Advanced seminar: Risk and insurance - Exam

Aufgabe 1)

Im Rahmen dieser Übung wirst Du Dir einen Überblick über die Wahrscheinlichkeitstheorie und stochastische Prozesse verschaffen, insbesondere über Wahrscheinlichkeitsräume, das Gesetz der großen Zahlen, den zentralen Grenzwertsatz sowie die Konzepte von Martingalen und Markov-Ketten. Angenommen, ein Versicherungsunternehmen analysiert Schadensmeldung im Zeitverlauf und möchte die Risikobewertung und Prämiengestaltung optimieren. Dabei spielen stochastische Prozesse und Wahrscheinlichkeitsrechnungen eine wesentliche Rolle.

a)

Beschreibe den Wahrscheinlichkeitsraum \(\Omega, \mathcal{F}, P\) im Kontext eines Versicherungsunternehmens und erkläre, wie dieser genutzt werden kann, um Schadensmeldungen zu modellieren. Gib Beispiele für \(\Omega\), \mathcal{F}\, und \(P\).

Lösung:

Ein Wahrscheinlichkeitsraum wird durch ein Tripel \(\Omega, \mathcal{F}, P\) bestimmt, wobei:

• \(\Omega\) die Menge aller möglichen Ergebnisse ist, die im Kontext eines Versicherungsunternehmens in Betracht gezogen werden.
• \(\mathcal{F}\) eine σ-Algebra (Sigma-Algebra) ist, die alle möglichen Ereignisse enthält, das heißt, Teilmengen von \(\Omega\), über die Wahrscheinlichkeiten definiert sind.
• \(P\) ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, das jedem Ereignis in \(\mathcal{F}\) eine Wahrscheinlichkeit zuordnet.

Zur Modellierung von Schadensmeldungen bei einem Versicherungsunternehmen könnte der Wahrscheinlichkeitsraum wie folgt aussehen:

• Beispiel für \(\Omega\): \(\Omega\) könnte die Menge aller möglichen Schadensfälle innerhalb eines bestimmten Zeitraums sein, z.B. \(\Omega = \{ \text{kein Schaden}, \text{kleiner Schaden}, \text{mittlerer Schaden}, \text{großer Schaden} \}\).
• Beispiel für \(\mathcal{F}\): \(\mathcal{F}\) könnte die σ-Algebra sein, die alle möglichen Kombinationen von Schadensfällen abdeckt, z.B. \(\mathcal{F} = \{ \emptyset, \{\text{kein Schaden}\}, \{\text{kleiner Schaden, mittlerer Schaden}\}, \Omega, \ldots \}\).
• Beispiel für \(P\): \(P\) könnte ein Wahrscheinlichkeitsmaß sein, das die Wahrscheinlichkeit für die verschiedenen Schadensereignisse angibt, z.B.

• \(P(\{ \text{kein Schaden} \}) = 0{,}6\)
• \(P(\{ \text{kleiner Schaden} \}) = 0{,}2\)
• \(P(\{ \text{mittlerer Schaden} \}) = 0{,}15\)
• \(P(\{ \text{großer Schaden} \}) = 0{,}05\) .

Mithilfe dieses Wahrscheinlichkeitsraums kann das Versicherungsunternehmen die Wahrscheinlichkeit von Schadensmeldungen innerhalb eines bestimmten Zeitraums quantifizieren. Dies hilft dabei, Risiken besser einzuschätzen, Prämien zu berechnen und Rückstellungen für zu erwartende Schäden vorzuhalten.

b)

Erkläre das Gesetz der großen Zahlen und den zentralen Grenzwertsatz. Zeige mathematische Formeln und illustriere, wie diese Gesetze einem Versicherungsunternehmen helfen können, langfristige Schadensmeldungen vorherzusagen. Berechne dabei den Mittelwert und die Varianz aus einer gegebenen Schadensverteilung.

Lösung:

Um das Gesetz der großen Zahlen (Law of Large Numbers, LLN) und den zentralen Grenzwertsatz (Central Limit Theorem, CLT) zu erklären, gehen wir Schritt für Schritt vor:

Gesetz der großen Zahlen (LLN)

Das Gesetz der großen Zahlen besagt, dass der Durchschnitt der Ergebnisse aus einer großen Anzahl von Versuchen (Stichproben) sich dem Erwartungswert (dem Mittelwert) der Grundgesamtheit annähert, je mehr Versuche durchgeführt werden. Es gibt zwei Hauptversionen des LLN:

• Schwaches Gesetz der großen Zahlen: Für eine Folge von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen \(X_1, X_2, \, \ldots\) mit Erwartungswert \(E[X_i] = \mu\) konvergiert der Stichprobenmittelwert \(\overline{X}_n\) gegen \(\mu\) in Wahrscheinlichkeit, wenn die Anzahl der Stichproben \(n\) gegen unendlich geht:

\[ \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \rightarrow \mu \quad \text{für} \quad n \rightarrow \infty. \]

• Starkes Gesetz der großen Zahlen: Das starke Gesetz der großen Zahlen besagt, dass \(\overline{X}_n\) fast sicher gegen \(\mu\) konvergiert, wenn \(n\) gegen unendlich geht:

\[ \overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \rightarrow \mu \quad \text{fast sicher für} \quad n \rightarrow \infty. \]

Zentraler Grenzwertsatz (CLT)

Der zentrale Grenzwertsatz besagt, dass die Summe oder der Durchschnitt einer ausreichend großen Anzahl von unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert und Varianz annähernd normalverteilt ist, unabhängig von der Verteilung der ursprünglichen Variablen. Mathematisch ausgedrückt:

Seien \(X_1, X_2, \, \ldots, X_n\) unabhängige und identisch verteilte Zufallsvariablen mit Erwartungswert \(\mu\) und Varianz \(\sigma^2\). Dann konvergiert der standardisierte Stichprobenmittelwert \(\overline{X}_n\) gegen eine Normalverteilung \(N(0,1)\), wenn \(n\) gegen unendlich geht:

\[ \frac{\overline{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \quad \text{für} \quad n \rightarrow \infty, \]

wobei \(\overline{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i\).

Nutzen dieser Gesetze für ein Versicherungsunternehmen

Beide Gesetze sind essenziell für ein Versicherungsunternehmen, um langfristige Schadensmeldungen vorherzusagen und präzise Risikobewertungen sowie Prämiengestaltungen durchzuführen:

• Gesetz der großen Zahlen: Wenn das Unternehmen eine große Anzahl an Versicherungsverträgen hat, kann es den durchschnittlichen Schaden genau vorhersagen, basierend auf historischen Daten.
• Zentraler Grenzwertsatz: Dadurch, dass Schadensverteilungen bei großer Stichprobenanzahl annähernd normalverteilt sind, kann das Unternehmen statistische Verfahren nutzen, um Konfidenzintervalle und Risikoprognosen zu erstellen.

Beispielrechnung: Mittelwert und Varianz

Angenommen, wir haben eine gegebene Schadensverteilung mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:

• Kein Schaden: Wahrscheinlichkeit = 0,6, Schaden = 0 Euro
• Kleiner Schaden: Wahrscheinlichkeit = 0,2, Schaden = 1.000 Euro
• Mittlerer Schaden: Wahrscheinlichkeit = 0,15, Schaden = 5.000 Euro
• Großer Schaden: Wahrscheinlichkeit = 0,05, Schaden = 20.000 Euro

Mittelwert (Erwartungswert) \(\mu\)

Der Erwartungswert \(\mu\) wird berechnet als:

\[ \mu = \sum_{i=1}^4 P(X_i) \cdot X_i \]

Also:

\[ \mu = (0,6 \cdot 0) + (0,2 \cdot 1000) + (0,15 \cdot 5000) + (0,05 \cdot 20000) \]

\[ \mu = 0 + 200 + 750 + 1000 = 1950 \text{ Euro} \]

Varianz \(\sigma^2\)

Die Varianz \(\sigma^2\) wird berechnet als:

\[ \sigma^2 = \sum_{i=1}^4 P(X_i) \cdot (X_i - \mu)^2 \]

Also:

\[ \sigma^2 = (0,6 \cdot (0 - 1950)^2) + (0,2 \cdot (1000 - 1950)^2) + (0,15 \cdot (5000 - 1950)^2) + (0,05 \cdot (20000 - 1950)^2) \]

\[ \sigma^2 = (0,6 \cdot 3802500) + (0,2 \cdot 902500) + (0,15 \cdot 9360250) + (0,05 \cdot 326002500) \]

\[ \sigma^2 = 2281500 + 180500 + 1404037,5 + 16300125 = 20363762,5 \text{ Euro}^2 \]

Durch das Anwenden dieser statistischen Konzepte und Formeln kann das Versicherungsunternehmen fundierte Entscheidungen treffen, Risiken abschätzen und Prämien entsprechend kalkulieren.

Aufgabe 2)

Kontext: Stellt euch vor, ihr seid ein Risikomanager in einem Unternehmen, das verschiedene Investitionsprojekte bewertet. Ihr habt drei verschiedene Projekte A, B und C, die jeweils unterschiedliche potentielle Renditen (in %) und deren Eintrittswahrscheinlichkeiten haben. Eure Aufgabe besteht darin, diese Projekte unter Berücksichtigung der erwarteten Rendite und der damit verbundenen Risiken zu bewerten.

• Projekt A: Rendite: -5% (Wahrscheinlichkeit: 0.2), 5% (Wahrscheinlichkeit: 0.5), 10% (Wahrscheinlichkeit: 0.3)
• Projekt B: Rendite: 0% (Wahrscheinlichkeit: 0.4), 8% (Wahrscheinlichkeit: 0.4), 15% (Wahrscheinlichkeit: 0.2)
• Projekt C: Rendite: -10% (Wahrscheinlichkeit: 0.1), 3% (Wahrscheinlichkeit: 0.6), 20% (Wahrscheinlichkeit: 0.3)

a)

Berechne den Erwartungswert der Rendite für jedes der drei Projekte A, B und C. Zeige jeden Schritt der Berechnung detailliert.

Lösung:

Um den Erwartungswert der Rendite für jedes der drei Projekte A, B und C zu berechnen, müssen wir die erwarteten Renditen unter Berücksichtigung der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse berechnen. Der Erwartungswert (auch Mittelwert genannt) ist definiert als die Summe der Produkte aus den Renditen und ihren Wahrscheinlichkeiten:

Erwartungswert (E) = \(\text{{Rendite}}_1 \times \text{{Wahrscheinlichkeit}}_1 + \text{{Rendite}}_2 \times \text{{Wahrscheinlichkeit}}_2 + \text{{Rendite}}_3 \times \text{{Wahrscheinlichkeit}}_3\)

Berechnungen:

Projekt A:

• Renditen: -5%, 5%, 10%
• Wahrscheinlichkeiten: 0.2, 0.5, 0.3

Erwartungswert für Projekt A:

\(E(A) = (-5\% \times 0.2) + (5\% \times 0.5) + (10\% \times 0.3)\)

= \((-5 \times 0.2) + (5 \times 0.5) + (10 \times 0.3)\)

= \(-1 + 2.5 + 3\)

= 4.5\%

Projekt B:

• Renditen: 0%, 8%, 15%
• Wahrscheinlichkeiten: 0.4, 0.4, 0.2

Erwartungswert für Projekt B:

\(E(B) = (0\% \times 0.4) + (8\% \times 0.4) + (15\% \times 0.2)\)

= \((0 \times 0.4) + (8 \times 0.4) + (15 \times 0.2)\)

= \(0 + 3.2 + 3\)

= 6.2\%

Projekt C:

• Renditen: -10%, 3%, 20%
• Wahrscheinlichkeiten: 0.1, 0.6, 0.3

Erwartungswert für Projekt C:

\(E(C) = (-10\% \times 0.1) + (3\% \times 0.6) + (20\% \times 0.3)\)

= \((-10 \times 0.1) + (3 \times 0.6) + (20 \times 0.3)\)

= \(-1 + 1.8 + 6\)

= 6.8\%

Die erwarteten Renditen für die drei Projekte sind somit:

• Projekt A: 4.5%
• Projekt B: 6.2%
• Projekt C: 6.8%

b)

Berechne die Varianz der Rendite für jedes der drei Projekte. Zeige jeden Schritt der Berechnung detailliert.

Lösung:

Um die Varianz der Rendite für jedes der drei Projekte A, B und C zu berechnen, müssen wir zunächst den Erwartungswert (Mittelwert) der Rendite berechnen, den wir bereits in der vorherigen Teilaufgabe gefunden haben. Die Varianz ist eine Maßzahl, die die Streuung der Renditen um den Erwartungswert beschreibt. Sie wird berechnet als der Erwartungswert der quadrierten Abweichungen der einzelnen Renditen vom Erwartungswert.

Die Formel zur Berechnung der Varianz (Var) lautet:

Varianz (Var) = \(\sum (\text{{Rendite}}_i - E)^2 \times \text{{Wahrscheinlichkeit}}_i\)

Sehen wir uns die Berechnungen im Detail an:

Projekt A:

• Renditen: -5%, 5%, 10%
• Wahrscheinlichkeiten: 0.2, 0.5, 0.3

Der Erwartungswert für Projekt A ist 4.5%.

\(\text{Var}(A) = (\text{-5%} - 4.5%)^2 \times 0.2 + (\text{5%} - 4.5%)^2 \times 0.5 + (\text{10%} - 4.5%)^2 \times 0.3\)

= (-0.05 - 0.045)^2 \times 0.2 + (0.05 - 0.045)^2 \times 0.5 + (0.10 - 0.045)^2 \times 0.3

= (-0.095)^2 \times 0.2 + (0.005)^2 \times 0.5 + (0.055)^2 \times 0.3

= (0.009025) \times 0.2 + (0.000025) \times 0.5 + (0.003025) \times 0.3

= 0.001805 + 0.0000125 + 0.0009075

= 0.002725

Projekt B:

• Renditen: 0%, 8%, 15%
• Wahrscheinlichkeiten: 0.4, 0.4, 0.2

Der Erwartungswert für Projekt B ist 6.2%.

\(\text{Var}(B) = (\text{0%} - 6.2%)^2 \times 0.4 + (\text{8%} - 6.2%)^2 \times 0.4 + (\text{15%} - 6.2%)^2 \times 0.2\)

= (0 - 0.062)^2 \times 0.4 + (0.08 - 0.062)^2 \times 0.4 + (0.15 - 0.062)^2 \times 0.2

= (-0.062)^2 \times 0.4 + (0.018)^2 \times 0.4 + (0.088)^2 \times 0.2

= (0.003844) \times 0.4 + (0.000324) \times 0.4 + (0.007744) \times 0.2

= 0.0015376 + 0.0001296 + 0.0015488

= 0.003216

Projekt C:

• Renditen: -10%, 3%, 20%
• Wahrscheinlichkeiten: 0.1, 0.6, 0.3

Der Erwartungswert für Projekt C ist 6.8%.

\(\text{Var}(C) = (\text{-10%} - 6.8%)^2 \times 0.1 + (\text{3%} - 6.8%)^2 \times 0.6 + (\text{20%} - 6.8%)^2 \times 0.3\)

= (-0.10 - 0.068)^2 \times 0.1 + (0.03 - 0.068)^2 \times 0.6 + (0.20 - 0.068)^2 \times 0.3

= (-0.168)^2 \times 0.1 + (-0.038)^2 \times 0.6 + (0.132)^2 \times 0.3

= (0.028224) \times 0.1 + (0.001444) \times 0.6 + (0.017424) \times 0.3

= 0.0028224 + 0.0008664 + 0.0052272

= 0.008916

Die Varianzen für die drei Projekte sind somit:

• Projekt A: 0.002725
• Projekt B: 0.003216
• Projekt C: 0.008916

c)

Diskutiere, welches der Projekte A, B oder C aufgrund des berechneten Erwartungswerts und der Varianz als das am wenigsten riskante und als das rentabelste angesehen werden kann. Begründe deine Antwort.

Lösung:

Um zu entscheiden, welches der Projekte A, B oder C als das am wenigsten riskante und als das rentabelste angesehen werden kann, betrachten wir die berechneten Erwartungswerte und Varianzen der Renditen:

Erwartungswerte:

• Projekt A: 4.5%
• Projekt B: 6.2%
• Projekt C: 6.8%

Varianzen:

• Projekt A: 0.002725
• Projekt B: 0.003216
• Projekt C: 0.008916

Diskussion:

Um das am wenigsten riskante Projekt zu bestimmen, betrachten wir die Varianz als ein Maß für das Risiko. Ein niedrigere Varianz bedeutet, dass die Renditen weniger streuen und somit das Risiko geringer ist. Die Varianzen sind wie folgt sortiert:

• Projekt A: 0.002725
• Projekt B: 0.003216
• Projekt C: 0.008916

Hier sehen wir, dass Projekt A die niedrigste Varianz hat. Das bedeutet, dass Projekt A das am wenigsten riskante Projekt ist.

Um das rentabelste Projekt zu bestimmen, betrachten wir die Erwartungswerte der Renditen. Ein höherer Erwartungswert bedeutet eine höhere erwartete Rendite. Die Erwartungswerte sind wie folgt sortiert:

• Projekt C: 6.8%
• Projekt B: 6.2%
• Projekt A: 4.5%

Hier sehen wir, dass Projekt C den höchsten Erwartungswert hat. Das bedeutet, dass Projekt C das rentabelste Projekt ist.

Zusammenfassung:

• Am wenigsten riskantes Projekt: Projekt A (wegen der niedrigsten Varianz von 0.002725).
• Rentabelstes Projekt: Projekt C (wegen des höchsten Erwartungswerts von 6.8%).

Je nach den Zielen des Unternehmens könnte man sich für das risikoärmste oder das rentabelste Projekt entscheiden. Wenn das Ziel darin besteht, die Risiken zu minimieren, wäre Projekt A die beste Wahl. Wenn das Ziel darin besteht, die erwarteten Gewinne zu maximieren, wäre Projekt C die beste Wahl.

Aufgabe 3)

In der Versicherungsbranche ist es entscheidend, Risiken präzise zu modellieren und die daraus resultierenden Prämien korrekt zu berechnen. Hierzu werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen verwendet, um die Unsicherheiten und Zufälligkeiten von Schadensereignissen zu analysieren.

Betrachten wir eine Versicherungsgesellschaft, die die Schadenshäufigkeit und -höhe ihrer Versicherungsnehmer mithilfe der Poisson-Verteilung modelliert. Weiterhin gehen wir davon aus, dass die Schadensbeträge stetig und exponentialverteilt sind. Die Parameter dieser Verteilungen werden in der Berechnung der Risikoprämien verwendet. Dabei sind unter anderem der Erwartungswert \( \text{E}(X) \) und die Varianz \( \text{Var}(X) \) von Bedeutung.

Zusätzlich werden Monte-Carlo-Simulationen eingesetzt, um komplexe Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte zu schätzen, die analytisch schwer zu bestimmen sind.

a)

a) Eine Versicherungsgesellschaft nutzt die Poisson-Verteilung, um die Anzahl der Schadensfälle pro Jahr zu modellieren. Es wird angenommen, dass die durchschnittliche Anzahl der Schadensfälle pro Jahr \( \text{E}(N) = 5 \) beträgt.

Berechne die Wahrscheinlichkeit genau eines Schadensfalls im Jahr. Gib die Formel an und setze die Werte ein.

Lösung:

Um die Wahrscheinlichkeit genau eines Schadensfalls im Jahr zu berechnen, nutzen wir die Poisson-Verteilung. Diese beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Ereignisse in einem festen Intervall auftreten, und ist durch die Formel definiert:

• Formel: \(P(N = k) = \frac{\text{e}^{-\text{E}(N)} \times \text{E}(N)^k}{k!}\)

Hierbei stehen:

• P(N = k): Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Schadensfälle auftreten
• e: Die Eulersche Zahl (ungefähr 2,71828)
• k: Die Anzahl der aufgetretenen Schadensfälle
• \(\text{E}(N)\): Der Erwartungswert der Verteilung

In diesem Fall beträgt der Erwartungswert \(\text{E}(N) = 5\). Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit genau eines (\(k = 1\)) Schadensfalls:

• Formel mit eingesetzten Werten: \(P(N = 1) = \frac{\text{e}^{-5} \times 5^1}{1!}\)

Nun berechnen wir die einzelnen Komponenten:

• \(\text{e}^{-5}\ = 0.006737947\)
• \(5^1 = 5\)
• \(1! = 1\)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

• \(P(N = 1) = \frac{0.006737947 \times 5}{1} = 0.033689735\)

Schließlich: Die Wahrscheinlichkeit genau eines Schadensfalls im Jahr beträgt ungefähr 3.37%.

b)

b) Gegeben sei, dass die Schadenshöhe \( X \) exponentialverteilt ist mit einem Erwartungswert von \( \text{E}(X) = 2000 \) Euro. Erstelle eine Monte-Carlo-Simulation, um die erwartete Risikoprämie pro Versicherungspolice zu schätzen. Beschreibe den grundsätzlichen Ablauf der Monte-Carlo-Simulation und erläutere die Schritte der Implementierung.

Lösung:

Um eine Monte-Carlo-Simulation zu erstellen, um die erwartete Risikoprämie pro Versicherungspolice zu schätzen, gehen wir schrittweise vor. Zuerst beschreiben wir den grundsätzlichen Ablauf und erläutern dann die Schritte der Implementierung.

Grundsätzlicher Ablauf der Monte-Carlo-Simulation

• 1. Definition des Problems: Wir wollen die erwartete Risikoprämie pro Versicherungspolice schätzen. Dazu benötigen wir zufällig generierte Schadenshöhen, die exponentialverteilt sind.
• 2. Festlegung der Verteilung: Die Schadenshöhe \( X \) ist exponentialverteilt mit einem Erwartungswert von \( \text{E}(X) = 2000 \) Euro.
• 3. Generierung von Zufallszahlen: Zufallszahlen werden entsprechend der Exponentialverteilung generiert.
• 4. Berechnung der Risikoprämie: Für jedes simulierte Schadensereignis wird die Schadenshöhe berechnet und gespeichert.
• 5. Wiederholung: Dieser Vorgang wird viele Male wiederholt (z.B. 10.000 Iterationen), um eine robuste Schätzung zu erhalten.
• 6. Berechnung des Mittelwerts: Der Durchschnitt der generierten Schadenshöhen wird berechnet, um die erwartete Risikoprämie zu bestimmen.

Schritte der Implementierung

1. Initialisierung: Importiere die notwendigen Bibliotheken und definiere die Parameter der Exponentialverteilung.
2. Generierung der Zufallszahlen: Verwende eine Funktion zur Generierung von exponentiell verteilten Zufallszahlen.
3. Simulation: Führe eine große Anzahl von Iterationen (z.B. 10.000) durch, um die Schadenshöhen zu simulieren.
4. Speichern und Zusammenfassen: Speichere die simulierten Schadenshöhen und berechne den Durchschnitt.
5. Ergebnis: Der Durchschnitt der simulierten Schadenshöhen ist die geschätzte erwartete Risikoprämie.

Beispiel in Python

import numpy as np# Parameter der Exponentialverteilungexpectation_X = 2000lambda_X = 1 / expectation_X  # Parameter der Exponentialverteilung# Anzahl der Iterationennum_iterations = 10000# Generierung der exponentiell verteilten Zufallszahlensimulated_claims = np.random.exponential(1 / lambda_X, num_iterations)# Berechnung der erwarteten Risikoprämieexpected_risk_premium = np.mean(simulated_claims)print(f'Erwartete Risikoprämie pro Versicherungspolice: {expected_risk_premium:.2f} Euro')

In diesem Beispiel haben wir die erwartete Risikoprämie pro Versicherungspolice mithilfe von Monte-Carlo-Simulationen geschätzt. Wir generieren dazu eine große Anzahl (10.000) von exponentiell verteilten Schadenshöhen und berechnen den Durchschnitt dieser Werte, um die erwartete Risikoprämie zu erhalten.

Aufgabe 4)

Klimarisikomodelle und Regulatorische AnforderungenKlimarisikomodelle bewerten die finanziellen Risiken, die durch klimabedingte Veränderungen und Ereignisse entstehen. Regulatorische Anforderungen definieren die gesetzlichen Rahmenbedingungen, die Unternehmen im Umgang mit diesen Risiken einhalten müssen.

• Klimarisikomodelle helfen bei der Bewertung potenzieller Schäden durch Naturkatastrophen und langfristige Klimaveränderungen.
• Modelle basieren auf historischen Daten und zukünftigen Szenarien.
• Wichtige Modelle umfassen Szenarioanalyse, Stress-Tests und probabilistische Risikomodellierung.
• Regulatorische Anforderungen zielen auf Transparenz und Risikominderung ab.
• Regulationen durch Einrichtungen wie die BaFin in Deutschland oder die EIOPA auf europäischer Ebene.
• Notwendigkeit zur Offenlegung klimabezogener Risiken im Rahmen von ESG-Berichterstattung.
• Versicherer müssen genügende Kapitalreserven halten (Solvency II).

a)

Erkläre, wie ein Versicherungsunternehmen ein Klimarisikomodell nutzen kann, um die Auswirkungen eines potenziellen Anstiegs des Meeresspiegels auf sein Geschäftsmodell abzuschätzen. Berücksichtige dabei die verschiedenen Modellierungsansätze (Szenarioanalyse, Stress-Tests und probabilistische Risikomodellierung).

Lösung:

Erklärung zur Nutzung eines Klimarisikomodells durch ein VersicherungsunternehmenEin Versicherungsunternehmen kann verschiedene Klimarisikomodelle nutzen, um die Auswirkungen eines potenziellen Anstiegs des Meeresspiegels auf sein Geschäftsmodell abzuschätzen. Hier sind die Schritte und Modellierungsansätze detailliert beschrieben:

• Szenarioanalyse: Bei der Szenarioanalyse wird untersucht, wie sich verschiedene mögliche Zukunftsszenarien auf das Geschäftsmodell des Unternehmens auswirken könnten. Das Versicherungsunternehmen kann verschiedene Anstiege des Meeresspiegels simulieren (z.B. 0,5 Meter, 1 Meter, 2 Meter) und bewerten, wie sich diese Anstiege auf die Versicherungsforderungen auswirken würden. Dabei werden historische Daten und wissenschaftliche Projektionen genutzt, um realistische Szenarien zu entwickeln. Diese Analyse hilft, potenzielle Risiken zu identifizieren und Strategien zur Anpassung zu entwickeln.
• Stress-Tests: Stress-Tests dienen dazu, die Widerstandsfähigkeit des Unternehmens unter extremen Bedingungen zu bewerten. Das Versicherungsunternehmen könnte simulieren, welche Auswirkungen ein plötzlicher und signifikanter Anstieg des Meeresspiegels auf seine Kapitalreserven und Liquidität hätte. Diese Tests ermöglichen eine Bewertung der finanziellen Stabilität und der Fähigkeit des Unternehmens, seine Verpflichtungen gegenüber den Versicherten auch unter extremen Bedingungen zu erfüllen. Regulierungsvorschriften, wie Solvency II, erfordern oft solche Stress-Tests, um sicherzustellen, dass genügend Kapitalreserven vorhanden sind.
• Probabilistische Risikomodellierung: Dieser Ansatz quantifiziert die Wahrscheinlichkeiten verschiedener risikoreicher Ereignisse und deren potenziellen finanziellen Auswirkungen. Das Versicherungsunternehmen kann probabilistische Modelle verwenden, um die Wahrscheinlichkeit und das finanzielle Ausmaß von Schadensfällen durch einen Anstieg des Meeresspiegels abzuschätzen. Historische Schadenereignisse, Wetterdaten und zukünftige Klimaprognosen werden genutzt, um statistische Modelle zu entwickeln, die die Risikoverteilung für verschiedene Szenarien darstellen. Diese Modelle helfen dem Unternehmen, Prämien kalkulieren, Rückstellungen bilden und das Risikomanagement optimieren zu können.

Durch die Verwendung dieser Modellierungsansätze kann ein Versicherungsunternehmen umfassende Erkenntnisse über die potenziellen finanziellen Auswirkungen eines Meeresspiegelanstiegs gewinnen und entsprechende Maßnahmen zur Risikominderung und Anpassung entwickeln. Dies umfasst nicht nur die Festlegung von Prämien und Rückstellungen, sondern auch strategische Entscheidungen zur Risikodiversifizierung, Investitionen in Risikominderungsmaßnahmen und die Einhaltung regulatorischer Anforderungen.

b)

Eine Versicherungsgesellschaft in Deutschland muss ihre Kapitalreserven gemäß den Solvency II Anforderungen anpassen. Beschreibe, wie klimabezogene Risiken in diese Kapitalberechnung einfließen könnten und welche Rolle die BaFin bei der Überwachung spielt.

Lösung:

Anpassung der Kapitalreserven einer Versicherungsgesellschaft gemäß Solvency II unter Berücksichtigung klimabezogener RisikenDie Solvency II-Richtlinie setzt hohe Standards für das Risikomanagement von Versicherungsgesellschaften in der EU, einschließlich Deutschlands. Sie verlangt von den Versicherern, ausreichende Kapitalreserven zu halten, um potenzielle Verluste abzudecken, einschließlich solcher, die durch klimabezogene Risiken verursacht werden könnten. Hier ist eine detaillierte Beschreibung, wie klimabezogene Risiken in die Kapitalberechnung einfließen und welche Rolle die BaFin spielt:

• Identifikation klimabezogener Risiken: Versicherungsunternehmen müssen zunächst die klimabezogenen Risiken identifizieren, die ihr Geschäft betreffen könnten. Diese Risiken umfassen direkte physische Risiken wie Schäden durch Naturkatastrophen (z.B. Überschwemmungen, Stürme) sowie langfristige klimatische Veränderungen (z.B. Anstieg des Meeresspiegels). Zusätzlich müssen transitorische Risiken berücksichtigt werden, die durch den Übergang zu einer CO2-armen Wirtschaft entstehen, wie z.B. Änderungen in der Gesetzgebung oder technologische Wandel.
• Risikomodellierung: Die identifizierten Risiken müssen durch verschiedene Risikomodellierungstechniken bewertet werden. Dies umfasst die Szenarioanalyse, Stress-Tests und die probabilistische Risikomodellierung. Durch diese Modelle können Versicherer abschätzen, welche finanziellen Auswirkungen klimabezogene Risiken auf ihre Kapitalreserven haben könnten.
• Integration in die Kapitalberechnung: Die Ergebnisse der Risikomodellierung fließen in die Solvenzkapitalanforderung (SCR) ein, die gemäß Solvency II berechnet wird. Diese Anforderungen stellen sicher, dass die Versicherung über ausreichende Eigenmittel verfügt, um die Risiken, einschließlich der klimabezogenen Risiken, abzudecken. Die Kapitalberechnung erfolgt auf Basis des Gesamtbildes aller Risiken, der Wechselbeziehungen zwischen diesen Risiken und der erforderlichen Risikopuffer.
  • Standardformel: Eine vorgegebene Berechnungsmethode kann verwendet werden, die eine strukturierte und standardisierte Bewertung ermöglicht.
  • Interne Modelle: Versicherer können auch interne Modelle entwickeln und nutzen, die speziell auf ihre individuellen Risikoprofile zugeschnitten sind, sofern diese Modelle von den Aufsichtsbehörden genehmigt werden.
• Rolle der BaFin: Die Bundesanstalt für Finanzdienstleistungsaufsicht (BaFin) spielt eine zentrale Rolle bei der Überwachung und Durchsetzung der Solvency II-Anforderungen in Deutschland.
  • Genehmigung interner Modelle: Die BaFin überprüft und genehmigt die internen Modelle der Versicherer, um sicherzustellen, dass sie die aufsichtsrechtlichen Anforderungen erfüllen und robust genug sind, um klimabezogene Risiken realistisch abzubilden.
  • Überwachung der Risikomanagementpraktiken: Die BaFin überwacht kontinuierlich die Risikomanagementpraktiken der Versicherungsunternehmen, um sicherzustellen, dass klimabezogene Risiken angemessen identifiziert, bewertet und in die Kapitalberechnung integriert werden.
  • Berichterstattung: Versicherer sind verpflichtet, regelmäßig Berichte über ihre Risikomanagementpraktiken und Kapitaladäquanz an die BaFin zu übermitteln. Diese Berichte umfassen auch Informationen zu klimabezogenen Risiken und deren finanziellen Auswirkungen.

Durch diese Maßnahmen wird sichergestellt, dass Versicherungsgesellschaften in Deutschland auch klimabezogene Risiken adäquat berücksichtigen und über ausreichende Kapitalreserven verfügen, um potenzielle Verluste abzudecken, und somit ihre Solvenz und Stabilität langfristig gewährleisten.

c)

Unter der Annahme, dass ein Versicherungsunternehmen die Zukunft mit zwei Klimaszenarien bewertet:

• Szenario A: Mildes Klimarisiko mit jährlichen Zusatzkosten von 2 Millionen Euro.
• Szenario B: Schweres Klimarisiko mit jährlichen Zusatzkosten von 10 Millionen Euro.

Berechne die durchschnittlichen jährlichen Zusatzkosten über 10 Jahre für das Unternehmen, falls mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% Szenario A und mit einer Wahrscheinlichkeit von 30% Szenario B eintritt. Gib die mathematischen Berechnungen detailliert an.

Lösung:

Berechnung der durchschnittlichen jährlichen Zusatzkosten über 10 JahreAngenommen, ein Versicherungsunternehmen bewertet die Zukunft mit zwei Klimaszenarien mit den folgenden Informationen:

• Szenario A: Mildes Klimarisiko mit jährlichen Zusatzkosten von 2 Millionen Euro.
• Szenario B: Schweres Klimarisiko mit jährlichen Zusatzkosten von 10 Millionen Euro.

Die Wahrscheinlichkeiten für die Szenarien sind:

• Szenario A: 70% Wahrscheinlichkeit.
• Szenario B: 30% Wahrscheinlichkeit.

Um die durchschnittlichen jährlichen Zusatzkosten zu berechnen, verwenden wir die Wahrscheinlichkeiten der beiden Szenarien und deren Kosten. Die Formel dafür lautet:

• Erwartungswert (E) = (P(Szenario A) * Kosten(Szenario A)) + (P(Szenario B) * Kosten(Szenario B))

Wobei:

• P(Szenario A) = 0,70
• P(Szenario B) = 0,30
• Kosten(Szenario A) = 2 Millionen Euro
• Kosten(Szenario B) = 10 Millionen Euro

Setzen wir diese Werte in die Gleichung ein:

• E = (0,70 * 2 Millionen Euro) + (0,30 * 10 Millionen Euro)

Berechnen wir die einzelnen Terme:

• (0,70 * 2 Millionen Euro) = 1,4 Millionen Euro
• (0,30 * 10 Millionen Euro) = 3 Millionen Euro
• E = 1,4 Millionen Euro + 3 Millionen Euro = 4,4 Millionen Euro

Die durchschnittlichen jährlichen Zusatzkosten über 10 Jahre betragen 4,4 Millionen Euro.