Statistics - Cheatsheet

Histogramme und Boxplots zur Datenvisualisierung

Definition:

Histogramme und Boxplots sind wichtige Werkzeuge zur Datenvisualisierung; sie geben Einblicke in die Verteilung und Streuung der Daten.

Details:

• Histogramme: Grafische Darstellung der Häufigkeitsverteilung numerischer Daten durch Balken
• Boxplots: Visualisierung der Streuung von Daten durch Darstellung der Quartile, des Median und möglicher Ausreißer
• Histogramm: X-Achse - Datenintervalle, Y-Achse - Häufigkeit \texttt{(Frequency)}
• Boxplot-Komponenten: Minimum, Q1 (unteres Quartil), Median (Q2), Q3 (oberes Quartil), Maximum und Ausreißer
• Boxplots zeigen spezifische Eigenschaften wie Symmetrie, Schiefe und Ausreißer der Datenverteilung
• Beide Diagramme helfen, die statistischen Eigenschaften der Daten schnell zu erfassen

Berechnung und Interpretation von Konfidenzintervallen

Definition:

Konfidenzintervall schätzt den Bereich, in dem ein Populationsparameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt.

Details:

• Formel für das Konfidenzintervall: \( \bar{x} \pm z* \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)
• \(\bar{x}\): Stichprobenmittelwert
• \(z\): z-Wert (kritischer Wert)
• \(\sigma\): Standardabweichung der Population
• \(n\): Stichprobengröße
• Je höher das Konfidenzniveau, desto breiter das Intervall
• Interpretation: Bereich enthält den wahren Populationsparameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit (z.B. 95%)

Durchführung und Auswertung von Hypothesentests

Definition:

Hypothesentests prüfen Annahmen über Populationen basierend auf Stichprobendaten.

Details:

• Nullhypothese (\textbf{H0}): Status quo, keine Wirkung/Unterschied.
• Alternativhypothese (\textbf{H1}): Gegenteil der Nullhypothese.
• Signifikanzniveau (\textbf{α}): Wahrscheinlichkeit, \textbf{H0} abzulehnen, wenn sie wahr ist.
• Teststatistik: Berechneter Wert, basierend auf Stichprobendaten.
• \textbf{p}-Wert: Wahrscheinlichkeit, dass Teststatistik mindestens so extrem ist wie beobachtet, wenn \textbf{H0} wahr ist.
• Entscheidungsregel: \textbf{p}-Wert < \textbf{α} ⇒ \textbf{H0} ablehnen, sonst \textbf{H0} beibehalten.
• Zweistichproben-t-Test, \textbf{χ²}-Test, ANOVA: Häufig verwendete Tests.
• Ergebnisse grafisch und tabellarisch darstellen.

Anwendung und Diagnose von linearen und multiplen Regressionsmodellen

Definition:

Verwendung statistischer Techniken zur Modellierung und Analyse von Beziehungen zwischen einer abhängigen Variable und einer oder mehreren unabhängigen Variablen; Diagnosetools evaluieren Modellgüte und Annahmen.

Details:

• Lineare Regression: \( y = \beta_0 + \beta_1x + \epsilon \)
• Multiple Regression: \( y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ... + \beta_nx_n + \epsilon \)
• Residuenanalyse: Überprüfung der Homoskedastizität, Normalverteilung und Autokorrelation der Residuen
• Multikollinearität: Variance Inflation Factor (VIF) zur Überprüfung der Abhängigkeit zwischen unabhängigen Variablen
• Bestimmtheitsmaß \( R^2 \): Güte der Anpassung des Modells an die Daten
• Durbin-Watson-Test: Test auf Autokorrelation der Residuen
• F-Statistik: Gesamtsignifikanz des Modells

Interpretation von Regressionskoeffizienten und Bestimmtheitsmaß (R²)

Definition:

Interpretation der Schätzwerte von Regressionskoeffizienten und Bewertung der Güte des Modells mithilfe von R²

Details:

• Regressionskoeffizienten (β): geben die durchschnittliche Veränderung der abhängigen Variable (\text{Y}) pro Einheit der unabhängigen Variable (\text{X}) an.
• R² (Bestimmtheitsmaß): misst den Anteil der Varianz der abhängigen Variable, der durch das Modell erklärt wird.
• Formeln:

• Regressionsgleichung: \(Y = β_0 + β_1 X_1 + β_2 X_2 + ... + β_n X_n + \epsilon\)
• Bestimmtheitsmaß: \[ R^2 = 1 - \frac{\text{RSS}}{\text{TSS}} \]

• RSS: Residual Sum of Squares (Summe der quadrierten Residuen)
• TSS: Total Sum of Squares (Gesamtsumme der quadrierten Abweichungen)

Verständnis und Anwendung wichtiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen (z.B. Normalverteilung)

Definition:

Eigenschaften und Anwendung wichtiger Wahrscheinlichkeitsverteilungen (Normalverteilung, Binomialverteilung, Poissonverteilung); Zusammenhang zwischen Zufallsvariablen und deren Verteilungen

Details:

• Normalverteilung: Glockenförmige Kurve, symmetrisch um den Mittelwert \( \mu \), Standardabweichung \( \sigma \); Dichtefunktion: \[ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2} \]
• Binomialverteilung: Diskrete Verteilung; Anzahl der Erfolge in unabhängigen Bernoulli-Experimenten; Wahrscheinlichkeit: \[ P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
• Poissonverteilung: Modellierung seltener Ereignisse; Erwartungswert \( \lambda \); Wahrscheinlichkeit: \[ P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} \]

Varianzanalyse (ANOVA) und Post-hoc-Tests

Definition:

Vergleicht Mittelwerte von mehr als zwei Gruppen und prüft, ob Unterschiede zufällig sind oder nicht. Post-hoc-Tests erforderlichen zur Identifikation spezifischer Gruppenunterschiede nach ANOVA.

Details:

• H0: Alle Gruppenmittelwerte sind gleich.
• Varianzzerlegung in zwischen- und innerhalb-Gruppen-Varianz.
• F-Statistik zur Entscheidung über H0:

• F-Wert =\( \frac{\text{zwischen-Gruppen-Varianz}}{\text{innerhalb-Gruppen-Varianz}} \)

• Post-hoc-Tests (z.B. Tukey HSD) nach signifikanten ANOVA-Ergebnissen zur Identifizierung spezifischer Unterschiede.

Berechnung und Interpretation von Streuungsmaßnahmen (Standardabweichung und Varianz)

Definition:

Berechnung und Interpretation von Streuungsmaßen zur Bestimmung der Variabilität eines Datensatzes.

Details:

• Varianz ( \sigma^2 \ bzw. s^2 ): Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert.
• Formel für Varianz:
• Für Population: \[ \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N}(x_i - \mu)^2 \]
• Für Stichprobe: \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \]
• Standardabweichung ( \sigma \ bzw. s ): Quadratwurzel der Varianz, misst die Streuung der Daten.
• Formel für Standardabweichung:
• Für Population: \[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
• Für Stichprobe: \[ s = \sqrt{s^2} \]
• Interpretation:
• Geringe Standardabweichung: Daten nahe am Mittelwert.
• Hohe Standardabweichung: Daten weit vom Mittelwert entfernt.