und den Gleichgewichtspunkt deutlich zu markieren, sollten wir die folgenden Schritte ausführen:

1. Achsen beschriften: Die vertikale Achse (y-Achse) repräsentiert den Preis (P), und die horizontale Achse (x-Achse) repräsentiert die Menge (Q).
2. Angebotskurve zeichnen: Die Angebotsfunktion lautet Q_s = 2P - 4. Berechnen wir einige Punkte dafür:

• Wenn P = 0, dann ist Q_s = 2(0) - 4 = -4 (dieser Punkt ist uninteressant, weil die Menge nicht negativ sein kann).
• Wenn P = 4, dann ist Q_s = 2(4) - 4 = 4.
• Wenn P = 5, dann ist Q_s = 2(5) - 4 = 6.

Nachfragekurve zeichnen: Die Nachfragefunktion lautet Q_d = 16 - 3P. Berechnen wir einige Punkte dafür:

• Wenn P = 0, dann ist Q_d = 16 - 3(0) = 16.
• Wenn P = 4, dann ist Q_d = 16 - 3(4) = 4.
• Wenn P = 5, dann ist Q_d = 16 - 3(5) = 1.

Gleichgewichtspunkt markieren: Im vorherigen Schritt haben wir den Gleichgewichtspunkt bereits berechnet: P = 4 und Q = 4. Dieser Punkt sollte im Diagramm markiert werden.

Hier ist das Diagramm:

Beschreibe die Elemente:

• Die Angebotskurve (blau) startet vom Schnittpunkt mit P = 2 und Q = 0 und steigt an.
• Die Nachfragekurve (rot) beginnt bei P = 0 und Q = 16 und fällt ab.
• Der Gleichgewichtspunkt ist bei (P, Q) = (4, 4) gekennzeichnet.

Achten Sie darauf, dass das Diagramm die Preis- und Mengenachsen sowie die Skalen korrekt beschriftet hat.

c)

Analysiere, was passieren würde, wenn der aktuelle Marktpreis über dem Gleichgewichtspreis liegt. Erkläre, welche Marktkräfte in diesem Fall wirken und wie sich der Markt wieder ins Gleichgewicht bewegt.

Lösung:

Wenn der aktuelle Marktpreis über dem Gleichgewichtspreis liegt, hat dies bestimmte Auswirkungen auf das Marktgeschehen und die Reaktion der Marktteilnehmer. Lassen Sie uns untersuchen, was in einem solchen Szenario passiert.

• Überschuss (Überangebot): Ein Preis oberhalb des Gleichgewichtspreises führt dazu, dass die angebotene Menge (Q_s) größer ist als die nachgefragte Menge (Q_d). Dies erzeugt ein Überangebot. Konkret bedeutet dies, dass Anbieter mehr Güter produzieren und auf den Markt bringen, als die Konsumenten zu diesem hohen Preis kaufen möchten.
• Marktkräfte: In einem freien Markt wirken bestimmte Kräfte, um solche Ungleichgewichte zu korrigieren:
• Preisreduktion: Händler und Produzenten, die nicht alle ihre Waren verkaufen können, sind gezwungen, die Preise zu senken, um die überschüssige Ware loszuwerden. Dies geschieht, weil sie ihre Lagerbestände reduzieren möchten und ihre Kosten decken müssen.
• Erhöhte Nachfrage: Ein reduzierter Preis macht das Produkt für Konsumenten attraktiver. Wenn die Preise sinken, sind mehr Konsumenten bereit, das Produkt zu kaufen, was die nachgefragte Menge (Q_d) erhöht.
• Reduzierte Produktion: Bei sinkenden Preisen nehmen die Gewinne der Produzenten ab, was einige Produzenten dazu veranlasst, ihre Produktion zu reduzieren oder ganz einzustellen. Dies führt zu einer Abnahme der angebotenen Menge (Q_s).
• Marktgleichgewicht: Diese Wechselwirkungen (steigende Nachfrage und sinkendes Angebot) bewegen den Marktpreis allmählich wieder in Richtung des Gleichgewichtspreises. Das Gleichgewicht wird erreicht, wenn die nachgefragte Menge wieder gleich der angebotenen Menge ist. Dies geschieht bei unserem Gleichgewichtspreis P = 4 und der Gleichgewichtsmenge Q = 4.

Zusammengefasst führt ein Preis oberhalb des Gleichgewichtspreises zu einem Überangebot. Um dieses Ungleichgewicht zu beseitigen, senken Anbieter die Preise, was die Nachfrage erhöht und das Angebot reduziert, bis das Marktgleichgewicht wiederhergestellt ist.

Aufgabe 3)

Kontext: In einer Studie zur Preiselastizität der Nachfrage für verschiedene Produkte hast Du die Aufgabe, die Auswirkungen von Preisänderungen auf die Nachfragemenge zu untersuchen. Du beschäftigst Dich speziell mit den Produkten „Produkt A“ und „Produkt B“. Die folgende Tabelle liefert Dir die notwendigen Daten:

• Produkt A: Ursprünglicher Preis = 10€, Neue Preis = 12€, Ursprüngliche Nachfragemenge = 100 Einheiten, Neue Nachfragemenge = 80 Einheiten
• Produkt B: Ursprünglicher Preis = 20€, Neue Preis = 22€, Ursprüngliche Nachfragemenge = 50 Einheiten, Neue Nachfragemenge = 45 Einheiten

a)

Berechne die Preiselastizität der Nachfrage (E_d) sowohl für Produkt A als auch für Produkt B. Verwende die Formel für die Preiselastizität der Nachfrage: \

\[ E_d = \frac{\Delta Q_d}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q_d} \] 

.

Lösung:

Lösung: Um die Preiselastizität der Nachfrage (E_d) sowohl für Produkt A als auch für Produkt B zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

\[ E_d = \frac{\Delta Q_d}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q_d} \]

• Preiselastizität der Nachfrage für Produkt A
  • Ursprünglicher Preis (P₀) = 10€
  • Neuer Preis (P₁) = 12€
  • Ursprüngliche Nachfragemenge (Q₀) = 100 Einheiten
  • Neue Nachfragemenge (Q₁) = 80 Einheiten
  • Die Preisänderung ( \[\Delta P \] ) beträgt: \[ \Delta P = P_1 - P_0 = 12 - 10 = 2 \]
  • Die Änderung der Nachfragemenge ( \[\Delta Q_d \] ) beträgt: \[ \Delta Q_d = Q_1 - Q_0 = 80 - 100 = -20 \]
  • Der ursprüngliche Preis (P) = 10€
  • Die ursprüngliche Nachfragemenge (Q_d) = 100 Einheiten

  Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

  \[ E_d = \frac{\Delta Q_d}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q_d} = \frac{-20}{2} \cdot \frac{10}{100} = -10 \cdot 0,1 = -1,0 \]

• Preiselastizität der Nachfrage für Produkt B
  • Ursprünglicher Preis (P₀) = 20€
  • Neuer Preis (P₁) = 22€
  • Ursprüngliche Nachfragemenge (Q₀) = 50 Einheiten
  • Neue Nachfragemenge (Q₁) = 45 Einheiten
  • Die Preisänderung ( \[\Delta P \] ) beträgt: \[ \Delta P = P_1 - P_0 = 22 - 20 = 2 \]
  • Die Änderung der Nachfragemenge ( \[\Delta Q_d \] ) beträgt: \[ \Delta Q_d = Q_1 - Q_0 = 45 - 50 = -5 \]
  • Der ursprüngliche Preis (P) = 20€
  • Die ursprüngliche Nachfragemenge (Q_d) = 50 Einheiten

  Nun setzen wir die Werte in die Formel ein:

  \[ E_d = \frac{\Delta Q_d}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q_d} = \frac{-5}{2} \cdot \frac{20}{50} = -2,5 \cdot 0,4 = -0,2 \]        

Zusammenfassend:

• Produkt A hat eine Preiselastizität der Nachfrage von -1,0.
• Produkt B hat eine Preiselastizität der Nachfrage von -0,2.

b)

Bestimme anhand der berechneten Preiselastizität der Nachfrage für beide Produkte, ob die Nachfrage elastisch, unelastisch, oder einheitselastisch ist. Erörtere die möglichen Gründe für das Elastizitätsverhalten der Produkte und berücksichtige dabei die Determinanten der Preiselastizität (Verfügbarkeit von Substituten, Anteil des Einkommens, Notwendigkeit vs. Luxus).

Lösung:

Lösung:

Um festzustellen, ob die Nachfrage nach den Produkten elastisch, unelastisch oder einheitselastisch ist, betrachten wir die berechneten Preiselastizitäten:

• Produkt A: E_D = -1,0
• Produkt B: E_D = -0,2

Die Interpretation der Preiselastizität der Nachfrage ist wie folgt:

• Elastische Nachfrage: |E_D| > 1
• Unelastische Nachfrage: 0 < |E_D| < 1
• Einheitselastische Nachfrage: |E_D| = 1

Basierend auf diesen Definitionen können wir die Nachfrage für die beiden Produkte wie folgt einordnen:

• Produkt A hat eine einheitselastische Nachfrage, da |E_D| = 1,0. Das bedeutet, dass der prozentuale Rückgang der Nachfragemenge gleich dem prozentualen Anstieg des Preises ist.
• Produkt B hat eine unelastische Nachfrage, da |E_D| = 0,2. Das bedeutet, dass die Nachfragemenge prozentual weniger stark zurückgeht als der Preis prozentual steigt.

Erörterung der möglichen Gründe für das Elastizitätsverhalten der Produkte:

• Produkt A:
  • Verfügbarkeit von Substituten: Wenn für Produkt A viele Substitute verfügbar sind, wechseln die Verbraucher beim Preisanstieg leicht zu anderen Produkten, was eine elastische oder einheitselastische Nachfrage zur Folge haben kann.
  • Anteil des Einkommens: Wenn Produkt A einen mittleren Anteil am Einkommen der Verbraucher ausmacht, ist ein mäßig empfindliches Nachfrageverhalten (einheitselastisch) möglich.
  • Notwendigkeit vs. Luxus: Produkt A könnte als Gut mittlerer Notwendigkeit betrachtet werden, daher ist die Nachfrage weder sehr elastisch noch völlig unelastisch.
• Produkt B:
  • Verfügbarkeit von Substituten: Wenn es weniger Substitute für Produkt B gibt, tendieren die Verbraucher dazu, auch bei einer Preiserhöhung bei Produkt B zu bleiben, was eine unelastische Nachfrage zur Folge haben kann.
  • Anteil des Einkommens: Wenn Produkt B einen geringen Anteil am Einkommen der Verbraucher ausmacht, sind sie weniger preissensitiv, was ebenfalls zu einer unelastischen Nachfrage führt.
  • Notwendigkeit vs. Luxus: Wenn Produkt B als notwendiges Gut eingestuft wird, ist die Nachfrage weniger elastisch, da Verbraucher unabhängig vom Preis darauf angewiesen sind.

Aufgabe 4)

Eine Firma verwendet eine Produktionsfunktion der Form Cobb-Douglas: \[ Q = L^{0.5} K^{0.5} \] wobei Q der Output, L die Anzahl der Arbeitskräfte und K das eingesetzte Kapital sind.

b)

Erläutere das Gesetz des abnehmenden Grenzprodukts und veranschauliche es, indem Du die Grenzprodukte für Arbeit (MPL) und Kapital (MPK) berechnest und dabei die obige Produktionsfunktion verwendest.

Lösung:

Das Gesetz des abnehmenden Grenzprodukts besagt, dass bei zunehmendem Einsatz eines Produktionsfaktors, während alle anderen Produktionsfaktoren konstant gehalten werden, das zusätzliche Output durch die letzte Einheit dieses Faktors irgendwann abnimmt. Das bedeutet, dass obwohl mehr Input zu einer Zunahme des Outputs führt, die zusätzliche Menge des Outputs pro zusätzlicher Inputeinheit abnimmt.

Um dies zu veranschaulichen, berechnen wir die Grenzprodukte für Arbeit (MPL) und Kapital (MPK) unter Verwendung der gegebenen Cobb-Douglas-Produktionsfunktion:

Die Produktionsfunktion ist gegeben durch:

• Q = L^{0.5} \times K^{0.5}

1. Berechnung des Grenzprodukts der Arbeit (MPL):

Das Grenzprodukt der Arbeit (MPL) ist die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach L:

• \( MPL = \frac{\partial Q}{\partial L} \)

Wir berechnen die partielle Ableitung:

• \( MPL = \frac{\partial}{\partial L} [L^{0.5} \times K^{0.5}] \)
• \( MPL = 0.5 \times L^{-0.5} \times K^{0.5} \)
• \( MPL = \frac{0.5 K^{0.5}}{L^{0.5}} \)

2. Berechnung des Grenzprodukts des Kapitals (MPK):

Das Grenzprodukt des Kapitals (MPK) ist die partielle Ableitung der Produktionsfunktion nach K:

• \( MPK = \frac{\partial Q}{\partial K} \)

Wir berechnen die partielle Ableitung:

• \( MPK = \frac{\partial}{\partial K} [L^{0.5} \times K^{0.5}] \)
• \( MPK = 0.5 \times L^{0.5} \times K^{-0.5} \)
• \( MPK = \frac{0.5 L^{0.5}}{K^{0.5}} \)

Nun setzen wir die gegebenen Werte für L und K (L = 16 und K = 9) in die Grenzproduktformeln ein:

Für MPL:

• \( MPL = \frac{0.5 \times 9^{0.5}}{16^{0.5}} \)
• \( MPL = \frac{0.5 \times 3}{4} \)
• \( MPL = \frac{1.5}{4} \)
• \( MPL = 0.375 \)

Für MPK:

• \( MPK = \frac{0.5 \times 16^{0.5}}{9^{0.5}} \)
• \( MPK = \frac{0.5 \times 4}{3} \)
• \( MPK = \frac{2}{3} \)

Die Grenzprodukte der Arbeit (MPL) und des Kapitals (MPK) bei den gegebenen Werten sind:

• MPL = 0.375
• MPK = \frac{2}{3} = 0.6667

Diese Berechnungen veranschaulichen das Gesetz des abnehmenden Grenzprodukts, da das Grenzprodukt eines Faktors mit zunehmendem Einsatz eines Produktionsfaktors abnimmt, wenn der andere Faktor konstant gehalten wird.

c)

Analysiere die Skalenerträge der Produktionsfunktion. Erläutere, was passiert, wenn sowohl L als auch K jeweils um 10 % erhöht werden.

Lösung:

Um die Skalenerträge der gegebenen Produktionsfunktion zu analysieren, müssen wir betrachten, was passiert, wenn wir beide Produktionsfaktoren, Arbeit (L) und Kapital (K), gleichzeitig um denselben Prozentsatz erhöhen.

Die Produktionsfunktion ist gegeben durch:

• Q = L^{0.5} K^{0.5}

Skalenerträge beschreiben, wie sich der Output ändert, wenn alle Inputfaktoren proportional erhöht werden. Wir betrachten den Fall, in dem sowohl L als auch K um 10 % erhöht werden.

Ursprüngliche Produktionsfunktion:

• Q = L^{0.5} K^{0.5}

Erhöhen wir L und K jeweils um 10 %, so wird:

• L_{neu} = 1.1L
• K_{neu} = 1.1K

Setzen wir diese neuen Werte in die Produktionsfunktion ein:

• Q_{neu} = (1.1L)^{0.5} (1.1K)^{0.5}

Das lässt sich vereinfachen zu:

• Q_{neu} = 1.1^{0.5} L^{0.5} 1.1^{0.5} K^{0.5}
• Da 1.1^{0.5} = \sqrt{1.1}, erhalten wir:
• Q_{neu} = \sqrt{1.1} \times \sqrt{1.1} \times L^{0.5} K^{0.5}
• Q_{neu} = 1.1 \times L^{0.5} K^{0.5}

Vergleichen wir dies mit der ursprünglichen Produktionsfunktion:

• Q_{neu} = 1.1 Q_{alt}

Das bedeutet, dass der Output um 10 % ansteigt, wenn sowohl Arbeit als auch Kapital um 10 % erhöht werden.

Schlussfolgerung:

Die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion zeigt konstante Skalenerträge, was bedeutet, dass eine proportional gleiche Erhöhung aller Inputfaktoren zu einer proportional gleichen Erhöhung des Outputs führt. In diesem Fall führt eine Erhöhung von L und K um 10 % zu einer Erhöhung des Outputs Q um 10 %.