Business simulation: risk- and value-oriented management of firms - Exam

Aufgabe 1)

Angenommen, Du bist der Finanzanalyst eines Unternehmens. In den letzten Quartalen hat sich ein Abwärtstrend in Bezug auf die finanzielle Leistung des Unternehmens gezeigt. Dein Ziel ist es, eine umfassende Analyse der finanziellen Gesundheit und Leistung des Unternehmens durchzuführen, um Empfehlungen für die Geschäftsführung abzuleiten.

Für das vergangene Geschäftsjahr stehen Dir folgende Daten zur Verfügung:

• Flüssige Mittel: 200.000€
• Forderungen: 150.000€
• Kurzfristige Verbindlichkeiten: 300.000€
• Eigenkapital: 500.000€
• Gesamtkapital: 1.000.000€
• Jahresüberschuss: 50.000€
• Fremdkapitalzinsen: 20.000€
• Fremdkapital: 500.000€
• Net Operating Profit After Taxes (NOPAT): 70.000€
• Kapitalzinssatz: 8%

a)

Berechne den Liquiditätsgrad 1 und den Liquiditätsgrad 2 des Unternehmens und interpretiere die Ergebnisse im Hinblick auf die kurzfristige Zahlungsfähigkeit des Unternehmens.

• Liquiditätsgrad 1: \[ \text{Liquiditätsgrad 1} = \frac{\text{Flüssige Mittel}}{\text{Kurzfristige Verbindlichkeiten}} \]
• Liquiditätsgrad 2: \[ \text{Liquiditätsgrad 2} = \left( \frac{\text{Flüssige Mittel} + \text{Forderungen}}{\text{Kurzfristige Verbindlichkeiten}} \right) \times 100\% \]

Lösung:

Um die kurzfristige Zahlungsfähigkeit des Unternehmens zu analysieren, werden wir den Liquiditätsgrad 1 und den Liquiditätsgrad 2 berechnen. Diese Kennzahlen geben Aufschluss darüber, ob das Unternehmen in der Lage ist, seine kurzfristigen Verbindlichkeiten durch vorhandene flüssige Mittel und Forderungen zu decken.

1. Berechnung des Liquiditätsgrades 1:

• Formel: \( \text{Liquiditätsgrad 1} = \frac{\text{Flüssige Mittel}}{\text{Kurzfristige Verbindlichkeiten}} \)
• Eingesetzte Werte: \( \text{Liquiditätsgrad 1} = \frac{200.000€}{300.000€} \)
• Ergebnis: \( \text{Liquiditätsgrad 1} = \frac{2}{3} = 0{,}67 \text{ oder } 67\text{\%} \)

Interpretation des Liquiditätsgrades 1: Ein Liquiditätsgrad von 67\% bedeutet, dass das Unternehmen 67\% seiner kurzfristigen Verbindlichkeiten durch flüssige Mittel decken kann. Dies liegt unter dem als solide angesehenen Richtwert von 100\%, was darauf hinweist, dass das Unternehmen potenziell Schwierigkeiten haben könnte, seine kurzfristigen Verbindlichkeiten ausschließlich durch flüssige Mittel zu begleichen.

2. Berechnung des Liquiditätsgrades 2:

• Formel: \( \text{Liquiditätsgrad 2} = \left( \frac{\text{Flüssige Mittel} + \text{Forderungen}}{\text{Kurzfristige Verbindlichkeiten}} \right) \times 100\% \)
• Eingesetzte Werte: \( \text{Liquiditätsgrad 2} = \left( \frac{200.000€ + 150.000€}{300.000€} \right) \times 100\% \)
• Ergebnis: \( \text{Liquiditätsgrad 2} = \left( \frac{350.000€}{300.000€} \right) \times 100\% = 1{,}17 \text{ oder } 117\% \)

Interpretation des Liquiditätsgrades 2: Ein Liquiditätsgrad von 117\% bedeutet, dass das Unternehmen seine kurzfristigen Verbindlichkeiten zu 117\% durch flüssige Mittel und Forderungen decken kann. Dies übertrifft den als solide angesehenen Richtwert von 100\% und deutet darauf hin, dass das Unternehmen kurzfristig zahlungsfähig ist und genug Ressourcen hat, um seine kurzfristigen Verbindlichkeiten auszugleichen.

b)

Berechne die Eigenkapitalrendite und die Gesamtkapitalrendite des Unternehmens. Erkläre, was diese Kennzahlen über die Rentabilität des Unternehmens aussagen.

• Eigenkapitalrendite: \[ \text{Eigenkapitalrendite} = \left( \frac{\text{Jahresüberschuss}}{\text{Eigenkapital}} \right) \times 100\% \]
• Gesamtkapitalrendite: \[ \text{Gesamtkapitalrendite} = \left( \frac{\text{Gewinn} + \text{Fremdkapitalzinsen}}{\text{Gesamtkapital}} \right) \times 100\% \]

Lösung:

Um die Rentabilität des Unternehmens zu analysieren, berechnen wir die Eigenkapitalrendite und die Gesamtkapitalrendite. Diese Kennzahlen geben Aufschluss darüber, wie effizient das Unternehmen das eingesetzte Kapital nutzt, um Gewinne zu erzielen.

1. Berechnung der Eigenkapitalrendite:

• Formel: \( \text{Eigenkapitalrendite} = \left( \frac{\text{Jahresüberschuss}}{\text{Eigenkapital}} \right) \times 100\%\)
• Eingesetzte Werte: \( \text{Eigenkapitalrendite} = \left( \frac{50.000€}{500.000€} \right) \times 100\%\)
• Ergebnis: \( \text{Eigenkapitalrendite} = \left( \frac{1}{10} \right) \times 100\% = 10\%\)

Interpretation der Eigenkapitalrendite: Eine Eigenkapitalrendite von 10\% zeigt, dass das Unternehmen für jeden investierten Euro Eigenkapital einen Gewinn von 10 Cent erzielt. Diese Kennzahl gibt einen Hinweis darauf, wie gut das Unternehmen das Eigenkapital nutzt, um Gewinne zu generieren.

2. Berechnung der Gesamtkapitalrendite:

• Formel: \( \text{Gesamtkapitalrendite} = \left( \frac{\text{Gewinn} + \text{Fremdkapitalzinsen}}{\text{Gesamtkapital}} \right) \times 100\%\)
• Eingesetzte Werte: \( \text{Gesamtkapitalrendite} = \left( \frac{50.000€ + 20.000€}{1.000.000€} \right) \times 100\%\)
• Ergebnis: \( \text{Gesamtkapitalrendite} = \left( \frac{70.000€}{1.000.000€} \right) \times 100\% = 7\%\)

Interpretation der Gesamtkapitalrendite: Eine Gesamtkapitalrendite von 7\% zeigt, dass das Unternehmen für jeden investierten Euro Gesamtkapital einen Gewinn von 7 Cent erzielt. Diese Kennzahl gibt einen Hinweis darauf, wie effizient das Unternehmen das gesamte eingesetzte Kapital (Eigen- und Fremdkapital) zur Generierung von Gewinnen nutzt.

c)

Berechne den Verschuldungsgrad des Unternehmens und diskutiere, wie dieser das Risiko der Fremdfinanzierung widerspiegelt.

• Verschuldungsgrad: \[ \text{Verschuldungsgrad} = \frac{\text{Fremdkapital}}{\text{Eigenkapital}} \]

Lösung:

Der Verschuldungsgrad eines Unternehmens gibt an, wie hoch das Verhältnis von Fremdkapital zu Eigenkapital ist. Diese Kennzahl ist wichtig, um das Risiko der Fremdfinanzierung zu beurteilen.

Berechnung des Verschuldungsgrades:

• Formel: \( \text{Verschuldungsgrad} = \frac{\text{Fremdkapital}}{\text{Eigenkapital}} \)
• Eingesetzte Werte: \( \text{Verschuldungsgrad} = \frac{500.000€}{500.000€} \)
• Ergebnis: \( \text{Verschuldungsgrad} = 1 \text{ oder } 100\% \)

Interpretation des Verschuldungsgrades: Ein Verschuldungsgrad von 1 (oder 100\%) bedeutet, dass das Unternehmen genauso viel Fremdkapital wie Eigenkapital verwendet. Dies zeigt ein ausgewogenes Verhältnis von Fremd- zu Eigenfinanzierung.

Diskussion: Ein hoher Verschuldungsgrad kann das finanzielle Risiko des Unternehmens erhöhen, da hohe Fremdkapitalquoten bedeuten, dass das Unternehmen mehr Zins- und Tilgungszahlungen leisten muss. Ein Verschuldungsgrad von 100\% ist noch als moderat zu betrachten. Es ist wichtig, dass das Unternehmen in der Lage ist, seine Schuldendienstleistungen aus den laufenden Erträgen zu bedienen.

d)

Berechne den Economic Value Added (EVA) des Unternehmens für das vergangene Geschäftsjahr und analysiere, welche Aussagen diese Kennzahl über die Wertschöpfung des Unternehmens ermöglicht.

• Economic Value Added (EVA): \[ \text{EVA} = \text{Net Operating Profit After Taxes (NOPAT)} - (\text{Kapital} \times \text{Kapitalzinssatz}) \]

Lösung:

Der Economic Value Added (EVA) ist eine Kennzahl, die angibt, ob ein Unternehmen in der Lage ist, einen Wert zu generieren, der über die Kosten des gesamten eingesetzten Kapitals hinausgeht. EVA zeigt also, ob das Unternehmen wirtschaftlichen Wert für seine Investoren schafft.

Berechnung des EVA:

• Formel: \( \text{EVA} = \text{Net Operating Profit After Taxes (NOPAT)} - (\text{Kapital} \times \text{Kapitalzinssatz}) \)
• Kapital: Eigenkapital + Fremdkapital = 500.000€ + 500.000€ = 1.000.000€
• Eingesetzte Werte: \( \text{EVA} = 70.000€ - (1.000.000€ \times 0,08) \)
• Ergebnis: \( \text{EVA} = 70.000€ - 80.000€ = -10.000€ \)

Analyse des EVA: Ein negativer EVA von -10.000€ bedeutet, dass das Unternehmen nicht in der Lage ist, die Kosten des eingesetzten Kapitals zu decken. Dies weist darauf hin, dass das Unternehmen in dem vergangenen Geschäftsjahr keinen zusätzlichen wirtschaftlichen Wert geschaffen hat, sondern Wert vernichtet hat. Dies ist ein Signal dafür, dass das Management Maßnahmen ergreifen muss, um die Rentabilität zu verbessern und sicherzustellen, dass die Rendite auf das eingesetzte Kapital die Kapitalkosten übersteigt.

Aufgabe 2)

Angenommen, Du bist Risikomanager bei einem großen Versicherungsunternehmen. Dein Unternehmen muss sich auf verschiedene Szenarien vorbereiten, um finanzielle Stabilität sicherzustellen und die regulatorischen Anforderungen von Solvency II zu erfüllen. Deine Aufgabe ist es, ein umfassendes Risikomanagementkonzept zu erstellen, das sowohl die Identifikation und Bewertung von Risiken als auch die Implementierung von Absicherungsmaßnahmen umfasst.

b)

Angenommen, Dein Unternehmen hat ein Portfolio von Versicherungsverträgen mit einem geschätzten Value at Risk (VaR) von 100 Millionen Euro bei einem Konfidenzniveau von 95%. Berechne den erwarteten Verlust (EL), wenn im Durchschnitt 5% der Verluste den VaR überschreiten. Diskutiere anschließend, wie Rückversicherung und Diversifikation als Maßnahmen zur Risikominderung eingesetzt werden können. Verwende mathematische Formeln, um die Berechnungen zu verdeutlichen.

Lösung:

Berechnung des erwarteten Verlusts (EL) und Diskussion von Maßnahmen zur Risikominderung Gegeben:

• Ein Portfolio von Versicherungsverträgen
• Geschätzter Value at Risk (VaR) = 100 Millionen Euro bei einem Konfidenzniveau von 95%
• Im Durchschnitt überschreiten 5% der Verluste den VaR

Berechnung des erwarteten Verlusts (EL)

Der erwartete Verlust (EL) für die Fälle, in denen die Verluste den VaR überschreiten, kann als bedingter Erwartungswert (Conditional Value at Risk, CVaR) oder Expected Shortfall (ES) berechnet werden. Da im Durchschnitt 5% der Verluste den VaR überschreiten, handelt es sich hierbei um ein 95%-Quantil.

Die Formel für den Expected Shortfall (ES) bei einem Konfidenzniveau von 95% lautet:

Aufgabe 3)

Ein mittelständisches Unternehmen, welches in der Herstellung von Konsumgütern tätig ist, möchte sicherstellen, dass seine Geschäftstätigkeiten sowohl nachhaltig als auch langfristig rentabel sind. Hierzu plant das Managementteam, ESG-Kriterien (Environmental, Social, Governance) zu integrieren und eine Nachhaltigkeitsbewertung durchzuführen. Um dies zu erreichen, müssen verschiedene Aspekte der ESG-Kriterien bewertet werden, und es sollen Maßnahmen entwickelt werden, um potenzielle Risiken zu minimieren.

a)

Aufgabe 1: Erläutere die Wichtigkeit der Integration von ESG-Kriterien in die Geschäftsstrategie des Unternehmens. Nenne und beschreibe mindestens drei spezifische Vorteile, die das Unternehmen durch die Berücksichtigung von ESG-Kriterien erzielen könnte.

Lösung:

Aufgabe 1: Erläutere die Wichtigkeit der Integration von ESG-Kriterien in die Geschäftsstrategie des Unternehmens. Nenne und beschreibe mindestens drei spezifische Vorteile, die das Unternehmen durch die Berücksichtigung von ESG-Kriterien erzielen könnte.

• Image und Reputation: Unternehmen, die ESG-Kriterien in ihre Geschäftsstrategie integrieren, verbessern ihr öffentliches Image und ihre Reputation. Dies kann dazu führen, dass sie bei Kunden und Investoren einen positiveren Eindruck hinterlassen, was wiederum den Umsatz und die Investitionsmöglichkeiten erhöhen kann.
• Risikomanagement: Durch die Berücksichtigung von ESG-Kriterien können Unternehmen potenzielle Risiken frühzeitig erkennen und geeignete Gegenmaßnahmen entwickeln. Beispielsweise können ökologische Risiken durch nachhaltige Produktionsmethoden gemindert werden, was langfristig Kosten spart und das Unternehmen vor rechtlichen und finanziellen Sanktionen schützt.
• Langfristige Rentabilität: Unternehmen, die ESG-Praktiken umsetzen, sind oft besser für die Zukunft aufgestellt. Nachhaltige Geschäftsmodelle sind häufig widerstandsfähiger gegenüber Marktveränderungen und beinhalten innovative Ansätze, die langfristiges Wachstum fördern. Zudem können soziale Verantwortung und gute Unternehmensführung die Mitarbeiterzufriedenheit und -bindung verbessern, was die Produktivität und Effizienz steigert.

b)

Aufgabe 2: Berechne den Einfluss der Reduktion von CO2-Emissionen auf die Gesamtkosten des Unternehmens. Gegeben sei der Umstand, dass das Unternehmen seine jährlichen CO2-Emissionen um 20% reduzieren kann, was zu einer Einsparung von 500.000 € pro Jahr führt. Zusätzlich sind einmalige Investitionskosten von 2.000.000 € für die Reduktion der Emissionen erforderlich. Berechne die Amortisationszeit der Investition.

Formel zur Berechnung der Amortisationszeit:

\text{Amortisationszeit} = \frac{\text{Investitionskosten}}{\text{jährliche Kosteneinsparungen}}

Hinweis: Versuche die Ergebnisse so genau wie möglich zu präsentieren.

Lösung:

Aufgabe 2: Berechne den Einfluss der Reduktion von CO2-Emissionen auf die Gesamtkosten des Unternehmens. Gegeben sei der Umstand, dass das Unternehmen seine jährlichen CO2-Emissionen um 20% reduzieren kann, was zu einer Einsparung von 500.000 € pro Jahr führt. Zusätzlich sind einmalige Investitionskosten von 2.000.000 € für die Reduktion der Emissionen erforderlich. Berechne die Amortisationszeit der Investition.

Formel zur Berechnung der Amortisationszeit:

\(\text{Amortisationszeit} = \frac{\text{Investitionskosten}}{\text{jährliche Kosteneinsparungen}}\)

Ermitteln wir die Amortisationszeit durch Einsetzen der gegebenen Werte in die Formel:

• Investitionskosten = 2.000.000 €
• jährliche Kosteneinsparungen = 500.000 €

Die Amortisationszeit beträgt daher:

\[\text{Amortisationszeit} = \frac{2.000.000 \text{ €}}{500.000 \text{ €/Jahr}} = 4 \text{ Jahre}\]

Die Investition wird sich also in 4 Jahren amortisieren.

c)

Aufgabe 3: Analysiere die Rolle der Unternehmensführung (Governance) im Kontext der ESG-Kriterien. Erkläre anhand eines Beispiels, wie Transparenz und ethisches Verhalten in der Unternehmensführung dazu beitragen können, das Risiko von Unternehmensskandalen zu verringern und das Vertrauen der Stakeholder zu stärken.

Lösung:

Aufgabe 3: Analysiere die Rolle der Unternehmensführung (Governance) im Kontext der ESG-Kriterien. Erkläre anhand eines Beispiels, wie Transparenz und ethisches Verhalten in der Unternehmensführung dazu beitragen können, das Risiko von Unternehmensskandalen zu verringern und das Vertrauen der Stakeholder zu stärken.

Die Unternehmensführung, oder Governance, ist ein wesentlicher Bestandteil der ESG-Kriterien und spielt eine zentrale Rolle in der Sicherstellung der Nachhaltigkeit und Rentabilität eines Unternehmens. Eine gute Governance umfasst die Implementierung von transparenten und ethischen Verhaltensweisen, die dazu beitragen können, das Risiko von Unternehmensskandalen zu minimieren und das Vertrauen der Stakeholder - wie Aktionäre, Kunden, Mitarbeiter und die Öffentlichkeit - zu stärken.

• Transparenz: Transparenz in der Unternehmensführung bedeutet, dass relevante Informationen offen, klar und genau kommuniziert werden. Dies umfasst beispielsweise die regelmäßige Veröffentlichung von Jahresberichten, Finanzzahlen und wichtigen Entscheidungen des Managements. Ein konkretes Beispiel ist die Offenlegung der Entscheidungsprozesse und Kriterien bei der Auswahl von Lieferanten. Durch die transparente Kommunikation dieser Prozesse können potentielle Interessenkonflikte und Korruptionsrisiken frühzeitig erkannt und vermieden werden.
• Ethisches Verhalten: Ethisches Verhalten in der Unternehmensführung bezieht sich darauf, dass die Entscheidungen und Handlungen des Unternehmens im Einklang mit ethischen Grundsätzen und Werten stehen. Dies beinhaltet Respekt vor gesetzlichen Vorschriften, faire Arbeitspraktiken und umweltfreundliche Geschäftsabläufe. Ein Beispiel ist die Implementierung eines Ethikkodexes, der Verhaltensregeln und ethische Standards für alle Mitarbeiter festlegt. Durch die Einhaltung dieser Standards wird das Vertrauen der Stakeholder gestärkt und das Risiko von Fehlverhalten und Skandalen reduziert.

Beispiel:

Ein multinationales Unternehmen implementierte interne Anti-Korruptions- und Anti-Bestechungsrichtlinien und hat zudem ein internes Whistleblower-System eingeführt, das es Mitarbeitern ermöglicht, anonym mögliche Missstände oder illegale Aktivitäten zu melden. Durch diese Maßnahmen konnte das Unternehmen mehrere potenzielle Skandale vermeiden, das Vertrauen seiner Stakeholder stärken und eine positive Reputation aufbauen. Dies zeigt deutlich, dass Transparenz und ethisches Verhalten in der Unternehmensführung entscheidend sind, um Unternehmensrisiken zu minimieren und das Vertrauen in die Geschäftstätigkeiten des Unternehmens zu festigen.

Aufgabe 4)

Ein Unternehmen möchte mehrere potenzielle zukünftige Entwicklungen analysieren, um sowohl Risiken als auch Chancen zu identifizieren und fundierte Entscheidungen zu treffen. Hierbei werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Modellierung von Unsicherheiten und verschiedene Szenarien berücksichtigt. Es werden zudem Monte-Carlo-Simulationen eingesetzt, um die Auswirkungen dieser Unsicherheiten auf das Unternehmen zu verstehen. Das Unternehmen berechnet dabei den Erwartungswert (E(X)) und die Varianz (\text{Var}(X)) der möglichen Ergebnisse.

a)

Das Unternehmen plant eine Investition in Höhe von 1.000.000 €. Die zukünftigen Einnahmen aus dieser Investition sind unsicher und können durch eine Normalverteilung mit einem Erwartungswert von 1.200.000 € und einer Standardabweichung von 200.000 € modelliert werden.

• Bestimme den Erwartungswert (E(X)) und die Varianz (\text{Var}(X)) der Einnahmen aus dieser Investition.
• Welche Wahrscheinlichkeit besteht, dass die Einnahmen weniger als die Investitionssumme betragen?

Lösung:

Hauptkontext der Übung:

Ein Unternehmen möchte mehrere potenzielle zukünftige Entwicklungen analysieren, um sowohl Risiken als auch Chancen zu identifizieren und fundierte Entscheidungen zu treffen. Hierbei werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Modellierung von Unsicherheiten und verschiedene Szenarien berücksichtigt. Es werden zudem Monte-Carlo-Simulationen eingesetzt, um die Auswirkungen dieser Unsicherheiten auf das Unternehmen zu verstehen. Das Unternehmen berechnet dabei den Erwartungswert (E(X)) und die Varianz (\text{Var}(X)) der möglichen Ergebnisse.

Subübung:

Das Unternehmen plant eine Investition in Höhe von 1.000.000 €. Die zukünftigen Einnahmen aus dieser Investition sind unsicher und können durch eine Normalverteilung mit einem Erwartungswert von 1.200.000 € und einer Standardabweichung von 200.000 € modelliert werden.

• Bestimme den Erwartungswert (E(X)) und die Varianz (\text{Var}(X)) der Einnahmen aus dieser Investition.
• Welche Wahrscheinlichkeit besteht, dass die Einnahmen weniger als die Investitionssumme betragen?

Lösung:

1. Bestimmung des Erwartungswertes (E(X)) und der Varianz (\text{Var}(X)) der Einnahmen aus der Investition:

Es ist gegeben, dass die zukünftigen Einnahmen normalverteilt sind mit einem Erwartungswert von 1.200.000 € und einer Standardabweichung von 200.000 €.

• Erwartungswert:

Der Erwartungswert (E(X)) der Einnahmen ist gegeben durch den Mittelwert der Normalverteilung. Daher ist:

• E(X) = 1.200.000 €

• Varianz (Var(X)):

Die Varianz einer Normalverteilung ist das Quadrat der Standardabweichung. Daher ist:

• \text{Var}(X) = (200.000 €)^2 = 40.000.000.000 €^2 = 4 \times 10^{10}€^2

2. Wahrscheinlichkeit, dass die Einnahmen weniger als die Investitionssumme betragen:

Wir möchten die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Einnahmen (X) unter 1.000.000 € liegen. Das bedeutet, wir suchen P(X < 1.000.000 €).

Da X normalverteilt ist, verwenden wir die Standardisierung, um diese Wahrscheinlichkeit zu berechnen.

Die Standardvariable Z für eine Normalverteilung wird definiert durch:

• Z = \frac{X - \text{Erwartungswert(μ)}}{\text{Standardabweichung}(σ)}

Die entsprechenden Werte für X, μ und σ sind:

• X = 1.000.000 €
• μ = 1.200.000 €
• σ = 200.000 €

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

Z = \frac{1.000.000 € - 1.200.000 €}{200.000 €} = \frac{-200.000 €}{200.000 €} = -1

Nun suchen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die standardisierte Variable Z kleiner als -1 ist, also P(Z < -1).

Diese Wahrscheinlichkeit kann man aus der Standardnormalverteilungstabelle oder durch ein statistisches Programm wie R oder Python oder einen Taschenrechner herausfinden.

P(Z < -1) entspricht etwa 0,1587 oder 15,87%.

Daher beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass die Einnahmen weniger als die Investitionssumme betragen, etwa 15,87%.

Zusammenfassung:

• Der Erwartungswert der Einnahmen aus der Investition beträgt 1.200.000 €.
• Die Varianz beträgt 4 \times 10^{10} €^2.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass die Einnahmen weniger als die Investitionssumme betragen, beträgt etwa 15,87%.

b)

Ein weiteres Szenario betrachtet eine alternative Investition in Höhe von 1.000.000 €, welche durch eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung modelliert wird: einer diskreten Verteilung mit folgenden möglichen Einnahmen und deren Wahrscheinlichkeiten:

• 1.500.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4
• 1.000.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3
• 500.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3

• Berechne den erwarteten Wert (E(X)) und die Varianz (\text{Var}(X)) für diese alternative Investition.
• Vergleiche die beiden Investitionsoptionen anhand ihrer Erwartungswerte und Varianzen. Welche Investition würdest Du aufgrund der Analyse bevorzugen und warum?

Lösung:

Hauptkontext der Übung:

Ein Unternehmen möchte mehrere potenzielle zukünftige Entwicklungen analysieren, um sowohl Risiken als auch Chancen zu identifizieren und fundierte Entscheidungen zu treffen. Hierbei werden Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Modellierung von Unsicherheiten und verschiedene Szenarien berücksichtigt. Es werden zudem Monte-Carlo-Simulationen eingesetzt, um die Auswirkungen dieser Unsicherheiten auf das Unternehmen zu verstehen. Das Unternehmen berechnet dabei den Erwartungswert (\(E(X)\)) und die Varianz (\(\text{Var}(X)\)) der möglichen Ergebnisse.

Subübung:

Ein weiteres Szenario betrachtet eine alternative Investition in Höhe von 1.000.000 €, welche durch eine andere Wahrscheinlichkeitsverteilung modelliert wird: einer diskreten Verteilung mit folgenden möglichen Einnahmen und deren Wahrscheinlichkeiten:

• 1.500.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4
• 1.000.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3
• 500.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3

• Berechne den erwarteten Wert (\(E(X)\)) und die Varianz (\(\text{Var}(X)\)) für diese alternative Investition.
• Vergleiche die beiden Investitionsoptionen anhand ihrer Erwartungswerte und Varianzen. Welche Investition würdest Du aufgrund der Analyse bevorzugen und warum?

Lösung:

1. Berechnung des erwarteten Wertes (\(E(X)\)) und der Varianz (\(\text{Var}(X)\)) für die alternative Investition:

Die möglichen Einnahmen und deren Wahrscheinlichkeiten sind gegeben:

• 1.500.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,4
• 1.000.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3
• 500.000 € mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3

Der Erwartungswert (\(E(X)\)) lässt sich berechnen als:

• \(E(X) = 1.500.000 \text{€} * 0,4 + 1.000.000 \text{€} * 0,3 + 500.000 \text{€} * 0,3\)

Setzen wir die Werte ein:

• \(E(X) = 600.000 \text{€} + 300.000 \text{€} + 150.000 \text{€} = 1.050.000 \text{€}\)

Die Varianz (\(\text{Var}(X)\)) berechnet sich aus:

• \(\text{Var}(X) = \sum (x_i - E(X))^2 * P(x_i)\)

Zuerst berechnen wir die Abweichungen vom Erwartungswert und quadrieren diese:

• \((1.500.000 \text{€} - 1.050.000 \text{€})^2 = (450.000 \text{€})^2 = 202.500.000.000 \text{€}^2\)
• \((1.000.000 \text{€} - 1.050.000 \text{€})^2 = (-50.000 \text{€})^2 = 2.500.000.000 \text{€}^2\)
• \((500.000 \text{€} - 1.050.000 \text{€})^2 = (-550.000 \text{€})^2 = 302.500.000.000 \text{€}^2\)

Jetzt multiplizieren wir diese Werte mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten und summieren alles auf:

• \(\text{Var}(X) = 202.500.000.000 \text{€}^2 * 0,4 + 2.500.000.000 \text{€}^2 * 0,3 + 302.500.000.000 \text{€}^2 * 0,3\)

• \(\text{Var}(X) = 81.000.000.000 \text{€}^2 + 750.000.000 \text{€}^2 + 90.750.000.000 \text{€}^2 = 172.500.000.000 \text{€}^2 = 1,725 \times 10^{11} \text{€}^2\)

2. Vergleich der beiden Investitionsoptionen:

• Erwartungswert und Varianz der ersten Investition:
• Erwartungswert: 1.200.000 €
• Varianz: \(4 * 10^{10} \text{€}^2\)
• Erwartungswert und Varianz der alternativen Investition:
• Erwartungswert: 1.050.000 €
• Varianz: \(1,725 \times 10^{11} \text{€}^2\)

Die erste Investition hat einen höheren Erwartungswert (1.200.000 € im Vergleich zu 1.050.000 €), und auch die Varianz ist deutlich niedriger (\(4 \times 10^{10} \text{€}^2\) im Vergleich zu \(1,725 \times 10^{11} \text{€}^2\)).

Schlussfolgerung: Aufgrund der Analyse würde ich die erste Investition bevorzugen, da sie sowohl einen höheren Erwartungswert als auch eine geringere Varianz aufweist. Dies bedeutet, dass die erste Investition im Durchschnitt höhere Einnahmen generiert und gleichzeitig weniger risikobehaftet ist.