Financial and bank management - Exam

Aufgabe 1)

Ein Finanzinstitut hält ein Portfolio aus festverzinslichen Wertpapieren mit einer nominalen Gesamtsumme von 10 Millionen Euro. Das Portfolio hat eine durchschnittliche Duration von 4 Jahren und eine Convexität von 20. Der aktuelle Marktzinssatz liegt bei 3% pro Jahr. Angenommen, der Marktzinssatz erhöht sich um 50 Basispunkte.

a)

Teilaufgabe 1: Berechne die prozentuale Änderung im Marktwert des Portfolios aufgrund der Zinserhöhung von 50 Basispunkten unter Verwendung der Duration und der Convexität. Gebe den Lösungsweg ausführlich in Formeln und Erklärungen an.

Lösung:

Um die prozentuale Änderung im Marktwert des Portfolios aufgrund der Zinserhöhung zu berechnen, verwenden wir die Dauer- und Konvexitätsformel. Diese Formel hilft uns, die Preisänderung angeschlossener festverzinslicher Wertpapiere bei Zinsänderungen abzuschätzen ungefähr zu berechnen. Die allgemeine Formel für die Preisänderung unter Berücksichtigung der Dauer und Konvexität lautet:

• \[\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \Delta y + \frac{1}{2}C (\Delta y)^2\]

Hier sind die einzelnen Komponenten:

• \(\Delta P\): die Änderung des Preises des Portfolios.
• \(P\): der aktuelle Preis des Portfolios (nominale Gesamtsumme = 10 Millionen Euro).
• \(D_{mod}\): die modifizierte Duration des Portfolios.
• \(\Delta y\): die Änderung des Marktzinssatzes (in Dezimalform).
• \(C\): die Konvexität des Portfolios.

Zuerst berechnen wir die modifizierte Duration. Die modifizierte Duration \(D_{mod}\) wird aus der Macaulay-Duration (die gegebene Duration) berechnet, indem wir durch \((1 + r)\) teilen, wobei \(r\) der aktuelle Marktzinssatz ist:

• \[D_{mod} = \frac{D}{1 + r}\]
• \[D_{mod} = \frac{4}{1 + 0,03} = \frac{4}{1,03} \approx 3,8837\]

Nun, da wir die modifizierte Duration haben, gehen wir zur Berechnung der prozentualen Änderung des Portfoliowertes über. Die Zinserhöhung von 50 Basispunkten entspricht einer Änderung des Marktzinssatzes \(\Delta y\) von 0,005 (50/10.000):

• \(\Delta y = 0,005\)

Setzen wir nun alle Werte in die Formel ein:

• \[\frac{\Delta P}{P} \approx -3,8837 \cdot 0,005 + \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot (0,005)^2\]
• \[= -0,0194185 + \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 0,000025\]
• \[= -0,0194185 + 0,00025\]
• \[= -0,0191685\]

Dies bedeutet, dass die prozentuale Änderung des Marktwerts des Portfolios circa -0,0191685 oder etwa -1,92% beträgt. Das Portfolio wird also durch die Zinserhöhung um 50 Basispunkte um ungefähr 1,92% an Wert verlieren.

b)

Teilaufgabe 2: Diskutiere zwei Hauptkategorien von Marktzinsrisiken, die das Finanzinstitut in dieser Situation betreffen könnten. Erläutere, wie diese Risiken den Wert des Portfolios beeinflussen können.

Lösung:

In der gegebenen Situation, in der sich der Marktzinssatz um 50 Basispunkte erhöht, gibt es zwei Hauptkategorien von Marktzinsrisiken, die das Finanzinstitut betreffen könnten:

• Zinsänderungsrisiko:

Das Zinsänderungsrisiko entsteht durch die Veränderung der Marktzinsen, was zu einer Veränderung des Marktwerts festverzinslicher Wertpapiere führt. In diesem Fall würde die Erhöhung des Marktzinssatzes dazu führen, dass der Wert des gesamten Portfolios sinkt. Dies geschieht, weil festverzinsliche Wertpapiere bei steigenden Zinssätzen weniger attraktiv werden, da neue Emissionen höhere Zinsen bieten. Das Finanzinstitut würde einen Rückgang des Marktwerts seines Portfolios verzeichnen, wie in Teilaufgabe 1 berechnet wurde, dass dieser Rückgang etwa 1,92% beträgt. Dies ist ein unmittelbares finanzielles Risiko für das Institut, da es einen direkten Einfluss auf den Buchwert und den wirtschaftlichen Wert des Portfolios hat.Mathematisch lässt sich dies folgendermaßen ausdrücken:

• \[\Delta P = -D \cdot P \cdot \Delta y + \frac{1}{2} \cdot C \cdot P \cdot (\Delta y)^2\]

Welches in Teilaufgabe 1 ausführlich berechnet wurde.

• Refinanzierungsrisiko:

Das Refinanzierungsrisiko tritt auf, wenn das Finanzinstitut kurz- oder mittelfristig Verbindlichkeiten hat, die es zu einem höheren Zinssatz refinanzieren muss. Wenn der Marktzinssatz steigt, erhöhen sich die Kosten für die Aufnahme neuer Kredite oder die Refinanzierung bestehender Schulden, was die Ertragslage des Instituts negativ beeinflussen kann. Da der aktuelle Marktzinssatz um 50 Basispunkte gestiegen ist, könnte das Institut höhere Zinskosten bei der Beschaffung von Mitteln für den kurzfristigen Einsatz sehen. Diese zusätzlichen Kosten können die Rentabilität des Instituts verringern und möglicherweise die zukünftigen Cashflows belasten.Zusammengefasst:

• Eine Erhöhung der Finanzierungskosten aufgrund höherer Zinsen kann die Gesamtaufwendungen des Instituts erhöhen.
• Der direkte Markteinfluss auf den Buchwert der festverzinslichen Wertpapiere führt zu einem Wertverlust des Portfolios.

Beide Risiken -- das Zinsänderungsrisiko und das Refinanzierungsrisiko -- haben den letztendlichen Einfluss, das finanzielle Gleichgewicht und die zukünftige Rentabilität des Finanzinstituts zu beeinträchtigen.

Aufgabe 2)

Ein Finanzmanager plant, die Risiken eines Portfolios zu bewerten und verschiedene Methoden der Risikomessung und -bewertung anzuwenden. Das Portfolio besteht aus verschiedenen Finanzinstrumenten wie Aktien, Anleihen und Derivaten. Der Manager erwägt die Anwendung der folgenden Methoden: Value at Risk (VaR), Conditional Value at Risk (CVaR), Stresstest und Sensitivitätsanalyse.

a)

(a) Value at Risk (VaR) Berechnung und Interpretation:

Differenziere den maximalen Verlust, den das Portfolio über einen Zeitraum von einem Monat bei einem Konfidenzniveau von 95% erleiden könnte. Zu diesem Zweck wird der Verlust des Portfolios als normalverteilt mit einem erwarteten Wert von 0 und einer Standardabweichung von 20.000 Euro angenommen. Verwende die Formel für VaR und interpretiere das Ergebnis.

Formel:

• \( VaR = \mu + \sigma \cdot z_{\alpha} \)
• Beachte: Für ein Konfidenzniveau von 95% beträgt der z-Wert etwa 1,645.

Lösung:

(a) Value at Risk (VaR) Berechnung und Interpretation:

Um den maximalen Verlust (Value at Risk, VaR) des Portfolios über einen Zeitraum von einem Monat bei einem Konfidenzniveau von 95% zu berechnen, verwenden wir die gegebene Formel:

• VaR = \mu + \sigma \cdot z_{\alpha}
• Beachte: Für ein Konfidenzniveau von 95% beträgt der z-Wert etwa 1,645.

Hierbei gilt:

• \( \mu = 0 \) € (erwarteter Verlust)
• \( \sigma = 20.000 \) € (Standardabweichung des Verlusts)
• \( z_{\alpha} = 1,645 \) (z-Wert bei 95% Konfidenzniveau)

Eingesetzt in die Formel ergibt sich:

\[ \text{VaR} = 0 + 20.000 \cdot 1,645 = 20.000 \cdot 1,645 = 32.900 \, € \]

Interpretation:

Bei einem Konfidenzniveau von 95% bedeutet dies, dass der maximale Verlust des Portfolios über einen Zeitraum von einem Monat nicht mehr als 32.900 € betragen wird. Es gibt also eine 95%ige Wahrscheinlichkeit, dass der Verlust des Portfolios in diesem Zeitraum diesen Betrag nicht überschreiten wird.

b)

(b) Conditional Value at Risk (CVaR) Berechnung und Interpretation:

Berechne und interpretiere den Conditional Value at Risk (CVaR) für das gleiche Portfolio und das gleiche Konfidenzniveau von 95%. Verwende die Formel für CVaR, wobei der Erwartungswert des Verlustes bedingt darauf, dass der Verlust den VaR übersteigt, berechnet wird. Die Formel lautet:

• \( CVaR =\frac{1}{1-\alpha}\int_{ VaR}^{\infty} L f(L) dL \)
• Beachte: Weite die Annahmen der Normalverteilung des Portfolios an die Bedingung für den Anspruch auf CVaR an.

Lösung:

(b) Conditional Value at Risk (CVaR) Berechnung und Interpretation:

Der Conditional Value at Risk (CVaR) oder Expected Shortfall (ES) gibt den durchschnittlichen Verlust an, sofern dieser den Value at Risk (VaR) übersteigt. Für die Berechnung von CVaR bei einem Konfidenzniveau von 95% und unter der Annahme, dass die Verluste normalverteilt sind, verwenden wir die folgende Formel:

• \( CVaR = \frac{1}{1-\alpha} \int_{ VaR}^{\infty} L \, f(L) \, dL \)
• Hierbei ist \( \alpha = 0.95 \) und \( f(L) \) die Dichtefunktion der Normalverteilung.

Um diese Integration durchzuführen, nutzen wir die Eigenschaften der Normalverteilung. Ein bekanntes Resultat für normalverteilte Verluste ist, dass:

• \( CVaR = \mu + \sigma \cdot \frac{f(z_{\alpha})}{1-\alpha} \), wobei \( f(z_{\alpha}) \) die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung bei \( z_{\alpha} \).

Hierbei gilt:

• \( \mu = 0 \) € (erwarteter Verlust)
• \( \sigma = 20.000 \) € (Standardabweichung des Verlusts)
• \( z_{\alpha} = 1,645 \) (z-Wert bei 95% Konfidenzniveau)

Wir benötigen die Dichtefunktion der Normalverteilung bei \( z_{\alpha} = 1,645 \):

• \( f(1,645) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1,645^2}{2}} \approx 0,10312 \)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

\[ CVaR = 0 + 20.000 \cdot \frac{0,10312}{1 - 0,95} = 20.000 \cdot \frac{0,10312}{0,05} = 20.000 \cdot 2,0624 = 41.248 € \]

Interpretation:

Bei einem Konfidenzniveau von 95% bedeutet dies, dass, sofern der Verlust des Portfolios den VaR von 32.900 € überschreitet, der durchschnittliche Verlust darüber hinaus etwa 41.248 € betragen wird. CVaR gibt somit ein detaillierteres Bild der Verluste im Extremfall als VaR.

Aufgabe 3)

Finanzinstrument: DerivateEin Portfolio Manager bei der Invest GmbH möchte sich gegen die Risiken absichern, die mit seiner Aktieninvestition im Wert von 10 Millionen Euro einhergehen. Er überlegt unterschiedliche Arten von Derivaten zu nutzen, wie Optionen, Futures und Swaps. Zudem möchte er bestimmte Märkte spekulativ ausnutzen, um zusätzliche Gewinne zu erzielen. Im Folgenden sind einige Szenarien und Berechnungen für die Absicherung und Spekulation des Manageres angeführt.

a)

Absicherung mit Optionen: Der Manager überlegt, Call-Optionen auf die Aktien zu kaufen um von einem steigenden Aktienkurs zu profitieren und sich gleichzeitig gegen einen Kursrückgang abzusichern.

• Aktueller Aktienkurs: 100 Euro pro Aktie
• Optionspreis: 5 Euro pro Aktie
• Ausübungspreis: 110 Euro pro Aktie

Berechne die Break-Even-Point des Investments, wenn der Manager 10.000 Call-Optionen kauft.

Lösung:

Absicherung mit Optionen: Der Manager bei der Invest GmbH plant, 10.000 Call-Optionen auf Aktien zu kaufen, um sich gegen Kursrückgänge abzusichern und von möglichen Kursanstiegen zu profitieren.

• Aktueller Aktienkurs: 100 Euro pro Aktie
• Optionspreis: 5 Euro pro Aktie
• Ausübungspreis: 110 Euro pro Aktie

Um den Break-Even-Point zu berechnen, müssen wir die Gesamtkosten der Investition berücksichtigen und herausfinden, bei welchem Aktienkurs diese Kosten gedeckt sind.Schritte zur Berechnung des Break-Even-Points:1. Ermittle die Gesamtkosten:Der Manager kauft 10.000 Call-Optionen zum Preis von 5 Euro pro Option. Daher sind die Gesamtkosten:

• Gesamtkosten der Optionen = 10.000 Optionen * 5 Euro/Option = 50.000 Euro

2. Bestimme den Break-Even-Point:Der Break-Even-Point ist der Aktienkurs, bei dem die Investition durch den Gewinn aus den Optionen gedeckt ist. Dies geschieht, wenn der Aktienkurs den Ausübungspreis plus die Kosten pro Option erreicht:

Break-Even-Point (Aktienkurs) = Ausübungspreis + OptionspreisBreak-Even-Point (Aktienkurs) = 110 Euro + 5 Euro = 115 Euro

Daher liegt der Break-Even-Point des Investments bei einem Aktienkurs von 115 Euro pro Aktie.Zusammenfassung:Der Manager muss sicherstellen, dass der Aktienkurs auf mindestens 115 Euro pro Aktie steigt, um die Kosten für den Kauf der 10.000 Call-Optionen zu decken und somit den Break-Even-Point zu erreichen.

b)

Sicherung mit Futures: Der Manager plant den Einsatz von Futures, um den Verkauf seiner Aktien in einem Jahr abzusichern. Er schließt einen Futures-Kontrakt ab, der ihm erlaubt, seine gesamte Aktienposition zum heutigen Preis von 100 Euro pro Aktie zu verkaufen. Diskutiere die Vorteile und Risiken dieser Strategie, und erläutere die Auswirkungen, wenn der Aktienkurs auf 120 Euro oder 80 Euro fällt.

Lösung:

Sicherung mit Futures: Der Manager plant den Einsatz von Futures, um den Verkauf seiner Aktien in einem Jahr abzusichern. Er schließt einen Futures-Kontrakt ab, der ihm erlaubt, seine gesamte Aktienposition zum heutigen Preis von 100 Euro pro Aktie zu verkaufen. Vorteile dieser Strategie:

• Preissicherung: Der Manager sichert sich gegen Preisschwankungen ab, indem er den zukünftigen Verkaufspreis bereits jetzt festsetzt. Dadurch schützt er sich gegen einen möglichen Kursrückgang.
• Planungssicherheit: Durch die Nutzung von Futures kann der Manager seine zukünftigen Erträge genauer planen und kalkulieren, da er den Verkaufspreis seiner Aktien genau kennt.
• Keine unmittelbaren Kosten: Im Gegensatz zu Optionen, die eine Prämie erfordern, entstehen bei Futures keine sofortigen Kosten, außer möglichen Margenanforderungen.

Risiken dieser Strategie:

• Bindung an den Kontrakt: Der Manager ist verpflichtet, seine Aktien zum vereinbarten Preis zu verkaufen, auch wenn der Marktpreis höher ist.
• Verpassung von Gewinnchancen: Sollte der Aktienkurs stark steigen, verpasst der Manager die Möglichkeit, seine Aktien zu einem höheren Preis zu verkaufen und somit zusätzlich höhere Gewinne zu erzielen.
• Margin Calls: Futures erfordern die Hinterlegung von Sicherheiten (Margins), die bei starken Kursbewegungen zu Nachschussforderungen und somit finanziellen Belastungen führen können.

Auswirkungen bei fallendem oder steigendem Aktienkurs:

• Aktienkurs fällt auf 80 Euro: Der Manager hat von seiner Sicherungsstrategie profitiert, da er seine Aktien zum vereinbarten Preis von 100 Euro verkaufen kann, obwohl der Marktpreis auf 80 Euro gefallen ist. Er vermeidet somit den Verlust von \((100 \text{ Euro} - 80 \text{ Euro}) \times 100.000 \text{ Aktien} = 20 \text{ Euro} \times 100.000 = 2.000.000 \text{ Euro}\).
• Aktienkurs steigt auf 120 Euro: Der Manager verpasst die Gelegenheit, von dem Anstieg zu profitieren. Statt die Aktien zum höheren Marktpreis von 120 Euro zu verkaufen, ist er an den vereinbarten Futures-Preis von 100 Euro gebunden. Somit verpasst er einen zusätzlichen Gewinn von \((120 \text{ Euro} - 100 \text{ Euro}) \times 100.000 \text{ Aktien} = 20 \text{ Euro} \times 100.000 = 2.000.000 \text{ Euro}\).

Zusammenfassung: Die Nutzung von Futures ermöglicht es dem Manager, sich gegen Risiken abzusichern und eine bessere Planungssicherheit zu erzielen. Allerdings muss er auch das Risiko beachten, Gewinnchancen bei steigenden Aktienkursen zu verpassen und möglichen Margin Calls nachkommen zu müssen.

c)

Spekulation mit Swaps: Der Manager möchte spekulativ Zins-Swaps einsetzen, um von Zinssatzänderungen zu profitieren. Er erwägt einen Swap abzuschließen, bei dem er feste Zinszahlungen gegen variable Zinszahlungen tauscht, die auf dem EURIBOR basieren. Beschreibe, wie ein Zinsswap funktioniert und welche Marktbedingungen für diese Spekulation vorteilhaft wären. Berücksichtige dabei mögliche Risiken dieser Strategie.

Lösung:

Spekulation mit Swaps: Der Manager möchte spekulativ Zins-Swaps einsetzen, um von Zinssatzänderungen zu profitieren. Er überlegt, einen Swap abzuschließen, bei dem er feste Zinszahlungen gegen variable Zinszahlungen tauscht, die auf dem EURIBOR basieren. Wie funktioniert ein Zinsswap?

• Zinsswap-Definition: Ein Zinsswap ist eine vertragliche Vereinbarung zwischen zwei Parteien, bei der sie über einen definierten Zeitraum Zinszahlungen austauschen. Dies erfolgt meistens auf Basis eines Nominalbetrags, der jedoch nicht physisch getauscht wird.
• Feste gegen variable Zinszahlungen: Bei diesem Swap-Typ zahlt eine Partei (in diesem Fall der Portfolio Manager) feste Zinszahlungen und erhält im Gegenzug variable Zinszahlungen, die auf einem Referenzzinssatz wie dem EURIBOR basieren.
• Beispiel: Falls der Manager einen Nominalbetrag von 10 Millionen Euro swappt, könnte er beispielsweise eine feste Zahlung von 2% p.a. leisten und variable Zahlungen basierend auf dem EURIBOR (z.B. EURIBOR + 0,5%) erhalten.

Vorteilhafte Marktbedingungen für diese Spekulation:

• Steigende Zinssätze: Wenn der Manager vermutet, dass die Zinssätze steigen werden, kann er von höheren variablen Zahlungen profitieren. Da der EURIBOR in diesem Fall steigen würde, erhöhen sich seine Einnahmen aus den variablen Zinsen, während seine festen Zinszahlungen konstant bleiben.
• Inflationserwartungen: Wenn die Inflation steigt, könnte dies oft mit steigenden Zinssätzen einhergehen, was ebenfalls für die Annahme variabler Zinszahlungen vorteilhaft wäre.

Mögliche Risiken dieser Strategie:

• Sinkende Zinssätze: Wenn die Zinssätze sinken, erhält der Manager niedrigere variable Zinszahlungen, während er weiterhin die festen Zinsen zahlt. Dies könnte zu Verlusten führen.
• Unvorhersehbare Marktbedingungen: Zinssätze können von vielen Faktoren beeinflusst werden, die schwer vorherzusagen sind. Unvorhergesehene wirtschaftliche Entwicklungen könnten die erwarteten Zinsbewegungen verändern.
• Liquiditätsrisiko: Bei extremeren Marktbedingungen könnten Liquiditätsprobleme auftreten, insbesondere wenn große Positionen in Swaps gehalten werden.
• Gegenparteirisiko: Sollte die Gegenpartei des Swaps zahlungsunfähig werden, können finanzielle Verluste entstehen.

Zusammenfassung: Ein Zinsswap ermöglicht es dem Manager, auf Veränderungen der Zinssätze zu spekulieren. Ein Swap, bei dem feste Zinszahlungen gegen variable Zahlungen getauscht werden, kann profitabel sein, wenn die Zinssätze steigen. Allerdings muss der Manager die Risiken sinkender Zinssätze, unvorhersehbarer Marktbedingungen, Liquiditätsrisiken und Gegenparteirisiken berücksichtigen.

d)

Bewertung von Derivaten: Nutzen Sie das Black-Scholes-Modell zur Bewertung einer europäischen Call-Option mit den folgenden Parametern:

• Aktienkurs: 100 Euro
• Ausübungspreis: 105 Euro
• Laufzeit: 6 Monate
• Volatilität: 20%
• Risikoloser Zinssatz: 5% p.a.

Berechne den Wert der Call-Option. Nehmen Sie an, dass keine Dividendenausschüttungen erfolgen.

Lösung:

Bewertung von Derivaten: Nutzen Sie das Black-Scholes-Modell zur Bewertung einer europäischen Call-Option mit den folgenden Parametern:

• Aktienkurs: 100 Euro
• Ausübungspreis: 105 Euro
• Laufzeit: 6 Monate
• Volatilität: 20%
• Risikoloser Zinssatz: 5% p.a.

Berechne den Wert der Call-Option. Nehmen Sie an, dass keine Dividendenausschüttungen erfolgen. Black-Scholes-Modell: Das Black-Scholes-Modell berechnet den Preis einer europäischen Option anhand folgender Formel: \[ C = S_0 N(d_1) - X e^{-rT} N(d_2) \] Dabei sind:

• \( C \): Wert der Call-Option
• \( S_0 \): aktueller Aktienkurs
• \( X \): Ausübungspreis
• \( T \): Laufzeit der Option (in Jahren)
• \( r \): risikoloser Zinssatz
• \( \sigma \): Volatilität der Aktie
• \( N(d) \): kumulative Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

\[ d_1 = \frac{\ln\left(\frac{S_0}{X}\right) + \left( r + \frac{1}{2} \sigma^2 \right)T}{\sigma \sqrt{T}} \]\[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T} \] Gegebene Werte:

• \( S_0 = 100 \) Euro
• \( X = 105 \) Euro
• \( T = 0.5 \) Jahre (6 Monate)
• \( r = 0.05 \) (5% p.a.)
• \( \sigma = 0.2 \) (20% p.a.)

Damit berechnen wir zunächst \( d_1 \) und \( d_2 \):\[ d_1 = \frac{\ln\left(\frac{100}{105}\right) + \left(0.05 + \frac{1}{2} \times 0.2^2\right) \times 0.5}{0.2 \sqrt{0.5}} \]\[ d_1 = \frac{\ln(0.9524) + 0.07 \times 0.5}{0.2 \sqrt{0.5}} \]\[ d_1 = \frac{-0.0488 + 0.035}{0.1414} \]\[ d_1 = \frac{-0.0138}{0.1414} \]\[ d_1 \approx -0.0976 \]\[ d_2 = d_1 - 0.2 \sqrt{0.5} \]\[ d_2 = -0.0976 - 0.1414 \]\[ d_2 \approx -0.239 \] Um den Wert der Call-Option \( C \) zu berechnen, benötigen wir die Werte von \( N(d_1) \) und \( N(d_2) \) aus der Standardnormalverteilung:\[ N(-0.0976) \approx 0.4611 \]\[ N(-0.239) \approx 0.4057 \]Nun setzen wir diese Werte in die Black-Scholes-Formel ein:\[ C = 100 \times 0.4611 - 105 \times e^{-0.05 \times 0.5} \times 0.4057 \]\[ e^{-0.025} \approx 0.9753 \]\[ C = 100 \times 0.4611 - 105 \times 0.9753 \times 0.4057 \]\[ C = 46.11 - 41.51 \]\[ C \approx 4.60 \text{ Euro} \]Zusammengefasst: Der Wert der europäischen Call-Option beträgt \( 4.60 \text{ Euro} \) pro Option.

Aufgabe 4)

Preismodelle für OptionenPreismodelle für Optionen bewerten den theoretischen Preis von Optionen basierend auf verschiedenen Annahmen und Inputparametern.

• Black-Scholes-Modell: Basismodell zur Bewertung europäischer Optionen
• Formel: \[ C = S_0 N(d_1) - Xe^{-rt} N(d_2) \] mit \[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2) t}{\sigma \sqrt{t}} \] und \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t} \]
• Binomialmodell: Diskretes Zeitmodell, das die Preisentwicklung in Zeitintervallen simuliert
• Monte-Carlo-Simulation: Stochastisches Modell zur Bewertung komplexer Optionen, basiert auf der Simulation vieler Preiswege

a)

Du hast die folgenden Parameter für eine europäische Kaufoption: Aktueller Aktienkurs (\

Lösung:

Preismodelle für OptionenPreismodelle für Optionen bewerten den theoretischen Preis von Optionen basierend auf verschiedenen Annahmen und Inputparametern.

• Black-Scholes-Modell: Basismodell zur Bewertung europäischer Optionen
• Formel: \[ C = S_0 N(d_1) - Xe^{-rt} N(d_2) \] mit \[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2) t}{\sigma \sqrt{t}} \] und \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t} \]
• Binomialmodell: Diskretes Zeitmodell, das die Preisentwicklung in Zeitintervallen simuliert
• Monte-Carlo-Simulation: Stochastisches Modell zur Bewertung komplexer Optionen, basiert auf der Simulation vieler Preiswege

Löse die folgende Teilaufgabe: Du hast die folgenden Parameter für eine europäische Kaufoption: Aktueller Aktienkurs (S₀) = 100, Ausübungspreis (X) = 95, risikofreier Zinssatz (r) = 5% p.a., Volatilität (σ) = 20% p.a., und Laufzeit (t) = 1 Jahr. Berechne den theoretischen Preis der Kaufoption mit dem Black-Scholes-Modell.

Schrittweise Lösung:

• Schritt 1: Berechne d₁ und d₂. Wir benutzen die Formel: \[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2) t}{\sigma \sqrt{t}} \] und \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t} \] Setze die gegebenen Werte ein: \[ d_1 = \frac{\ln(100 / 95) + (0.05 + (0.2)^2 / 2) \cdot 1}{0.2 \sqrt{1}} \] \[ d_1 = \frac{\ln(100 / 95) + 0.07}{0.2} \] \[ d_1 = \frac{0.0513 + 0.07}{0.2} = \frac{0.1213}{0.2} \approx 0.6065 \] Somit ist \[ d_1 \approx 0.6065 \] Berechne nun \[ d_2 = 0.6065 - 0.2 \sqrt{1} = 0.6065 - 0.2 = 0.4065 \]
• Schritt 2: Bestimme die Werte von N(d₁) und N(d₂). Dies sind die Werte der kumulativen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung an den Punkten d₁ und d₂. Für d₁ = 0.6065 und d₂ = 0.4065 erhalten wir:
• \[ N(d_1) \approx 0.7285 \] (Wert kann aus Z-Tabelle oder mittels Software berechnet werden)
• \[ N(d_2) \approx 0.6591 \] (Wert kann aus Z-Tabelle oder mittels Software berechnet werden)
• Schritt 3: Setze d₁, d₂, N(d₁) und N(d₂) in die Black-Scholes-Formel ein. \[ C = S_0 \cdot N(d_1) - X \cdot e^{-rt} \cdot N(d_2) \] Setze die Werte ein: \[ C = 100 \cdot 0.7285 - 95 \cdot e^{-0.05 \cdot 1} \cdot 0.6591 \] \[ e^{-0.05} \approx 0.9512 \] \[ C = 100 \cdot 0.7285 - 95 \cdot 0.9512 \cdot 0.6591 \] \[ C = 72.85 - 59.53 \approx 13.32 \]

Der theoretische Preis der Kaufoption beträgt somit ca. 13.32.

b)

Beschreibe ausführlich die Methodik des Binomialmodells zur Bewertung von Optionen und erkläre, wie das Modell in diskreten Zeitintervallen angewendet wird.

Lösung:

Preismodelle für OptionenPreismodelle für Optionen bewerten den theoretischen Preis von Optionen basierend auf verschiedenen Annahmen und Inputparametern.

• Black-Scholes-Modell: Basismodell zur Bewertung europäischer Optionen
• Formel: \[ C = S_0 N(d_1) - Xe^{-rt} N(d_2) \] mit \[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2) t}{\sigma \sqrt{t}} \] und \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t} \]
• Binomialmodell: Diskretes Zeitmodell, das die Preisentwicklung in Zeitintervallen simuliert
• Monte-Carlo-Simulation: Stochastisches Modell zur Bewertung komplexer Optionen, basiert auf der Simulation vieler Preiswege

Beschreibe ausführlich die Methodik des Binomialmodells zur Bewertung von Optionen und erkläre, wie das Modell in diskreten Zeitintervallen angewendet wird.

• Grundprinzipien: Das Binomialmodell nutzt ein diskretes Zeitgerüst zur Bestimmung des Optionspreises. Es zerlegt die Laufzeit der Option in viele kleine Zeitintervalle und betrachtet in jedem Intervall mögliche Preisbewegungen des zugrunde liegenden Vermögenswerts.
• Aufbau des Modells:
  • Zeitschritte: Die Zeit bis zum Verfall der Option wird in \(n\) gleiche Intervalle unterteilt. Jedes Intervall hat die Dauer \(\Delta t = \frac{T}{n}\), wobei \(T\) die gesamte Laufzeit in Jahren ist.
  • Preisbewegungen: In jedem Intervall kann der Aktienkurs entweder um einen Faktor \(u\) (up) steigen oder um einen Faktor \(d\) (down) fallen. Typischerweise wird \(u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}}\) und \(d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}}\) gesetzt, wobei \(\sigma\) die Volatilität des zugrunde liegenden Vermögenswerts ist.
  • Risikoneutrale Wahrscheinlichkeit: Die risikoneutrale Wahrscheinlichkeit \(p\) für eine Preissteigerung und \(1-p\) für einen Preisrückgang wird folgendermaßen berechnet:\[ p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d} \]wobei \(r\) der risikofreie Zinssatz ist.
• Berechnung des Aktienkursbaums:
  • Erstellen eines Binomialbaums mit \(n+1\) Ebenen, wobei jede Ebene mögliche Aktienkurse zu unterschiedlichen Zeitpunkten darstellt.
  • An jedem Knoten wird der Aktienkurs abhängig von den Bewegungen \(u\) und \(d\) berechnet. Startend vom aktuellen Aktienkurs \(S_0\) berechnen wir alle möglichen zukünftigen Aktienkurse.
• Bewertung der Option:
  • Beginnend bei den Endknoten des Baumes (die letzte Zeitebene bei Verfall der Option) berechnen wir rückwärts den Wert der Option. Für europäische Optionen geschieht dies durch Diskontierung der erwarteten zukünftigen Werte.
  • Der Wert der Option an jedem Knoten berechnet sich aus den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten der zukünftigen möglichen Werte:\[ C_{ij} = e^{-r \Delta t} \left[p C_{i+1, j+1} + (1-p) C_{i+1, j}\right] \]wobei \(C_{ij}\) der Wert der Option im \(i\)-ten Schritt und \(j\)-ten Knoten ist.
  • Für amerikanische Optionen wird zusätzlich geprüft, ob eine vorzeitige Ausübung vorteilhaft ist, indem der innere Wert an jedem Knoten mit dem berechneten Optionswert verglichen wird.

Beispiel:

Angenommen, wir haben folgende Parameter:

• Aktueller Aktienkurs \(S_0 = 50\)
• Ausübungspreis \(X = 50\)
• Laufzeit \(T = 1\) Jahr
• Volatilität \(\sigma = 20\%\)
• Risikofreier Zinssatz \(r = 5\%\)

Wir unterteilen den Zeitraum in zwei Intervalle (\(n = 2\)), daher ist \(\Delta t = \frac{1}{2}\). Dies führt zu:

• \[u = e^{\sigma \sqrt{\Delta t}} = e^{0.2 \sqrt{0.5}} \approx 1.1513\]
• \[d = e^{-\sigma \sqrt{\Delta t}} = e^{-0.2 \sqrt{0.5}} \approx 0.8681\]
• \[p = \frac{e^{r \Delta t} - d}{u - d} = \frac{e^{0.05 \cdot 0.5} - 0.8681}{1.1513 - 0.8681} \approx 0.5245\]

Berechne die möglichen Aktienkurse im Binomialbaum:

• Endknoten bei Verfall \(T\):
  • \[S_{uu} = S_0 \cdot u^2 = 50 \cdot (1.1513)^2 \approx 66.26\]
  • \[S_{ud} = S_{du} = S_0 \cdot u \cdot d = 50 \cdot 1.1513 \cdot 0.8681 \approx 50.00\]
  • \[S_{dd} = S_0 \cdot d^2 = 50 \cdot (0.8681)^2 \approx 37.74\]

Berechne die Optionspreise am Verfall:

• Kaufoptionen (Call):
  • \[C_{uu} = \max(66.26 - 50, 0) = 16.26\]
  • \[C_{ud} = \max(50.00 - 50, 0) = 0\]
  • \[C_{dd} = \max(37.74 - 50, 0) = 0\]

Berechne die Optionspreise in vorherigen Zeitschritten:

• Stufe \(i = 1\):
  • \[C_{u} = e^{-r \Delta t} \left[ p C_{uu} + (1-p) C_{ud} \right] = e^{-0.05 \cdot 0.5} \left[ 0.5245 \times 16.26 + 0.4755 \times 0 \right] \approx 8.14\]
  • \[C_{d} = e^{-r \Delta t} \left[ p C_{ud} + (1-p) C_{dd} \right] = e^{-0.05 \cdot 0.5} \left[ 0.5245 \times 0 + 0.4755 \times 0 \right] = 0\]
• Stufe \(i = 0\):
  • \[C_{0} = e^{-r \Delta t} \left[ p C_{u} + (1-p) C_{d} \right] = e^{-0.05 \cdot 0.5} \left[ 0.5245 \times 8.14 + 0.4755 \times 0 \right] \approx 4.06\]

Der theoretische Preis der Kaufoption beträgt somit etwa \(4.06\).

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Binomialmodell eine flexible und intuitive Methode zur Bewertung von Optionen bietet und in der Praxis besonders nützlich für die Bewertung von amerikanischen Optionen ist, bei denen das Recht auf vorzeitige Ausübung berücksichtigt werden kann.

c)

Du hast eine komplexe Option, die schwer analytisch mittels Black-Scholes-Modell zu bewerten ist. Erkläre, wie Du die Monte-Carlo-Simulation zur Bewertung dieser Option anwenden würdest.

Lösung:

Preismodelle für OptionenPreismodelle für Optionen bewerten den theoretischen Preis von Optionen basierend auf verschiedenen Annahmen und Inputparametern.

• Black-Scholes-Modell: Basismodell zur Bewertung europäischer Optionen
• Formel: \[ C = S_0 N(d_1) - Xe^{-rt} N(d_2) \] mit \[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2) t}{\sigma \sqrt{t}} \] und \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t} \]
• Binomialmodell: Diskretes Zeitmodell, das die Preisentwicklung in Zeitintervallen simuliert
• Monte-Carlo-Simulation: Stochastisches Modell zur Bewertung komplexer Optionen, basiert auf der Simulation vieler Preiswege

Wie man eine Monte-Carlo-Simulation zur Bewertung einer komplexen Option anwendet

Eine Monte-Carlo-Simulation ist eine äußerst leistungsstarke Methode zur Bewertung von Optionen, besonders wenn es sich um komplexe Finanzderivate handelt, die schwer analytisch mittels des Black-Scholes-Modells oder anderer geschlossener Formeln zu bewerten sind. Folgende Schritte solltest Du befolgen:

1. Definition des Modells und der Grundparameter:Vergewissere Dich, dass Du alle relevanten Inputparameter Deiner Option kennst, inklusive:
   • Aktueller Aktienkurs \(S_0\)
   • Ausübungspreis \(X\)
   • Risikofreier Zinssatz \(r\)
   • Volatilität \(\sigma\)
   • Verbleibende Laufzeit \(T\)
2. Generierung zufälliger Preisbewegungen:Um zukünftige Aktienkurse zu simulieren, verwendest Du stochastische Prozesse, z.B. die geometrische Brownsche Bewegung. Die grundlegende Idee ist, dass der zukünftige Aktienkurs von einer drift-Komponente (abhängig vom risikofreien Zinssatz und der Zeit) und einer zufälligen Komponente (abhängig von der Volatilität und einem zufälligen normalen Wert) beeinflusst wird. Die Formel zur Simulation des zukünftigen Aktienkurses \(S_t\) nach einer kleinen Zeitspanne \(\Delta t\) lautet:\[ S_{t+\Delta t} = S_t \cdot e^{(r - \frac{\sigma^2}{2}) \Delta t + \sigma \sqrt{\Delta t} \cdot Z} \]wobei \(Z\) eine Zufallsvariable ist, die aus einer Standardnormalverteilung gezogen wird.
3. Simulation vieler Preiswege:Simuliere viele (z.B. 10.000 oder mehr) mögliche Preiswege des zugrunde liegenden Vermögenswerts bis zum Verfall der Option. Jeder dieser Preiswege ergibt einen möglichen Endwert für die Option.
4. Berechnung des Auszahlungsprofils:Für jeden simulierten Preisweg berechnest Du die Auszahlung der Option am Ende der Laufzeit. Bei einer europäischen Kaufoption wäre dies\[ \max(S_T - X, 0) \]wobei \(S_T\) der simulierte Aktienkurs zum Verfallszeitpunkt ist.
5. Diskontierung der erwarteten Auszahlung:Da wir im Allgemeinen mit zukünftigen Cashflows arbeiten, müssen wir die durchschnittliche Auszahlung auf den heutigen Wert abzinsen. Dies geschieht folgendermaßen:\[ C = e^{-r T} \cdot \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} Payout_i \]wobei \(N\) die Anzahl der simulierten Preiswege und \(Payout_i\) die Auszahlung am Ende jedes Preiswegs ist.

Beispiel:

Angenommen, wir haben folgende Parameter:

• Aktueller Aktienkurs \(S_0 = 100\)
• Ausübungspreis \(X = 105\)
• Risikofreier Zinssatz \(r = 5\%\)
• Volatilität \(\sigma = 20\%\)
• Verbleibende Laufzeit \(T = 1\) Jahr

Schrittweise Vorgehensweise:

1. Simuliere 10.000 Preiswege über \(T=1\) Jahr mit \(\Delta t = 1/252\) (angenommen, 252 Handelstage im Jahr).
2. Für jeden Tag \(t\):\[ S_{t+1} = S_t \cdot e^{(0.05 - 0.5 \cdot 0.2^2) \cdot \frac{1}{252} + 0.2 \cdot \sqrt{\frac{1}{252}} \cdot Z_t} \]Dabei ist \(Z_t\) ein normalverteiltes Zufallsereignis.
3. Berechne am Ende jedes simulierten Preiswegs die Auszahlung:\[ Payout_i = \max(S_T - 105, 0) \]
4. Berechne den Durchschnitt aller Auszahlungen und diskontiere diese:\[ C = e^{-0.05} \cdot \frac{1}{10000} \sum_{i=1}^{10000} Payout_i \]

Endergebnis: Der theoretische Preis der komplexen Option ist die durchschnittliche abgezinste Auszahlung basierend auf den vielen simulierten Preiswegen.

Die Monte-Carlo-Simulation ist besonders nützlich, weil sie flexibel an verschiedene Arten von Optionen oder Auszahlungsstrukturen angepasst werden kann und auch in Szenarien, in denen analytische Methoden scheitern, zuverlässige Schätzungen liefert.

d)

Vergleiche die Vor- und Nachteile der drei Modelle (Black-Scholes, Binomialmodell und Monte-Carlo-Simulation) bezüglich ihrer Anwendung und Genauigkeit bei der Preisbewertung von Optionen.

Lösung:

Preismodelle für OptionenPreismodelle für Optionen bewerten den theoretischen Preis von Optionen basierend auf verschiedenen Annahmen und Inputparametern.

• Black-Scholes-Modell: Basismodell zur Bewertung europäischer Optionen
• Formel: \[ C = S_0 N(d_1) - Xe^{-rt} N(d_2) \] mit \[ d_1 = \frac{\ln(S_0 / X) + (r + \sigma^2 / 2) t}{\sigma \sqrt{t}} \] und \[ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{t} \]
• Binomialmodell: Diskretes Zeitmodell, das die Preisentwicklung in Zeitintervallen simuliert
• Monte-Carlo-Simulation: Stochastisches Modell zur Bewertung komplexer Optionen, basiert auf der Simulation vieler Preiswege

Vergleich der Modelle

• Black-Scholes-Modell:
  • Vorteile:
    • Analytische Lösung: Die Formel liefert eine genaue und schnelle Berechnung des Optionspreises.
    • Einfachheit: Es ist relativ einfach anzuwenden und erfordert nur wenige Parameter (Aktienkurs, Ausübungspreis, Volatilität, Zinssatz, Laufzeit).
  • Nachteile:
    • Eingeschränkte Anwendbarkeit: Das Modell setzt eine Reihe von Annahmen voraus, z. B. konstante Volatilität und Zinssätze, keine Dividendenausschüttungen, perfekt liquide Märkte und keine Arbitragemöglichkeiten. Diese Annahmen sind in der Realität nicht immer gegeben.
    • Nur für europäische Optionen: Es kann nicht effektiv zur Bewertung amerikanischer Optionen verwendet werden, die vor dem Verfall ausgeübt werden können.
• Binomialmodell:
  • Vorteile:
    • Flexibilität: Kann zur Bewertung von amerikanischen Optionen verwendet werden und erlaubt die Berücksichtigung von Dividendenausschüttungen und variablen Zinssätzen.
    • Möglichkeit Zwischenschritte anzupassen: Die Anzahl der Zeitintervalle (Zeitschritte) kann erhöht werden, um die Genauigkeit zu verbessern.
  • Nachteile:
    • Rechenintensiv: Bei vielen Zeitschritten ist das Modell kompliziert und erfordert mehr Rechenleistung.
    • Näherungslösung: Das Modell bietet keine analytische Lösung, es ist eine ungefährere Methode als das Black-Scholes-Modell.
• Monte-Carlo-Simulation:
  • Vorteile:
    • Vielseitigkeit: Kann zur Bewertung sehr komplexer Optionen verwendet werden, inklusive exotischer Optionen mit komplizierten Auszahlungsstrukturen.
    • Anpassbarkeit: Flexibel genug, um unterschiedliche Annahmen über Volatilität, Zinssätze und Dividendenausschüttungen zu modellieren.
  • Nachteile:
    • Rechenintensiv: Erfordert eine enorme Anzahl von Simulationsläufen, um eine hohe Genauigkeit zu gewährleisten; dies kann zeit- und ressourcenintensiv sein.
    • Stochastische Natur: Da die Methode auf Zufallssimulationen basiert, kann sie bei jeder Ausführung leicht unterschiedliche Ergebnisse liefern. Eine große Anzahl von Iterationen ist erforderlich, um stabile Ergebnisse zu erzielen.

Zusammenfassung:

• Black-Scholes-Modell eignet sich gut für die schnelle und einfache Preisbewertung europäischer Optionen, die keine komplexen Annahmen benötigen.
• Binomialmodell ist ein flexibles Werkzeug zur Bewertung von Optionen, das insbesondere bei der Bewertung von amerikanischen Optionen nützlich ist. Es ist jedoch bei vielen Zeitschritten rechenintensiv.
• Monte-Carlo-Simulation ist am besten geeignet für komplexe und exotische Optionen, die schwer mit anderen Modellen zu bewerten sind. Sie erfordert jedoch erhebliche Rechenressourcen und eine große Anzahl von Iterationen für genaue Ergebnisse.