Applied empirical health economics - Cheatsheet

Endogenität und ihre Auswirkungen auf Schätzungen in ökonometrischen Modellen

Definition:

Endogenität: Situation, in der eine oder mehrere erklärende Variablen mit dem Fehlerterm korreliert sind; führt zu verzerrten und inkonsistenten Schätzungen.

Details:

• Hauptursachen: Umgekehrte Kausalität, ausgelassene Variablen, Messfehler
• Folgen: Verzerrte und inkonsistente Schätzungen der Koeffizienten
• Tests: Durbin-Wu-Hausman-Test für Endogenität
• Lösungen: Instrumentalvariablen-Schätzung (IV), Kontrollvariablen, Paneldatenmodelle
• Beispiel: Bei der Untersuchung des Zusammenhangs zwischen Einkommen und Gesundheitsausgaben; umgekehrte Kausalität möglich

Konstruktion und Auswahl von Instrumentalvariablen

Definition:

Bau und Auswahl relevanter Instrumentalvariablen (IVs) für Endogenitätsprobleme in empirischen Modellen.

Details:

• IV muss exogen sein: keine Korrelation mit Fehlerterm.
• IV muss relevant sein: stark korreliert mit der endogenen erklärenden Variable.
• Overidentifikationstest: Überprüfen, ob zusätzliche IVs valide sind (Sargan-Test).
• Hausman-Test: Vergleich von IV- und OLS-Schätzer, um Endogenität zu prüfen.
• Formel für IV-Schätzer: \ \ \[ \hat{\beta}_{IV} = \left( Z'X \right)^{-1} Z'y \]

Relevanz- und Exogenitätstests für Instrumentalvariablen

Definition:

Tests zur Überprüfung, ob Instrumente relevant und exogen sind.

Details:

• Relevanztest (F-Test): Überprüft, ob die Instrumente signifikant mit den endogenen Regressoren korreliert sind.
• Formel: \[ Y = X\beta + Z\theta + u \ H_0: \theta = 0\]
• Exogenitätstest (Hansen-J-Test): Prüft, ob die Instrumente unkorreliert mit dem Fehlerterm sind.
• Formel: \[ J = n \times R^2\]

Erkennung und Behebung von Heteroskedastizität mittels robuster Standardfehler

Definition:

Erkennung und Behebung von Heteroskedastizität durch die Verwendung robuster Standardfehler

Details:

• Heteroskedastizität: Varianz der Fehlerterme ist nicht konstant
• Führt zu ineffizienten Schätzungen und verfälschten Testergebnissen
• Breusch-Pagan-Test oder White-Test zur Erkennung verwenden
• Robuste Standardfehler korrigieren die Varianz-Kovarianz-Matrix
• Formel für robuste Standardfehler: \(V(\beta)= (X'X)^{-1}X'SX(X'X)^{-1}\)

Breusch-Pagan-Test zur Diagnose von Heteroskedastizität

Definition:

Test zur Überprüfung, ob die Varianz der Residuen eines Regressionsmodells konstant ist

Details:

• Formel für die OLS-Residuen: \(\tilde{u_i} = y_i - X_i'\tilde{\beta}\)
• Regressiere die quadrierten Residuen auf die erklärenden Variablen: \(\tilde{u_i}^2 = \alpha_0 + \alpha_1 X_{i1} + ... + \alpha_k X_{ik} + v_i\)
• Teste die Nullhypothese: \(H_0: \alpha_1 = ... = \alpha_k = 0\) (keine Heteroskedastizität)
• Berechne den BP-Teststatistik: \( BP = \frac{NR^2}{2}\), folgt einer \( \chi^2 \)-Verteilung mit \(k\) Freiheitsgraden
• Vergleiche BP-Wert mit kritischem Wert aus \( \chi^2 \)-Tabelle

Grundprinzipien und Implementierung der Maximum-Likelihood-Schätzung

Definition:

Methode zur Schätzung der Parameter eines statistischen Modells durch Maximierung der Likelihood-Funktion, die die Wahrscheinlichkeit der beobachteten Daten darstellt.

Details:

• Formuliere die Likelihood-Funktion: \( L(\theta) = P(X_1 = x_1, X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n | \theta) \)
• Maximierung der Likelihood durch Ableitung: \( \frac{\partial L(\theta)}{\partial \theta} = 0 \)
• Log-Likelihood verwenden: \( \ell(\theta) = \ln(L(\theta)) \)
• Berechne Maximum durch Lösung der Gleichung: \( \frac{\partial \ell(\theta)}{\partial \theta} = 0 \)
• Häufige Anwendung in der Regressionsanalyse und statistischen Inferenz

Anwendungen der Panel-Daten-Analyse auf Gesundheitsdaten

Definition:

Panel-Daten-Analyse verwendet, um Änderungen über die Zeit und zwischen Individuen in Gesundheitsdaten zu untersuchen. Hilfreich zur Identifikation kausaler Zusammenhänge und Behandlungseffekten.

Details:

• Paneldaten: Daten, die mehrere Zeitpunkte und Beobachtungen pro Individuum umfassen.
• Vorteile: Kontrolliert für unbeobachtete Heterogenität, ermöglicht dynamische Analysen.
• Modelle: Fixed Effects (FE), Random Effects (RE), Dynamic Panel Models.
• FE: \[ Y_{it} = \beta X_{it} + u_i + \theta_t + \tilde{u}_{it} \] - ideal für zeitinvariante Effekte.
• RE: \[ Y_{it} = \beta X_{it} + u_i + \theta_t + u_{it} \] - Annahme von unkorrelierten Effekten.
• Hausman-Test: Testet, ob FE oder RE Modell geeigneter ist.
• Anwendungen: Evaluation von Gesundheitspolitiken, Medikamentenwirksamkeit, Gesundheitsinterventionen.