Computerorientierte Mathematik II - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei die Funktion f(x) = e^-x. Verwende numerische Methoden zur Integration und Differentiation um verschiedene Aufgaben zu lösen.

a)

Berechne das Integral der Funktion f(x) = e^-x im Intervall [0, 1] mittels der Rechteckregel, der Trapezregel und der Simpson-Regel unter der Annahme von n = 4 Teilintervallen. Stelle sicher, dass Du bei der Berechnung die Schritte zeigst und die Integrale approximierst.

Lösung:

In dieser Aufgabe berechnen wir das Integral der Funktion f(x) = e^-x im Intervall [0, 1] mit verschiedenen numerischen Integrationsmethoden. Wir werden die Rechteckregel, die Trapezregel und die Simpson-Regel anwenden, wobei n = 4 Teilintervalle gegeben sind.

• 1. Rechteckregel
Die Rechteckregel approximiert das Integral durch die Summe der Funktionswerte an den linken Endpunkten der Teilintervalle multipliziert mit der Breite der Intervalle.
• Teilintervalle definieren: n = 4, daher h = \(\frac{1 - 0}{4} = 0.25\)
• Berechnung der linkseitigen Teilintervall-Endpunkte: \(x_0 = 0\), \(x_1 = 0.25\), \(x_2 = 0.5\), \(x_3 = 0.75\)
• Funktionswerte an den Endpunkten: \(f(x_0) = e^{0} = 1\), \(f(x_1) = e^{-0.25}\), \(f(x_2) = e^{-0.5}\), \(f(x_3) = e^{-0.75}\)
• Berechnung der Summe: Integral-Rechteckregel ≈ \( h \times (f(x_0) + f(x_1) + f(x_2) + f(x_3))\)

0.25 \times (1 + e^{-0.25} + e^{-0.5} + e^{-0.75})

• 2. Trapezregel
Die Trapezregel verwendet die Summe der Bereiche von Trapezen, die unter der Funktion liegen.
• Teilintervalle definieren: n = 4, daher h = \(\frac{1 - 0}{4} = 0.25\)
• Funktionswerte an den Endpunkten: \(f(x_0) = 1\), \(f(x_1) = e^{-0.25}\), \(f(x_2) = e^{-0.5}\), \(f(x_3) = e^{-0.75}\), \(f(x_4) = e^{-1}\)
• Berechnung der Summe: Integral-Trapezregel ≈ \( h \times (\frac{1}{2} \times (f(x_0) + f(x_4)) + (f(x_1) + f(x_2) + f(x_3))) \)

0.25 \times (0.5 \times (1 + e^{-1}) + (e^{-0.25} + e^{-0.5} + e^{-0.75}))

• 3. Simpson-Regel
Die Simpson-Regel nutzt quadratische Polynome zur Approximation der Funktionskurve.
• Teilintervalle definieren: n = 4, daher h = \(\frac{1 - 0}{4} = 0.25\)
• Funktionswerte an den Endpunkten: \(f(x_0) = 1\), \(f(x_1) = e^{-0.25}\), \(f(x_2) = e^{-0.5}\), \(f(x_3) = e^{-0.75}\), \(f(x_4) = e^{-1}\)
• Berechnung der Summe: Integral-Simpsonregel ≈ \(\frac{h}{3} \times (f(x_0) + 4 \times f(x_1) + 2 \times f(x_2) + 4 \times f(x_3) + f(x_4))\)

\frac{0.25}{3} \times (1 + 4 \times e^{-0.25} + 2 \times e^{-0.5} + 4 \times e^{-0.75} + e^{-1})

Zusammengefasst ergeben unsere Berechnungen:

• Rechteckregel: ungefähr 0.7144
• Trapezregel: ungefähr 0.6354
• Simpson-Regel: ungefähr 0.6311

b)

Bestimme die numerische Ableitung der Funktion f(x) = e^-x an der Stelle x = 0.5 mittels der Vorwärtsdifferenz, Rückwärtsdifferenz und Zentraldifferenz. Verwende einen Schrittwert von h = 0.1. Zeige alle Berechnungsschritte.

Lösung:

Wir berechnen die numerische Ableitung der Funktion f(x) = e^-x an der Stelle x = 0.5 mittels der Vorwärtsdifferenz, Rückwärtsdifferenz und Zentraldifferenz. Hierbei verwenden wir einen Schrittwert von h = 0.1. Im Folgenden sind alle Berechnungsschritte detailliert dargestellt.

• 1. Vorwärtsdifferenz
Die Vorwärtsdifferenz benutzt die Funktionswerte an x und x + h.
• Formel: \(f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\)
• Einsetzen: \(f'(0.5) \approx \frac{f(0.6) - f(0.5)}{h}\)
• Funktionswerte berechnen:\(f(0.5) = e^{-0.5} \approx 0.6065\)\(f(0.6) = e^{-0.6} \approx 0.5488\)
• Berechnung: \(f'(0.5) \approx \frac{0.5488 - 0.6065}{0.1} = -0.577\)
• 2. Rückwärtsdifferenz
Die Rückwärtsdifferenz nutzt die Funktionswerte an x und x - h.
• Formel: \(f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x - h)}{h}\)
• Einsetzen: \(f'(0.5) \approx \frac{f(0.5) - f(0.4)}{h}\)
• Funktionswerte berechnen:\(f(0.5) = e^{-0.5} \approx 0.6065\)\(f(0.4) = e^{-0.4} \approx 0.6703\)
• Berechnung: \(f'(0.5) \approx \frac{0.6065 - 0.6703}{0.1} = -0.638\)
• 3. Zentraldifferenz
Die Zentraldifferenz verwendet die Funktionswerte an x + h und x - h.
• Formel: \(f'(x) \approx \frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}\)
• Einsetzen: \(f'(0.5) \approx \frac{f(0.6) - f(0.4)}{2h}\)
• Funktionswerte berechnen:\(f(0.6) = e^{-0.6} \approx 0.5488\)\(f(0.4) = e^{-0.4} \approx 0.6703\)
• Berechnung: \(f'(0.5) \approx \frac{0.5488 - 0.6703}{2 \times 0.1} \approx \frac{-0.1215}{0.2} = -0.6075\)

Zusammengefasst ergeben unsere Berechnungen:

• Vorwärtsdifferenz: ca. -0.577
• Rückwärtsdifferenz: ca. -0.638
• Zentraldifferenz: ca. -0.6075

c)

Vergleiche die Ergebnisse der numerischen Methoden (Rechteckregel, Trapezregel, Simpsonregel, Vorwärtsdifferenz, Rückwärtsdifferenz, und Zentraldifferenz) durch Berechnung der Fehler gegenüber den analytischen Lösungen (das analytische Integral und die analytische Ableitung der Funktion f(x)). Kommentiere auf Basis Deiner Ergebnisse, welche Methode Du für diese speziellen Aufgaben bevorzugen würdest und warum.

Lösung:

Um die Fehler der numerischen Methoden mit den analytischen Lösungen zu vergleichen, berechnen wir zunächst die analytischen Werte für das Integral und die Ableitung der Funktion f(x) = e^-x.

• Analytisches Integral:
• Die analytische Lösung für das Integral der Funktion von 0 bis 1 lautet:
• \[\int_{0}^{1} e^{-x} \, dx = [-e^{-x}]_{0}^{1} = -(e^{-1} - e^{0}) = -\left(\frac{1}{e} - 1\right) \approx 1 - 0.3679 = 0.6321\]
• Analytische Ableitung:
• Die analytische Lösung für die Ableitung der Funktion f(x) = e^-x an der Stelle x = 0.5 lautet:
• \[f'(x) = -e^{-x}\]
• Bei x = 0.5 ist die analytische Ableitung:
• \[f'(0.5) = -e^{-0.5} \approx -0.6065\]
• Fehlerberechnung:

• 1. Fehler der numerischen Integrationsmethoden:
• Rechteckregel: Numerisches Ergebnis ≈ 0.7144, Analytisches Ergebnis ≈ 0.6321Fehler = |0.7144 - 0.6321| = 0.0823
• Trapezregel: Numerisches Ergebnis ≈ 0.6354, Analytisches Ergebnis ≈ 0.6321Fehler = |0.6354 - 0.6321| = 0.0033
• Simpsonregel: Numerisches Ergebnis ≈ 0.6311, Analytisches Ergebnis ≈ 0.6321Fehler = |0.6311 - 0.6321| = 0.0010
• 2. Fehler der numerischen Differenzmethoden:
• Vorwärtsdifferenz: Numerisches Ergebnis ≈ -0.577, Analytisches Ergebnis ≈ -0.6065Fehler = |-0.577 + 0.6065| = 0.0295
• Rückwärtsdifferenz: Numerisches Ergebnis ≈ -0.638, Analytisches Ergebnis ≈ -0.6065Fehler = |-0.638 + 0.6065| = 0.0315
• Zentraldifferenz: Numerisches Ergebnis ≈ -0.6075, Analytisches Ergebnis ≈ -0.6065Fehler = |-0.6075 + 0.6065| = 0.0010
• Kommentar:
• Basierend auf den Fehleranalysen zeigen die Trapezregel und die Simpsonregel die geringsten Fehler bei der numerischen Integration. Insbesondere die Simpsonregel zeigt einen sehr kleinen Fehler von 0.0010 und liefert damit eine genauere Annäherung an das analytische Integral.
• Bei der numerischen Differentiation zeigt die Zentraldifferenzmethode den geringsten Fehler von 0.0010, was sie zur bevorzugten Methode für diese spezifische Aufgabe macht.
• Zusammengefasst lässt sich sagen, dass die Simpsonregel und die Zentraldifferenzmethode aufgrund ihrer höheren Genauigkeit für die numerische Integration bzw. Differentiation der Funktion f(x) = e^-x bevorzugt werden sollten.

Aufgabe 2)

Gegeben ist die nichtlineare Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + x - 5. Deine Aufgabe ist es, die Nullstellen dieser Funktion mit verschiedenen numerischen Methoden zu bestimmen und die Konvergenzverhalten zu analysieren.

a)

Bestimme eine geeignete Anfangsnäherung und wende das Newton-Verfahren an, um die Nullstelle der Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + x - 5 zu finden. Berechne die ersten drei Iterationen von x_n. Zeige alle Schritte der Berechnung inklusiver Ableitungen und wende das Konvergenzkriterium an, um zu überprüfen, ob die Methode im angegebenen Bereich konvergiert.

Lösung:

Um die Nullstelle der Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + x - 5 zu bestimmen, verwenden wir das Newton-Verfahren. Dazu benötigen wir sowohl die Funktion selbst als auch ihre Ableitung.

• Schritt 1: Bestimme die Ableitung der Funktion:Die Funktion lautet: \( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \) Die Ableitung ist: \( f'(x) = 9x^2 - 4x + 1 \)
• Schritt 2: Wähle eine geeignete Anfangsnäherung:Eine grobe Schätzung für die Anfangsnäherung könnte x0 = 1 sein.
• Schritt 3: Wende das Newton-Verfahren an:Das Newton-Verfahren nutzt die Formel:\( x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)} \) Berechnen wir die ersten drei Iterationen:
  1. Erste Iteration (n=0):\( x_0 = 1 \) \( f(x_0) = 3(1)^3 - 2(1)^2 + 1 - 5 = -3 \) \( f'(x_0) = 9(1)^2 - 4(1) + 1 = 6 \) \( x_1 = 1 - \frac{-3}{6} = 1 + 0.5 = 1.5 \)
  2. Zweite Iteration (n=1):\( x_1 = 1.5 \) \( f(x_1) = 3(1.5)^3 - 2(1.5)^2 + 1.5 - 5 = 3.875 \) \( f'(x_1) = 9(1.5)^2 - 4(1.5) + 1 = 13.75 \) \( x_2 = 1.5 - \frac{3.875}{13.75} = 1.21818 \)
  3. Dritte Iteration (n=2):\( x_2 = 1.21818 \) \( f(x_2) = 3(1.21818)^3 - 2(1.21818)^2 + 1.21818 - 5 = 0.42376 \) \( f'(x_2) = 9(1.21818)^2 - 4(1.21818) + 1 = 9.698 \) \( x_3 = 1.21818 - \frac{0.42376}{9.698} = 1.17458 \)
• Schritt 4: Überprüfen des Konvergenzkriteriums:Das Konvergenzkriterium besagt, dass das Verfahren konvergiert, wenn die Folge \( x_n \) gegen einen festen Wert konvergiert. Nach drei Iterationen sehen wir, dass der Wert sich zu stabilisieren beginnt:
• \( x_3 = 1.17458 \)
• \( x_2 = 1.21818 \)

• Fazit: Die Methode scheint zu konvergieren. Für genauere Ergebnisse sollte man jedoch mehr Iterationen durchführen und überprüfen, ob der Unterschied zwischen den iterierten Werten kleiner wird.

b)

Verwende die Fixpunktiteration mit einer geeigneten Umformung der Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + x - 5 in die Form x = g(x). Bestimme eine Startwert und führe die ersten drei Iterationen durch. Überprüfe anschließend, ob die Fixpunktiteration eine feste Punktlösung erreicht und ob diese Methode konvergiert.

Lösung:

Um die Nullstellen der Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + x - 5 mit der Fixpunktiteration zu bestimmen, müssen wir die Funktion in die Form x = g(x) umformen.

• Schritt 1: Umformung der Funktion:Gegeben ist die Funktion:\( f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x - 5 \)Um diese Funktion in die Form x = g(x) zu bringen, können wir beispielsweise wie folgt umformen:\(x = 5 - 3x^3 + 2x^2\)Also:\(g(x) = 5 - 3x^3 + 2x^2\)
• Schritt 2: Startwert wählen:Wählen wir einen Startwert, z.B. x0 = 1.
• Schritt 3: Fixpunktiteration durchführen:Die Fixpunktiteration nutzt die Formel:\(x_{n+1} = g(x_n)\)Berechnen wir die ersten drei Iterationen:
  1. Erste Iteration (n=0):\(x_0 = 1\)\(x_1 = g(x_0) = 5 - 3(1)^3 + 2(1)^2 = 5 - 3 + 2 = 4\)
  2. Zweite Iteration (n=1):\(x_1 = 4\)\(x_2 = g(x_1) = 5 - 3(4)^3 + 2(4)^2 = 5 - 192 + 32 = -155\)
  3. Dritte Iteration (n=2):\(x_2 = -155\)\(x_3 = g(x_2) = 5 - 3(-155)^3 + 2(-155)^2 = 5 + 11188725 - 48050 = 11140680\)
• Schritt 4: Überprüfung der Fixpunktiteration:

  Die Fixpunktiteration konvergiert, wenn die Folge \(x_n\) gegen einen festen Punkt konvergiert. Nach den ersten drei Iterationen sehen wir jedoch, dass die Werte stark schwanken und nicht zu stabilisieren scheinen. Dies deutet darauf hin, dass die gewählte Umformung und/oder der Startwert nicht geeignet sind und die Methode in diesem Fall nicht konvergiert.

  Fazit: Für eine erfolgreiche Fixpunktiteration muss entweder eine andere Umformung der Funktion oder ein anderer Startwert gewählt werden. Zudem muss überprüft werden, ob die Bedingungen für die Konvergenz der Fixpunktiteration erfüllt sind.

c)

Erkläre die Schritte der Bisektionsmethode zur Lösung der Funktion f(x) = 3x³ - 2x² + x - 5 und wende dieses Verfahren an, um die Nullstelle im Intervall [1, 2] zu finden. Berechne die ersten vier Intervalle und bestimme die Näherung der Nullstelle nach der vierten Iteration. Begründe die Wahl des Intervalls und überprüfe das Konvergenzverhalten.

Lösung:

Die Bisektionsmethode ist eine einfache und robuste Methode, um die Nullstellen einer Funktion in einem bestimmten Intervall zu finden. Sie basiert auf dem Zwischenwertsatz, der besagt, dass eine kontinuierliche Funktion, die in einem Intervall ihre Vorzeichen wechselt, mindestens eine Nullstelle innerhalb dieses Intervalls hat.

• Schritt 1: Wahl des Intervalls:Gegeben ist das Intervall [1, 2]. Um sicherzustellen, dass innerhalb dieses Intervalls eine Nullstelle liegt, berechnen wir die Funktionswerte an den Intervallgrenzen:
  • \( f(1) = 3(1)^3 - 2(1)^2 + 1 - 5 = -3 \)
  • \( f(2) = 3(2)^3 - 2(2)^2 + 2 - 5 = 17 \)

  Da \( f(1) < 0 \) und \( f(2) > 0 \), wechselt die Funktion ihr Vorzeichen im Intervall [1, 2], und es gibt mindestens eine Nullstelle in diesem Intervall. Daher ist das Intervall [1, 2] eine geeignete Wahl.

• Schritt 2: Durchführung der Bisektionsmethode:Die Bisektionsmethode halbiert das Intervall in jedem Schritt kontinuierlich und wählt das Teilintervall, in dem die Nullstelle liegt, basierend auf dem Vorzeichenwechsel. Die Schritte zur Berechnung sind wie folgt:
  1. Erste Iteration:\( a_0 = 1 \)\( b_0 = 2 \)\( c_0 = \frac{1 + 2}{2} = 1.5 \)\( f(c_0) = 3(1.5)^3 - 2(1.5)^2 + 1.5 - 5 = 3.875 \)Da \( f(a_0) \) und \( f(c_0) \) unterschiedliche Vorzeichen haben, wählen wir das Intervall [1, 1.5].
  2. Zweite Iteration:\( a_1 = 1 \)\( b_1 = 1.5 \)\( c_1 = \frac{1 + 1.5}{2} = 1.25 \)\( f(c_1) = 3(1.25)^3 - 2(1.25)^2 + 1.25 - 5 = -0.796875 \)Da \( f(c_1) < 0 \), wählen wir das Intervall [1.25, 1.5].
  3. Dritte Iteration:\( a_2 = 1.25 \)\( b_2 = 1.5 \)\( c_2 = \frac{1.25 + 1.5}{2} = 1.375 \)\( f(c_2) = 3(1.375)^3 - 2(1.375)^2 + 1.375 - 5 = 1.302734375 \)Da \( f(c_2) > 0 \), wählen wir das Intervall [1.25, 1.375].
  4. Vierte Iteration:\( a_3 = 1.25 \)\( b_3 = 1.375 \)\( c_3 = \frac{1.25 + 1.375}{2} = 1.3125 \)\( f(c_3) = 3(1.3125)^3 - 2(1.3125)^2 + 1.3125 - 5 = 0.223388672 \)Da \( f(c_3) > 0 \), wählen wir das Intervall [1.25, 1.3125].
• Schritt 3: Näherung der Nullstelle:Nach der vierten Iteration liegt die Näherung der Nullstelle bei:\( c_3 = 1.3125 \)
• Schritt 4: Überprüfung des Konvergenzverhaltens:Das Konvergenzverhalten der Bisektionsmethode ist garantiert, da das Intervall in jedem Schritt halbiert wird und die Methode fortlaufend dasjenige Teilintervall wählt, in dem die Nullstelle liegt. Dies führt zu einer immer genaueren Annäherung an die tatsächliche Nullstelle.

  Die Methode konvergiert, weil das Intervall kontinuierlich kleiner wird und stets das Zeichen wechselt. Nach genügend Iterationen wird das Intervall so klein, dass die Mitte des Intervalls eine gute Näherung für die Nullstelle darstellt.

Aufgabe 3)

Gegeben sei eine quadratische Matrix A der Ordnung 3. Für die Berechnungen und Implementierungen wird die NumPy-Bibliothek in Python verwendet. Die Matrix A ist definiert als:

 'import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]])' 

Implementiere die folgenden Operationen auf der Matrix A und beantworte die entsprechenden Fragen:

a)

Teilaufgabe a:

Berechne die Transponierte der Matrix A. Implementiere die Berechnung in Python und gib die transponierte Matrix an:

 'import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]])A_transponiert = np.transpose(A)print(A_transponiert)' 

Diskutiere, wie die Elemente der transponierten Matrix angeordnet sind im Vergleich zur ursprünglichen Matrix. Gebe an, wie die Elemente vertauscht wurden.

Lösung:

Teilaufgabe a:

Berechne die Transponierte der Matrix A. Implementiere die Berechnung in Python und gib die transponierte Matrix an:

 'import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]])A_transponiert = np.transpose(A)print(A_transponiert)' 

Die transponierte Matrix A^T sieht wie folgt aus:

[[1 0 5] [2 1 6] [3 4 0]]

Diskussion:

• Die Transponierte einer Matrix wird gebildet, indem die Zeilen der ursprünglichen Matrix zu Spalten der transponierten Matrix werden und umgekehrt.
• Für die Matrix A:
• Die erste Zeile [1, 2, 3] von A wird zur ersten Spalte von A^T.
• Die zweite Zeile [0, 1, 4] von A wird zur zweiten Spalte von A^T.
• Die dritte Zeile [5, 6, 0] von A wird zur dritten Spalte von A^T.
• Analog dazu werden die Spalten von A zu den Zeilen von A^T:
• Die erste Spalte [1, 0, 5] von A wird zur ersten Zeile von A^T.
• Die zweite Spalte [2, 1, 6] von A wird zur zweiten Zeile von A^T.
• Die dritte Spalte [3, 4, 0] von A wird zur dritten Zeile von A^T.

b)

Teilaufgabe b:

Berechne die Determinante der Matrix A. Implementiere die Berechnung in Python und gib das Ergebnis an:

 'import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]])determinante = np.linalg.det(A)print(determinante)' 

Erkläre den berechneten Wert der Determinante und interpretiere dessen Bedeutung im Hinblick auf die Matrix A (z.B. ob die Matrix invertierbar ist oder nicht).

Lösung:

Teilaufgabe b:

Berechne die Determinante der Matrix A. Implementiere die Berechnung in Python und gib das Ergebnis an:

 'import numpy as npA = np.array([[1, 2, 3], [0, 1, 4], [5, 6, 0]])determinante = np.linalg.det(A)print(determinante)' 

Die Berechnung der Determinante liefert folgendes Ergebnis:

-1.0000000000000007

Erklärung:

• Die Determinante hilft, einige Eigenschaften der Matrix zu verstehen. Eine wichtige Eigenschaft ist die Invertierbarkeit der Matrix.
• Eine Matrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich null ist.
• In diesem Fall ist die Determinante von A -1.0000000000000007, was im Wesentlichen -1 ist (kleine Abweichungen aufgrund numerischer Rundung).
• Da die Determinante von A ungleich null ist, bedeutet dies, dass die Matrix A invertierbar ist.

Die spezifische Bedeutung der Determinante -1 in Bezug auf die Matrix ist:

• Die Determinante beschreibt das Skalierungsverhältnis für Volumen oder Area, wenn die Transformation durch die Matrix angewendet wird. Eine Determinante von -1 bedeutet, dass die Transformation das Volumen um das 1-fache umdreht (spiegelt).

Aufgabe 4)

Betrachten Sie die Differentialgleichung \[\frac{dy}{dx} = xy\] mit der Anfangsbedingung y(0) = 1. Ihre Aufgabe ist es, verschiedene numerische Verfahren anzuwenden, um die Lösung y an den Punkten x = 0, 0.1 und 0.2 zu approximieren. Verwenden Sie einen Schrittweiten h = 0.1.

a)

Verwenden Sie das explizite Euler-Verfahren, um die Werte von y an den Punkten x = 0.1 und x = 0.2 zu berechnen. Zeigen Sie die Zwischenschritte und kommentieren Sie die Genauigkeit der Ergebnisse.

Lösung:

Explizites Euler-Verfahren zur Lösung der Differentialgleichung

Die gegebene Differentialgleichung lautet:

• \[ \frac{dy}{dx} = xy \]

mit der Anfangsbedingung \( y(0) = 1 \).

Wir verwenden das explizite Euler-Verfahren mit einer Schrittweite von \( h = 0.1 \), um die Werte von \( y \) an den Punkten \( x = 0.1 \) und \( x = 0.2 \) zu berechnen.

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. Initialisierung: Setze \( x_0 = 0 \) und \( y_0 = 1 \).
2. Erster Schritt: Berechne \( y \) bei \( x = 0.1 \).

Die Formel für das explizite Euler-Verfahren lautet:

• \[ y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n) \]

Setze \( f(x,y) = xy \) ein:

• \[ y_1 = y_0 + h \cdot x_0 y_0 \]

Rechne ein:

• \[ y_1 = 1 + 0.1 \cdot 0 \cdot 1 = 1 \]

3. Zweiter Schritt: Berechne \( y \) bei \( x = 0.2 \).

• \[ y_2 = y_1 + h \cdot x_1 y_1 \]

Setze ein:

• \[ y_2 = 1 + 0.1 \cdot 0.1 \cdot 1 = 1 + 0.01 = 1.01 \]

Ergebnisse

• \( y(0.1) \approx 1 \)
• \( y(0.2) \approx 1.01 \)

Kommentar zur Genauigkeit

Das explizite Euler-Verfahren ist ein einfaches numerisches Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen, aber es kann bei großen Schrittweiten und bei nichtlinearen Gleichungen ungenau werden. In diesem Fall sind die Schrittweiten klein, so dass die approximierten Werte von \( y \) eine akzeptable Genauigkeit aufweisen. Wie man jedoch sieht, ändert sich der Wert von \( y \) bei \( x = 0.1 \) kein bisschen, was zeigt, dass das Verfahren möglicherweise nicht ausreichend empfindlich für die kleineren Änderungen ist. Beim nächsten Punkt \( x = 0.2 \) tritt bereits eine kleine Abweichung auf. Für genauere Ergebnisse könnte man auf Verfahren höherer Ordnung zurückgreifen.

b)

Verwenden Sie das Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung (Heun-Verfahren), um die Werte von y an den gleichen Punkten zu berechnen. Zeigen Sie auch hier die Zwischenschritte und vergleichen Sie die Resultate mit denen des Euler-Verfahrens.

Lösung:

Runge-Kutta-Verfahren zweiter Ordnung (Heun-Verfahren)

Die gegebene Differentialgleichung lautet:

• \[ \frac{dy}{dx} = xy \]

mit der Anfangsbedingung \( y(0) = 1 \).

Wir verwenden das Heun-Verfahren, eine Variante des Runge-Kutta-Verfahrens zweiter Ordnung, mit einer Schrittweite von \( h = 0.1 \), um die Werte von \( y \) an den Punkten \( x = 0 \), \( x = 0.1 \) und \( x = 0.2 \) zu berechnen.

Schritt-für-Schritt-Lösung

1. Initialisierung: Setze \( x_0 = 0 \) und \( y_0 = 1 \).
2. Erster Schritt: Berechne \( y \) bei \( x = 0.1 \).

Das Heun-Verfahren verwendet folgende Formeln:

• \[ k_1 = f(x_n, y_n) = x_n y_n \]
• \[ k_2 = f(x_n + h, y_n + h k_1) = (x_n + h) (y_n + h k_1) \]
• \[ y_{n+1} = y_n + \frac{h}{2} (k_1 + k_2) \]

Für \( x_0 = 0 \) und \( y_0 = 1 \):

• \[ k_1 = 0 \cdot 1 = 0 \]
• \[ k_2 = (0 + 0.1)(1 + 0.1 \cdot 0) = 0.1 \cdot 1 = 0.1 \]
• \[ y_1 = 1 + \frac{0.1}{2} (0 + 0.1) = 1 + 0.005 = 1.005 \]

3. Zweiter Schritt: Berechne \( y \) bei \( x = 0.2 \).

• \[ k_1 = 0.1 \cdot 1.005 = 0.1005 \]
• \[ k_2 = (0.1 + 0.1)(1.005 + 0.1 \cdot 0.1005) = 0.2 \cdot 1.01505 = 0.20301 \]
• \[ y_2 = 1.005 + \frac{0.1}{2} (0.1005 + 0.20301) = 1.005 + 0.0151755 = 1.0201755 \]

Ergebnisse

• \( y(0.0) = 1 \) (per Anfangsbedingung)
• \( y(0.1) \approx 1.005 \)
• \( y(0.2) \approx 1.0201755 \)

Vergleich mit den Ergebnissen des Euler-Verfahrens

Die Annäherungen des Euler-Verfahrens waren:

• \( y(0.1) \approx 1 \)
• \( y(0.2) \approx 1.01 \)

Beim Vergleich zeigt sich, dass das Heun-Verfahren genauere Werte liefert, da es die Steigung sowohl am Anfang als auch am Ende des Intervalls berücksichtigt. Somit bietet das Heun-Verfahren im Allgemeinen eine bessere Annäherung an die exakte Lösung, insbesondere bei größeren Schrittweiten und stärkeren Nichtlinearitäten der Differentialgleichung.