Empirical Economics - Exam

Aufgabe 1)

Im Rahmen eines empirischen ökonomischen Forschungsprojekts willst Du herausfinden, ob es einen Zusammenhang zwischen dem Einkommen (Y) und der Anzahl der Bildungsjahre (X) der Personen in einer bestimmten Region gibt. Verwende die lineare Regressionsanalyse, um diesen Zusammenhang zu untersuchen. Die grundlegende Gleichung der linearen Regression lautet \[ Y = \beta_0 + \beta_1X + \theta \].

a)

Schätze die Koeffizienten \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \) der linearen Regressionsgleichung mithilfe einer statistischen Software, basierend auf einem gegebenen Datensatz von 100 Personen, der ihre Bildungsjahre (X) und ihr Einkommen (Y) enthält. Interpretiere die geschätzten Koeffizienten.

Lösung:

Um die Koeffizienten \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \) der linearen Regressionsgleichung zu schätzen, folge diesen Schritten:

• Importiere den Datensatz in eine statistische Software wie R, Python (mit Pandas und Statsmodels/Bokeh- oder Matplotlib-Bibliothek) oder eine andere bevorzugte Software.

Nehmen wir Python als Beispiel:

• Installiere die notwendigen Bibliotheken:

pip install pandas statsmodels

• Importiere die Bibliotheken und lade den Datensatz:

import pandas as pdimport statsmodels.api as sm # Lade den Datensatzdata = pd.read_csv('path_to_your_dataset.csv')

• Definiere die abhängige Variable (Y) und die unabhängige Variable (X):

Y = data['income']X = data['education_years'] # Füge eine Konstante hinzu, um den Interzept (β0) zu schätzenX = sm.add_constant(X)

• Führe die lineare Regression durch:

model = sm.OLS(Y, X).fit()results = model.summary()print(results)

• Interpretiere die geschätzten Koeffizienten: Der Interzept (\( \beta_0 \)) repräsentiert das geschätzte Durchschnittseinkommen einer Person mit null Bildungsjahren. Der Koeffizient \( \beta_1 \) zeigt den geschätzten Anstieg des Einkommens für jedes zusätzliche Bildungsjahr.

Beispielhafte Ausgabe der Resultate könnte sein:

                            OLS Regression Results==============================================================================Dep. Variable:                 income                                        Model:                            OLSMethod:                 Least SquaresDate:                Mon, 20 Sep 2023Time:                        12:00:00                                R-squared:                       0.45                                No. Observations:                  100                                    Df Residuals:                           98                                Df Model:                                     1                                                            Covariance Type:                nonrobust==============================================================================                 coef          std err        t          P>|t|        [0.025        0.975]------------------------------------------------------------------------------const       10.000         2.000        5.000 <             0.000             6.000             14.0000education_years         1.500         0.300       5.000 <             0.000             0.900             2.100==============================================================================

• In diesem Beispiel zeigt der Interzept (\( \beta_0 \)) von 10.000 an, dass das geschätzte Durchschnittseinkommen einer Person mit null Bildungsjahren 10.000 beträgt.

• Der Koeffizient \( \beta_1 \) von 1.500 bedeutet, dass für jedes zusätzliche Bildungsjahr das Einkommen um 1.500 Einheiten steigt.

Schlussfolgerung:

• Die Ergebnisse der linearen Regression deuten darauf hin, dass es einen positiven Zusammenhang zwischen der Anzahl der Bildungsjahre und dem Einkommen der Personen gibt. Mit anderen Worten steigt das Einkommen mit zunehmenden Bildungsjahren.

c)

Erstelle eine Prognose des Einkommens für eine Person mit 15 Bildungsjahren. Nutze die geschätzte Regressionsgleichung und interpretiere das Ergebnis im Kontext der ökonomischen Theorie. Berechne auch das Konfidenzintervall für die Prognose und erläutere die Bedeutung des Konfidenzintervalls.

Lösung:

Um eine Prognose des Einkommens für eine Person mit 15 Bildungsjahren zu erstellen, nutze die geschätzte Regressionsgleichung:

• Die grundlegende Gleichung der linearen Regression lautet:
• \[ Y = \beta_0 + \beta_1X + \theta \]

Angenommen, die geschätzten Koeffizienten aus der Regression sind:

• \( \beta_0 = 10.000 \)
• \( \beta_1 = 1.500 \)

Die Prognose für das Einkommen (Y) einer Person mit 15 Bildungsjahren (X = 15) lautet dann:

• \[ Y = 10.000 + 1.500 * 15 \]
• \[ Y = 10.000 + 22.500 \]
• \[ Y = 32.500 \]

Das prognostizierte Einkommen für eine Person mit 15 Bildungsjahren beträgt also 32.500 Einheiten.

Im Kontext der ökonomischen Theorie bedeutet dies, dass das Einkommen steigt, wenn die Anzahl der Bildungsjahre zunimmt. Dies bestätigt die Hypothese, dass Bildung einen positiven Einfluss auf das Einkommen hat.

Um das Konfidenzintervall für die Prognose zu berechnen, benötigen wir den Standardfehler der Prognose und die kritischen Werte der t-Verteilung. Angenommen, der Standardfehler der Prognose beträgt 2.000:

• Das 95% Konfidenzintervall für die Prognose wird berechnet als:
• \[ CI = \hat{Y} \pm t_{\alpha/2, df} * SE(\hat{Y}) \]

Bei einer Signifikanzebene von 0.05 und 98 Freiheitsgraden (100 Beobachtungen - 2 Parameter), ist der kritische t-Wert etwa 1.984.

• Das Konfidenzintervall für \( \hat{Y} \) = 32.500 beträgt:
• \[ CI = 32.500 \pm 1.984 * 2.000 \]
• \[ CI = 32.500 \pm 3.968 \]
• \[ CI = [28.532, 36.468] \]

Das 95% Konfidenzintervall für das prognostizierte Einkommen einer Person mit 15 Bildungsjahren liegt also zwischen 28.532 und 36.468 Einheiten.

Bedeutung des Konfidenzintervalls:

• Das Konfidenzintervall gibt den Bereich an, in dem wir mit 95%iger Sicherheit erwarten können, dass das wahre Einkommen einer Person mit 15 Bildungsjahren liegt. Es zeigt die Unsicherheit unserer Schätzung und hilft, die Verlässlichkeit unserer Prognose zu bewerten.

Aufgabe 2)

Du bist als Ökonom in einem kleinen Beratungsunternehmen angestellt und erhältst den Auftrag, eine ökonometrische Analyse der Auswirkungen von Bildungsinvestitionen auf das individuelle Einkommen durchzuführen. Hierbei soll sowohl das einfache als auch das multiple lineare Regressionsmodell angewandt werden. Deine Aufgabe ist es, die verschiedenen Aspekte der Regressionsanalyse zu berücksichtigen, darunter auch potentielle Probleme wie Omitted Variable Bias (OVB), Heteroskedastizität und Endogenität. Du sollst zudem die Relevanz des Gauss-Markov-Theorems erklären und die Anwendung von Instrumentalvariablen diskutieren.

a)

Teilaufgabe 1: Entwickle ein einfaches lineares Regressionsmodell, welches den Zusammenhang zwischen den Bildungsinvestitionen (X) und dem individuellen Einkommen (Y) beschreibt. Schätze mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate (OLS) die Koeffizienten \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \). Formuliere die Regressionsgleichung und erläutere kurz, warum die Methode der kleinsten Quadrate zur Schätzung der Koeffizienten verwendet wird.

Lösung:

Teilaufgabe 1: Entwickle ein einfaches lineares Regressionsmodell, welches den Zusammenhang zwischen den Bildungsinvestitionen (X) und dem individuellen Einkommen (Y) beschreibt. Schätze mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate (OLS) die Koeffizienten \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \). Formuliere die Regressionsgleichung und erläutere kurz, warum die Methode der kleinsten Quadrate zur Schätzung der Koeffizienten verwendet wird.

• 1. Entwicklung des Modells: Das einfache lineare Regressionsmodell, das den Zusammenhang zwischen den Bildungsinvestitionen (X) und dem individuellen Einkommen (Y) beschreibt, kann wie folgt formuliert werden:\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X + \text{Fehlerterm} \]
• 2. Schätzung der Koeffizienten: Um die Koeffizienten \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \) zu schätzen, verwenden wir die Methode der kleinsten Quadrate (Ordinary Least Squares, OLS). Diese Methode minimiert die Summe der quadrierten Abweichungen der beobachteten Werte von den durch das Modell vorhergesagten Werten.\[ \text{Minimiere:} \sum_{i=1}^{n} (Y_i - (\beta_0 + \beta_1 X_i))^2 \]Die optimalen Schätzungen \(\beta_0\) und \(\beta_1\) sind die, welche diese quadratische Abweichung minimieren.
• 3. Warum die Methode der kleinsten Quadrate?:
  • OLS ist einfach anzuwenden und gut interpretierbar.
  • Es liefert unter den Annahmen des klassischen linearen Regressionsmodells unverzerrte und effiziente Schätzungen der Regressionskoeffizienten.
  • Dank des Gauss-Markov-Theorems wissen wir, dass unter den Annahmen des Modells die durch OLS geschätzten Koeffizienten die besten linearen unverzerrten Schätzer (BLUE: Best Linear Unbiased Estimator) sind.

Zusammenfassend beschreibt das Modell die Beziehung zwischen Bildungsinvestitionen und individuellem Einkommen, und die Methode der kleinsten Quadrate bietet eine effiziente Möglichkeit, die Koeffizienten \( \beta_0 \) und \( \beta_1 \) zu schätzen, die diese Beziehung quantifizieren.

b)

Teilaufgabe 2: In einem nächsten Schritt soll das Regressionsmodell um zusätzliche erklärende Variablen erweitert werden, z.B. Berufserfahrung (X_2) und Geschlecht (X_3). Formuliere das multiple lineare Regressionsmodell und diskutiere die mögliche Relevanz des Omitted Variable Bias (OVB), wenn diese zusätzlichen Variablen nicht in das Modell aufgenommen werden.

Lösung:

Teilaufgabe 2: In einem nächsten Schritt soll das Regressionsmodell um zusätzliche erklärende Variablen erweitert werden, z.B. Berufserfahrung (X_2) und Geschlecht (X_3). Formuliere das multiple lineare Regressionsmodell und diskutiere die mögliche Relevanz des Omitted Variable Bias (OVB), wenn diese zusätzlichen Variablen nicht in das Modell aufgenommen werden.

• 1. Formulierung des multiple linearen Regressionsmodells: Das multiple lineare Regressionsmodell, das neben den Bildungsinvestitionen (X_1) auch Berufserfahrung (X_2) und Geschlecht (X_3) einschließt, kann wie folgt formuliert werden:\[ Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \text{Fehlerterm} \]
• 2. Diskussion des Omitted Variable Bias (OVB):
  • Wenn wichtige erklärende Variablen, wie z.B. Berufserfahrung und Geschlecht, nicht in das Regressionsmodell aufgenommen werden, können die Schätzungen der Koeffizienten verzerrt sein.
  • Ein Omitted Variable Bias tritt auf, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:
    • Die ausgelassene Variable steht in Zusammenhang mit der erklärenden Variablen (z.B. Bildungsinvestitionen).
    • Die ausgelassene Variable beeinflusst das abhängige Merkmal (z.B. Einkommen).
  • Beispiel: Wenn die Berufserfahrung (X_2) eng mit Bildungsinvestitionen (X_1) korreliert, führt das Weglassen von X_2 in unserem Modell zu Verzerrungen in den Schätzungen von \( \beta_1 \), weil der Einfluss der Berufserfahrung fälschlicherweise als Effekt der Bildungsinvestitionen interpretiert wird.
  • Das Geschlecht (X_3) kann ebenfalls einen signifikanten Einfluss auf das Einkommen haben. Wie bei der Berufserfahrung kann das Weglassen dieser Variablen das Modell verzerren und zu einer falschen Interpretation führen.
  • OVB kann zu falschen wissenschaftlichen Schlussfolgerungen und schlecht fundierten politischen Empfehlungen führen.

Zusammenfassend sorgt das erweiterte Modell unter Einbeziehung von Berufserfahrung und Geschlecht dafür, dass die Schätzungen präziser und weniger verzerrt sind. Das Ignorieren solcher wichtigen Variablen könnte significante Biases in den Schätzungen verursachen und somit die Analysen und Schlussfolgerungen verfälschen.

c)

Teilaufgabe 3: Prüfe Dein multiples lineares Regressionsmodell auf Heteroskedastizität. Beschreibe die Schritte und Methoden (z.B. Breusch-Pagan-Test), die Du anwenden würdest, um Heteroskedastizität zu identifizieren und ihre Auswirkungen auf die Schätzer zu analysieren. Was sind die möglichen Konsequenzen von Heteroskedastizität für Deine Schätzung und wie könntest du sie korrigieren?

Lösung:

Teilaufgabe 3: Prüfe Dein multiples lineares Regressionsmodell auf Heteroskedastizität. Beschreibe die Schritte und Methoden (z.B. Breusch-Pagan-Test), die Du anwenden würdest, um Heteroskedastizität zu identifizieren und ihre Auswirkungen auf die Schätzer zu analysieren. Was sind die möglichen Konsequenzen von Heteroskedastizität für Deine Schätzung und wie könntest du sie korrigieren?

• 1. Definition und Bedeutung von Heteroskedastizität: Heteroskedastizität liegt vor, wenn die Varianz der Fehlerterme nicht konstant ist, sondern von den Werten der erklärenden Variablen abhängt. Das bedeutet, dass die Streuung der Residuen (Fehlerterme) variiert und somit nicht gleichmäßig über alle Beobachtungen verteilt ist.
• 2. Schritte und Methoden zur Identifikation von Heteroskedastizität:
  • Visuelle Inspektion: Ein Streudiagramm der Residuen gegen die vorhergesagten Werte kann erste Hinweise auf Heteroskedastizität geben. Wenn die Streuung der Residuen mit den vorhergesagten Werten zunimmt oder abnimmt, deutet dies auf Heteroskedastizität hin.
  • Breusch-Pagan-Test: Der Breusch-Pagan-Test ist ein formeller Test, um Heteroskedastizität zu identifizieren. Die Schritte sind:
    • Schätze dein multiples lineares Regressionsmodell und speichere die Residuen.
    • Erstelle ein Hilfsregressionsmodell, bei dem die quadrierten Residuen als abhängige Variable und die erklärenden Variablen des ursprünglichen Modells als unabhängige Variablen verwendet werden.
    • Berechne die Teststatistik (\(LM\)-Statistik):\[LM = n \times R^2 \]Hierbei ist \(n\) die Anzahl der Beobachtungen und \(R^2\) das Bestimmtheitsmaß der Hilfsregression.
    • Vergleiche die Teststatistik mit einem kritischen Wert aus der Chi-Quadrat-Verteilung mit \(k\) Freiheitsgraden (wobei \(k\) die Anzahl der erklärenden Variablen ist). Wenn die Teststatistik größer ist als der kritische Wert, lehne die Nullhypothese der Homoskedastizität ab.
  • White-Test: Der White-Test ist ein weiterer formal statistischer Test für Heteroskedastizität. Er ist ähnlich wie der Breusch-Pagan-Test, erlaubt jedoch nicht-lineare Beziehungen zwischen den Variablen und kann ggf. mächtiger sein.
• 3. Auswirkungen von Heteroskedastizität:
  • Heteroskedastizität führt nicht zu verzerrten Schätzungen der Koeffizienten, aber zu ineffizienten Schätzungen. Das bedeutet, dass die geschätzten Standardfehler nicht mehr zuverlässig sind und somit die Teststatistiken (z.B. t-Tests, F-Tests) und Konfidenzintervalle ungültig sein können.
  • Dies kann zu einer falschen Entscheidungsfindung führen, weil Du zu Unrecht signifikante oder nicht-signifikante Ergebnisse erhältst.
• 4. Korrektur der Heteroskedastizität:
  • Verwende robuste Standardfehler: Eine einfache und populäre Methode zur Korrektur von Heteroskedastizität ist die Verwendung von robusten Standardfehlern, welche Heteroskedastizität-konsistent sind. Dadurch werden die Standardfehler adjustiert, um die verzerrten Schätzungen zu korrigieren. Diese Methode kann oft einfach in statistischen Softwarepaketen wie R, Stata oder Python implementiert werden.
  • Transformation der Variablen: Eine andere Methode könnte die Transformation von Variablen sein (z.B. durch Logarithmieren), um die Varianz der Fehlerterme zu stabilisieren.
  • Generalized Least Squares (GLS): Eine fortschrittlichere Methode ist die Anwendung der verallgemeinerten kleinsten Quadrate, die die Heteroskedastizität explizit modelliert.

Zusammenfassend soll das Modell systematisch auf Heteroskedastizität geprüft werden. Sowohl visuelle als auch statistische Methoden helfen bei der Identifikation. Bei der Entdeckung von Heteroskedastizität helfen robuste Standardfehler oder Transformationen, um saubere und zuverlässige Schätzungen zu gewährleisten.

d)

Teilaufgabe 4: Erkläre, wie Du mögliche Endogenitätsprobleme in Deinem Modell identifizieren würdest und diskutiere die Anwendung von Instrumentalvariablen (IV) als Lösung. Gib ein konkretes Beispiel für eine mögliche Instrumentalvariable in Deinem Kontext und erläutere, wie Du die Validität der Instrumentalvariable überprüfen würdest.

Lösung:

Teilaufgabe 4: Erkläre, wie Du mögliche Endogenitätsprobleme in Deinem Modell identifizieren würdest und diskutiere die Anwendung von Instrumentalvariablen (IV) als Lösung. Gib ein konkretes Beispiel für eine mögliche Instrumentalvariable in Deinem Kontext und erläutere, wie Du die Validität der Instrumentalvariable überprüfen würdest.

• 1. Identifikation von Endogenitätsproblemen: Endogenität tritt auf, wenn eine erklärende Variable mit dem Fehlerterm korreliert ist. Dies kann durch verschiedene Quellen verursacht werden, wie:
  • Omitted Variable Bias (OVB): Wenn relevante Variablen nicht in das Modell aufgenommen werden.
  • Simultaneität: Wenn eine wechselseitige Beziehung zwischen der abhängigen und unabhängigen Variable besteht.
  • Mistated Variables: Wenn die erklärende Variable fehlerhaft gemessen wird.
• Methoden zur Identifikation:
  • Hausman-Test: Der Hausman-Test vergleicht die Schätzungen der Koeffizienten des OLS-Modells mit denen von IV-Schätzer (Instrumental Variables). Wenn die Unterschiede signifikant sind, weist dies auf Endogenität hin.\[ H = (\hat{\beta}_{OLS} - \hat{\beta}_{IV})^\top [\text{Var}(\hat{\beta}_{OLS}) - \text{Var}(\hat{\beta}_{IV})]^{-1} (\hat{\beta}_{OLS} - \hat{\beta}_{IV}) \]
• Verwendung von Instrumentalvariablen (IV) als Lösung:
  • Definition: Eine Instrumentalvariable (IV) ist eine Variable, die mit der endogenen erklärenden Variable (z.B. Bildungsinvestitionen) korreliert, aber nicht mit dem Fehlerterm im Regressionsmodell.
  • Beispiel: Eine mögliche Instrumentalvariable für Bildungsinvestitionen könnten staatliche Bildungszuschüsse sein.
  • Voraussetzungen: Um als gültige IV zu fungieren, muss die Instrumentalvariable zwei Bedingungen erfüllen:
    • Relevanz: Die IV muss stark mit der endogenen erklärenden Variable korreliert sein. Dies wird oft mit einem F-Test geprüft (\(F > 10\) spricht für eine starke Instrumentalvariable).
    • Exogenität: Die IV darf nicht mit dem Fehlerterm korreliert sein. Dies lässt sich oft durch theoretische Überlegungen und Tests, wie dem Hansen J-Test, überprüfen.
• Validitätsprüfung der IV:
  • Die Relevanz kann durch die erste Stufe der Two-Stage Least Squares (2SLS) Regression überprüft werden:
    • Regressiere die endogene Variable Bildungsinvestitionen (X_1) auf die Instrumentalvariable (IV) und andere exogene Variablen.\[ X_1 = \pi_0 + \pi_1 IV + \pi_2 X_2 + \pi_3 X_3 + \epsilon \]
    • Überprüfe, ob die Instrumentalvariable signifikant mit der endogenen erklärenden Variable korreliert ist und ob der F-Test für Relevanz (\(F > 10\)) erfüllt ist.
  • Die Exogenität kann durch den Hansen J-Test (oder überidentifikation Test) überprüft werden, falls es mehr als eine IV gibt:
    • Der Hansen J-Test prüft die Nullhypothese, dass die Instrumentalvariablen unkorreliert mit dem Fehlerterm des Regressionsmodells sind.\[ H_0: \text{Instrumente sind gültig} \]
  • Ein konkret durchgeführter Test könnte wie folgt aussehen:
    • Schätze das Modell mittels 2SLS (Two-Stage Least Squares):
      • Erster Schritt: Regressiere Bildungsinvestitionen (X_1) auf die IV.\[ X_1 = \pi_0 + \pi_1 IV + \text{Residueterm} \]
      • Zweiter Schritt: Ersetze X_1 durch seine vorhergesagten Werte aus dem ersten Schritt in der ursprünglichen Regressionsgleichung.\[ Y = \beta_0 + \beta_1 \hat{X_1} + \beta_2 X_2 + \beta_3 X_3 + \text{Fehlerterm} \]

Zusammenfassend hilft die Verwendung von Instrumentalvariablen, Endogenitätsprobleme zu adressieren, indem sie eine stand-in Variable anbieten, die nicht von den störenenden Fehlertermen beeinflusst wird. Dadurch werden präzise und unverzerrte Schätzer für die Regressionskoeffizienten gewonnen.

Aufgabe 3)

Ein Forscher möchte den Einfluss mehrerer Faktoren auf das Einkommen einer Stichprobe von Arbeitnehmern untersuchen. Er entwickelt ein multiples Regressionsmodell, bei dem das Einkommen (in Tausend Euro) die abhängige Variable ist und die folgenden unabhängigen Variablen berücksichtigt werden: Bildung (in Jahren), Berufserfahrung (in Jahren), und Arbeitsstunden pro Woche. Es wird angenommen, dass das Modell wie folgt aussieht: \[ \text{Einkommen} = \beta_0 + \beta_1 \text{Bildung} + \beta_2 \text{Berufserfahrung} + \beta_3 \text{Arbeitsstunden} + \beta_4 \text{Geschlecht} + \beta_5 \text{Berufszufriedenheit} + \beta_6 \text{Stadtgröße} + \beta_7 \text{Berufssektor} + \beta_8 \text{Verhandlungsfähigkeit} + \beta_9 \text{Motivation} + \beta_{10} \text{Anzahl der Projekte} + \beta_{11} \text{Berufserfolg} + e \] Nach der Schätzung des Modells erhält er die folgenden Koeffizienten:

• \(\beta_0 = 15\)
• \(\beta_1 = 0.5\)
• \(\beta_2 = 0.4\)
• \(\beta_3 = 0.3\)
• \(\beta_i\) (für alle anderen Variablen) = nicht signifikant

a)

Interpretiere die Koeffizienten \( \beta_1\), \( \beta_2\), und \( \beta_3\). Was bedeuten diese Werte im Kontext des Modells? Was kann der Forscher von deren Signifikanz schließen?

Lösung:

Interpretation der Koeffizienten

• \beta_1 (Bildung): Der Koeffizient \beta_1 hat den Wert 0,5. Das bedeutet, dass jede zusätzlich absolvierte Bildungsjahr um 0,5 Tausend Euro (also 500 Euro) das Einkommen erhöht, wenn alle anderen Variablen konstant gehalten werden.
• \beta_2 (Berufserfahrung): Der Koeffizient \beta_2 beträgt 0,4. Dies bedeutet, dass jedes zusätzliche Jahr an Berufserfahrung das Einkommen um 0,4 Tausend Euro (also 400 Euro) erhöht, vorausgesetzt, dass alle anderen Variablen konstant bleiben.
• \beta_3 (Arbeitsstunden pro Woche): Der Koeffizient \beta_3 hat den Wert 0,3. Dies zeigt, dass jede zusätzliche Arbeitsstunde pro Woche das Einkommen um 0,3 Tausend Euro (also 300 Euro) erhöht, wenn alle anderen Variablen konstant gehalten werden.

Signifikanz dieser Koeffizienten

• Die Signifikanz der Koeffizienten zeigt, dass Bildung, Berufserfahrung und Arbeitsstunden pro Woche einen statistisch signifikanten Einfluss auf das Einkommen haben. Das bedeutet, es besteht eine ausreichend starke statistische Evidenz, dass diese Variablen tatsächlich das Einkommen beeinflussen.
• Andere Variablen (wie Geschlecht, Berufszufriedenheit, etc.) wurden im Modell als nicht signifikant befunden. Das heißt, sie haben keinen nachweisbaren Einfluss auf das Einkommen oder deren Einfluss ist zu gering, um statistisch signifikant zu sein.

Der Forscher kann daraus schließen, dass Investitionen in Bildung und Berufserfahrung sowie die Anzahl der Arbeitsstunden pro Woche signifikant zur Erhöhung des Einkommens beitragen. Andere untersuchte Faktoren scheinen keine signifikante Rolle zu spielen.

b)

Führe einen t-Test für \( \beta_1\) mit einem Signifikanzniveau von 5% durch. Berechne den t-Wert und bestimme, ob \( \beta_1 \) signifikant anders als 0 ist. Die Standardabweichung von \( \beta_1 \) sei 0.1.

Lösung:

t-Test für \( \beta_1 \) mit einem Signifikanzniveau von 5%

Schritte zur Durchführung des t-Tests:

• Bestimme den t-Wert.
• Vergleiche den t-Wert mit dem kritischen Wert aus der t-Verteilung.
• Ziehe eine Schlussfolgerung basierend auf dem Vergleich.

1. Bestimme den t-Wert:

Der t-Wert wird berechnet, indem der geschätzte Koeffizient durch seine Standardabweichung geteilt wird. Die Formel lautet:

`t = \frac{\beta_1}{\text{Standardabweichung von } \beta_1}`
Einsetzen der gegebenen Werte:
\( \beta_1 = 0.5 \)
Standardabweichung von \( \beta_1 = 0.1 \)
Also:
t =  \( \frac{0.5}{0.1} = 5 \)
 
2. Vergleiche den t-Wert mit dem kritischen Wert:
Bei einem Signifikanzniveau von 5% und für einen zweiseitigen Test suchen wir den kritischen t-Wert für den entsprechenden Freiheitsgrad (dof - degrees of freedom). In den meisten Fällen verwenden wir hierfür eine t-Tabelle.
Angenommen, die Anzahl der Beobachtungen ist groß genug, sodass wir ungefähre Werte verwenden können, dann ist der kritische t-Wert (bei dof = ∞) bei einem Signifikanzniveau von 0.05 etwa 1.96.
3. Schlussfolgerung:
Unser berechneter t-Wert von 5 ist größer als der kritische Wert von 1.96.
Da der berechnete t-Wert den kritischen Wert übersteigt, lehnen wir die Nullhypothese ab. Das bedeutet, dass der Koeffizient \( \beta_1 \) signifikant von 0 verschieden ist, und somit hat Bildung einen signifikanten Einfluss auf das Einkommen bei einem 5% Signifikanzniveau.
c)
 Berechne und interpretiere das Bestimmtheitsmaß \( R^2 \), wenn 60% der Variation im Einkommen durch die unabhängigen Variablen erklärt wird. Diskutiere, was ein hoher oder niedriger \( R^2 \)-Wert im Kontext dieser Studie bedeuten würde. 
 Lösung: 
Berechnung und Interpretation des Bestimmtheitsmaßes \( R^2 \)
Berechnung von \( R^2 \)
Das Bestimmtheitsmaß \( R^2 \) gibt an, welcher Anteil der Variation der abhängigen Variablen (in diesem Fall das Einkommen) durch die unabhängigen Variablen im Modell erklärt wird. Es wird als Prozentsatz ausgedrückt.
In der Aufgabenstellung wird uns mitgeteilt, dass 60% der Variation im Einkommen durch die unabhängigen Variablen erklärt wird. Das bedeutet:
\( R^2 = 0.60 \, (60\%) \)
Interpretation von \( R^2 \)
Ein \( R^2 \)-Wert von 0,60 bedeutet, dass 60% der Gesamtvariation des Einkommens durch die unabhängigen Variablen (Bildung, Berufserfahrung, und Arbeitsstunden pro Woche sowie die anderen Variablen) im Modell erklärt werden können.
Die restlichen 40% der Einkommensvariation werden durch andere Faktoren erklärt, die nicht im Modell erfasst sind.
Bedeutung von hohem oder niedrigem \( R^2 \) im Kontext der Studie
Ein hoher oder niedriger \( R^2 \)-Wert hat unterschiedliche Implikationen:
Hoher \( R^2 \)-Wert: Ein hoher \( R^2 \)-Wert (nahe bei 1) würde bedeuten, dass das Modell einen großen Teil der Variation im Einkommen erklären kann. Dies würde implizieren, dass die ausgewählten unabhängigen Variablen sehr gute Prädiktoren für das Einkommen sind und das Modell eine hohe Vorhersagekraft hat.
Niedriger \( R^2 \)-Wert: Ein niedriger \( R^2 \)-Wert (nahe bei 0) würde bedeuten, dass das Modell nur einen kleinen Teil der Variation im Einkommen erklären kann. Dies könnte darauf hinweisen, dass wichtige Variablen fehlen oder dass das Einkommen stark durch Faktoren beeinflusst wird, die im Modell nicht berücksichtigt wurden. Im Kontext der Studie würde dies darauf hindeuten, dass weitere Forschung notwendig ist, um andere relevante Variablen zu identifizieren.
Da in diesem Fall \( R^2 \) 0,60 ist, deutet dies darauf hin, dass das Modell eine moderate gute Passung hat. Es erklärt einen signifikanten Teil der Variation im Einkommen, jedoch gibt es immer noch erhebliche ungklärte Variation, die möglicherweise durch andere Faktoren beeinflusst wird.
Aufgabe 4)
 In einer empirischen Untersuchung sollen die durchschnittlichen monatlichen Ausgaben für Lebensmittel in zwei verschiedenen Städten verglichen werden. Du verfügst über zwei unabhängige Stichproben: Stichprobe A mit 50 Haushalten aus Stadt A und Stichprobe B mit 45 Haushalten aus Stadt B. Die durchschnittlichen monatlichen Ausgaben in Stadt A betragen 300 Euro mit einer Standardabweichung von 50 Euro, in Stadt B betragen sie 280 Euro mit einer Standardabweichung von 60 Euro. Angenommen, die Daten sind normalverteilt.  
a)
 Ermittle das 95%-Konfidenzintervall für den Unterschied der durchschnittlichen monatlichen Ausgaben zwischen den beiden Städten.
Berechne den Standardfehler für den Unterschied der Mittelwerte.
Nutze das Signifikanzniveau \(\alpha = 0.05\) und bestimme den kritischen Wert.
Berechne das Konfidenzintervall.
 
 Lösung: 
Ermittle das 95%-Konfidenzintervall für den Unterschied der durchschnittlichen monatlichen Ausgaben zwischen den beiden Städten.
Berechne den Standardfehler für den Unterschied der Mittelwerte:
Um den Standardfehler für den Unterschied der Mittelwerte zu berechnen, können wir die folgende Formel verwenden:
\[ SE = \sqrt{\frac{\sigma_A^2}{n_A} + \frac{\sigma_B^2}{n_B}} \]
Hier sind die Variablen:
\( \sigma_A = 50 \) (Standardabweichung in Stadt A)
\( \sigma_B = 60 \) (Standardabweichung in Stadt B)
\( n_A = 50 \) (Anzahl der Haushalte in Stadt A)
\( n_B = 45 \) (Anzahl der Haushalte in Stadt B)
Einsetzen der Werte:
\[ SE = \sqrt{\frac{50^2}{50} + \frac{60^2}{45}} = \sqrt{50 + 80} = \sqrt{130} \approx 11.40 \]
Nutze das Signifikanzniveau \( \alpha = 0.05 \) und bestimme den kritischen Wert:
Für ein 95%-Konfidenzintervall und unter der Annahme einer großen Stichprobe (n > 30) verwenden wir den z-Wert. Für ein 95%-Konfidenzintervall beträgt der z-Wert etwa 1.96.
Berechne das Konfidenzintervall:
Das Konfidenzintervall für die Differenz der Mittelwerte kann mit der folgenden Formel berechnet werden:
\[ CI = (\overline{X_A} - \overline{X_B}) \pm z \times SE \]
Hier sind die Variablen:
\( \overline{X_A} = 300 \) (durchschnittliche monatliche Ausgaben in Stadt A)
\( \overline{X_B} = 280 \) (durchschnittliche monatliche Ausgaben in Stadt B)
\( z = 1.96 \) (kritischer Wert für 95%-Konfidenzniveau)
\( SE \approx 11.40 \) (Standardfehler)
Einsetzen der Werte:
\[ CI = (300 - 280) \pm 1.96 \times 11.40 \]
\[ CI = 20 \pm 22.34 \]
Mit anderen Worten:
\[ CI = (20 - 22.34, 20 + 22.34) \]
\[ CI = (-2.34, 42.34) \]
Das 95%-Konfidenzintervall für den Unterschied der durchschnittlichen monatlichen Ausgaben zwischen den beiden Städten liegt somit zwischen -2.34 Euro und 42.34 Euro.