Advanced seminar: Risk and insurance - Cheatsheet

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse

Definition:

Grundlagen der Wahrscheinlich-keitstheorie und stochastische Prozesse; befasst sich mit der mathematischen Beschreibung und Analyse von Zufallsereignissen und deren zeitlichen Entwicklungen.

Details:

• Wahrscheinlichkeitsraum \(\Omega, \mathcal{F}, P\)
• Gesetz der großen Zahlen
• Zentraler Grenzwertsatz
• Stochastische Prozesse: Zeitliche Folge von Zufallsvariablen
• Martingal: Fair Game
• Markov-Kette: Gedächtnisloser Prozess
• Erwartungswert \(E[X]\)
• Varianz \(Var(X) = E[(X - E[X])^2]\)

Modelle zur Risikobewertung: Expected Value und Variance

Definition:

Erwartungswert (Expected Value) und Varianz sind grundlegende statistische Konzepte zur Risikobewertung, die helfen, die durchschnittliche Rendite und die Volatilität eines Investments zu quantifizieren.

Details:

• \textbf{Erwartungswert (Expected Value, E[X])}: Maß für den durchschnittlichen Wert (Mittelwert) einer Zufallsvariablen.
• \textbf{Formel}: \( E[X] = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot P(x_i) \)
• \textbf{Varianz (Var(X))}: Maß für die Streuung der Werte einer Zufallsvariablen um den Erwartungswert.
• \textbf{Formel}: \( Var(X) = E[(X - E[X])^2] = \sum_{i=1}^{n} (x_i - E[X])^2 \cdot P(x_i) \)

Wahrscheinlichkeitsverteilungen und ihre Anwendung in der Versicherung

Definition:

Wahrscheinlichkeitsverteilungen modellieren die Unsicherheit und Zufälligkeit von Ereignissen. In der Versicherung werden sie genutzt, um Risiken und Schadenshäufigkeiten zu analysieren und Prämien zu berechnen.

Details:

• Diskrete Verteilungen: z.B. Binomialverteilung, Poissonverteilung
• Stetige Verteilungen: z.B. Normalverteilung, Exponentialverteilung
• Wichtige Parameter: Erwartungswert \(\text{E}(X)\), Varianz \(\text{Var}(X)\)
• Versicherungsmathematik: Berechnung von Risikoprämien anhand der Schadensverteilung
• Monte-Carlo-Simulation: Verfahren zur Abschätzung von Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerten

Klimarisikomodelle und Regulatorische Anforderungen

Definition:

Klimarisikomodelle bewerten die finanziellen Risiken, die durch klimabedingte Veränderungen und Ereignisse entstehen. Regulatorische Anforderungen definieren die gesetzlichen Rahmenbedingungen, die Unternehmen im Umgang mit diesen Risiken einhalten müssen.

Details:

• Klimarisikomodelle helfen bei der Bewertung potenzieller Schäden durch Naturkatastrophen und langfristige Klimaveränderungen.
• Modelle basieren auf historischen Daten und zukünftigen Szenarien.
• Wichtige Modelle umfassen Szenarioanalyse, Stress-Tests und probabilistische Risikomodellierung.
• Regulatorische Anforderungen zielen auf Transparenz und Risikominderung ab.
• Regulationen durch Einrichtungen wie die BaFin in Deutschland oder die EIOPA auf europäischer Ebene.
• Notwendigkeit zur Offenlegung klimabezogener Risiken im Rahmen von ESG-Berichterstattung.
• Versicherer müssen genügende Kapitalreserven halten (Solvency II).

Strategien zur Risikoabmilderung und nachhaltigkeitsorientierte Unternehmensstrategien

Definition:

Strategien zur Minderung von Risiken und zur Förderung nachhaltiger Unternehmenspraktiken.

Details:

• Risikoarten: Marktrisiken, operationelle Risiken, Reputationsrisiken
• Risikobewertung: Analyse der Wahrscheinlichkeit und Auswirkungen
• Risikominderungsmethoden: Diversifikation, Versicherungen, Notfallpläne
• Nachhaltigkeitsstrategien: Umweltmanagement, soziale Verantwortung, Governance
• Integration von ESG-Faktoren (Environmental, Social, Governance)
• Kosteneinsparungen durch Energieeffizienz und Abfallreduzierung
• Langfristige Beständigkeit und positive Marktpositionierung
• Gesetzliche Anforderungen und freiwillige Standards (z.B. ISO 14001, GRI)

Definition und Konstruktion von Copula-Modellen

Definition:

Copula-Modelle beschreiben die Abhängigkeiten zwischen mehreren Zufallsvariablen unabhängig von den Randverteilungen.

Details:

• Definition: Eine Copula ist eine multivariate Verteilungsfunktion, die die Randverteilungen verbindet.
• Sklar's Theorem: Für jede multivariate Verteilungsfunktion H mit Randverteilungen F und G existiert eine Copula C, sodass: \begin{equation}H(x,y) = C(F(x), G(y))\end{equation}
• Konstruktion: Bestimmung der Randverteilungen und Wahl einer passenden Copula (z. B. Gauss’sche, t-Copula).
• Copula-Familien: Elliptische Copulas (z.B. Gauss-Copula), Archimedische Copulas (z.B. Clayton-Copula).
• Parameter-Schätzung: Method of Moments, Maximum Likelihood, Inference Functions for Margins (IFM).
• Anwendung: Risikomanagement, Portfolio-Optimierung.

Internal Models und Standard-Model unter Solvency II

Definition:

Interne Modelle und Standard-Modell unter Solvency II

Details:

• Interne Modelle: Versicherer nutzen eigene Risikomodelle zur Bestimmung der Solvenzkapitalanforderung (SCR)
• Standard-Modell: Vordefiniertes Modell von EIOPA zur Berechnung der SCR
• Interne Modelle: Genehmigung durch Aufsichtsbehörde erforderlich
• Standard-Modell: Keine Genehmigung erforderlich
• Ziel: Angemessene Kapitalausstattung zur Risikodeckung
• Formeln: SCR-Formel Standard-Modell:
• Anpassung: Interne Modelle können besser an spezifische Risiken angepasst werden
• Komplexität: Interne Modelle sind meist komplexer als Standard-Modell
• Regelungen: Gemäß Solvency II Richtlinie (2009/138/EC)

Value-at-Risk (VaR) und Risk-Adjusted Performance Measures (RAPM)

Definition:

Bewertung und Quantifizierung von Risiken und deren Anpassung an die Performance.

Details:

• Value-at-Risk (VaR) schätzt den maximalen potenziellen Verlust eines Portfolios in einem bestimmten Zeitraum mit einem gegebenen Konfidenzniveau.
• Formel für VaR: \[ VaR = - \text{Quantil}(x, \text{Konfidenzniveau}) \]
• RAPM berücksichtigt Risiko bei der Bewertung der Performance von Investitionen oder Portfolios.
• Beispiele für RAPM: Sharpe Ratio, Treynor Ratio, Jensen's Alpha.
• Sharpe Ratio: \[ \text{Sharpe Ratio} = \frac{R_p - R_f}{\text{StdDev}(R_p)} \] wobei \( R_p \) die Rendite des Portfolios, \( R_f \) der risikofreie Zinssatz und \( \text{StdDev}(R_p) \) die Standardabweichung der Portfoliorendite ist.
• Treynor Ratio: \[ \text{Treynor Ratio} = \frac{R_p - R_f}{\beta} \] wobei \( \beta \) das systematische Risiko des Portfolios ist.