Risk and insurance theory - Exam

Aufgabe 1)

Ein mittelständisches Unternehmen plant die Einführung eines neuen Produkts. Die Geschäftsführung will die potenziellen Risiken bewerten und Strategien entwickeln, um diese Risiken zu minimieren. Dazu müssen die Begriffe Sicherheit, Unsicherheit und Risiko klar verstanden werden. Bekannt ist, dass nach der Einführung die Nachfrage nach dem neuen Produkt in verschiedenen Szenarien festgelegt ist mit jeweiligen Wahrscheinlichkeiten.

a)

Erkläre den Unterschied zwischen Sicherheit, Unsicherheit und Risiko. Gehe in Deiner Erklärung auf die Definitionen dieser Begriffe ein und stelle sicher, dass du die relevanten Merkmale von jedem Begriff beschreibst.

Lösung:

Um die potenziellen Risiken bei der Einführung eines neuen Produkts zu bewerten, ist es wichtig, die Begriffe Sicherheit, Unsicherheit und Risiko zu verstehen. Hier sind die Definitionen und Merkmale dieser Begriffe:

• Sicherheit: Sicherheit bedeutet, dass die Auswirkungen von Aktionen oder Entscheidungen vollständig bekannt und vorhersehbar sind. Es gibt keine Zweifel oder Unklarheiten über die zukünftigen Ereignisse, und alle Variablen sind kontrollierbar. Ein Beispiel wäre, dass die Produktion einer bestimmten Menge eines Produkts zu einem festgelegten Preis führt, wobei alle relevanten Kosten und Verkäufe genau bekannt sind. Merkmale:
  • Volle Vorhersehbarkeit
  • Kein Raum für Unsicherheit
  • Alle Parameter sind bekannt und kontrollierbar
• Unsicherheit: Unsicherheit tritt auf, wenn die Zukunft unvorhersehbar ist und die möglichen Ergebnisse nicht gekannt oder nicht genau abgeschätzt werden können. Es gibt keine Informationen oder statistischen Daten über die Wahrscheinlichkeiten der verschiedenen Szenarien. Ein Beispiel dafür wäre das Verhalten eines vollkommen neuen Marktes ohne historische Daten. Merkmale:
  • Hohe Unvorhersehbarkeit
  • Erheblicher Mangel an Informationen
  • Ergebnisse und deren Wahrscheinlichkeiten sind unbekannt
• Risiko: Risiko bedeutet, dass die möglichen Ergebnisse bekannt sind und dass wir Wahrscheinlichkeiten für deren Eintreten zuweisen können. Dies impliziert eine quantifizierbare Unsicherheit, die durch statistische Daten oder Erfahrungswissen gestützt wird. Ein Beispiel wäre die Einführung eines neuen Produkts, wobei historische Verkaufsdaten und Marktforschungen zur Abschätzung der Nachfrage verwendet werden. Merkmale:
  • Bekannte Wahrscheinlichkeiten für verschiedene Szenarien
  • Möglichkeit, statistische Daten zu verwenden
  • Quantifizierbare Unsicherheit

b)

Berechne das Risiko für das Unternehmen bei der Einführung des neuen Produkts unter der Annahme von drei Szenarien. Szenario 1: hohe Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 und einem Gewinn von 500.000 €. Szenario 2: moderate Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 und einem Gewinn von 200.000 €. Szenario 3: niedrige Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 und einem Verlust von 100.000 €. Verwende dazu die gegebene Formel für das Risiko \(\text{R} = \sum_{i}{p_i \cdot x_i}\).

Lösung:

Um das Risiko für das Unternehmen bei der Einführung des neuen Produkts zu berechnen, verwenden wir die Formel:

\( \text{R} = \sum_{i}{p_{i} \cdot x_{i}} \)

Hierbei steht:

• \( p_{i} \) für die Wahrscheinlichkeit des Szenarios i
• \( x_{i} \) für den Gewinn oder Verlust im Szenario i

Die gegebenen Szenarien sind:

• Szenario 1: Hohe Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 und einem Gewinn von 500.000 €
• Szenario 2: Moderate Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 und einem Gewinn von 200.000 €
• Szenario 3: Niedrige Nachfrage mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,2 und einem Verlust von 100.000 €

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

\( \text{R} = (0,3 \cdot 500.000 \, €) + (0,5 \cdot 200.000 \, €) + (0,2 \cdot (-100.000 \, €)) \)

Berechnen wir nun jeden einzelnen Ausdruck:

\( 0,3 \cdot 500.000 \, € = 150.000 \, € \)

\( 0,5 \cdot 200.000 \, € = 100.000 \, € \)

\( 0,2 \cdot (-100.000 \, €) = -20.000 \, € \)

Kombinieren wir die Ergebnisse:

\( \text{R} = 150.000 \, € + 100.000 \, € - 20.000 \, € \)

\( \text{R} = 230.000 \, € \)

Das berechnete Risiko für das Unternehmen ist also ein erwarteter Gewinn von 230.000 € bei der Einführung des neuen Produkts unter den gegebenen Szenarien.

c)

Diskutiere mögliche Strategien, die das Unternehmen ergreifen könnte, um das Risiko zu minimieren. Berücksichtige dabei die Definitionen und Ergebnisse, die Du in den vorhergehenden Teilaufgaben erarbeitet hast. Schlage mindestens zwei spezifische Strategien vor und erkläre kurz, wie jede Strategie dazu beitragen kann, das Risiko zu senken.

Lösung:

Um das Risiko bei der Einführung des neuen Produkts zu minimieren, sind mehrere Strategien denkbar. Dabei sollten wir die Definitionen von Sicherheit, Unsicherheit und Risiko sowie die Ergebnisse der Risikoanalyse berücksichtigen. Hier sind zwei spezifische Strategien, die das Unternehmen ergreifen könnte:

• Diversifikation: Eine bewährte Methode zur Risikominderung besteht darin, das Angebot und die Zielmärkte des Unternehmens zu diversifizieren. Durch die Einführung zusätzlicher Produkte oder die Erschließung neuer Marktsegmente kann das Unternehmen die Abhängigkeit von einem einzigen Produkt reduzieren. Sollte das neue Produkt nicht die erwartete Nachfrage erreichen, könnten andere Produkte oder Märkte dies ausgleichen. Diversifikation wirkt der Unsicherheit entgegen, indem sie die Auswirkungen eines eventuellen Misserfolgs auf das gesamte Geschäft minimiert.
• Absicherungen und Versicherungen: Das Unternehmen kann auch finanzielle Absicherungen oder Versicherungen in Betracht ziehen. Beispielsweise könnte es eine Versicherungspolice gegen unerwartet niedrige Nachfrage abschließen. Eine andere Möglichkeit wäre der Einsatz von Finanzinstrumenten wie Optionen oder Futures, um potenzielle Verluste auszugleichen. Diese Maßnahmen verschieben das Risiko teilweise auf externe Parteien und bieten eine gewisse Sicherheitsgarantie, indem sie finanzielle Verluste in unvorhergesehenen Szenarien abmildern.

Beide Strategien tragen zur Risikominderung bei und können das Unternehmen vor potenziellen Verlusten schützen. Diversifikation vermindert das unternehmerische Risiko, indem es die Abhängigkeit von einem einzigen Produkt mindert. Absicherungen und Versicherungen bieten direkten finanziellen Schutz und sorgen so für eine erhöhte Sicherheit bei unvorhergesehenen Ereignissen.

Aufgabe 2)

Du bist ein Risikomanager in einem Unternehmen und stehst vor der Entscheidung, in ein neues Projekt zu investieren. Du hast folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung möglicher Erlöse (in Mio. €) basierend auf Marktanalysen:

• Erlös (x): 10, 20, 30, 40
• Wahrscheinlichkeit (p): 0.1, 0.3, 0.4, 0.2

a)

Berechne den Erwartungswert der Erlöse des Projekts. Nutze dazu die Formel für den Erwartungswert: \[ \text{E}[x] = \sum_{i=1}^{n} p_i \times x_i \] Bestimme die Varianz der Erlöse. Nutze dazu die Formel für die Varianz: \[ \text{Var}(x) = \sum_{i=1}^{n} p_i \times (x_i - \text{E}[x])^2 \]

Lösung:

Berechnung des Erwartungswertes und der Varianz der Erlöse:Der Erwartungswert (Erwartungswert der Erlöse) berechnet sich gemäß der Formel:

• \( \text{E}[x] = \sum_{i=1}^{n} p_i \times x_i \)

• Die Wahrscheinlichkeiten (\( p_i \)) sowie die zugehörigen Erlöse (\( x_i \)) lauten:
• \(x_1 = 10,\ p_1 = 0.1\)
• \(x_2 = 20,\ p_2 = 0.3\)
• \(x_3 = 30,\ p_3 = 0.4\)
• \(x_4 = 40,\ p_4 = 0.2\)
• Errechnung der gewichteten Erlöse:
• \(0.1 \times 10 = 1\)
• \(0.3 \times 20 = 6\)
• \(0.4 \times 30 = 12\)
• \(0.2 \times 40 = 8\)

• \(\text{E}[x] = 1 + 6 + 12 + 8 = 27\)

Lösung:

Berechnung des erwarteten Nutzens des Projekts:Die Nutzenfunktion des Unternehmens lautet:

• \( U(x) = \sqrt{x} \)

• \( U(w) = \text{E}[U(x)] = \sum_{i=1}^{n} p_i \times U(x_i) \)

• Die Wahrscheinlichkeiten (\( p_i \)) sowie die zugehörigen Erlöse (\( x_i \)) lauten:
• \(x_1 = 10,\ p_1 = 0.1\)
• \(x_2 = 20,\ p_2 = 0.3\)
• \(x_3 = 30,\ p_3 = 0.4\)
• \(x_4 = 40,\ p_4 = 0.2\)
• Berechnung des Nutzens für jeden Erlös (\( U(x_i) \)):
• \(U(10) = \sqrt{10} \approx 3.16\)
• \(U(20) = \sqrt{20} \approx 4.47\)
• \(U(30) = \sqrt{30} \approx 5.48\)
• \(U(40) = \sqrt{40} \approx 6.32\)
• Berechnung der gewichteten Nutzen:
• \(0.1 \times 3.16 \approx 0.316\)
• \(0.3 \times 4.47 \approx 1.341\)
• \(0.4 \times 5.48 \approx 2.192\)
• \(0.2 \times 6.32 \approx 1.264\)
• Summation der gewichteten Nutzen:
• \( U(w) = 0.316 + 1.341 + 2.192 + 1.264 \approx 5.113 \)
Der erwartete Nutzen des Projekts beträgt etwa 5.113.

c)

Das Ratingkomitee des Unternehmens verwendet den Erwartungswert-Varianz-Ansatz zur Bewertung des Risikos eines Projektes. Entscheide, ob das Projekt akzeptiert werden sollte, wenn nur Projekte akzeptiert werden, bei denen der Erwartungswert größer als 25 und die Varianz kleiner als 50 ist.

Lösung:

Bewertung des Projektes basierend auf dem Erwartungswert-Varianz-Ansatz:Basierend auf den vorherigen Berechnungen haben wir:

• Erwartungswert der Erlöse:
  • \(\text{E}[x] = 27\) Mio. €
• Varianz der Erlöse:
  • \(\text{Var}(x) = 81\)
Das Ratingkomitee akzeptiert nur Projekte, bei denen:
• Der Erwartungswert größer als 25 Mio. € ist.
• Die Varianz kleiner als 50 ist.
Überprüfung der Bedingungen:
• Der Erwartungswert beträgt 27 Mio. € und ist somit größer als 25 Mio. €.
• Die Varianz beträgt 81 und ist somit größer als 50.
Da die Varianz von 81 größer als die geforderte Grenze von 50 ist, erfüllt das Projekt nicht die Kriterien des Ratingkomitees.Fazit:Das Projekt sollte nicht akzeptiert werden, da es die Varianzanforderung von weniger als 50 nicht erfüllt.

d)

Vergleiche das Projekt mit einem alternativen Projekt, das einen konstanten Erlös von 28 Mio. € bei einer Varianz von 0 hat. Berücksichtige dabei sowohl den Erwartungswert als auch die Varianz. Erkläre, welches Projekt basierend auf der Nutzentheorie und dem Erwartungswert-Varianz-Ansatz bevorzugt werden sollte.

Lösung:

Vergleich des aktuellen Projekts mit einem alternativen Projekt:Details des aktuellen Projekts:

• Erlöse (in Mio. €): 10, 20, 30, 40
• Wahrscheinlichkeiten (\( p \)): 0.1, 0.3, 0.4, 0.2
Erwartungswert und Varianz des aktuellen Projekts:
• Erwartungswert (\(\text{E}[x]\)) = 27 Mio. €
• Varianz (\(\text{Var}(x)\)) = 81
Details des alternativen Projekts:
• Konstanter Erlös: 28 Mio. €
• Varianz: 0

Vergleich und Empfehlung basierend auf den verschiedenen Ansätzen:

1. Erwartungswert-Varianz-Ansatz:

Gemäß dem Erwartungswert-Varianz-Ansatz werden Projekte bevorzugt, bei denen der Erwartungswert hoch und die Varianz niedrig ist.
• Erwartungswert:Der Erwartungswert des alternativen Projekts beträgt 28 Mio. €, während der des aktuellen Projekts 27 Mio. € beträgt.Das alternative Projekt hat einen höheren Erwartungswert.
• Varianz:Die Varianz des alternativen Projekts ist 0, was bedeutet, dass es kein Risiko gibt. Die Varianz des aktuellen Projekts beträgt hingegen 81.Das alternative Projekt hat eine geringere Varianz.
Zusammenfassung:Basierend auf dem Erwartungswert-Varianz-Ansatz würde das alternative Projekt bevorzugt werden, da es sowohl einen höheren Erwartungswert als auch eine geringere Varianz aufweist.

2. Nutzentheorie:

Basierend auf der Nutzenfunktion \( U(x) = \sqrt{x} \) berechnen wir den erwarteten Nutzen für beide Projekte.
• Erwarteter Nutzen des aktuellen Projekts (\( U(w) \)):Berechnet durch:
  • \(U(10) = \sqrt{10} \approx 3.16\)
  • \(U(20) = \sqrt{20} \approx 4.47\)
  • \(U(30) = \sqrt{30} \approx 5.48\)
  • \(U(40) = \sqrt{40} \approx 6.32\)
  Gewichteter Nutzen:
  • \(0.1 \times 3.16 \approx 0.316\)
  • \(0.3 \times 4.47 \approx 1.341\)
  • \(0.4 \times 5.48 \approx 2.192\)
  • \(0.2 \times 6.32 \approx 1.264\)
  Summe der gewichteten Nutzen:
  • \( U(w) = 0.316 + 1.341 + 2.192 + 1.264 \approx 5.113 \)
• Erwarteter Nutzen des alternativen Projekts (\( U(28) \)):
  • Da der Erlös konstant 28 Mio. € beträgt:\( U(28) = \sqrt{28} \approx 5.29\)
Zusammenfassung:Der erwartete Nutzen des alternativen Projekts (5.29) ist ebenfalls höher als der erwartete Nutzen des aktuellen Projekts (5.113).

Fazit:

Sowohl nach dem Erwartungswert-Varianz-Ansatz als auch nach der Nutzentheorie sollte das alternative Projekt bevorzugt werden, da es einen höheren Erwartungswert, eine geringere Varianz und einen höheren erwarteten Nutzen aufweist.

Aufgabe 3)

Stell Dir vor, Du arbeitest für ein Versicherungsunternehmen und sollst eine neue Strategie zur Verbesserung der Versicherungsnachfrage entwickeln. Dabei berücksichtigst Du die Erkenntnisse der Verhaltensökonomie und Risikowahrnehmung.

a)

Erkläre anhand von zwei kognitiven Verzerrungen, wie diese das Verhalten der Konsumenten und damit die Versicherungsnachfrage beeinflussen können. In Deiner Antwort solltest Du auf Verlustaversion und Verfügbarkeitsheuristik eingehen.

Lösung:

• Verlustaversion:Verlustaversion beschreibt ein Phänomen, bei dem Menschen Verluste stärker gewichten als Gewinne gleicher Größe. In der Versicherungsbranche führt dies dazu, dass Konsumenten eher bereit sind, eine Versicherung abzuschließen, um sich gegen mögliche Verluste abzusichern, als eine beeinträchtigte Risikowahrnehmung durch Gewinne zu erfahren. Hierbei neigen Konsumenten dazu, das Risiko eines Verlustes höher zu bewerten, als es tatsächlich ist. Dadurch ist die Versicherungsnachfrage erhöht, da die Angst vor Verlusten die Handlungsweise der Konsumenten stark beeinflusst.
• Verfügbarkeitsheuristik:Die Verfügbarkeitsheuristik ist eine kognitive Verzerrung, bei der Menschen dazu tendieren, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses anhand der Leichtigkeit abzuschätzen, mit der Beispiele oder ähnliche Ereignisse in den Sinn kommen. In Bezug auf Versicherungen bedeutet dies, dass die Konsumenten die Wahrscheinlichkeit eines Schadens als höher einstufen, wenn ein solcher Schaden kürzlich in den Nachrichten war oder in ihrem Umfeld passiert ist. Die einfache Verfügbarkeit von Informationen über Katastrophen oder Unfälle führt dazu, dass Konsumenten sich eher für eine Versicherung entscheiden, um sich gegen ähnliche Vorfälle abzusichern.

Aufgabe 4)

Risikopräferenzen und deren Einfluss auf die Versicherungsnachfrage

Risikopräferenzen bestimmen das individuelle Verhalten gegenüber Risiken und beeinflussen die Nachfrage nach Versicherungen.

• Risikotypen: Risikoavers, Risikoneutral, Risikofreudig
• Nutzenfunktion: \(U(W) = W^{\beta}\) mit \(0 < \beta < 1\) für risikoavers, \( \beta = 1 \) für risikoneutral, \( \beta > 1 \) für risikofreudig
• Risikoaverse Individuen: kaufen eher Versicherungen, um Unsicherheiten zu minimieren
• Risikofreudige Individuen: geringere Versicherungsnachfrage, bevorzugen potenzielle hohe Gewinne
• Risikoneutrale Individuen: Entscheidungsfindung allein aufgrund des Erwartungswertes
• Erwartungsnutzen-Theorie:
• Versicherungspreise und -angebot beeinflussen Nachfrage:

a)

Angenommen, es gibt zwei Individuen, A und B, mit folgenden Risikopräferenzen und Vermögensniveaus. Individuum A ist risikoavers mit einer Nutzenfunktion von \( U_A(W) = W^{0.5} \). Individuum B ist risikofreudig mit einer Nutzenfunktion von \( U_B(W) = W^{1.2} \). Beide Individuen müssen entscheiden, ob sie eine Versicherungspolice zum Preis von 500€ kaufen sollen, die im Schadensfall eine Auszahlung von 10000€ bietet. Der Schadensfall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% ein. Welcher Versicherungstyp ist wahrscheinlicher, eine Versicherung zu kaufen?

Lösung:

Um herauszufinden, welches der beiden Individuen wahrscheinlicher eine Versicherung kauft, müssen wir den erwarteten Nutzen beider Optionen - Versicherung kaufen und keine Versicherung kaufen - für beide Individuen berechnen und vergleichen.

Zu beachten sind dabei:

• Der Preis der Versicherungspolice (\textit{C}) beträgt 500€.
• Die Auszahlung im Schadensfall (\textit{P}) beträgt 10000€.
• Die Wahrscheinlichkeit des Schadensfalls (\textit{p}) beträgt 5% oder 0.05.

Für Individuum A (risikoavers, Nutzenfunktion: \textit{U_A(W) = W^{0.5}}):

1. Erwarteter Nutzen ohne Versicherung:
   • Bei keinem Schadensfall (Wahrscheinlichkeit 0.95):\( U_{A, \text{kein Schaden}} = W^{0.5} \)
   • Bei Schadensfall (Wahrscheinlichkeit 0.05):\( U_{A, \text{Schaden}} = (W - P)^{0.5} \)
   \[ \text{Erwarteter Nutzen ohne Versicherung} = 0.95 \times W^{0.5} + 0.05 \times (W - P)^{0.5} \]
2. Erwarteter Nutzen mit Versicherung:
   • Kein Schadensfall oder Schadensfall ist gleich, da die Versicherung im Schadensfall zahlt. \( U_{A, \text{versichert}} = (W - C)^{0.5} \)
   \[ \text{Erwarteter Nutzen mit Versicherung} = (W - C)^{0.5} \]

Individuum A wird die Option mit dem höheren erwarteten Nutzen wählen.

Für Individuum B (risikofreudig, Nutzenfunktion: \textit{U_B(W) = W^{1.2}}):

1. Erwarteter Nutzen ohne Versicherung:
   • Bei keinem Schadensfall (Wahrscheinlichkeit 0.95):\( U_{B, \text{kein Schaden}} = W^{1.2} \)
   • Bei Schadensfall (Wahrscheinlichkeit 0.05):\( U_{B, \text{Schaden}} = (W - P)^{1.2} \)
   \[ \text{Erwarteter Nutzen ohne Versicherung} = 0.95 \times W^{1.2} + 0.05 \times (W - P)^{1.2} \]
2. Erwarteter Nutzen mit Versicherung:
   • Kein Schadensfall oder Schadensfall ist gleich, da die Versicherung im Schadensfall zahlt. \( U_{B, \text{versichert}} = (W - C)^{1.2} \)
   \[ \text{Erwarteter Nutzen mit Versicherung} = (W - C)^{1.2} \]

Individuum B wird die Option mit dem höheren erwarteten Nutzen wählen.

Schlussfolgerung:Da Individuum A risikoavers ist, wird es sich in der Regel für die sicherere Option entscheiden, was bedeutet, dass es wahrscheinlicher ist, dass es die Versicherung kauft, um sein Risiko zu minimieren. Individuum B, das risikofreudig ist, bevorzugt potenziell hohe Gewinne und akzeptiert höhere Risiken, daher wird es weniger wahrscheinlich eine Versicherung kaufen.

b)

Berechne den Erwartungsnutzen für beide Individuen (A und B) ohne und mit Versicherung. Bestimme dann, ob beide Individuen die Versicherung kaufen sollten, wenn sie auf Grundlage des Erwartungsnutzens entscheiden.

Lösung:

Um zu bestimmen, ob die Individuen A und B die Versicherung kaufen sollten, berechnen wir den erwarteten Nutzen für beide Optionen (ohne und mit Versicherung) für beide Individuen.

Zu beachten sind dabei:

• Der Preis der Versicherungspolice (C) beträgt 500€.
• Die Auszahlung im Schadensfall (P) beträgt 10000€.
• Die Wahrscheinlichkeit des Schadensfalls (p) beträgt 5% oder 0.05.

Für Individuum A (risikoavers, Nutzenfunktion: \( U_A(W) = W^{0.5} \)):

1. Erwarteter Nutzen ohne Versicherung:
   • Bei keinem Schadensfall (Wahrscheinlichkeit 0.95):\( U_{A, \text{kein Schaden}} = W^{0.5} \)
   • Bei Schadensfall (Wahrscheinlichkeit 0.05):\( U_{A, \text{Schaden}} = (W - P)^{0.5} \)
   \[ \text{Erwarteter Nutzen ohne Versicherung} = 0.95 \times W^{0.5} + 0.05 \times (W - P)^{0.5} \]
2. Erwarteter Nutzen mit Versicherung:
   • Kein Schadensfall oder Schadensfall ist gleich, da die Versicherung im Schadensfall zahlt.\( U_{A, \text{versichert}} = (W - C)^{0.5} \)
   \[ \text{Erwarteter Nutzen mit Versicherung} = (W - C)^{0.5} \]

Individuum A wird die Option mit dem höheren erwarteten Nutzen wählen.

Für Individuum B (risikofreudig, Nutzenfunktion: \( U_B(W) = W^{1.2} \)):

1. Erwarteter Nutzen ohne Versicherung:
   • Bei keinem Schadensfall (Wahrscheinlichkeit 0.95):\( U_{B, \text{kein Schaden}} = W^{1.2} \)
   • Bei Schadensfall (Wahrscheinlichkeit 0.05):\( U_{B, \text{Schaden}} = (W - P)^{1.2} \)
   \[ \text{Erwarteter Nutzen ohne Versicherung} = 0.95 \times W^{1.2} + 0.05 \times (W - P)^{1.2} \]
2. Erwarteter Nutzen mit Versicherung:
   • Kein Schadensfall oder Schadensfall ist gleich, da die Versicherung im Schadensfall zahlt.\( U_{B, \text{versichert}} = (W - C)^{1.2} \)
   \[ \text{Erwarteter Nutzen mit Versicherung} = (W - C)^{1.2} \]

Individuum B wird die Option mit dem höheren erwarteten Nutzen wählen.

Berechnung Beispiele:

Angenommen, das aktuelle Vermögen (W) von beiden Individuen beträgt 20000€:

• Erwarteter Nutzen für Individuum A ohne Versicherung:\[ \text{Erwarteter Nutzen ohne Versicherung} = 0.95 \times 20000^{0.5} + 0.05 \times (20000 - 10000)^{0.5} \] \[ = 0.95 \times 141.42 + 0.05 \times 100 \] \[ = 134.35 \]
• Erwarteter Nutzen für Individuum A mit Versicherung:\[ \text{Erwarteter Nutzen mit Versicherung} = (20000 - 500)^{0.5} \] \[ = 19500^{0.5} \] \[ = 139.64 \]
• Erwarteter Nutzen für Individuum B ohne Versicherung:\[ \text{Erwarteter Nutzen ohne Versicherung} = 0.95 \times 20000^{1.2} + 0.05 \times (20000 - 10000)^{1.2} \] \[ = 0.95 \times 1414213.56 + 0.05 \times 1048576 \] \[ = 1343502.88 + 52428.80 \] \[ = 1395931.68 \]
• Erwarteter Nutzen für Individuum B mit Versicherung:\[ \text{Erwarteter Nutzen mit Versicherung} = (20000 - 500)^{1.2} \] \[ = 19500^{1.2} \] \[ = 1332983.44 \]

Schlussfolgerung:Für Individuum A ist der erwartete Nutzen mit Versicherung höher (139.64) als ohne Versicherung (134.35). Für Individuum B ist der erwartete Nutzen ohne Versicherung (1395931.68) höher als mit Versicherung (1332983.44). Somit sollte Individuum A die Versicherung kaufen und Individuum B nicht.

c)

Diskutiere, wie sich die Risikopräferenzen von Individuen C und D ändern könnten, wenn die Wahrscheinlichkeit eines Schadensfalles ansteigt. Gehe davon aus, dass Individuum C risikoneutral und Individuum D risikoavers ist. Wie würde dies ihre Nachfrage nach Versicherungen beeinflussen?

Lösung:

Die Risikopräferenzen von Individuen beeinflussen stark ihre Nachfrage nach Versicherungen. Betrachten wir die Auswirkungen einer steigenden Wahrscheinlichkeit eines Schadensfalles auf die risikoneutralen und risikoaversen Individuen C und D:

Risikoneutrales Individuum C:Ein risikoneutrales Individuum bewertet eine Entscheidung ausschließlich basierend auf den Erwartungswerten, ohne die Risikoaversion zu berücksichtigen. Seine Nutzenfunktion ist üblich linear, also \(U(W) = W\) oder \( \beta = 1 \).

• Mit einer steigenden Wahrscheinlichkeit eines Schadensfalles wird die erwartete Auszahlung im Schadensfall entsprechend wichtiger für die Entscheidung. Da jedoch das risikoaverse Individuum lediglich den Erwartungswert berücksichtigt, wird es die Entscheidung zur Versicherung nur dann ändern, wenn der erwartete Nutzen mit Versicherung den erwarteten Nutzen ohne Versicherung übersteigt.
• Wenn die Wahrscheinlichkeit eines Schadensfalles steigt, wird der erwartete Schaden höher sein. Da die Versicherung in der Regel einen geringeren erwarteten Verlust aufgrund der Schadensabdeckung verursachen wird, wird das risikoneutrale Individuum eher geneigt sein, eine Versicherungspolice abzuschließen.

Risikoaverses Individuum D:Ein risikoaverses Individuum möchte Unsicherheiten minimieren und seine Risikoexposition durch Kauf von Versicherungen verringern. Seine Nutzenfunktion ist konkav, beispielsweise \(U(W) = W^\beta\) mit \( 0 < \beta < 1 \).

• Eine Erhöhung der Schadenswahrscheinlichkeit führt zu einer stärkeren Unsicherheit über das zukünftige Vermögen.
• Da risikoaverse Individuen von Natur aus Unsicherheiten vermeiden möchten, wird eine höhere Schadenswahrscheinlichkeit ihre Nachfrage nach Versicherungen erhöhen, um sich gegen potenzielle Verluste abzusichern. Je höher die Wahrscheinlichkeit eines Schadensfalls, desto höher ist der Anreiz, eine Versicherung abzuschließen, um den erwarteten Nutzen zu maximieren und Risiken zu minimieren.

Schlussfolgerung:Bei einer steigenden Wahrscheinlichkeit eines Schadensfalles wird das risikoneutrale Individuum C eher bereit sein, eine Versicherung zu kaufen, da der erwartete Schaden steigt. Das risikoaverse Individuum D wird noch stärker geneigt sein, eine Versicherung abzuschließen, um seine Risikoexposition zu minimieren. Während für Risikoneutrale der Kauf einer Versicherung eine Frage des Erwartungswertes bleibt, ist die Reaktion von Risikoaversen viel deutlicher, da die Risikominderung einen höheren subjektiven Wert hat.