Analysis II - Cheatsheet

Definition und Eigenschaften von metrischen Räumen

Definition:

Ein metrischer Raum ist ein Paar \(X, d\), wobei \(X\) eine Menge und \(d: X \times X \to \mathbb{R}\) eine Metrik ist.

Details:

• \(d(x, y) \geq 0\) für alle \(x, y \in X\) (Nichtnegativität)
• \(d(x, y) = 0\) genau dann, wenn \(x = y\) (Definitheit)
• \(d(x, y) = d(y, x)\) für alle \(x, y \in X\) (Symmetrie)
• \(d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)\) für alle \(x, y, z \in X\) (Dreiecksungleichung)
• Offene Kugel: \(B_r(p) = \{x \in X \mid d(x, p) < r\}\)
• Topologie von \(X\) wird durch die offenen Kugeln definiert

Komplettheit und Kompaktheit von metrischen Räumen

Definition:

Komplettheit: Jeder Cauchy-Folge konvergiert.Kompaktheit: Jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.

Details:

• Komplettheit: Ein metrischer Raum \( (X,d) \) ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in \( X \) konvergiert.
• Cauchy-Folge: Eine Folge \( (x_n) \) in \( X \) ist eine Cauchy-Folge, falls für alle \( \epsilon > 0 \) ein \( N \) existiert, sodass \( d(x_n, x_m) < \epsilon \) für alle \( n, m \ge N \) gilt.
• Kompaktheit: Ein metrischer Raum \( (X,d) \) ist kompakt, wenn jede Folge in \( X \) eine konvergente Teilfolge hat.
• Äquivalente Bedingungen für Kompaktheit: Jeder unendliche Teilraum hat Häufungspunkte; jeder Überdeckung durch offene Mengen hat eine endliche Teilüberdeckung; jede Folge hat eine konvergente Teilfolge.

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

Definition:

Eine Funktionenfolge \(f_n\) konvergiert gleichmäßig gegen \(f\), falls \[ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq N, \forall x \in D: \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon.\]

Details:

• Unterschied zu punktweiser Konvergenz: \(N\) unabhängig von \(x\).
• Implikationen: Gleichmäßige Konvergenz erhält Stetigkeit und Integrabilität.
• Wichtige Kriterien: Cauchy-Kriterium, Weierstraß-M-Kriterium.
• Cauchy-Kriterium: \[ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \geq N, \forall x \in D: \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon. \]
• Weierstraß-M-Kriterium: Wenn \(M_n\) eine konvergente Reihe bildet und \[ \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq M_n \ \forall x \in D, \forall n \geq 1,\] dann konvergiert \(f_n\) gleichmäßig.

Weierstraßscher Konvergenzsatz

Definition:

Satz über die gleichmäßige Konvergenz gleichmäßig beschränkter Funktionenfolgen auf kompakten Intervallen. Beweist Existenz gleichmäßig konvergenter Potenzreihen.

Details:

• Voraussetzungen: F_Folge der Funktionen, kompaktes Intervall [a,b]
• Behauptung: Gleichmäßige Konvergenz wenn einzeln gleichmäßig beschränkt
• F_Folge konvergiert gleichmäßig gegen Grenzfunktion G
• G ist stetig wenn alle F_n stetig
• Formel: Sei \(F_n\) eine Funktionenfolge auf [a,b], dann gilt: \[ \forall \epsilon > 0 \exists N \forall x\in[a,b]\forall n>N: |F_n(x) -G(x)| < \epsilon \]

Berechnung von Fourier-Koeffizienten

Definition:

Fourier-Koeffizienten beschreiben eine Funktion als Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Details:

• Gegeben eine periodische Funktion f mit Periode T.
• Fundamentalfrequenz: \( \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \).
• Fourier-Koeffizienten berechnen:

• a_0 (der konstante Koeffizient): \[ a_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \, dt \]
• a_n (Kosinus-Koeffizienten): \[ a_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \cos(n\omega_0 t) \, dt \]
• b_n (Sinus-Koeffizienten): \[ b_n = \frac{2}{T} \int_{0}^{T} f(t) \sin(n\omega_0 t) \, dt \]

Anwendungen des Riemann- und Lebesgue-Integrals

Definition:

Anwendungen des Riemann- und Lebesgue-Integrals in verschiedenen Bereichen der Mathematik und Physik.

Details:

• Riemann-Integral: Nützlich zur Berechnung von Flächen, Volumina, und zur Lösung von einfachen Differentialgleichungen.
• Lebesgue-Integral: Erweitert die Integration auf komplexere Mengen und Funktionen, besser geeignet für L^p-Räume und zur Behandlung von Konvergenzfragen.
• Fouriertransformation: Lebesgue-Integral erleichtert die Behandlung von Funktionen mit unendlichen 'Energie'.
• Wahrscheinlichkeitstheorie: Wahrscheinlichkeitsmaße oft als Lebesgue-Integrale ausgedrückt.
• Funktionalanalysis: Lebesgue-Integral bietet eine umfassendere Grundlage für die Arbeit mit Funktionenräumen.

Sätze von Fubini und Tonelli

Definition:

Die Sätze von Fubini und Tonelli befassen sich mit dem Austausch von Integrationsreihenfolgen in Doppelintegralen und sind zentral in der Maß- und Integrationstheorie.

Details:

• Fubini: Falls \( f \) auf dem Produktraum \( X \times Y \) integrierbar ist, gilt: \[ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times u) = \int_X \left(\int_Y f(x,y) \, du(y)\right) \, d\mu(x) = \int_Y \left(\int_X f(x,y) \, d\mu(x)\right) \, du(y). \]
• Tonelli: Falls \( f \) eine nicht-negative Funktion auf \( X \times Y \) ist, dann gilt: \[ \int_{X \times Y} f \, d(\mu \times u) = \int_X \left(\int_Y f(x,y) \, du(y)\right) \, d\mu(x) = \int_Y \left(\int_X f(x,y) \, d\mu(x)\right) \, du(y). \]

Differentialgleichungen und Fourier-Transformationsmethoden

Definition:

Lösung von Differentialgleichungen mithilfe der Fourier-Transformation.

Details:

• Fourier-Transformation: \(\f(x) = \frac {1} {\sqrt {2 \pi\}}\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-ixt} dt\)
• Inverse Fourier-Transformation: \(\f^{-1}(\f) = \frac {1} {\sqrt {2 \pi\}}\int_{-\infty}^{\infty} \f(x) e^{ixt} dx\)
• Partial Differentialgleichungen: \(\frac {\partial u} {\partial t} = k \frac {\partial^{2} u} {\partial x^{2}}\)
• Vereinfachung der Differentialgleichungen durch Fourier-Transformation führt zu algebraischen Gleichungen.
• Nützlich für die Lösung von Randwertproblemen und Anfangswertproblemen.