Workshop capital markets research - Exam

Aufgabe 1)

In diesem Kontext sollst Du den Prozess der Auswahl und Analyse internationaler Spitzenforschung im Finanzwesen verstehen und anwenden. Dabei liegt der Fokus auf der Identifikation und Bewertung von weltweit führenden Forschungsarbeiten anhand der folgenden Punkte:

• Fokus auf innovative und hochzitierte Artikel
• Verwendung bibliometrischer Analysen
• Bewertung der methodologischen Qualität
• Relevanz für aktuelle finanzwirtschaftliche Fragestellungen
• Beispiele bekannter Forschungsarbeiten: CAPM, Modigliani-Miller-Theorem, Fama-French-Faktormodelle
• Datenquellen: Google Scholar, JSTOR, SSRN
• Berücksichtigung von Peer-Review und Impact-Factor

a)

Analysiere zwei hochzitierte Artikel aus dem Bereich der Finanzmarktforschung. Wähle einen Artikel zum Capital Asset Pricing Model (CAPM) und einen zum Modigliani-Miller-Theorem aus. Beschreibe kurz die Hauptaussagen der beiden Artikel und deren Beitrag zur modernen Finanztheorie.

Lösung:

Analyse von zwei hochzitierten Artikeln aus der Finanzmarktforschung

Artikel 1: Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Hauptaussagen des Artikels:

• Der Artikel „Portfolio Selection“ von Harry Markowitz, der als Grundlage für das CAPM dient und von William Sharpe weiterentwickelt wurde, beschreibt das Capital Asset Pricing Model (CAPM).
• Das CAPM stellt eine Beziehung zwischen dem erwarteten Ertrag eines Wertpapiers und seinem systematischen Risiko her.
• Das zentrale Ergebnis des CAPM ist die Gleichung: \[ E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f) \] wobei \( R_f \) der risikofreie Zinssatz ist, \( E(R_i) \) der erwartete Ertrag des Wertpapiers \( i \), \( E(R_m) \) der erwartete Marktertrag und \( \beta_i \) das Maß für das systematische Risiko des Wertpapiers \( i \) ist.
• Das Modell hilft dabei, das Risiko-Prämien-Verhältnis eines Wertpapiers zu bestimmen und ist ein grundlegendes Werkzeug in der Portfoliotheorie und dem Asset Pricing.

Beitrag zur modernen Finanztheorie:

• Das CAPM ist eine der grundlegendsten und am häufigsten verwendeten Theorien in der Finanzwirtschaft.
• Es hat die Art und Weise revolutioniert, wie Finanzmarktteilnehmer und Akademiker das Risiko und die Rendite von Wertpapieren betrachten und bewerten.
• Das CAPM wird in vielen Bereichen angewandt, darunter in der Aktienbewertung, der Portfolioverwaltung und der Kapitalbudgetierung.

Artikel 2: Modigliani-Miller-Theorem

Hauptaussagen des Artikels:

• Der Artikel „The Cost of Capital, Corporation Finance and the Theory of Investment“ von Franco Modigliani und Merton Miller stellt das Modigliani-Miller-Theorem (MM-Theorem) vor, welches sich mit der Kapitalstruktur von Unternehmen befasst.
• Das erste Theorem besagt, dass in einem perfekten Markt ohne Steuern, Insolvenzkosten und asymmetrische Informationen die Kapitalstruktur eines Unternehmens dessen Marktwert nicht beeinflusst. Dies bedeutet, dass der Wert eines Unternehmens unabhängig von der Verschuldung ist.
• Das zweite Theorem befasst sich mit der Eigenkapitalkostenstruktur und besagt, dass die Eigenkapitalkosten eines Unternehmens linear zur Verschuldungsquote zunehmen.
• Diese Ergebnisse werden durch die Formeln: \[ V_L = V_U \] et \ \[ Re = R_0 + (R_0 - R_d) \frac{D}{E} \] dargestellt, wobei \( V_L \) der Marktwert des verschuldeten Unternehmens, \( V_U \) der Marktwert des unverschuldeten Unternehmens, \( Re \) die Eigenkapitalkosten, \( R_0 \) die gesamten Kapitalkosten, \( R_d \) die Fremdkapitalkosten, \( D \) die Verschuldung und \( E \) das Eigenkapital sind.

Beitrag zur modernen Finanztheorie:

• Die MM-Theoreme haben einen tiefgreifenden Einfluss auf das Verständnis der Unternehmensfinanzierung gehabt.
• Sie bieten wertvolle Einblicke in die Auswirkungen der Kapitalstruktur auf den Unternehmenswert und die Eigenkapitalkosten.
• Auch wenn reale Märkte nicht perfekt sind, dienen die MM-Theoreme als Ausgangspunkt für die Analyse, wie Marktunvollkommenheiten die Finanzierungsentscheidungen eines Unternehmens beeinflussen.
• Sie sind grundlegende Prinzipien in der modernen Finanztheorie und werden in zahlreichen ökonomischen und finanziellen Modellen angewendet.

b)

Verwende bibliometrische Analysen, um die Wirkung der ausgewählten Artikel auf die wissenschaftliche Gemeinschaft zu bewerten. Erkläre, wie häufig diese Artikel zitiert wurden und wie ihre Zitationen im Vergleich zu anderen Artikeln in demselben Forschungsbereich stehen. Du kannst Tools wie Google Scholar verwenden, um die notwendigen Daten zu finden.

Lösung:

Bibliometrische Analyse der ausgewählten Artikel

Artikel 1: Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Zitationsanalyse:

• Der Artikel von William Sharpe, der das CAPM beschreibt, ist einer der meistzitierten Artikel in der finanziellen Forschung.
• Laut Google Scholar wurde der Artikel über 90.000 Mal zitiert (Stand: Oktober 2023).
• Im Vergleich zu anderen Artikeln im Bereich der Finanzmarktforschung zählt dieses Werk zu den am häufigsten zitierten überhaupt. Zum Beispiel werden Arbeiten von Fama und French im Bereich der Faktormodelle typischerweise weniger oft zitiert (~20.000 bis 30.000 Mal).
• Die hohe Zahl der Zitationen unterstreicht die Bedeutung und den Einfluss des CAPM auf die moderne Finanztheorie und Praxis.
• Diese Zitationszahl zeigt, dass der Artikel eine breite Anerkennung und Anwendung in vielen verschiedenen Kontexten gefunden hat, von akademischer Forschung bis hin zu praktischen Anwendungen im Finanzwesen.

Artikel 2: Modigliani-Miller-Theorem

Zitationsanalyse:

• Der Artikel von Franco Modigliani und Merton Miller, der das Modigliani-Miller-Theorem beschreibt, ist ebenfalls extrem einflussreich.
• Laut Google Scholar wurde dieser Artikel über 40.000 Mal zitiert (Stand: Oktober 2023).
• Zum Vergleich: Andere bedeutende Arbeiten im Bereich der Unternehmensfinanzierung, wie z.B. die Arbeiten von Myers und Majluf über Kapitalstrukturentscheidungen, weisen typischerweise Zitationszahlen im Bereich von 5.000 bis 10.000 auf.
• Die hohe Zitierhäufigkeit des Modigliani-Miller-Artikels bestätigt dessen grundlegende Bedeutung für das Verständnis der Kapitalstruktur und Unternehmensfinanzierung.
• Die Anzahl der Zitationen zeigt den breiten Einfluss und die Relevanz der Arbeit sowohl in der akademischen Forschung als auch in der Praxis der Unternehmensfinanzierung.

Fazit der bibliometrischen Analyse:

• Beide Artikel gehören zu den meistzitierten Werken in der Geschichte der Finanzmarktforschung.
• Ihre außergewöhnlich hohen Zitationszahlen zeigen, dass sie grundlegende und nachhaltige Beiträge zur Finanztheorie geliefert haben.
• Diese Zitationszahlen heben die Artikel deutlich von anderen Arbeiten in demselben Forschungsbereich ab.
• Durch die bibliometrische Analyse wird die Bedeutung dieser Artikel für die wissenschaftliche Gemeinschaft und ihre weitreichende Anwendung ersichtlich.

c)

Bewerte die methodologische Qualität der beiden Artikel. Achte dabei auf die verwendeten Daten, die Statistik und empirischen Methoden, sowie auf die Klarheit und Nachvollziehbarkeit der Argumentation. Was macht die Methodologie dieser Artikel besonders zuverlässig oder innovativ?

Lösung:

Bewertung der methodologischen Qualität der ausgewählten Artikel

Artikel 1: Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Verwendete Daten und empirische Methoden:

• Der Artikel von William Sharpe, der das CAPM beschreibt, basiert auf der Portfoliotheorie von Harry Markowitz und ergänzt diese durch die Einbeziehung des Marktrisikos.
• Die Methodologie stützt sich auf theoretische Modelle, die durch empirische Daten gestützt wurden.
• Sharpe verwendet die Annahme homogener Erwartungen und Risikoprämien zur Bestimmung systematischen Risikos ( \beta ).

Statistische Methoden:

• Das CAPM setzt voraus, dass die Erträge normalverteilt sind und dass Märkte vollständig und effizient sind.
• Die \beta -Sensitivität wird anhand von Regressionsanalysen zwischen der Rendite eines einzelnen Wertpapiers und der Marktrendite berechnet.
• Sharpe verwendet ein lineares Regressionsmodell, um das systematische Risiko (Marktrisiko) eines Wertpapiers zu erklären und dessen Prämie zu berechnen.

Klarheit und Nachvollziehbarkeit der Argumentation:

• Die Argumentation im Artikel ist schlüssig und logisch aufgebaut, was zur breiten Akzeptanz des Modells beiträgt.
• Das Modell wird klar und präzise erklärt, mit detaillierten mathematischen Herleitungen und praktischen Beispielen.
• Die Einfachheit des Modells und seine intuitive Herangehensweise erhöhen die Nachvollziehbarkeit und breite Anwendbarkeit.

Zuverlässigkeit und Innovation:

• Die methodologische Qualität des CAPM ist hoch. Das Modell ist innovativ, da es eine klare und einfache Beziehung zwischen Risiko und Rendite herstellt.
• Sein Einfluss hat zahlreiche nachfolgende Forschungen und Anwendungen inspiriert, insbesondere in den Bereichen Portfolio-Management und Bewertung von Wertpapieren.
• Obwohl einige Annahmen des Modells in der realen Welt vereinfacht sind, bietet das CAPM immer noch eine wertvolle Grundlage für das Verständnis von Risiko und Rendite.

Artikel 2: Modigliani-Miller-Theorem

Verwendete Daten und empirische Methoden:

• Der Artikel von Franco Modigliani und Merton Miller verwendet eine theoretische Modellierung zur Analyse der Auswirkungen der Kapitalstruktur auf den Unternehmenswert.
• Das MM-Theorem basiert auf der Annahme effizienter Märkte, ohne Transaktionskosten, Steuern oder Insolvenzkosten.
• Die Methodologie verwendet algebraische und mathematische Herleitungen, um Schlüsselergebnisse abzuleiten.

Statistische Methoden:

• Die Autoren verlassen sich stark auf mathematische Beweise, um ihre Thesen zu untermauern, anstatt auf umfangreiche empirische Daten.
• Die Schlussfolgerungen ergeben sich aus theoretischen Modellen, die durch klare algebraische Manipulationen und Gleichungen gestützt werden.

Klarheit und Nachvollziehbarkeit der Argumentation:

• Die Argumentation im Artikel ist stringent und logisch aufgebaut. Die Beweise sind klar und präzise formuliert.
• Modigliani und Miller erklären die Annahmen und die Implikationen ihrer Thesen in verständlicher Weise.
• Die Artikel sind strukturiert und systematisch aufgebaut, was die Nachvollziehbarkeit und Akzeptanz ihrer Ideen unterstützt.

Zuverlässigkeit und Innovation:

• Die methodologische Qualität der MM-Theoreme ist außergewöhnlich hoch, da sie fundamentale Einsichten in die Unternehmensfinanzierung bieten.
• Die Theoreme sind innovativ, weil sie zeigen, dass die Kapitalstruktur in einem perfekten Markt keinen Einfluss auf den Unternehmenswert hat, was gegen die damalige Intuition war.
• Sie haben die Grundlage für weitere Forschungen und Diskussionen über die Kapitalstruktur gelegt und sind eine Referenz für viele nachfolgende Studien und Praxisanwendungen.

d)

Diskutiere die Relevanz der beiden Artikel für aktuelle finanzwirtschaftliche Fragestellungen. Welche aktuellen Forschungslücken oder offenen Fragen adressieren die Artikel? Inwiefern können die Ergebnisse der Artikel auf heutige finanzwirtschaftliche Probleme oder Fragestellungen angewendet werden?

Lösung:

Relevanz der beiden Artikel für aktuelle finanzwirtschaftliche Fragestellungen

Artikel 1: Capital Asset Pricing Model (CAPM)

Aktuelle Forschungslücken und offene Fragen:

• Ein wichtiges Thema der aktuellen Forschung ist die Kritik an den Annahmen des CAPM, insbesondere die Annahme homogener Erwartungen und normalverteilten Renditen.
• Das CAPM berücksichtigt nicht die Einflüsse von Verhaltensfaktoren und Marktanomalien wie Momentum und Value-Effekte.
• Es gibt neue Entwicklungen wie das Drei-Faktoren-Modell von Fama und French, das versucht, einige der Schwächen des CAPM zu beheben, aber trotzdem bleiben Fragen zur vollständigen Erfassung von Risiken offen.

Anwendung auf heutige finanzwirtschaftliche Probleme:

• Das CAPM bleibt ein grundlegendes Werkzeug für die Bewertung von Wertpapieren und zur Bestimmung von Eigenkapitalkosten. Es wird nach wie vor in der Kapitalbudgetierung und Risikobewertung eingesetzt.
• Investment-Manager und Finanzanalysten verwenden das CAPM, um das Verhältnis zwischen Risiko und erwarteter Rendite zu bestimmen und Portfolios zu optimieren.
• Obwohl es erweitert und verfeinert wurde, bildet das CAPM nach wie vor die Grundlage für viele moderne Asset-Pricing-Theorien und -Modelle.
• In der Praxis hilft es bei der Diversifizierung von Portfolios und bietet ein einfaches Framework für die Einschätzung der erwarteten Rendite eines Assets in Abhängigkeit vom systematischen Risiko.

Artikel 2: Modigliani-Miller-Theorem

Aktuelle Forschungslücken und offene Fragen:

• Die Annahmen des MM-Theorems, insbesondere die Existenz perfekter Märkte ohne Steuern, Insolvenzkosten oder andere Marktunvollkommenheiten, sind in der realen Welt nicht vollständig erfüllbar.
• Aktuelle Forschungen untersuchen, wie verschiedene Marktfriktionen die Aussagen des MM-Theorems verändern. Dies umfasst die Einbeziehung von Steuern, Insolvenzrisiken und Informationsasymmetrien.
• Es gibt auch Studien zur optimalen Kapitalstruktur in verschiedenen Marktsituationen und Branchen, wobei reale Einschränkungen berücksichtigt werden.

Anwendung auf heutige finanzwirtschaftliche Probleme:

• Das MM-Theorem dient als Ausgangspunkt für das Verständnis der Kapitalstrukturentscheidungen in der Unternehmensfinanzierung. Es hilft Finanzmanagern dabei, die Auswirkungen von Verschuldung auf den Unternehmenswert zu analysieren.
• Die Theoreme unterstützen bei der Bewertung von Finanzierungsstrategien und deren Auswirkungen auf die Eigenkapitalkosten und den gesamten Kapitalisierungsgrad eines Unternehmens.
• In modernen Märkten dient das Theorem als Grundmodell, das durch die Einbeziehung von Steuereffekten, Insolvenzrisiken und anderen Marktfriktionen weiter verfeinert wird.
• Es hilft bei der Konzeption und Implementierung von Kapitalstrukturstrategien, die den langfristigen Wert maximieren und die Finanzstabilität des Unternehmens sicherstellen.

Fazit:

• Beide Artikel leisten bedeutende Beiträge zur modernen Finanztheorie und bleiben relevant für die aktuellen finanzwirtschaftlichen Fragestellungen.
• Das CAPM bietet eine grundlegende Methode zur Bewertung von Wertpapieren und zur Bestimmung des Risiko-Rendite-Verhältnisses, auch wenn neuere Modelle und Erweiterungen versuchen, seine Schwächen zu adressieren.
• Das Modigliani-Miller-Theorem liefert wesentliche Einsichten in die Kapitalstrukturentscheidungen und deren Auswirkungen auf den Unternehmenswert, auch wenn die Realität vieler Marktfriktionen seine Anwendung komplexer macht.
• Für beide Artikel bleibt die empirische Überprüfung und Anpassung an Marktbedingungen von großer Bedeutung, um ihre Anwendung in der Finanzpraxis weiterhin relevant zu halten.

Aufgabe 2)

Regressionsanalyse und Hypothesentests in der FinanzforschungDie Regressionsanalyse ist ein statistisches Verfahren zur Untersuchung von Zusammenhängen zwischen Variablen. Hypothesentests sind Verfahren zur Überprüfung von Annahmen über Populationsparameter.

• Das Regressionsmodell ist gegeben durch: \( Y = \alpha + \beta X + \epsilon \)
• \( \beta \): Der Koeffizient \( \beta \) misst den Einfluss der unabhängigen Variable \( X \) auf die abhängige Variable \( Y \).
• Hypothesen: \(H_0\) (Nullhypothese), \(H_1\) (Alternativhypothese)
• Das Signifikanzniveau (\( \alpha \)) ist der Schwellenwert für Testentscheidungen.
• Der p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, dass das beobachtete Ergebnis unter \(H_0\) eintritt.

b)

Es wird eine Stichprobe von 100 Personen untersucht, und der berechnete p-Wert für den Hypothesentest des Koeffizienten \(\beta\) beträgt 0.03.

• Entscheide, ob die Nullhypothese auf Basis des gegebenen Signifikanzniveaus von \(\alpha = 0.05\) abgelehnt werden sollte. Begründe Deine Entscheidung.
• Erläutere, was es bedeutet, wenn der p-Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau, und welche Auswirkungen dies auf die Validität der getroffenen Entscheidung hat.

Lösung:

Lösung zur Teilaufgabe:

• Entscheide, ob die Nullhypothese auf Basis des gegebenen Signifikanzniveaus von \(\alpha = 0.05\) abgelehnt werden sollte. Begründe Deine Entscheidung:

Der berechnete p-Wert für den Hypothesentest des Koeffizienten \(\beta\) beträgt 0.03. Das gegebene Signifikanzniveau ist \(\alpha = 0.05\).

\(\text{Da der p-Wert } (0.03) < \text{ Signifikanzniveau } (0.05)\) ist, lehnen wir die Nullhypothese \(H_0\) ab. Das bedeutet, dass der Koeffizient \(\beta\) signifikant von Null verschieden ist.

• Erläutere, was es bedeutet, wenn der p-Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau, und welche Auswirkungen dies auf die Validität der getroffenen Entscheidung hat:

Wenn der p-Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau:

• Dann gibt es genügend statistische Evidenz, um die Nullhypothese \(H_0\) abzulehnen. In diesem Fall bedeutet das, dass der Koeffizient \(\beta\) in unserem Regressionsmodell signifikant von Null verschieden ist.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass das beobachtete Ergebnis unter der Annahme der Nullhypothese eintritt, ist sehr gering. Daher ist es logisch, die Nullhypothese zu verwerfen.
• Eine Entscheidung, die auf einem niedrigen p-Wert basiert, ist mit einer höheren Sicherheit verlässlich und verringert das Risiko eines Fehler 1. Art (fälschliches Ablehnen der Nullhypothese).

In unserem Fall bedeutet dies, dass der Einfluss des Bildungsniveaus (\(X\)) auf das jährliche Einkommen (\(Y\)) signifikant ist und das Modell valide Annahmen trifft.

Aufgabe 3)

Einführung in die Zeitreihenanalyse für Finanzmärkte: Eine gängige Methode zur Untersuchung zeitlicher Datenreihen in Finanzmärkten besteht darin, Modelle wie AR (Autoregressive Prozesse), MA (Moving Average Prozesse), ARMA (Kombination aus AR und MA) und ARIMA (ARMA-Modelle mit Integrierung) anzuwenden. Um solche Modelle effektiv nutzen zu können, ist es notwendig, die Stationarität der Zeitreihen zu prüfen. Stationarität bedeutet, dass die statistischen Eigenschaften der Zeitreihe, wie Mittelwert und Varianz, über die Zeit konstant bleiben. Dies kann mittels Augmented-Dickey-Fuller-Test (ADF-Test) und Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Test (KPSS-Test) geprüft werden. Weitere wichtige Werkzeuge für die Analyse sind Autokorrelation (ACF) und Partialautokorrelation (PACF). Zur Überprüfung der Prognosegüte werden Kennzahlen wie Root Mean Square Error (RMSE) und Mean Absolute Percentage Error (MAPE) verwendet. Die Anwendung von Eigenwerten und Eigenvektoren kann helfen, die Varianz in der Datenreihe zu analysieren. Python-Bibliotheken wie pandas und statsmodels sind hilfreich bei der praktischen Implementierung dieser Methoden.

a)

• Du hast eine Zeitreihe der monatlichen Aktienrenditen eines Unternehmens vorliegen. Prüfe die Stationarität der Zeitreihe sowohl mit dem Augmented-Dickey-Fuller-Test als auch mit dem Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Test. Erläutere, welche Schritte du in Python unternehmen würdest, um diese Tests durchzuführen und interpretiere die möglichen Ergebnisse.

Lösung:

Um die Stationarität einer Zeitreihe der monatlichen Aktienrenditen eines Unternehmens zu prüfen, können wir sowohl den Augmented-Dickey-Fuller-Test (ADF-Test) als auch den Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Test (KPSS-Test) verwenden. Diese Tests können wir in Python mit Hilfe der Bibliotheken pandas und statsmodels durchführen. Hier sind die Schritte, die Du unternehmen solltest:

• Schritt 1: Installation der notwendigen Bibliotheken Zunächst musst Du sicherstellen, dass die Bibliotheken pandas und statsmodels installiert sind. Falls nicht, kannst Du diese mit den folgenden Befehlen installieren:

  pip install pandas statsmodels

• Schritt 2: Import der BibliothekenIm nächsten Schritt importierst Du die nötigen Bibliotheken in Dein Python-Skript:

  import pandas as pdfrom statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss

• Schritt 3: Einlesen der Daten Lies die Zeitreihen-Daten in ein pandas DataFrame ein. Zum Beispiel, falls Du eine CSV-Datei hast:

  df = pd.read_csv('pfad_zur_datei.csv')zeitreihe = df['renditen']

• Schritt 4: Durchführung des Augmented-Dickey-Fuller-Tests (ADF-Test) Der ADF-Test kann mit der Funktion adfuller() durchgeführt werden. Hier ist ein Beispiel:

  adf_result = adfuller(zeitreihe)print(f'Statistik: {adf_result[0]}')print(f'p-Wert: {adf_result[1]}')print('Kritische Werte:')for key, value in adf_result[4].items():    print(f'   {key}: {value}')

  Interpretation:
  • Wenn der p-Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau (normalerweise 0.05), lehnen wir die Nullhypothese ab. Das bedeutet, die Zeitreihe ist stationär.
  • Andernfalls, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen und die Zeitreihe wird als nicht stationär angesehen.
• Schritt 5: Durchführung des Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin-Tests (KPSS-Test)Der KPSS-Test kann mit der Funktion kpss() durchgeführt werden. Hier ist ein Beispiel:

  kpss_result = kpss(zeitreihe, regression='c')print(f'Statistik: {kpss_result[0]}')print(f'p-Wert: {kpss_result[1]}')print('Kritische Werte:')for key, value in kpss_result[3].items():    print(f'   {key}: {value}')

  Interpretation:
  • Wenn der p-Wert kleiner ist als das Signifikanzniveau (normalerweise 0.05), lehnen wir die Nullhypothese ab. Das bedeutet, die Zeitreihe ist nicht stationär.
  • Andernfalls, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen und die Zeitreihe wird als stationär angesehen.

Durch die Kombination beider Tests (ADF und KPSS) können wir eine zuverlässigere Aussage über die Stationarität der Zeitreihe treffen. Während der ADF-Test die Nullhypothese einer Stationarität prüft, testet der KPSS-Test die Nullhypothese einer Nicht-Stationarität, wodurch diese Tests komplementär zueinander sind.

b)

• Angenommen, du hast festgestellt, dass die Zeitreihe der monatlichen Aktienrenditen nicht stationär ist und eine Differenzierung notwendig ist. Wende ein ARIMA-Modell an, um die Zeitreihe zu modellieren. Berechne die Prognosegüte anhand der Kennzahlen RMSE und MAPE. Zeige detailliert, wie du dies in Python unter Nutzung der Bibliotheken pandas und statsmodels umsetzen würdest. Erkläre zudem, welche Bedeutung die Eigenwerte und Eigenvektoren in diesem Kontext haben können.

Lösung:

Um ein nicht stationäre Zeitreihe der monatlichen Aktienrenditen zu modellieren, kannst Du ein ARIMA-Modell (Autoregressive Integrated Moving Average) verwenden. Die ARIMA-Modelle bestehen aus drei Hauptkomponenten:

• AR (autoregressive Komponente)
• I (integrated/differenzierte Komponente)
• MA (moving average Komponente)

Du kannst den Differenzierungsgrad (d) verwenden, um die Zeitreihe zu stationär zu machen. Danach bestimmst Du die optimalen Werte für die Ordnung der AR (p) und MA (q) Modelle. Nun zeige ich Schritt für Schritt, wie dies in Python unter Nutzung der Bibliotheken pandas und statsmodels umgesetzt werden kann.

• Schritt 1: Installation der notwendigen Bibliotheken Zunächst musst Du sicherstellen, dass die Bibliotheken pandas und statsmodels installiert sind. Falls nicht, kannst Du diese mit den folgenden Befehlen installieren:

  pip install pandas statsmodels

• Schritt 2: Import der BibliothekenIm nächsten Schritt importierst Du die nötigen Bibliotheken in Dein Python-Skript:

  import pandas as pdimport numpy as npfrom statsmodels.tsa.arima.model import ARIMAfrom sklearn.metrics import mean_squared_error, mean_absolute_percentage_error

• Schritt 3: Einlesen der Daten Lies die Zeitreihen-Daten in ein pandas DataFrame ein. Zum Beispiel, falls Du eine CSV-Datei hast:

  df = pd.read_csv('pfad_zur_datei.csv')zeitreihe = df['renditen']

• Schritt 4: Differenzieren der Zeitreihe Angenommen, die Zeitreihe ist nicht stationär, wende eine Differenzierung an, um die Stationarität zu erreichen:

  zeitreihe_diff = zeitreihe.diff().dropna()

• Schritt 5: Anpassen des ARIMA-Modells Da die Differenzierung die Zeitreihe stationär gemacht hat, passe das ARIMA-Modell an:

  model = ARIMA(zeitreihe, order=(p,d,q))model_fit = model.fit()print(model_fit.summary())

  Hier musst Du die Werte für p, d und q bestimmen. Da wir bereits differenziert haben, wird d normalerweise auf 1 gesetzt.
• Schritt 6: Prognose und Berechnung von RMSE und MAPE Berechne die Prognosen und die Prognosegüte anhand von RMSE und MAPE. Beispiele:

  prognose = model_fit.forecast(steps=n)# Vergleiche Prognose mit tatsächlichen Wertenrmse = np.sqrt(mean_squared_error(zeitreihe_diff[-n:], prognose))mape = mean_absolute_percentage_error(zeitreihe_diff[-n:], prognose)print(f'RMSE: {rmse}')print(f'MAPE: {mape}')

  Interpretation:
  • Ein niedriger RMSE zeigt an, dass das Modell eine gute Anpassung hat.
  • Ein niedriger MAPE bedeutet, dass die Vorhersagen relativ genau sind.
• Eigenwerte und Eigenvektoren: Die Eigenwerte und Eigenvektoren können in der Zeitreihenanalyse dazu verwendet werden, die Varianz in der Datenreihe zu analysieren. Insbesondere bei der Untersuchung komplexer Datenstrukturen oder bei der Anwendung der Hauptkomponentenanalyse (PCA) kann das Verständnis der Eigenwerte und Eigenvektoren nützlich sein. Die Eigenwerte geben dabei Aufschluss darüber, wie viel Varianz jeder Hauptkomponente zugeordnet wird, während die Eigenvektoren die Richtung dieser Varianz anzeigen.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Anwendung eines ARIMA-Modells auf eine differenzierte Zeitreihe eine effektive Methode darstellt, um nicht stationäre Zeitreihen zu modellieren. Durch die Berechnung von RMSE und MAPE kannst Du die Prognosegüte des Modells bestimmen. Eigenwerte und Eigenvektoren können zusätzliche Einsichten in die Varianzmuster der Datenreihe liefern.

Aufgabe 4)

Du bist als Analyst in einem Investmentunternehmen tätig und nutzt R und Python für quantitative Finanzanalysen. Du hast historische Aktienkurse von verschiedenen Unternehmen über die letzten fünf Jahre gesammelt und möchtest nun tiefere Einblicke in die Daten gewinnen, um zukünftige Entwicklungen vorherzusagen und die Faktoren zu identifizieren, die die Preise am meisten beeinflussen. Nutze Deine Kenntnisse in R und Python, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

a)

Nutze Python, um eine Vorhersage für die Aktienkurse der nächsten sechs Monate zu erstellen. Verwende hierbei ein einfaches lineares Regressionsmodell.

• Lade die Daten in ein Pandas DataFrame und führe eine grundlegende Datenbereinigung durch.
• Trainiere das Modell mit den historischen Daten und überprüfe die Güte der Anpassung.
• Beschreibe Deine Vorgehensweise und interpretiere die Ergebnisse der Modellanpassung.
• Nenne und erläutere mögliche Schwächen des Modells und wie diese durch Nutzung anderer Modelle wie z.B. ARIMA oder maschinellem Lernen verbessert werden könnten.

Lösung:

Um eine Vorhersage für die Aktienkurse der nächsten sechs Monate mit Python zu erstellen, gehen wir Schritt für Schritt vor:

Schritte

• Daten in ein Pandas DataFrame laden und grundlegende Datenbereinigung durchführen

Zuerst laden wir die historischen Aktienkurse in ein Pandas DataFrame und bereinigen die Daten, indem wir fehlende Werte handhaben und die Daten auf die relevanten Zeiträume beschränken.

import pandas as pd  # Daten laden datei_pfad = 'historische_aktienkurse.csv' df = pd.read_csv(datei_pfad)  # Daten ansehen print(df.head())  # Fehlende Werte entfernen df = df.dropna()  # In ein Datetime-Format konvertieren df['Datum'] = pd.to_datetime(df['Datum'])  # Nach Datum sortieren df = df.sort_values(by='Datum')

• Modell mit historischen Daten trainieren und Güte der Anpassung überprüfen

Als nächstes erstellen wir ein einfaches lineares Regressionsmodell, um die Aktienkurse vorherzusagen. Wir verwenden dazu die Bibliothek scikit-learn.

from sklearn.model_selection import train_test_split from sklearn.linear_model import LinearRegression from sklearn.metrics import mean_squared_error  # Feature und Zielvariable definieren X = df[['Datum']].apply(lambda x: x.year * 10000 + x.month * 100 + x.day) y = df['Kurs']  # Daten in Trainings- und Testsets aufteilen X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, shuffle=False)  # Modell initialisieren und trainieren modell = LinearRegression() modell.fit(X_train.values.reshape(-1, 1), y_train)  # Vorhersagen machen y_pred = modell.predict(X_test.values.reshape(-1, 1))  # Güte der Anpassung überprüfen (MSE) mse = mean_squared_error(y_test, y_pred) print(f'Mean Squared Error: {mse}')

• Vorgehensweise beschreiben und Ergebnisse der Modellanpassung interpretieren

Wir haben ein einfaches lineares Regressionsmodell verwendet, um die historischen Daten der Aktienkurse zu analysieren. Wir haben die Daten in ein für das Modell geeignetes Format umgewandelt und in Trainings- und Testdaten aufgeteilt, um die Anpassung zu überprüfen. Der Mean Squared Error (MSE) gibt uns eine Vorstellung von der Güte der Anpassung, wobei ein niedrigerer MSE auf eine bessere Modellanpassung hinweist.

• Mögliche Schwächen des Modells und Verbesserung durch andere Modelle

Ein einfaches lineares Regressionsmodell hat mehrere Schwächen:

• Es kann nur lineare Beziehungen erfassen und ist nicht geeignet für komplexere, nichtlineare Muster.
• Es berücksichtigt keine Saisonalität oder andere zeitabhängige Muster in den Daten.
• Es ist empfindlich gegenüber Ausreißern.

Um diese Schwächen zu überwinden, könnten wir komplexere Modelle wie ARIMA oder maschinelle Lernmethoden verwenden:

• ARIMA: Ein autoregressives integriertes gleitendes Durchschnittsmodell (ARIMA) kann verwendet werden, um zeitabhängige Muster und Saisonalitäten zu berücksichtigen.
• Maschinelles Lernen: Algorithmen wie Random Forest oder neuronale Netze können komplexere und nichtlineare Beziehungen erfassen und ggf. eine bessere Vorhersagegenauigkeit bieten.

from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA # Beispiel für ARIMA Modellanpassung arima_modell = ARIMA(df['Kurs'], order=(5, 1, 0)) arima_modell_fit = arima_modell.fit() print(arima_modell_fit.summary())

b)

Nutze R, um die gleichen historischen Daten zu analysieren und eine lineare Regressionsanalyse durchzuführen.

• Lade die Daten in ein DataFrame und bereinige sie, um sicherzustellen, dass keine fehlenden Werte vorhanden sind.
• Verwende die Funktion \texttt{lm()} in R, um ein lineares Regressionsmodell zu erstellen und überprüfe die Resultate mittels Diagnoseplots.
• Erstelle eine übersichtliche Visualisierung der Ergebnisse mit ggplot2.
• Vergleiche die Vor- und Nachteile der Nutzung von R gegenüber Python für diese Analyse und diskutiere, in welchen Szenarien sich die eine oder andere Sprache besser eignet.

Lösung:

Um die historischen Aktienkurse in R zu analysieren und eine lineare Regressionsanalyse durchzuführen, folgen wir diesen Schritten:

Schritte

• Daten in ein DataFrame laden und bereinigen

Zuerst laden wir die historischen Aktienkurse in ein DataFrame und bereinigen die Daten.

# Daten laden daten <- read.csv('historische_aktienkurse.csv')  # Daten ansehen head(daten)  # Fehlende Werte entfernen daten <- na.omit(daten)  # Datum in Date-Format konvertieren daten$Datum <- as.Date(daten$Datum, format = '%Y-%m-%d')  # Nach Datum sortieren daten <- daten[order(daten$Datum), ]

• Erstellung eines linearen Regressionsmodells mit \texttt{lm()} und Überprüfung der Resultate mittels Diagnoseplots

Als nächstes erstellen wir ein lineares Regressionsmodell und überprüfen die Ergebnisse mittels Diagnoseplots.

# Lineares Regressionsmodell erstellen modell <- lm(Kurs ~ Datum, data = daten)  # Zusammenfassung des Modells anzeigen summary(modell)  # Diagnoseplots par(mfrow = c(2, 2)) plot(modell)

• Erstellung einer übersichtlichen Visualisierung der Ergebnisse mit ggplot2

Wir visualisieren die Ergebnisse der linearen Regressionsanalyse mit ggplot2.

library(ggplot2)  # Datenrahmen für Visualisierung vorbereiten daten$Forecast <- predict(modell, newdata = daten)  # Visualisierung erstellen ggplot(daten, aes(x = Datum)) +     geom_line(aes(y = Kurs), color = 'blue') +     geom_line(aes(y = Forecast), color = 'red') +     labs(title = 'Vorhersage der Aktienkurse', y = 'Kurs', x = 'Datum') +     theme_minimal()

• Vergleich der Vor- und Nachteile der Nutzung von R gegenüber Python

Vorteile von R:

• Spezialisiert auf statistische Analysen und Datenvisualisierung.
• Umfassende Bibliotheken für die unternehmerische Datenanalyse und fertige Lösungen für viele statistische Methoden.
• \texttt{ggplot2} bietet exzellente Möglichkeiten zur Datenvisualisierung.

Nachteile von R:

• Weniger geeignet für maschinelles Lernen im Vergleich zu Python.
• Kann weniger performant sein für großskalige Datenverarbeitung.

Vorteile von Python:

• Vielseitigkeit in der Programmierung über statische Analysen hinaus.
• Umfangreiche Bibliotheken wie \texttt{scikit-learn} für maschinelles Lernen und \texttt{pandas} für Datenmanipulation.
• Breite Anwendbarkeit in verschiedenen Bereichen wie Webentwicklung, Automatisierung, etc.

Nachteile von Python:

• Standardisierte Datenvisualisierungspakete wie \texttt{matplotlib} sind nicht so benutzerfreundlich wie \texttt{ggplot2} in R.
• Kann komplexer sein für rein statistische Analysen im Vergleich zu R.

Fazit: R eignet sich besonders gut für spezialisierte statistische Analysen und Datenvisualisierungen, während Python allgemein vielseitiger ist und sich insbesondere für maschinelles Lernen und umfangreiche Datenverarbeitungsaufgaben besser eignet. Je nach Analyseanforderung und Erwartungen an die Datenverarbeitung kann die eine oder andere Sprache bevorzugt werden.