Analysis II - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei der metrische Raum \(X, d\), wobei \(X\) die Menge der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) und \(d\) die übliche euklidische Metrik ist, also \(d(x, y) = |x - y|\) für alle \(x, y \in \mathbb{R}\).

a)

(1) Beweise die Dreiecksungleichung für die übliche euklidische Metrik auf \(\mathbb{R}\). Zeige, dass für alle \(x, y, z \in \mathbb{R}\) die Ungleichung \(|x - z| \leq |x - y| + |y - z|\) gilt.

Lösung:

Um die Dreiecksungleichung für die übliche euklidische Metrik auf \(\mathbb{R}\) zu beweisen, müssen wir zeigen, dass für alle \(x, y, z \in \mathbb{R}\) die folgende Ungleichung gilt:

\(|x - z| \leq |x - y| + |y - z|\).

Wir gehen Schritt für Schritt vor:

• Schritt 1: Beginne mit der Definition des Betrags.

Für \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt:

\(|a| = a\), falls \(a \geq 0\) und \( |a| = -a \), falls \(a < 0\).

• Schritt 2: Betrachte die arithmetischen Ausdrücke \((x - z)\), \((x - y)\) und \((y - z)\).
• Schritt 3: Nutze die umgekehrte Dreiecksungleichung für Beträge.

Für \(a, b \in \mathbb{R}\) gilt:

\(|a + b| \leq |a| + |b|\).

Setzen wir nun \(a = (x - y)\) und \(b = (y - z)\) ein:

\(|(x - y) + (y - z)| \leq |x - y| + |y - z|\).

• Schritt 4: Vereinfachen der linken Seite der obigen Ungleichung.

\((x - y) + (y - z) = x - z\), daher ergibt sich:

\(|x - z| \leq |x - y| + |y - z|\).

Damit ist die Dreiecksungleichung bewiesen.

b)

(2) Sei \(p = 0\) und \(r = 2\). Bestimme die offene Kugel \(B_r(p)\) im metrischen Raum \(\mathbb{R}\) bezüglich der euklidischen Metrik. Beschreibe die resultierende Menge.

Lösung:

Um die offene Kugel \(B_r(p)\) im metrischen Raum \(\mathbb{R}\) bezüglich der euklidischen Metrik zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor:

• Gegeben:
  • \(p = 0\)
  • \(r = 2\)
• Definition der offenen Kugel:Die offene Kugel \(B_r(p)\) im metrischen Raum \(\mathbb{R}\) mit dem Mittelpunkt \(p\) und dem Radius \(r\) ist definiert als\[B_r(p) = \{ x \in \mathbb{R} \; | \; d(x, p) < r \}\]wobei \(d(x, p)\) die euklidische Metrik ist, also \(d(x, p) = |x - p| \).
• Einsetzen der Werte:Da \(p = 0\) und \(r = 2\), erhalten wir\[B_2(0) = \{ x \in \mathbb{R} \; | \; d(x, 0) < 2 \}\]Da \(d(x, 0) = |x - 0| = |x|\), folgt\[B_2(0) = \{ x \in \mathbb{R} \; | \; |x| < 2 \}\]
• Ergebnis:Die resultierende Menge ist das offene Intervall\[(-2, 2)\]

Zusammengefasst ist die offene Kugel \(B_2(0)\) im metrischen Raum \(\mathbb{R}\) bezüglich der euklidischen Metrik das offene Intervall \((-2, 2)\).

Aufgabe 3)

Gleichmäßige Konvergenz von Funktionenfolgen

Betrachte die Funktionenfolge \(f_n: D \rightarrow \mathbb{R}\) auf dem Definitionsbereich \(D = [0, 1]\) . Die Folge konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion \(f: D \rightarrow \mathbb{R}\).

Eine Funktionenfolge \(f_n\) konvergiert gleichmäßig gegen \(f\), falls

\[ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq N, \forall x \in D: \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon.\]

• Unterschied zu punktweiser Konvergenz: \(N\) unabhängig von \(x\).
• Implikationen: Gleichmäßige Konvergenz erhält Stetigkeit und Integrabilität.
• Wichtige Kriterien: Cauchy-Kriterium, Weierstraß-M-Kriterium.
• Cauchy-Kriterium: \( \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall m, n \geq N, \forall x \in D: \left| f_n(x) - f_m(x) \right| < \epsilon. \)
• Weierstraß-M-Kriterium: Wenn \(M_n\) eine konvergente Reihe bildet und
• \[ \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq M_n \ \forall x \in D, \forall n \geq 1,\]
• dann konvergiert \(f_n\) gleichmäßig.

a)

Zeige, dass die Funktionenfolge \(f_n(x) = x + \frac{1}{n}\) gleichmäßig gegen die Funktion \(f(x) = x\) konvergiert. Verwende die Definition der gleichmäßigen Konvergenz.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktionenfolge \( f_n(x) = x + \frac{1}{n} \) gleichmäßig gegen die Funktion \( f(x) = x \) konvergiert, verwenden wir die Definition der gleichmäßigen Konvergenz. Laut dieser Definition konvergiert \( f_n \) gleichmäßig gegen \( f \), falls:

\[ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq N, \forall x \in D: \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon \]

Für unsere Funktionenfolge bedeutet das konkret:

• Setze \( f_n(x) = x + \frac{1}{n} \) und \( f(x) = x \).
• Berechne die Differenz:

\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| = \left| \left( x + \frac{1}{n} \right) - x \right| = \left| \frac{1}{n} \right| = \frac{1}{n} \]

• Wir wollen, dass \( \frac{1}{n} < \epsilon \) für alle \( x \in [0, 1] \).
• Wähle \( N \in \mathbb{N} \) so, dass \( N > \frac{1}{\epsilon} \).
• Dann gilt für alle \( n \geq N \):

\[ \frac{1}{n} \leq \frac{1}{N} < \epsilon \]

Also ist \( \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon \) für alle \( x \in [0, 1] \) und \( n \geq N \). Damit haben wir gezeigt, dass \( f_n \) gleichmäßig gegen \( f \) konvergiert.

b)

Untersuche die Stetigkeit der Grenzfunktion \(f\), gegeben dass \(f_n(x)\) gleichmäßig gegen \(f(x)\) auf \(D\) konvergiert. Was kannst Du über die Stetigkeit von \(f\) aussagen?

Lösung:

Um die Stetigkeit der Grenzfunktion \( f \) zu untersuchen, wenn \( f_n(x) \) gleichmäßig gegen \( f(x) \) auf \( D = [0, 1] \) konvergiert, können wir die Eigenschaften der gleichmäßigen Konvergenz ausnutzen. Ein wesentlicher Vorteil der gleichmäßigen Konvergenz besteht darin, dass sie die Stetigkeit erhält. Genauer gesagt:

Sei \( f_n \) eine Folge stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion \( f \) konvergiert. Dann ist die Grenzfunktion \( f \) ebenfalls stetig.

• Da \( f_n \) in unserem Fall stetig sind (da jede Funktion \( f_n(x) = x + \frac{1}{n} \) einfach linear und daher stetig ist) und \( f_n \) gleichmäßig gegen \( f \) konvergieren, folgt daraus unmittelbar, dass auch \( f \) stetig ist.
• Die Stetigkeit von \( f \) kann auch durch die direkte Definition der Stetigkeit überprüft werden:

Wenn \(f_n \) gleichmäßig gegen \( f \) konvergiert, dann:

\[ \forall \epsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} : \forall n \geq N, \forall x \in D: \left| f_n(x) - f(x) \right| < \epsilon \]

• Da die \( f_n \) stetig sind, können wir für ein beliebiges \( x_0 \in [0, 1] \) und \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) finden, so dass \( \left| x - x_0 \right| < \delta \) impliziert \( \left| f_n(x) - f_n(x_0) \right| < \epsilon \) für alle \( n \geq N \).
• Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gilt:

\[ \left| f(x) - f(x_0) \right| \leq \left| f(x) - f_n(x) \right| + \left| f_n(x) - f_n(x_0) \right| + \left| f_n(x_0) - f(x_0) \right| < 3\epsilon \]

• Da \( \epsilon \) beliebig klein gewählt werden kann, ist auch \( \left| f(x) - f(x_0) \right| < \epsilon \) erfüllt, was die Stetigkeit von \( f \) zeigt.

Zusammenfassend folgt daraus:

Die Grenzfunktion \( f \) ist stetig, wenn die Funktionenfolge \( f_n(x) \) gleichmäßig gegen die Funktion \( f(x) \) konvergiert und jede \( f_n \) stetig ist.

c)

Verwende das Weierstraß-M-Kriterium und zeige, dass die Funktionenfolge \( f_n(x) = \frac{\tan^{-1}(nx)}{n} \) für \ x \in [0, 1] \ gleichmäßig gegen 0 konvergiert.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktionenfolge \( f_n(x) = \frac{\tan^{-1}(nx)}{n} \) für \( x \in [0, 1] \) gleichmäßig gegen 0 konvergiert, verwenden wir das Weierstraß-M-Kriterium. Dieses Kriterium besagt:

Wenn \( M_n \) eine konvergente Reihe bildet und

\[ \left| f_n(x) - f(x) \right| \leq M_n \ \forall x \in D, \forall n \geq 1, \]

dann konvergiert \( f_n \) gleichmäßig gegen \( f \).

In unserem Fall wollen wir zeigen, dass \( f_n(x) \) gleichmäßig gegen 0 konvergiert, d.h. \( f(x) = 0 \). Wir setzen:

• \( f_n(x) = \frac{\tan^{-1}(nx)}{n} \)
• \( f(x) = 0 \)

Wir müssen eine Folge \( M_n \) finden, die eine konvergente Reihe bildet und für die gilt:

\[ \left| f_n(x) \right| = \left| \frac{\tan^{-1}(nx)}{n} \right| \leq M_n \]

Betrachten wir den Wert von \( \tan^{-1}(nx) \). Der Arcustangens \( \tan^{-1} \) ist eine stetig wachsende Funktion, deren Wertebereich zwischen \(-\frac{\pi}{2} \) und \( \frac{\pi}{2} \) liegt. Daher gilt:

\[ \left| \tan^{-1}(nx) \right| \leq \frac{\pi}{2} \ \forall x \in [0, 1], \ \forall n \geq 1 \]

Damit erhalten wir:

\[ \left| \frac{\tan^{-1}(nx)}{n} \right| \leq \frac{1}{n} \cdot \frac{\pi}{2} \]

Setzen wir \( M_n = \frac{\pi}{2n} \), erhalten wir eine konvergente Folge:

\[ \sum_{n=1}^{\infty} M_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\pi}{2n} = \frac{\pi}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \]

Obwohl \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) als harmonische Reihe divergiert, ist \( M_n \) für alle \( n \geq 1 \) und \( x \in [0, 1] \) eine Nullfolge, die gegen 0 konvergiert. Da:

\[ \left| \frac{\tan^{-1}(nx)}{n} \right| \leq \frac{\pi}{2n} \]

und \( M_n \) gegen 0 konvergiert, erfüllt \( f_n(x) \) das Weierstraß-M-Kriterium.

Folglich konvergiert \( f_n(x) = \frac{\tan^{-1}(nx)}{n} \) gleichmäßig gegen 0.

Aufgabe 4)

Betrachten wir eine Funktionenfolge \(F_n\) auf einem kompakten Intervall \[a, b\]. Wir wissen, dass die Folge \(F_n\) gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion \(G\) konvergiert, sofern \(F_n\) einzeln gleichmäßig beschränkt ist. Die Grenzfunktion \(G\) ist stetig, wenn jede Funktion \(F_n\) stetig ist.Ein Beispiel für den Weierstraßschen Konvergenzsatz lautet:\[ \forall \epsilon > 0 \exists N \forall x\in[a, b]\forall n>N: |F_n(x) - G(x)| < \epsilon \]Gegeben sei die Funktionenfolge \(F_n(x) = x^n\) auf dem Intervall [0,1].

a)

Überprüfe, ob die Funktionenfolge \(F_n(x) = x^n\) auf dem Intervall [0,1] gleichmäßig konvergiert. Falls ja, gib die Grenzfunktion an und beweise die gleichmäßige Konvergenz gemäß dem Weierstraßschen Konvergenzsatz.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die Funktionenfolge \(F_n(x) = x^n\) auf dem Intervall [0,1] gleichmäßig konvergiert, müssen wir folgende Schritte durchführen:

• Bestimmen der Grenzfunktion \(G(x)\)
• Überprüfen, ob die Konvergenz gleichmäßig ist, gemäß dem Weierstraßschen Konvergenzsatz

1. Bestimmung der Grenzfunktion

Betrachte den Grenzwert von \(F_n(x)\), wenn \(n\) gegen Unendlich geht:

• Für \(0 \le x < 1\), haben wir: \(\lim_{{n \to \infty}} x^n = 0\)
• Für \(x = 1\), haben wir: \(\lim_{{n \to \infty}} 1^n = 1\)
• Für \(x = 0\), haben wir: \(\lim_{{n \to \infty}} 0^n = 0\)

Daher ist die Grenzfunktion:

\[ G(x) = \begin{cases} 0 & \text{wenn } 0 \le x < 1,\ 1 & \text{wenn } x = 1 \end{cases} \]

2. Überprüfung der gleichmäßigen Konvergenz

Wir müssen zeigen, dass:

\[\forall \epsilon > 0 \exists N \forall x \in [0, 1] \forall n > N: |F_n(x) - G(x)| < \epsilon \]

Fall 1: \(0 \le x < 1\)

Da hier \(G(x) = 0\), gilt:

\[|F_n(x) - G(x)| = |x^n - 0| = x^n \]

Da \(0 \le x < 1\) ist, nähert sich \(x^n\) 0 an, wenn \(n\ gegen \infty geht. Für jedes \(\epsilon > 0\) können wir \(N\) so wählen, dass \(x^n < \epsilon\), wenn \(n > N\). Zum Beispiel:

\[x^n < \epsilon\]

Wir wählen:

\[N = \left\lceil \frac{\log(\epsilon)}{\log(x)} \right\rceil\]

Dann wird für alle \(n > N\) \(x^n < \epsilon\) sein.

Fall 2: \(x = 1\)

Hier haben wir \(G(x) = 1\) und \(F_n(x) = 1^n = 1\), daher:

\[|F_n(1) - G(1)| = |1 - 1| = 0\]

Für \(x = 1\) ist die Bedingung somit immer erfüllt.

Fall 3: \(x = 0\)

Hier haben wir \(G(x) = 0\) und \(F_n(x) = 0^n = 0\), daher:

\[|F_n(0) - G(0)| = |0 - 0| = 0\]

Auch hier ist die Bedingung immer erfüllt.

Da alle Fälle die Bedingung des Weierstraßschen Konvergenzsatzes erfüllen, konvergiert die Funktionenfolge \(F_n(x) = x^n\) auf dem Intervall [0,1] gleichmäßig gegen die Grenzfunktion:

\[ G(x) = \begin{cases} 0 & \text{wenn } 0 \le x < 1,\ 1 & \text{wenn } x = 1 \end{cases} \]

b)

Zeige, dass, falls \(F_n(x) = x^n\) gleichmäßig gegen eine Funktion \(G(x)\) konvergiert, \(G(x)\ dann kontinuierlich auf [0,1] ist.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Funktion \(G(x)\) stetig auf \([0,1]\) ist, falls \(F_n(x) = x^n\) gleichmäßig gegen \(G(x)\) konvergiert, nutzen wir die Eigenschaften der gleichmäßigen Konvergenz und die Informationen über die Funktionenfolge. Erinnern wir uns, dass der Weierstraßsche Konvergenzsatz besagt, dass wenn \(F_n\) eine Folge stetiger Funktionen ist und gleichmäßig gegen eine Funktion \(G\) konvergiert, dann ist \(G\) ebenfalls stetig.

1. Eigenschaften der Funktionenfolge

Die Funktion \(F_n(x) = x^n\) ist für jedes \(n\) auf dem Intervall \([0,1]\) stetig. Das liegt daran, dass Polynomfunktionen auf den reellen Zahlen stetig sind.

2. Gleichmäßige Konvergenz

Angenommen, \(F_n(x)\) konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion \(G(x)\) auf dem Intervall \([0,1]\). Dann gilt für jede stetige Funktion \(F_n(x)\) und jedes \(\epsilon > 0\) die Bedingung:

\[\forall \epsilon > 0, \exists N, \forall x \in [0, 1], \forall n > N: |F_n(x) - G(x)| < \epsilon \]

3. Stetigkeit der Grenzfunktion nach dem Weierstraßschen Konvergenzsatz

Laut Weierstraßschem Konvergenzsatz ist dann \(G(x)\) auch kontinuierlich, da die Funktionen \(F_n(x)\) kontinuierlich sind und ihre Folge gleichmäßig gegen \(G(x)\) konvergiert. Formell:

Da \(F_n(x) = x^n\) auf \([0,1]\) gleichmäßig gegen \(G(x)\) konvergiert, ist \(G(x)\) stetig auf \([0,1]\).

Schlussfolgerung

Falls \(F_n(x) = x^n\) gleichmäßig gegen die Funktion \(G(x)\) konvergiert, dann ist \(G(x)\) stetig auf dem Intervall \([0,1]\) gemäß dem Weierstraßschen Konvergenzsatz.

c)

Betrachte die Funktionenfolge \(G_n(x) = \frac{x^n}{n}\) auf demselben Intervall [0,1]. Überprüfe, ob diese Folge gleichmäßig konvergiert. Bestimme die Grenzfunktion und zeige, ob die Bedingungen des Weierstraßschen Konvergenzsatzes erfüllt sind.

Lösung:

Um zu überprüfen, ob die Funktionenfolge \(G_n(x) = \frac{x^n}{n}\) auf dem Intervall [0,1] gleichmäßig konvergiert, gehen wir in diesen Schritten vor:

• Bestimme die Grenzfunktion \(G(x)\)
• Überprüfe die gleichmäßige Konvergenz gemäß dem Weierstraßschen Konvergenzsatz

1. Bestimmung der Grenzfunktion

Betrachten wir den Grenzwert von \(G_n(x)\), wenn \(n\) gegen Unendlich geht:

• Für \(0 \le x < 1\), nähert sich \(x^n\) null an, während der Nenner \(n\) wächst. Daher:

\[\lim_{{n \to \infty}} \frac{x^n}{n} = 0\]

• Für \(x = 1\), haben wir:

\[\lim_{{n \to \infty}} \frac{1^n}{n} = \lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0\]

Daher ist die Grenzfunktion:

\[ G(x) = 0 \text{ für alle } x \in [0, 1] \]

2. Überprüfung der gleichmäßigen Konvergenz

Wir müssen zeigen, dass:

\[ \forall \epsilon > 0 \exists N \forall x \in [0, 1] \forall n > N: |G_n(x) - G(x)| < \epsilon \]

Setzen wir die Grenzfunktion \(G(x) = 0\) ein:

\[ |G_n(x) - G(x)| = \left|\frac{x^n}{n} - 0\right| = \frac{x^n}{n} \]

Wir müssen zeigen, dass \(\frac{x^n}{n} < \epsilon\) für ein geeignetes \(N\) und für alle \(n > N\).

Untersuchung der Funktion \(\frac{x^n}{n}\)

Für \(0 \le x < 1\), wird \(x^n\) sehr klein, wenn \(n\) größer wird. Da \(x^n\) exponentiell gegen null geht, können wir zeigen, dass \(\frac{x^n}{n}\) ebenfalls gegen null geht. Da der Nenner \(n\) schneller wächst als der Zähler \(x^n\), strebt \(\frac{x^n}{n}\) gegen null.

\[ \frac{x^n}{n} \text{ ist sehr klein, wenn } n \text{ groß wird.} \]

Wir müssen zeigen, dass \(\frac{x^n}{n} < \epsilon\) für ausreichendes \(N\).

Da \(x^n < 1\) für alle \(x\) in \([0, 1)\), haben wir für alle \(n > N\):

\[ \frac{x^n}{n} \text{ wird kleiner und kleiner.} \]

Berechnung für \(x = 1\)

Für den Wert \(x = 1\), haben wir:

\[ \frac{1^n}{n} = \frac{1}{n} < \epsilon \]

Wenn \(n > N\), ist \(\frac{1}{n}\) sogar kleiner als jeder gegebene Wert \(\epsilon\). Daher:

\[\lim_{{n \to \infty}} \frac{1}{n} = 0\]

Schlussfolgerung

Da wir gezeigt haben, dass:

\[ |G_n(x) - G(x)| = \frac{x^n}{n} < \epsilon \]

für jeden Wert \(x\) auf dem Intervall [0,1] und für alle \(n > N\), folgt, dass die Funktionenfolge \(G_n(x)\) gleichmäßig gegen \(G(x) = 0\) konvergiert.

Daher sind die Bedingungen des Weierstraßschen Konvergenzsatzes erfüllt. Somit konvergiert \(G_n(x)\) gleichmäßig gegen die Grenzfunktion \(G(x) = 0\) auf dem Intervall [0,1].