Financial engineering and structured finance - Exam

Aufgabe 1)

Angenommen, wir nutzen das Binomialmodell zur Bewertung einer europäischen Call-Option auf eine Aktie. Der aktuelle Preis der Aktie (S) beträgt 100 €, die Laufzeit (T) der Option beträgt ein Jahr, und wir unterteilen das Jahr in 2 Schritte. Die Volatilität der Aktie beträgt 0,2 (20 %), und der risikolose Zinssatz (r) liegt bei 5 % p.a. Der Ausübungspreis (K) der Option beträgt 105 €.

a)

Berechne die möglichen Aktienkurse am Ende der Laufzeit der Option (nach 2 Schritten)

• Berechne zunächst die Schrittweite dt.
• Bestimme die Werte für u und d.
• Leite daraus die möglichen Aktienkurse nach 2 Schritten ab.
• Zeige die Berechnungen im Detail.

Lösung:

Berechnung der möglichen Aktienkurse am Ende der Laufzeit der Option (nach 2 Schritten)

• Berechne zunächst die Schrittweite dt:

Die Schrittweite dt ergibt sich aus der Laufzeit T und der Anzahl der Schritte n:

• Die Schrittweite dt ist dabei:

• \( dt = \frac{T}{n} \)
• \( T = 1 \) Jahr
• \( n = 2 \) Schritte
• \( dt = \frac{1}{2} = 0.5 \) Jahre

• Bestimme die Werte für u und d:

Der Wert \( u \) steht für den Aufwärtsfaktor und \( d \) für den Abwärtsfaktor. Diese Faktoren können wir mit Hilfe der Volatilität \( \sigma \) und Schrittweite \( dt \) berechnen:

• Formeln:

• \( u = e^{\sigma \sqrt{dt}} \)
• \( d = e^{-\sigma \sqrt{dt}} \)

• Gegebene Werte:

• \( \sigma = 0.2 \) (20%)
• \( dt = 0.5 \) Jahre

Ergebnisse nach Einsetzen:

• \( u = e^{0.2 \sqrt{0.5}} \)
• \( d = e^{-0.2 \sqrt{0.5}} \)

Exakte Werte:

• \( \sqrt{0.5} \approx 0.7071 \)
• \( 0.2 \cdot 0.7071 = 0.1414 \)
• \( u = e^{0.1414} \approx 1.1513 \)
• \( d = e^{-0.1414} \approx 0.8694 \)

• Leite daraus die möglichen Aktienkurse nach 2 Schritten ab:

Wir beginnen mit dem aktuellen Aktienkurs \( S_0 \). Anstatt festgelegter Werte rechnen wir im Allgemeinen:

• aktueller Aktienkurs \( S_0 = 100 \) €
• Wenn die Aktie 2 Mal hintereinander steigt:

S_2^u = S_0 \cdot u^2 = 100 \cdot (1.1513^2) \approx 100 \cdot 1.3249 = 132.49 €

• Wenn die Aktie einmal steigt und einmal fällt (oder umgekehrt):

S_2^{ud} = S_0 \cdot u \cdot d = 100 \cdot 1.1513 \cdot 0.8694 \approx 100 \cdot 1.0001 = 100.01 €

• Wenn die Aktie 2 Mal hintereinander fällt:
• S_2^d = S_0 \cdot d^2 = 100 \cdot (0.8694^2) \approx 100 \cdot 0.7569 = 75.69 €

Zusammengefasst ergeben sich die möglichen Aktienkurse am Ende der Laufzeit nach 2 Schritten:

• \( 132.49 € \)
• \( 100.01 € \)
• \( 75.69 € \)

b)

Bewerte die europäische Call-Option anhand des Binomialmodells.

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten für Auf- (p) und Abwärtsschritte (1-p).
• Berechne den Diskontfaktor (R).
• Ermittle die Werte der Call-Option für die möglichen Endwerte der Aktie (C_u und C_d).
• Verwende die rekursive Methode, um den aktuellen Preis der Call-Option zu bestimmen.
• Zeige die Berechnungen im Detail.

Lösung:

Bewertung der europäischen Call-Option anhand des Binomialmodells

Um die Call-Option zu bewerten, folgen wir dem Binomialmodell in den angegebenen Schritten:

• Berechne die Wahrscheinlichkeiten für Auf- (p) und Abwärtsschritte (1-p):

Die Risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten können wie folgt berechnet werden:

• Formel für die Wahrscheinlichkeiten:

• \( p = \frac{e^{r \, dt} - d}{u - d} \)
• \( 1 - p = 1 - \frac{e^{r \, dt} - d}{u - d} \)

Gegebene Werte und Berechnung:

• \( r = 0.05 \) (5%)
• \( dt = 0.5 \) Jahre
• \( u = 1.1513 \)
• \( d = 0.8694 \)
• \( e^{r \, dt} = e^{0.05 \cdot 0.5} \approx 1.0253 \)

• \( p = \frac{1.0253 - 0.8694}{1.1513 - 0.8694} \approx \frac{0.1559}{0.2819} \approx 0.5530 \)
• \( 1 - p = 1 - 0.5530 = 0.4470 \)

• Berechne den Diskontfaktor (R):

Der Diskontfaktor wird verwendet, um zukünftige Werte auf den gegenwärtigen Zeitpunkt abzuzinsen:

• Formel:

• \( R = e^{-r \, dt} \)

Gegebene Werte und Berechnung:

• \( r = 0.05 \) (5%)
• \( dt = 0.5 \) Jahre
• \( R = e^{-0.05 \cdot 0.5} \approx 0.9753 \)

• Ermittle die Werte der Call-Option für die möglichen Endwerte der Aktie (\(C_u\) und \(C_d\)):

• Mögliche Endwerte der Aktie sind:

• \( S_u = 132.49 \, € \) (wenn der Kurs zweimal steigt)
• \( S_{ud} = 100.01 \, € \) (wenn der Kurs einmal steigt und einmal fällt)
• \( S_d = 75.69 \, € \) (wenn der Kurs zweimal fällt)

• Werte der Call-Option am Ende der Laufzeit (nach 2 Schritten) berechnen:

• \(C_u = \max(0, S_u - K) = \max(0, 132.49 - 105) = 27.49 \, € \)
• \( C_{ud} = \max(0, S_{ud} - K) = \max(0, 100.01 - 105) = 0 \, € \)
• \( C_d = \max(0, S_d - K) = \max(0, 75.69 - 105) = 0 \, € \)

• Verwende die rekursive Methode, um den aktuellen Preis der Call-Option zu bestimmen:

Wir berechnen den aktuellen Preis der Call-Option mit den risikoneutralen Wahrscheinlichkeiten und diskontieren die erwarteten zukünftigen Werte zurück:

• Formel:

• \( C_0 = R \cdot (p \cdot C_u + (1 - p) \cdot C_d) \)

Einsetzen der Werte:

• \( C_0 = 0.9753 \cdot (0.5530 \cdot 27.49 + 0.4470 \cdot 0) \)
• \( C_0 = 0.9753 \cdot (15.2001 + 0) \)
• \( C_0 = 0.9753 \cdot 15.2001 \approx 14.82 \, € \)

Der aktuelle Preis der europäischen Call-Option beträgt also 14.82 €.

Aufgabe 3)

Bewertung von KreditderivatenBewertung von Kreditderivaten beinhaltet die Bestimmung des Werts von Finanzinstrumenten, die sich auf das Kreditrisiko beziehen (z.B. Credit Default Swaps, Collateralized Debt Obligations). Bewertung basiert auf komplexen Modellen und Marktinformationen.

• Häufig verwendete Modelle: Jarrow-Turnbull, Merton.
• Wichtige Parameter: Ausfallwahrscheinlichkeit (default probability), Verlustquote bei Ausfall (loss given default - LGD).
• Arbitragefreie Bewertung: Risk-neutral valuation.
• CDS-Spread: Differenz zwischen risikofreiem Zinssatz und der Rendite des zugrunde liegenden Kreditrisikos.
• Regulatorische Einflussfaktoren: Basel III, IFRS 9.

a)

Erkläre das Jarrow-Turnbull Modell zur Bewertung von Credit Default Swaps (CDS). Gehe dabei insbesondere auf die folgenden Punkte ein:

• Grundprinzip des Modells
• Die Rolle der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Verlustquote bei Ausfall
• Wie das Modell arbitragefreie Bewertung unterstützt

Lösung:

Jarrow-Turnbull Modell zur Bewertung von Credit Default Swaps (CDS)

Das Jarrow-Turnbull Modell ist ein bedeutendes Werkzeug zur Bewertung von Credit Default Swaps (CDS) und anderen Kreditderivaten. Im Folgenden werden die wesentlichen Aspekte dieses Modells erläutert:

• Grundprinzip des Modells:Das Jarrow-Turnbull Modell wurde 1995 von Robert A. Jarrow und Stuart Turnbull entwickelt. Es basiert auf einem stochastischen Prozess, der die Dynamik der Kreditfälligkeiten beschreibt. Das Modell nutzt Marktdaten zur Schätzung der relevanten Parameter, wie der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Verlustquote bei Ausfall (LGD). Ziel ist es, die fairen Preise von CDS zu bestimmen, indem die erwarteten Cashflows sowohl des CDS als auch des zugrunde liegenden Kredits analysiert werden.
• Die Rolle der Ausfallwahrscheinlichkeit und der Verlustquote bei Ausfall:Im Jarrow-Turnbull Modell sind die Ausfallwahrscheinlichkeit (\textit{default probability}) und die Verlustquote bei Ausfall (\textit{loss given default, LGD}) entscheidende Faktoren.

  Ausfallwahrscheinlichkeit: Sie gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Kredit innerhalb einer bestimmten Zeitspanne ausfällt. Dies ist eine Zufallsvariable, die in das Modell eingeht.Verlustquote bei Ausfall (LGD): Sie bezeichnet den Anteil des Kreditbetrags, der im Falle eines Ausfalls tatsächlich verloren geht. Diese Verlustquote beeinflusst direkt die erwarteten Verluste und damit die Bewertung des CDS.

  Da CDS den Schutz gegen Kreditausfälle bieten, sind diese beiden Parameter zentral für die Bewertung der erwarteten Zahlungsströme und somit für die Preisfindung.
• Wie das Modell arbitragefreie Bewertung unterstützt:Das Jarrow-Turnbull Modell stützt sich auf die Methode der risikoneutralen Bewertung (Risk-neutral valuation). Diese Methode sorgt dafür, dass die Bewertung arbitragefrei ist. Bei der risikoneutralen Bewertung werden alle erwarteten Zahlungsströme unter dem risikoneutralen Wahrscheinlichkeitsmaß berechnet. Das bedeutet, dass alle zukünftigen Ereignisse (wie Ausfälle) so gewichtet werden, als ob die Marktteilnehmer risikoneutral wären. Die erwarteten Zahlungsströme werden dann mit einem risikoneutralen Zinssatz diskontiert.

  Die risikoneutrale Bewertung stellt sicher, dass der Markt keinen Raum für Arbitragegewinne bietet, da der Marktpreis des CDS die fairen Werte der zukünftigen Zahlungsströme wiedergibt. Alle Risiken und deren Auswirkungen sind bereits in den berechneten Cashflows und den Diskontierungen enthalten.

b)

Ein Investor möchte einen CDS auf eine Anleihe mit einer default probability von 5% und einer LGD von 60% kaufen. Berechne den CDS-Spread, wenn der risikofreie Zinssatz 2% beträgt. Relativiere dabei die Bedeutung eines risk-neutral bewerteten CDS-Spreads.

Lösung:

Berechnung des CDS-Spreads

Um den CDS-Spread für einen Investor zu berechnen, der einen Credit Default Swap (CDS) auf eine Anleihe kaufen möchte, nutzen wir die gegebenen Parameter:

• Default Probability: 5% (0,05)
• Loss Given Default (LGD): 60% (0,60)
• Risikofreier Zinssatz: 2% (0,02)

Der CDS-Spread reflektiert die Prämie, die der Käufer des CDS dem Verkäufer zahlen muss, um sich gegen das Ausfallrisiko abzusichern. Diese Prämie basiert darauf, wie hoch die erwarteten Verluste aufgrund eines Ausfalls sind.Die erwarteten Verluste können wie folgt berechnet werden:

• Erwarteter Verlust = Default Probability * Loss Given Default
• Erwarteter Verlust = 0,05 * 0,60 = 0,03 bzw. 3%

Der CDS-Spread wird nun als die Differenz zwischen dieser erwarteten Verlustquote und dem risikofreien Zinssatz festgelegt. Da der risikofreie Zinssatz für die Bewertung bei risikoneutraler Annahme verwendet wird, treffen wir die Annahme, dass alle risikoneutralen Prozesse berücksichtigt werden.In diesem Fall nehmen wir an, dass der CDS-Spread den erwarteten Verlust direkt widerspiegelt. Das bedeutet, der CDS-Spread beträgt 3%.Zusammenfassend ist der CDS-Spread:

• CDS-Spread = 3%

### Bedeutung eines risikoneutral bewerteten CDS-SpreadsEin risikoneutral bewerteter CDS-Spread bedeutet, dass die Bewertung so vorgenommen wurde, dass alle Risiken und zukünftigen Cashflows unter der Annahme risikoneutraler Erwartungen berücksichtigt werden. Dies stellt sicher, dass keiner der Marktteilnehmer durch Arbitragegewinne profitieren kann.Die risikoneutrale Bewertung berücksichtigt also die tatsächlichen Wahrscheinlichkeiten und Größen der erwarteten Verluste, diskontiert diese jedoch mit einem risikoneutralen Zinssatz, der typischerweise dem risikofreien Zinssatz entspricht. Auf diese Weise spiegelt der CDS-Spread den fairen Preis wider, den ein Investor zahlen muss, um vollständig gegen das Ausfallrisiko abgesichert zu sein, während gleichzeitig sichergestellt wird, dass der Preis weder über- noch unterbewertet ist.

c)

Diskutiere die regulatorischen Anforderungen von Basel III und IFRS 9 im Kontext der Bewertung von Kreditderivaten. Berücksichtige dabei, wie diese Regularien die Modellierung und Bewertung beeinflussen könnten und welche Auswirkungen sie auf die Kapitalanforderungen der Finanzinstitute haben.

Lösung:

Regulatorische Anforderungen von Basel III und IFRS 9 im Kontext der Bewertung von Kreditderivaten

Die Bewertung von Kreditderivaten wird stark durch regulatorische Anforderungen beeinflusst, insbesondere durch Basel III und IFRS 9. Diese Regularien haben verschiedene Implikationen für die Modellierung und Bewertung von Kreditderivaten sowie auf die Kapitalanforderungen der Finanzinstitute.

• Basel III:Basel III zielt darauf ab, die Widerstandsfähigkeit des Bankensektors zu erhöhen, indem es strenge Kapital- und Liquiditätsanforderungen einführt. Für die Bewertung von Kreditderivaten sind insbesondere die folgenden Aspekte von Bedeutung:
  • Kapitalanforderungen: Basel III verlangt von Banken, dass sie ausreichend Kapital halten, um Risiken wie Kreditrisiken, Marktrisiken und operationelle Risiken abzudecken. Dies bedeutet, dass Banken ihre Kreditderivate und andere risikobehaftete Positionen genau bewerten und angemessene Rückstellungen bilden müssen.
  • Stresstests: Basel III fordert Banken auf, regelmäßige Stresstests durchzuführen, um ihre Fähigkeit zu prüfen, schweren finanziellen Schocks standzuhalten. Dies beeinflusst die Modellierung von Kreditrisiken, da Banken verschiedene Szenarien und deren Auswirkungen auf ihre Kreditderivate berücksichtigen müssen.
  • Risikoaggregation: Banken müssen die verschiedenen Kreditrisiken, die sie eingehen, aggregieren und eine Gesamtbewertung ihrer Risikoexposition durchführen. Dies erfordert die Nutzung anspruchsvoller Modelle wie dem Jarrow-Turnbull oder Merton-Modell, um die Risiken genau zu quantifizieren.
• IFRS 9:IFRS 9 befasst sich mit der Bilanzierung und Bewertung von Finanzinstrumenten. Die wichtigsten Aspekte von IFRS 9 im Kontext der Bewertung von Kreditderivaten sind:
  • Modellierung von Kreditrisiken: IFRS 9 verlangt von Unternehmen, dass sie Kreditrisiken früher erkennen und Rückstellungen für erwartete Verluste bilden. Dies beeinflusst die Bewertung von Kreditderivaten, da Unternehmen genaue Modelle zur Schätzung der Ausfallwahrscheinlichkeiten und der Verlustquoten nutzen müssen.
  • Rückstellung für erwartete Kreditverluste: Unter IFRS 9 müssen Unternehmen für erwartete Kreditverluste Rückstellungen bilden, anstatt erst im Falle eines tatsächlichen Verlustes. Dies bedeutet, dass Unternehmen die Kreditrisiken ihrer Derivate kontinuierlich überwachen und bewerten müssen.
  • Fair-Value-Bewertung: IFRS 9 fordert die Bewertung vieler Finanzinstrumente zum Fair Value, d. h. zum aktuellen Marktwert. Die Fair-Value-Bewertung erfordert genaue Modelle und Marktdaten, um den Wert von Kreditderivaten zu bestimmen, insbesondere in Zeiten hoher Volatilität.

### Auswirkungen auf die Kapitalanforderungen der FinanzinstituteDie Kombination von Basel III und IFRS 9 hat erhebliche Auswirkungen auf die Kapitalanforderungen der Finanzinstitute:

• Erhöhte Kapitalpuffer: Finanzinstitute müssen mehr Kapital vorhalten, um Risiken abzudecken und den Anforderungen beider Regularien gerecht zu werden. Dies erhöht die Kosten der Kapitalhaltung für Banken.
• Verbesserte Risikoidentifikation und -bewertung: Banken sind gezwungen, ihre Risikoidentifikations- und Bewertungsprozesse zu verbessern und stärker in robuste Risikomodelle zu investieren.
• Erhöhte Transparenz und Überwachung: Die Anforderungen zur Meldung und Offenlegung der Risikopositionen erhöhen die Transparenz der Finanzinstitute und ermöglichen eine bessere Überwachung durch Regulierungsbehörden.
• Einfluss auf die Liquidität: Die Anforderungen an hohe Liquiditätspuffer können die Verfügbarkeit von Mitteln für andere Investitionen einschränken, was sich auf die Gesamtliquidität im Finanzsystem auswirken kann.

Zusammengefasst tragen Basel III und IFRS 9 dazu bei, die Stabilität des Finanzsystems zu erhöhen, indem sie strengere Anforderungen an die Bewertung und Risikomanagementpraktiken von Kreditderivaten und anderen Finanzinstrumenten festlegen. Dies führt zu einer sorgfältigeren Modellierung und Überwachung der Kreditrisiken und erfordert von den Finanzinstituten eine sorgfältige Kapital- und Liquiditätssteuerung.

Aufgabe 4)

Du bist Analyst bei einer Bank und sollst die Struktur eines kürzlich von Deiner Bank emittierten Asset-Backed Security (ABS) erklären und bewerten. Dein ABS besteht aus einem Pool von Autokrediten im Wert von insgesamt 100 Millionen Euro mit einer durchschnittlichen Laufzeit von 5 Jahren. Der Pool ist in drei Tranchen aufgeteilt: Senior (70%), Mezzanine (20%) und Junior (10%). Dabei erhält die Senior Tranche ein AAA-Rating, die Mezzanine Tranche ein BBB-Rating und die Junior Tranche ein B-Rating.

a)

• Teilaufgabe 1: Beschreibe den Prozess von Pooling und Tranching in Deinem ABS und erkläre, welche Bedeutung dies für die Risikoprofile der verschiedenen Tranchen hat.
• Teilaufgabe 2: Berechne den Gesamtbetrag der einzelnen Tranchen. Erkläre zudem, warum die Senior-Tranche ein AAA-Rating, die Mezzanine-Tranche ein BBB-Rating und die Junior-Tranche ein B-Rating erhalten hat, anhand des Risikoprofils und der erwarteten Zahlungsströme.
• Teilaufgabe 3: Angenommen, die von den Autokrediten generierten Zahlungsströme ergeben 8 Millionen Euro pro Jahr. Berechne die jährlichen Zahlungen an jede Tranche unter der Annahme, dass die Zahlungen zunächst vollständig an die Senior-Tranche, dann an die Mezzanine- und schließlich an die Junior-Tranche verteilt werden. Erkläre, warum diese Verteilungsmethode angewandt wird.

Lösung:

• Teilaufgabe 1:Der Prozess des Pooling und Tranching bei einem Asset-Backed Security (ABS) verläuft wie folgt:

• Pooling: Im ersten Schritt werden die zugrunde liegenden Vermögenswerte, in diesem Fall Autokredite im Gesamtwert von 100 Millionen Euro mit einer durchschnittlichen Laufzeit von 5 Jahren, zu einem Pool zusammengefasst. Dieses Bündeln (Pooling) diversifiziert das Risiko, da es auf viele einzelne Kredite verteilt wird.
• Tranching: Im nächsten Schritt wird der Pool in verschiedene Tranchen aufgeteilt. In Deinem Beispiel gibt es drei Tranchen: Senior (70%), Mezzanine (20%) und Junior (10%). Jede Tranche hat ein unterschiedliches Risikoprofil und erhält daher unterschiedliche Ratings:
• Senior Tranche (AAA-Rating): Diese Tranche hat das geringste Risiko, da sie vorrangig bedient wird.
• Mezzanine Tranche (BBB-Rating): Diese Tranche trägt ein mittleres Risiko und wird nach der Senior Tranche bedient.
• Junior Tranche (B-Rating): Diese Tranche trägt das höchste Risiko und wird zuletzt bedient. Sie erhält Zahlungen nur dann, wenn ausreichend Mittel nach der Bedienung der anderen Tranchen vorhanden sind.

• Teilaufgabe 2:Der Gesamtbetrag der einzelnen Tranchen berechnet sich wie folgt:
  • Senior Tranche: 70% von 100 Millionen Euro = 70 Millionen Euro
  • Mezzanine Tranche: 20% von 100 Millionen Euro = 20 Millionen Euro
  • Junior Tranche: 10% von 100 Millionen Euro = 10 Millionen Euro
  Diese Ratings werden aufgrund der Risikoprofile und der erwarteten Zahlungsströme der Tranchen vergeben. Das AAA-Rating der Senior Tranche resultiert daraus, dass sie das geringste Risiko trägt und bei Zahlungsausfällen der zugrunde liegenden Autokredite als erste bedient wird. Die Mezzanine Tranche erhält ein BBB-Rating, da sie ein mittleres Risiko trägt und nach der Senior Tranche bedient wird. Die Junior Tranche hat ein B-Rating, weil sie das höchste Risiko trägt und nur dann Zahlungen erhält, wenn nach der Bedienung der anderen Tranchen noch Mittel übrig sind.

• Teilaufgabe 3:Angenommen, die von den Autokrediten generierten Zahlungsströme betragen 8 Millionen Euro pro Jahr. Die jährlichen Zahlungen an jede Tranche werden wie folgt verteilt:
  • Jährliche Zahlungen an die Senior Tranche: 70 Millionen Euro werden als erstes bedient. Bei 8 Millionen Euro pro Jahr: 8 Millionen Euro gehen an die Senior Tranche, bis deren Betrag vollständig bedient ist.
  • Jährliche Zahlungen an die Mezzanine Tranche: Nach der vollständigen Bedienung der Senior Tranche werden die nächsten Zahlungen an die Mezzanine Tranche geleistet. Da angenommen wird, dass dies pro Jahr passiert, falls nur 8 Millionen Euro pro Jahr anfallen dann bleibt nichts für die Mezzanine über in diesem Zeitraum.
  • Jährliche Zahlungen an die Junior Tranche: Diese Tranche wird zuletzt bedient, und Zahlungen erfolgen nur, wenn nach der Bedienung der Senior und Mezzanine Tranchen noch Mittel übrig sind.

Die Verteilungsmethode, bei der die Zahlungen zuerst vollständig an die Senior Tranche, dann an die Mezzanine-Tranche und schließlich an die Junior-Tranche geleistet werden, wird angewandt, um das Risiko zwischen den verschiedenen Tranchen zu managen und sicherzustellen, dass die risikoärmste Tranche (Senior) die höchste Priorität bei den Zahlungen erhält. Diese Struktur macht es möglich, dass verschiedene Investoren je nach ihrem Risikoprofil und ihrer Risikobereitschaft in unterschiedliche Tranchen investieren können.