Berechnen wir den zweiten Term:

\( 55 \times e^{-0,025} \approx 55 \times 0,9753 = 53,6415 \)

Also:

\( C = 50 \times 0,4115 - 53,6415 \times 0,3316 \)

\( C = 20,575 - 17,783 = 2,792 \)

Der Preis der Kaufoption (Call) beträgt somit 2,79 €.

b)

b) Berechne den Preis der Verkaufsoption (Put) ebenfalls mithilfe des Black-Scholes-Modells. Die Formel für den Preis einer Verkaufsoption lautet: \(P = Ke^{-rT} N(-d_2) - S_0 N(-d_1)\) Verwende die zuvor berechneten Werte von \(d_1\) und \(d_2\) sowie die obige Formel, um den Preis der Verkaufsoption zu bestimmen.

Lösung:

Um den Preis der Verkaufsoption (Put) mithilfe des Black-Scholes-Modells zu berechnen, verwenden wir die folgende Formel:

\( P = Ke^{-rT} N(-d_{2}) - S_{0} N(-d_{1}) \)

Wir nutzen die zuvor berechneten Werte:

• \( d_{1} = -0,2253 \)
• \( d_{2} = -0,4374 \)

Erinnerung an die Parameter:

• Aktueller Preis des Basiswerts \(( S_{0} = 50 € )\)
• Basispreis \(( K = 55 € )\)
• Risikofreier Zinssatz \(( r = 0,05 )\)
• Restlaufzeit in Jahren \(( T = 0,5 Jahre )\)

Die Werte der kumulativen Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung \( N(d) \) und \( N(-d) \) für \( d_{1} \) und \( d_{2} \) sind:

• \( N(-d_{1}) = N(0,2253) \approx 0,5885 \)
• \( N(-d_{2}) = N(0,4374) \approx 0,6684 \)

Setzen wir diese Werte in die Formel ein:

\( P = 55 \times e^{-0,05 \times 0,5} \times 0,6684 - 50 \times 0,5885 \)

Berechnen wir zunächst den ersten Term:

\( 55 \times e^{-0,025} \times 0,6684 \ \approx 55 \times 0,9753 \times 0,6684 = 35,8685 \)

Nun den zweiten Term:

\( 50 \times 0,5885 \ = 29,425 \)

Setzen wir diese Ergebnisse in die Formel ein:

\( P = 35,8685 - 29,425 = 6,4435 \)

Der Preis der Verkaufsoption (Put) beträgt somit etwa 6,44 €.

Aufgabe 3)

Ein Finanzmanager analysiert zwei verschiedene Aktien, Aktie A und Aktie B, indem er das Capital Asset Pricing Model (CAPM) verwendet. Er stellt fest, dass der risikolose Zinssatz (R_f) 2% beträgt und die erwartete Marktrendite (E(R_m)) bei 8% liegt. Die Beta-Werte der Aktien A und B sind 1,2 bzw. 0,8. Berechne die erwarteten Renditen beider Aktien und bewerte, welche Aktie eine höhere Rendite im Vergleich zu ihrem Risiko bieten würde.

a)

Berechne die erwartete Rendite von Aktie A unter Verwendung des CAPM.

Lösung:

Um die erwartete Rendite von Aktie A unter Verwendung des Capital Asset Pricing Models (CAPM) zu berechnen, verwenden wir die CAPM-Formel:

• \(\text{E(R_i)} = R_f + \beta_i (\text{E(R_m)} - R_f)\)

In dieser Formel steht:

• \( \text{E(R_i)} \) = Erwartete Rendite der Aktie i (in diesem Fall Aktie A)
• \(R_f\) = Risikofreier Zinssatz
• \( \beta_i \) = Beta der Aktie i (in diesem Fall Aktie A)
• \( \text{E(R_m)} \) = Erwartete Rendite des Marktes

Die gegebenen Werte sind:

• \(R_f = 2\text{%} = 0,02\)
• \( \text{E(R_m)} = 8\text{%} = 0,08\)
• \( \beta_A = 1,2\)

Setzen wir diese Werte in die CAPM-Formel ein:

• \( \text{E(R_A)} = 0,02 + 1,2 (0,08 - 0,02) \)

Berechnen wir zunächst den Teil innerhalb der Klammern:

• \(0,08 - 0,02 = 0,06 \)

Dann multiplizieren wir das Ergebnis mit dem Beta-Wert:

• \(1,2 \times 0,06 = 0,072 \)

Zum Schluss addieren wir den risikofreien Zinssatz:

• \( \text{E(R_A)} = 0,02 + 0,072 = 0,092\)

Die erwartete Rendite von Aktie A beträgt somit:

• \( \text{E(R_A)} = 0,092 \text{ oder } 9,2\text{%} \)

b)

Berechne die erwartete Rendite von Aktie B. Erläutere, welche Aktie, A oder B, auf Grundlage des CAPM eine bessere Investitionsoption darstellt und begründe Deine Entscheidung.

Lösung:

Um die erwartete Rendite von Aktie B unter Verwendung des Capital Asset Pricing Models (CAPM) zu berechnen, verwenden wir die CAPM-Formel:

• \(\text{E(R_i)} = R_f + \beta_i (\text{E(R_m)} - R_f)\)

In dieser Formel steht:

• \(\text{E(R_i)}\) = Erwartete Rendite der Aktie i (in diesem Fall Aktie B)
• \(R_f\) = Risikofreier Zinssatz
• \(\beta_i\) = Beta der Aktie i (in diesem Fall Aktie B)
• \(\text{E(R_m)}\) = Erwartete Rendite des Marktes

Die gegebenen Werte sind:

• \(R_f = 2\text{%} = 0,02\)
• \(\text{E(R_m)} = 8\text{%} = 0,08\)
• \(\beta_B = 0,8\)

Setzen wir diese Werte in die CAPM-Formel ein:

• \(\text{E(R_B)} = 0,02 + 0,8 (0,08 - 0,02)\)

Berechnen wir zunächst den Teil innerhalb der Klammern:

• \(0,08 - 0,02 = 0,06\)

Dann multiplizieren wir das Ergebnis mit dem Beta-Wert:

• \(0,8 \times 0,06 = 0,048\)

Zum Schluss addieren wir den risikofreien Zinssatz:

• \(\text{E(R_B)} = 0,02 + 0,048 = 0,068\)

Die erwartete Rendite von Aktie B beträgt somit:

• \(\text{E(R_B)} = 0,068\text{ oder } 6,8\text{%}\)

Bewertung der Investitionsoptionen

Um zu bewerten, welche Aktie eine bessere Investitionsoption darstellt, betrachten wir die erwarteten Renditen im Verhältnis zu ihren Beta-Werten:

• Erwartete Rendite von Aktie A: \(9,2\text{%}\)
• Beta von Aktie A: \(1,2\)
• Erwartete Rendite von Aktie B: \(6,8\text{%}\)
• Beta von Aktie B: \(0,8\)

Ein höherer Beta-Wert bedeutet ein höheres Risiko im Vergleich zum Markt. Aktie A hat einen höheren Beta-Wert (1,2) als Aktie B (0,8), was bedeutet, dass Aktie A risikoreicher ist.

Um zu bestimmen, welche Aktie eine höhere Rendite im Vergleich zu ihrem Risiko bietet, können wir das Verhältnis der erwarteten Rendite zum Beta-Wert betrachten:

• Verhältnis von Aktie A: \(\frac{9,2\%}{1,2} = 7,67\%\)
• Verhältnis von Aktie B: \(\frac{6,8\%}{0,8} = 8,5\%\)

Aktie B bietet eine höhere risikoadjustierte Rendite (8,5%) im Vergleich zu Aktie A (7,67%). Daher würde auf Grundlage des CAPM Aktie B eine bessere Investitionsoption darstellen.

Aufgabe 4)

Das Arbitrage Pricing Theory (APT) ist ein Modell zur Erklärung der Rendite eines Wertpapiers durch mehrere systematische Risikofaktoren. Dabei wird davon ausgegangen, dass keine Arbitrage-Gelegenheiten bestehen. Die Grundformel ist wie folgt:

• AP: keine Arbitrage-Gelegenheiten
• Formel: \[ E(R_i) = R_f + b_{i1}F_1 + b_{i2}F_2 + ... + b_{in}F_n \]
• \( E(R_i) \): Erwartete Rendite des Wertpapiers
• \( R_f \): Risikofreier Zinssatz
• \( b_{ij} \): Empfindlichkeit des Wertpapiers gegenüber Faktor \( j \)
• \( F_j \): Risikofaktor \( j \)
• Erweitert CAPM (Capital Asset Pricing Model)

a)

Gegeben sei die folgende Situation: Der risikofreie Zinssatz beträgt 3%. Ein Wertpapier hat Empfindlichkeiten \( b_{i1} = 1.2 \) gegenüber dem ersten Risikofaktor und \( b_{i2} = 0.8 \) gegenüber dem zweiten Risikofaktor. Die Risikoprämien für die beiden Faktoren betragen \( F1 = 5\text{\text%} \) und \( F2 = 2\text{\text%} \). Berechne die erwartete Rendite \( E(R_i) \) des Wertpapiers.

Lösung:

Um die erwartete Rendite eines Wertpapiers unter Verwendung der Arbitrage Pricing Theory (APT) zu berechnen, folgen wir der gegebenen Grundformel:

• Formel: \[ E(R_i) = R_f + b_{i1}F_1 + b_{i2}F_2 + ... + b_{in}F_n \]
• Gegebene Werte:
• Risikofreier Zinssatz \( R_f = 3\text{%} = 0.03 \)
• Empfindlichkeiten:
• \( b_{i1} = 1.2 \)
• \( b_{i2} = 0.8 \)
• Risikoprämien:
• \( F_1 = 5\text{%} = 0.05 \)
• \( F_2 = 2\text{%} = 0.02 \)

Jetzt setzen wir die gegebenen Werte in die APT-Formel ein:

\[ E(R_i) = R_f + b_{i1}F_1 + b_{i2}F_2 \]

\[ E(R_i) = 0.03 + (1.2 \times 0.05) + (0.8 \times 0.02) \]

Rechne die Terme aus:

• \( 1.2 \times 0.05 = 0.06 \)
• \( 0.8 \times 0.02 = 0.016 \)

Setze die Resultate in die Formel ein:

\[ E(R_i) = 0.03 + 0.06 + 0.016 \]

Berechne die Summe:

\[ E(R_i) = 0.106 \]

Die erwartete Rendite \( E(R_i) \) des Wertpapiers beträgt also 10.6%.

b)

Die APT geht davon aus, dass es keine Arbitrage-Gelegenheiten gibt. Erkläre anhand eines Beispiels, was unter Arbitrage verstanden wird und warum das APT dies ausschließt.

Lösung:

Um zu verstehen, was unter Arbitrage verstanden wird und warum das Arbitrage Pricing Theory (APT) dies ausschließt, betrachten wir zunächst das Konzept der Arbitrage:

• Arbitrage: Arbitrage ist die Praxis, von Preisunterschieden in verschiedenen Märkten zu profitieren, indem man ein Gut zu einem niedrigeren Preis kauft und es gleichzeitig in einem anderen Markt zu einem höheren Preis verkauft. Dies führt zu einem risikofreien Gewinn.
• Beispiel: Angenommen, der Preis einer Aktie ist an der New Yorker Börse (NYSE) 100 USD und an der Londoner Börse (LSE) 105 USD. Ein Arbitrageur könnte die Aktie in New York kaufen und gleichzeitig in London verkaufen, um einen risikofreien Gewinn von 5 USD pro Aktie zu erzielen, abzüglich möglicher Transaktionskosten.

Das APT-Modell geht jedoch davon aus, dass es keine Arbitrage-Gelegenheiten gibt. Das bedeutet:

• Alle Preisunterschiede wurden bereits durch Arbitrageure ausgeglichen.
• Die erwartete Rendite eines Wertpapiers kann vollständig durch systematische Risikofaktoren erklärt werden.
• Daher können keine risikofreien Gewinne erzielt werden, die nicht durch das Modell abgedeckt sind.

Grund für den Ausschluss von Arbitrage: Das APT basiert auf der Annahme, dass die Märkte effizient sind und alle verfügbaren Informationen bereits in den Preisen der Wertpapiere reflektiert sind. Dies impliziert, dass alle Arbitrage-Gelegenheiten sofort genutzt und somit eliminiert werden. Dadurch bleibt nur das systematische Risiko, das durch die verschiedenen Risikofaktoren im APT-Modell erklärt wird.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Arbitrage die Existenz von Preisunterschieden ausnutzt, um risikofreie Gewinne zu erzielen. Das APT schließt dies aus und postuliert, dass alle erwarteten Renditen durch systematische Risikofaktoren bestimmt werden.

c)

Vergleiche das APT mit dem Capital Asset Pricing Model (CAPM). Nenne und erläutere zwei wesentliche Unterschiede zwischen diesen beiden Modellen.

Lösung:

Das Arbitrage Pricing Theory (APT) und das Capital Asset Pricing Model (CAPM) sind beide Modelle zur Erklärung der Rendite eines Wertpapiers. Obwohl sie ähnliche Ziele verfolgen, weisen sie einige wesentliche Unterschiede auf:

• Zahl der Risikofaktoren:
• CAPM: Das CAPM berücksichtigt nur einen einzigen systematischen Risikofaktor, nämlich das Marktrisiko, welches durch den Marktrisikoprämie (\beta_{i}) dargestellt wird. Die Grundformel des CAPM lautet: \[ E(R_i) = R_f + \beta_i (E(R_m) - R_f) \] wobei \( E(R_m) \) die erwartete Marktrendite darstellt.
• APT: Im Gegensatz dazu berücksichtigt das APT mehrere systematische Risikofaktoren. Die Grundformel lautet: \[ E(R_i) = R_f + b_{i1}F_1 + b_{i2}F_2 + ... + b_{in}F_n \] wobei \( b_{ij} \) die Empfindlichkeit des Wertpapiers gegenüber dem \( j \)-ten Risikofaktor und \( F_j \) der \( j \)-te Risikofaktor ist.
• Grundannahmen:
• CAPM: Das CAPM beruht auf mehreren starken Annahmen, wie z.B. dass Investoren homogene Erwartungen haben, es einen risikolosen Zinssatz gibt und alle Wertpapiere in beliebig kleinen Einheiten gehandelt werden können. Außerdem wird angenommen, dass die Kapitalmärkte vollständig effizient sind.
• APT: Das APT macht weniger restriktive Annahmen. Es geht lediglich davon aus, dass es keine Arbitrage-Gelegenheiten gibt. Das Modell erlaubt die Existenz mehrerer Risikofaktoren und ist flexibler in Bezug auf die Struktur der Risiken, die verschiedene Wertpapiere beeinflussen können.

Zusammengefasst sind die Hauptunterschiede: das CAPM berücksichtigt nur einen einzigen Marktrisikofaktor, während das APT mehrere systematische Risikofaktoren berücksichtigt. Zusätzlich hat das CAPM strengere Annahmen als das APT, welches weniger restriktiv ist und nur die Abwesenheit von Arbitrage annimmt.