Microeconomics - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte einen Konsumenten, dessen Nutzenfunktion durch U(x_1, x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5} gegeben ist. Der Konsument hat ein Budget von m und die Preise der Güter sind p_1 und p_2. Beantworte die folgenden Fragen:

a)

a) Bestimme die Optimalitätsbedingungen und die Menge der konsumierten Güter x_1 und x_2, die den Nutzen maximieren, gegeben die Budgetbeschränkung \( p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \).

Lösung:

• Betrachte einen Konsumenten, dessen Nutzenfunktion durch U(x_1, x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5} gegeben ist. Der Konsument hat ein Budget von m und die Preise der Güter sind p_1 und p_2.
• Beantworte die folgenden Fragen:

a)Bestimme die Optimalitätsbedingungen und die Menge der konsumierten Güter x_1 und x_2, die den Nutzen maximieren, gegeben die Budgetbeschränkung \( p_1 x_1 + p_2 x_2 = m \).

Um die Optimalitätsbedingungen des Konsumenten unter Berücksichtigung der Budgetbeschränkung zu bestimmen, müssen wir das folgende Lagrange-Problem lösen:

L = x_1^{0.5} x_2^{0.5} + \lambda (m - p_1 x_1 - p_2 x_2)

Hier ist \( \lambda \) der Lagrange-Multiplikator. Um die Optimalitätsbedingungen zu finden, nehmen wir die partiellen Ableitungen von L bezüglich x_1, x_2 und \lambda und setzen sie gleich null:

1) \frac{\partial L}{\partial x_1} = 0.5 x_1^{-0.5} x_2^{0.5} - \lambda p_1 = 02) \frac{\partial L}{\partial x_2} = 0.5 x_1^{0.5} x_2^{-0.5} - \lambda p_2 = 03) \frac{\partial L}{\partial \lambda} = m - p_1 x_1 - p_2 x_2 = 0

Nun können wir die ersten beiden Gleichungen nach \( \lambda \) auflösen und gleichsetzen:

\lambda = \frac{0.5 x_1^{-0.5} x_2^{0.5}}{p_1} = \frac{0.5 x_1^{0.5} x_2^{-0.5}}{p_2}

Durch Umordnen erhalten wir das Verhältnis zwischen x_1 und x_2:

\frac{p_2}{p_1} = \frac{x_2}{x_1} \Rightarrow x_2 = \frac{p_2}{p_1} x_1

Setze dies nun in die Budgetbeschränkung ein:

p_1 x_1 + p_2 \frac{p_2}{p_1} x_1 = m

Vereinfachen:

p_1 x_1 + \frac{p_2^2}{p_1} x_1 = m \Rightarrow x_1 \left(p_1 + \frac{p_2^2}{p_1}\right) = m \Rightarrow x_1 = \frac{m}{p_1 + \frac{p_2^2}{p_1}}

Weiter vereinfachen:

x_1 = \frac{m p_1}{p_1^2 + p_2^2}

Anschließend verwenden wir das Verhältnis, um x_2 zu finden:

x_2 = \frac{p_2}{p_1} x_1 = \frac{p_2}{p_1} \frac{m p_1}{p_1^2 + p_2^2} = \frac{m p_2}{p_1^2 + p_2^2}

Die Menge der konsumierten Güter, die den Nutzen maximiert, ist:

• x_1 = \frac{m p_1}{p_1^2 + p_2^2}
• x_2 = \frac{m p_2}{p_1^2 + p_2^2}

b)

b) Analysiere die Auswirkungen einer Preisänderung von Gut 1 auf die Nachfrage nach diesem Gut. Was passiert, wenn \( p_1 \) steigt? Zeichne die Preis-Konsum-Kurve.

Lösung:

• Betrachte einen Konsumenten, dessen Nutzenfunktion durch U(x_1, x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5} gegeben ist. Der Konsument hat ein Budget von m und die Preise der Güter sind p_1 und p_2.
• Beantworte die folgenden Fragen:

b)Analysiere die Auswirkungen einer Preisänderung von Gut 1 auf die Nachfrage nach diesem Gut. Was passiert, wenn \( p_1 \) steigt? Zeichne die Preis-Konsum-Kurve.

Um die Auswirkungen einer Preisänderung von Gut 1 auf die Nachfrage nach diesem Gut zu analysieren, betrachten wir die Nachfragefunktionen für x_1 und x_2, die wir aus dem vorherigen Teil (a) erhalten haben:

• x_1 = \frac{m p_1}{p_1^2 + p_2^2}
• x_2 = \frac{m p_2}{p_1^2 + p_2^2}

Wenn der Preis von Gut 1, also \( p_1 \), steigt, wird der Term \( p_1^2 \) im Nenner der Nachfragefunktion für x_1 größer. Da \( m \) und \( p_2 \) konstant sind, führt eine Erhöhung von \( p_1 \) dazu, dass:

• Der Wert von x_1 sinkt, da der Nenner \( p_1^2 + p_2^2 \) größer wird.
• Der Wert von x_2 ebenfalls sinkt, weil der Nenner \( p_1^2 + p_2^2 \) größer wird und x_2 proportional zu p_2 ist.

Das bedeutet also, dass die Nachfrage nach Gut 1 sinkt, wenn der Preis für Gut 1 steigt. Dieses Verhalten kann grafisch durch die Preis-Konsum-Kurve dargestellt werden, die zeigt, wie die Nachfrage nach einem Gut in Abhängigkeit von dessen Preis variiert.

Um die Preis-Konsum-Kurve zu zeichnen, tragen wir den Preis p_1 auf der horizontalen Achse und die nachgefragte Menge x_1 auf der vertikalen Achse auf:

Preis (p_1) |           .          |          .          |         .          |       .          |     .          |  .          -----------------                 Menge (x_1)

Da x_1 abnimmt, wenn p_1 steigt, wird die Kurve fallend sein. Dies spiegeln die normalen Eigenschaften der Nachfragekurve wider: Wenn der Preis eines Gutes steigt, sinkt die nachgefragte Menge dieses Gutes.

c)

c) Angenommen, das Einkommen m des Konsumenten steigt. Wie beeinflusst dies die Menge der konsumierten Güter x_1 und x_2? Zeichne die Einkommens-Konsum-Kurve.

Lösung:

• Betrachte einen Konsumenten, dessen Nutzenfunktion durch U(x_1, x_2) = x_1^{0.5} x_2^{0.5} gegeben ist. Der Konsument hat ein Budget von m und die Preise der Güter sind p_1 und p_2.
• Beantworte die folgenden Fragen:

c)Angenommen, das Einkommen m des Konsumenten steigt. Wie beeinflusst dies die Menge der konsumierten Güter x_1 und x_2? Zeichne die Einkommens-Konsum-Kurve.

Um die Auswirkungen einer Erhöhung des Einkommens m auf die Menge der konsumierten Güter x_1 und x_2 zu analysieren, betrachten wir erneut die Nachfragefunktionen, die wir im vorherigen Teil (a) hergeleitet haben:

• x_1 = \(\frac{m p_2}{p_1^2 + p_2^2}\)
• x_2 = \(\frac{m p_1}{p_1^2 + p_2^2}\)

Wenn das Einkommen m des Konsumenten steigt, bleibt der Anteil der Ausgaben für jede Einheit unverändert, da sich die Funktion selbst nicht ändert. Folglich führt eine Erhöhung des Einkommens m zu einer proportionalen Erhöhung der nachgefragten Mengen von x_1 und x_2.

Mathematisch betrachtet haben wir:

• x_1 = \(\frac{m p_1}{p_1^2 + p_2^2}\)
• x_2 = \(\frac{m p_2}{p_1^2 + p_2^2}\)

Da x_1 und x_2 beide direkt proportional zu m sind:

• Wenn m steigt, steigen sowohl x_1 als auch x_2.

Um dies grafisch darzustellen, können wir die Einkommens-Konsum-Kurve zeichnen, die das Verhältnis zwischen dem Einkommen und den konsumierten Mengen zeigt. Tragen wir das Einkommen m auf der horizontalen Achse und die nachgefragten Mengen x_1 und x_2 auf der vertikalen Achse ein:

• Für x_1:

Menge (x_1) |      /           |     /           |    /           |   /           |  /           | /           |/____________________ Einkommen (m)

• Für x_2:

Menge (x_2) |      /           |     /           |    /           |   /           |  /           | /           |/____________________ Einkommen (m)

Beide Kurven sind linear und zeigen eine positive Beziehung zwischen Einkommen und konsumierter Menge. Das zeigt, dass die Einkommens-Konsum-Kurve für beide Güter eine steigende Gerade ist, die durch den Ursprung läuft.

Aufgabe 2)

Ein Unternehmen produziert ein Gut mit der Produktionsfunktion Q = f(K, L) = K^{1/2}L^{1/2} wobei Q die produzierte Menge des Gutes ist, K das eingesetzte Kapital und L die eingesetzte Arbeit darstellt. Die Fixkosten (FC) des Unternehmens betragen 1000€. Die variablen Kosten (VC) können durch die Funktion VC(Q) = 50Q beschrieben werden. Analysiere basierend darauf die Produktions- und Kostensituation des Unternehmens.

a)

Berechne die gesamte Kostenfunktion TC(Q). Erkläre den Zusammenhang zwischen Fixkosten, variablen Kosten und Gesamtkosten in diesem Kontext.

Lösung:

Gesamtkostenfunktion (TC(Q)) berechnen und Zusammenhang erklären: Um die gesamte Kostenfunktion (TC(Q)) des Unternehmens zu berechnen, müssen wir die Fixkosten (FC) und die variablen Kosten (VC) zusammenfassen.

• Die Fixkosten (FC) betragen 1000€.
• Die variablen Kosten (VC) werden durch die Funktion VC(Q) = 50Q beschrieben.

Die gesamte Kostenfunktion TC(Q) ergibt sich also durch die Addition von Fixkosten und variablen Kosten:

• TC(Q) = FC + VC(Q)
• TC(Q) = 1000 + 50Q

Zusammenhang zwischen Fixkosten, variablen Kosten und Gesamtkosten:

• Fixkosten (FC): Dies sind die Kosten, die unabhängig von der produzierten Menge des Gutes anfallen. Sie betragen in diesem Fall 1000€ und fallen immer an, egal wie viel produziert wird.
• Variable Kosten (VC): Diese Kosten hängen direkt von der produzierten Menge des Gutes ab. In diesem Fall betragen die variablen Kosten 50€ pro produzierter Einheit des Gutes.
• Gesamtkosten (TC): Dies sind die Gesamtkosten, die das Unternehmen zur Produktion einer bestimmten Menge des Gutes aufwenden muss. Die gesamten Kosten setzen sich aus Fixkosten und variablen Kosten zusammen und werden folgendermaßen berechnet: TC(Q) = FC + VC(Q). In unserem Fall ist die gesamte Kostenfunktion TC(Q) = 1000 + 50Q.

b)

Bestimme die Durchschnittskosten (AC) und die Grenzkosten (MC) des Unternehmens. Erläutere, was die ermittelten Grenzkosten für die Produktion des Unternehmens bedeuten.

Lösung:

Durchschnittskosten (AC) und Grenzkosten (MC) berechnen und Bedeutung der Grenzkosten erläutern: Um die Durchschnittskosten (AC) und die Grenzkosten (MC) des Unternehmens zu berechnen, müssen wir zunächst die gesamte Kostenfunktion (TC(Q)) verwenden. Diese lautet:

• TC(Q) = 1000 + 50Q

Durchschnittskosten (AC): Die Durchschnittskosten (AC) berechnen sich, indem die gesamten Kosten durch die produzierte Menge (Q) geteilt werden:

• AC(Q) = \frac{TC(Q)}{Q}
• AC(Q) = \frac{1000 + 50Q}{Q}
• AC(Q) = \frac{1000}{Q} + 50

Grenzkosten (MC): Die Grenzkosten (MC) geben an, wie viel die Produktion einer zusätzlichen Einheit des Gutes kostet. Sie werden durch die Ableitung der gesamten Kostenfunktion (TC(Q)) nach der Menge (Q) berechnet:

• MC(Q) = \frac{dTC(Q)}{dQ}
• MC(Q) = \frac{d}{dQ}(1000 + 50Q)
• MC(Q) = 50

Bedeutung der Grenzkosten für die Produktion des Unternehmens:

• Die Grenzkosten (MC) in diesem Fall sind konstant und betragen 50€. Das bedeutet, dass die Kosten, um eine zusätzliche Einheit des Gutes zu produzieren, immer 50€ betragen.
• Da die Grenzkosten konstant sind, können wir ableiten, dass es keine Skaleneffekte auf die variablen Kosten gibt. Jede zusätzliche Produktionseinheit kostet das Unternehmen gleich viel.
• Für das Unternehmen bedeutet dies, dass es keine Einsparungen oder zusätzlichen Kosten bei der Produktion großer Mengen gibt, sondern die Produktionskosten linear ansteigen.

Aufgabe 3)

Betrachtet ein Unternehmen auf einem Markt für ein homogenes Gut, das in einem oligopolistischen Marktumfeld operiert. Die Marktstruktur ist von wenigen großen Anbietern geprägt, deren Entscheidungen sich gegenseitig beeinflussen. Die Marktnachfrage wird durch die Funktion \textit{Q} = 100 - 2P beschrieben, wobei \textit{Q} die Menge und \textit{P} den Preis darstellt. Das Unternehmen, das Du analysierst, hat konstante Grenzkosten (MC) von 20. Angenommen, es gibt keine Eintrittsbarrieren für neue Unternehmen, die in diesen Markt eintreten wollen.

a)

Berechne den Gleichgewichtspreis und die Gleichgewichtsmenge, wenn das Unternehmen als Preisführer agiert und die anderen Unternehmen der Cournot-Nachfrage folgen. Gehe davon aus, dass die Preisführerschaft zu einem Nash-Gleichgewicht führt.

Lösung:

• Schritt 1: Bestimme die Marktnachfragefunktion Die Marktnachfragefunktion ist gegeben durch:

\( Q = 100 - 2P \) wobei \( Q \) die Menge und \( P \) den Preis darstellt.

• Schritt 2: Bestimme die inverse Nachfragefunktion Um die inverse Nachfragefunktion zu finden, isolieren wir \( P \):

\( Q = 100 - 2P \rightarrow 2P = 100 - Q \rightarrow P = 50 - 0,5Q \) Die inverse Nachfragefunktion ist also: \( P = 50 - 0,5Q \).

• Schritt 3: Bestimme die Gesamterlösfunktion Der Gesamterlös (Total Revenue, TR) ergibt sich als:

\( TR = P \times Q = (50 - 0,5Q) \times Q = 50Q - 0,5Q^2 \) (Dies ist die Gesamterlösfunktion)

• Schritt 4: Bestimme die Grenzerlöskurve Der Grenzerlös (MR) ergibt sich als die Ableitung des Gesamterlöses:

\( MR = \frac{d(TR)}{dQ} = 50 - Q \)

• Schritt 5: Bestimme die Grenzkosten Die Grenzkosten (MC) sind konstant und betragen:

\( MC = 20 \)

• Schritt 6: Finde das Gleichgewicht Im Nash-Gleichgewicht setzt das Unternehmen den Grenzerlös gleich den Grenzkosten:

\( MR = MC \rightarrow 50 - Q = 20 \rightarrow Q = 30 \)

• Schritt 7: Berechne den Gleichgewichtspreis Setze die berechnete Gleichgewichtsmenge in die inverse Nachfragefunktion ein, um den Gleichgewichtspreis zu ermitteln:

\( P = 50 - 0,5Q \rightarrow P = 50 - 0,5(30) \rightarrow P = 50 - 15 \rightarrow P = 35 \)

• Zusammenfassung Der Gleichgewichtspreis beträgt \( P = 35 \) und die Gleichgewichtsmenge \( Q = 30 \).

b)

Nutze die angebotene Marktnachfragefunktion und berechne den Lerner-Index für dieses Unternehmen, wenn es als Monopolist agieren würde. Zeige Schritt für Schritt, wie Du zu Deinem Ergebnis kommst.

Lösung:

• Schritt 1: Bestimme die Marktnachfragefunktion Die Marktnachfragefunktion ist gegeben durch:

\( Q = 100 - 2P \) wobei \( Q \) die Menge und \( P \) den Preis darstellt.

• Schritt 2: Bestimme die inverse Nachfragefunktion Um die inverse Nachfragefunktion zu finden, isolieren wir \( P \):

\( Q = 100 - 2P \rightarrow 2P = 100 - Q \rightarrow P = 50 - 0,5Q \) Die inverse Nachfragefunktion ist also: \( P = 50 - 0,5Q \).

• Schritt 3: Bestimme die Gesamterlösfunktion Der Gesamterlös (Total Revenue, TR) ergibt sich als:

\( TR = P \cdot Q = (50 - 0,5Q) \cdot Q = 50Q - 0,5Q^2 \) (Dies ist die Gesamterlösfunktion)

• Schritt 4: Bestimme die Grenzerlöskurve Der Grenzerlös (MR) ergibt sich als die Ableitung des Gesamterlöses:

\( MR = \frac{d(TR)}{dQ} = 50 - Q \)

• Schritt 5: Bestimme die Grenzkosten Die Grenzkosten (MC) sind konstant und betragen:

\( MC = 20 \)

• Schritt 6: Bestimme die Gewinnmaximierungsmenge und den -preis Setze den Grenzerlös gleich den Grenzkosten:

\( MR = MC \rightarrow 50 - Q = 20 \rightarrow Q = 30 \)

• Setze die berechnete Menge in die inverse Nachfragefunktion ein, um den Preis zu finden:

\( P = 50 - 0,5Q \rightarrow P = 50 - 0,5(30) \rightarrow P = 50 - 15 \rightarrow P = 35 \)

• Schritt 7: Berechnung des Lerner-Index Der Lerner-Index misst die Marktmacht eines Unternehmens und wird definiert als:

\( L = \frac{P - MC}{P} \)

• Setze den Preis \( P \) und die Grenzkosten \( MC \) in die Formel ein:

\( L = \frac{35 - 20}{35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7} \approx 0,4286 \)

• Zusammenfassung Der Lerner-Index für das Unternehmen, wenn es als Monopolist agieren würde, beträgt ungefähr 0,4286 oder 42,86%.

c)

Diskutiere, wie die Marktmacht des Unternehmens die Markteintrittsbarrieren beeinflussen könnte. Welche Strategien könnten von etablierten Unternehmen genutzt werden, um den Markteintritt neuer Anbieter zu erschweren?

Lösung:

• Diskussion zur Marktmacht und Markteintrittsbarrieren
• In einem oligopolistischen Marktumfeld spielt die Marktmacht der etablierten Unternehmen eine wichtige Rolle bei der Bestimmung der Markteintrittsbarrieren. Auch wenn vonseiten der Beschreibung keine formalen Eintrittsbarrieren existieren, kann die Marktmacht der bestehenden Unternehmen den Markteintritt für neue Anbieter erheblich erschweren.
• Hier sind einige Wege, durch die Marktmacht die Markteintrittsbarrieren beeinflussen kann:
• Preissetzungsstrategien: Etablierte Unternehmen können aggressive Preissetzungsstrategien verwenden, wie z.B. Preissenkungen oder Preisschlachten, um potenzielle neue Anbieter abzuschrecken. Diese Strategie kann dazu führen, dass die Preise sinken und sich Marktbedingungen verschlechtern, was neue Marktteilnehmer abschrecken könnte.
• Economies of Scale: Etablierte Unternehmen können Skaleneffekte nutzen, um ihre Produktionskosten zu senken, sodass potenzielle neue Anbieter nicht in der Lage sind, zu wettbewerbsfähigen Preisen zu produzieren.
• Produktdifferenzierung und Marke: Etablierte Unternehmen können durch Produktdifferenzierung und starke Markenbindung eine Kundenloyalität aufbauen, die es neuen Anbietern schwer macht, Marktanteile zu gewinnen. Dies kann durch Werbung, Forschung und Entwicklung (F&E) und Qualitätssicherung erreicht werden.
• Zugang zu Vertriebskanälen: Etablierte Unternehmen können exklusive Vereinbarungen mit Lieferanten oder Vertriebskanälen treffen, die es neuen Anbietern erschweren, ihre Produkte auf den Markt zu bringen.
• Rechtliche und regulatorische Strategien: Unternehmen mit Marktmacht könnten versuchen, Einfluss auf regulatorische Rahmenbedingungen zu nehmen, um Eintrittsbarrieren durch gesetzliche Vorgaben zu errichten, die neue Anbieter aus dem Markt halten.
• Zusammengefasst:
• Obwohl formale Markteintrittsbarrieren möglicherweise nicht existieren, können etablierte Unternehmen durch ihre Marktmacht und strategische Maßnahmen den Eintritt neuer Anbieter dennoch erheblich erschweren. Diese Maßnahmen können zu einer weniger wettbewerbsfähigen Marktstruktur führen und die Gewinne der etablierten Unternehmen schützen.

d)

Analysiere den Effekt der Preiselastizität der Nachfrage auf die Preisstrategie der Unternehmen in diesem oligopolistischen Markt. Berechne die Preiselastizität der Nachfrage bei einem Preis von 30 und interpretiere Dein Ergebnis im Kontext der Preisstrategien.

Lösung:

• Schritt 1: Bestimmung der Nachfragefunktion
Die Marktnachfragefunktion ist gegeben durch: \( Q = 100 - 2P \) wobei \( Q \) die Menge und \( P \) den Preis darstellt.

• Schritt 2: Bestimmung der Preiselastizität der Nachfrage
Die Preiselastizität der Nachfrage (\textit{E}) wird allgemein definiert als: \( E = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \) Wir benötigen die Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Preis. \( \frac{dQ}{dP} \rightarrow -2 \) Da \( Q = 100 - 2P \) die Ableitung der Nachfragefunktion nach dem Preis ergibt: -2 Nun setzen wir \( P = 30 \) in die Nachfragefunktion ein, um \( Q \) zu berechnen: \( Q = 100 - 2(30) \rightarrow Q = 100 - 60 \rightarrow Q = 40 \) Damit haben wir: \( P = 30 \) und \( Q = 40 \).

• Schritt 3: Berechnung der Preiselastizität
Setze diese Werte nun in die Preiselastizitätsformel ein: \( E = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q} \rightarrow E = -2 \cdot \frac{30}{40} \rightarrow E = -2 \cdot 0,75 \rightarrow E = -1,5 \)

• Interpretation des Ergebnisses
Eine Preiselastizität von -1,5 bedeutet, dass die Nachfrage elastisch ist. Dies bedeutet, dass eine Preisänderung zu einer überproportionalen Änderung der Nachfragemenge führt. Genauer gesagt bedeutet dies, dass eine Senkung des Preises um 1 % zu einer Erhöhung der Nachfragemenge um 1,5 % führen würde. Im Kontext der Preisstrategien in einem oligopolistischen Markt hat die Elastizität der Nachfrage wichtige Implikationen:

• Preisstrategien
• Preiskriege: Da die Nachfrage elastisch ist, können Unternehmen versucht sein, Preiskriege zu initiieren, um Marktanteile zu gewinnen, indem sie die Preise senken. Dies kann jedoch zu geringeren Gewinnen führen, da die Konkurrenten wahrscheinlich folgen werden.
• Nicht-preisliche Wettbewerbsstrategien: Aufgrund der hohen Elastizität könnte es für Unternehmen vorteilhafter sein, sich auf nicht-preisliche Wettbewerbsstrategien wie Produktdifferenzierung, Werbung oder Verbesserung des Kundenservice zu konzentrieren, um Kunden zu gewinnen und zu halten.
• Preisdiskriminierung: In einigen Fällen könnten Unternehmen versuchen, Preisdiskriminierung zu praktizieren, indem sie unterschiedliche Preise für verschiedene Kundensegmente festlegen, solange dies rechtlich zulässig und praktisch durchsetzbar ist.

• Zusammenfassung
Die Preiselastizität der Nachfrage bei einem Preis von 30 beträgt -1,5. Dies bedeutet, dass die Nachfrage elastisch ist, und Unternehmen müssen dies bei der Gestaltung ihrer Preisstrategien in einem oligopolistischen Marktumfeld berücksichtigen. Unternehmensstrategien sollten daher möglicherweise mehr auf nicht-preisliche Wettbewerbsmethoden abzielen, um Marktanteile zu sichern.

Aufgabe 4)

In einem Markt für Elektronikgeräte beschreiben die Nachfrage und das Angebot wie folgt:

• Nachfragefunktion: Q_d = 200 - 20P
• Angebotsfunktion: Q_s = 10P - 10

.

Gegeben sind die Nachfrage- und Angebotsfunktionen. Bestimme den Gleichgewichtspreis (P*) und die Gleichgewichtsmenge (Q*), und analysiere die Marktverhältnisse bei verschiedenen Preisen.

a)

Finde den Gleichgewichtspreis \(P^*\) und die Gleichgewichtsmenge \(Q^*\), indem Du die gegebenen Nachfrage- und Angebotsfunktionen gleichsetzt. Zeige alle deine Berechnungen.

Lösung:

Um den Gleichgewichtspreis P* und die Gleichgewichtsmenge Q* zu finden, setzen wir die Nachfrage- und Angebotsfunktionen gleich.

• Nachfragefunktion: Q_d = 200 - 20P
• Angebotsfunktion: Q_s = 10P - 10

Im Gleichgewicht sind Nachfrage und Angebot gleich, also Q_d = Q_s. Das bedeutet:

200 - 20P = 10P - 10

Wir lösen diese Gleichung nach P auf:

Schritt 1: Addiere 20P auf beiden Seiten:

\(200 - 20P + 20P = 10P - 10 + 20P\)

\(200 = 30P - 10\)

Schritt 2: Addiere 10 auf beiden Seiten:

\(200 + 10 = 30P - 10 + 10\)

\(210 = 30P\)

Schritt 3: Dividiere durch 30:

\(\frac{210}{30} = P\)

\(P = 7\)

Der Gleichgewichtspreis P* ist demnach \

P* = 7

Nun ersetzen wir P durch 7 in einer der ursprünglichen Funktionen, um die Gleichgewichtsmenge Q* zu finden:

Verwenden wir die Nachfragefunktion:

\(Q_d = 200 - 20P\)

\(Q_d = 200 - 20 \times 7\)

\(Q_d = 200 - 140\)

\(Q_d = 60\)

Wir überprüfen es auch mit der Angebotsfunktion:

\(Q_s = 10P - 10\)

\(Q_s = 10 \times 7 - 10\)

\(Q_s = 70 - 10\)

\(Q_s = 60\)

Die Gleichgewichtsmenge Q* ist also:

Q* = 60

Im Gleichgewicht ergibt sich daher ein Preis von 7 und eine Menge von 60.

b)

Analysiere die Marktverhältnisse bei einem Preis von \(P = 7\). Berechne die vorhandene Überschussnachfrage oder das Überschussangebot und erkläre deren Bedeutung für den Markt.

Lösung:

Um die Marktverhältnisse bei einem Preis von \(P = 8\) zu analysieren, berechnen wir sowohl die Nachfrage als auch das Angebot bei diesem Preis und vergleichen sie:

• Nachfragefunktion: Q_d = 200 - 20P
• Angebotsfunktion: Q_s = 10P - 10

Setzen wir \(P = 8\) in die Nachfragefunktion ein:

\(Q_d = 200 - 20 \times 8\)

\(Q_d = 200 - 160\)

\(Q_d = 40\)

Setzen wir \(P = 8\) in die Angebotsfunktion ein:

\(Q_s = 10 \times 8 - 10\)

\(Q_s = 80 - 10\)

\(Q_s = 70\)

Bei einem Preis von \(P = 8\) ist die nachgefragte Menge \(Q_d = 40\) und die angebotene Menge \(Q_s = 70\). Es gibt also ein Überschussangebot. Dies können wir wie folgt berechnen:

\(Überschussangebot = Q_s - Q_d\)

\(Überschussangebot = 70 - 40\)

\(Überschussangebot = 30\)

Das bedeutet, dass es 30 Einheiten gibt, die angeboten, aber nicht nachgefragt werden.

Marktbedeutung:

• Bei einem Preis von \(8\) ist das Angebot größer als die Nachfrage. Dies wird als Überschussangebot bezeichnet.
• Ein Überschussangebot impliziert, dass einige Anbieter ihre Waren nicht verkaufen können. Dies könnte Druck auf den Preis ausüben, zu sinken, damit der Markt wieder ins Gleichgewicht kommt.
• Wenn der Preis sinkt, wird die nachgefragte Menge steigen und die angebotene Menge sinken, bis das Gleichgewicht wiederhergestellt ist.

Zusammenfassend gibt es bei einem Preis von \(P = 8\) ein Überschussangebot von 30 Einheiten, und der Markt wird von einem Preisdruck nach unten beeinflusst, um das Gleichgewicht wieder zu erreichen.

c)

Angenommen, die Regierung setzt einen Höchstpreis von \(P = 5\) für Elektronikgeräte fest. Analysiere, wie diese Preisregulierung den Markt beeinflusst. Welche Auswirkungen hat der Höchstpreis auf Nachfrage, Angebot und Marktgleichgewicht? Vergleiche diesen Zustand mit dem unregulierten Gleichgewichtszustand.

Lösung:

Um zu analysieren, wie ein staatlich festgesetzter Höchstpreis von \(P = 5\) den Markt für Elektronikgeräte beeinflusst, berechnen wir sowohl die Nachfrage als auch das Angebot bei diesem Preis und vergleichen sie mit dem unregulierten Gleichgewichtszustand.

• Nachfragefunktion: Q_d = 200 - 20P
• Angebotsfunktion: Q_s = 10P - 10

Setzen wir \(P = 5\) in die Nachfragefunktion ein:

\(Q_d = 200 - 20 \times 5\)

\(Q_d = 200 - 100\)

\(Q_d = 100\)

Setzen wir \(P = 5\) in die Angebotsfunktion ein:

\(Q_s = 10 \times 5 - 10\)

\(Q_s = 50 - 10\)

\(Q_s = 40\)

Bei einem staatlich festgesetzten Höchstpreis von \(P = 5\) ist die nachgefragte Menge \(Q_d = 100\) und die angebotene Menge \(Q_s = 40\). Es gibt also eine Überschussnachfrage. Dies können wir wie folgt berechnen:

\(Überschussnachfrage = Q_d - Q_s\)

\(Überschussnachfrage = 100 - 40\)

\(Überschussnachfrage = 60\)

Das bedeutet, dass 60 Einheiten nachgefragt werden, die nicht verfügbar sind.

Marktbedeutung:

• Ein festgesetzter Höchstpreis von \(5\) liegt unter dem Gleichgewichtspreis von \(7\).
• Bei diesem niedrigeren Preis steigt die Nachfrage auf 100 Einheiten, während das Angebot auf 40 Einheiten sinkt.
• Die Überschussnachfrage von 60 Einheiten führt zu einem Nachfrageüberhang, bei dem Konsumenten bereit sind, mehr zu kaufen, als verfügbar ist.
• Dies kann zu Warteschlangen, Rationierung und einem Schwarzmarkt führen, da der niedrigere Preis die Produzenten nicht ausreichend anreizt, die Produktion auf das Nachfrageniveau zu erhöhen.

Vergleich mit dem unregulierten Gleichgewichtszustand:

• Im unregulierten Zustand war der Gleichgewichtspreis \(P* = 7\) und die Gleichgewichtsmenge \(Q* = 60\).
• Hier gab es weder Überschussnachfrage noch Überschussangebot, und der Markt war stabil.
• Der staatlich festgesetzte Höchstpreis von \(5\) führt hingegen zu Marktverzerrungen und Ineffizienzen.

Zusammenfassend stört der festgesetzte Höchstpreis von \(P = 5\) das Marktgleichgewicht, indem er eine Überschussnachfrage von 60 Einheiten schafft, was zu Engpässen und möglichen negativen Konsequenzen wie Rationierung und Schwarzmarktaktivitäten führen kann.