Diskretisierung und numerische Optimierung - Cheatsheet

Grundlagen der Diskretisierung kontinuierlicher Probleme

Definition:

Diskretisierung: Umwandlung kontinuierlicher in diskrete Probleme zur numerischen Lösung.

Details:

• Knotenmengen: Auswahl repräsentativer Punkte.
• Interpolation: Näherungskomponenten zwischen Knoten.
• Diskrete Operatoren: Ableitungen und Integrale im diskreten Fall.
• Fehleranalyse: Abschätzung von Diskretisierungsfehlern.

Finite-Differenzen-Methode: Anwendung und Fehlerabschätzung

Definition:

Numerische Methode zur Approximation von Ableitungen.

Details:

• Approximation der Ableitung: Vorwärtsdifferenz, Rückwärtsdifferenz, zentrale Differenz
• Vorwärtsdifferenz: \(f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)
• Rückwärtsdifferenz: \(f'(x) \approx \frac{f(x) - f(x-h)}{h}\)
• Zentrale Differenz: \(f'(x) \approx \frac{f(x+h) - f(x-h)}{2h}\)
• Anwendung: Diskretisierung von Differentialgleichungen
• Fehlerabschätzung: Abhängig von Schrittweite \(h\)
• Fehler der Vorwärts- und Rückwärtsdifferenz: \(O(h)\)
• Fehler der zentralen Differenz: \(O(h^2)\)

Finite-Elemente-Methode: Mathematische Grundlagen und Implementierung

Definition:

Zerlegung komplexer Domänen in einfache Elemente zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen. Grundidee: Näherung der Lösung durch lineare Kombination von Basisfunktionen.

Details:

• Schritte: Diskretisierung, Variationsformulierung, Galerkin-Ansatz, Approximationsverfahren.
• Diskretisierung: Aufteilung der Domäne in Dreiecke/Vielflache (Finite-Element-Mesh).
• Variationsformulierung: Starke Formulierung (PDE) -> Schwache Formulierung (Varianz).
• Galerkin-Ansatz: Wahl von Ansatz- und Testfunktionen.
• Approximationsverfahren: Diskrete Lösung durch lineare Algebra (S=\textbf{A}u), \textbf{A} Systemmatrix, u Lösungsvektor.
• Fehlerabschätzung: A-Priori und A-Posteriori Fehleranalyse.

Evolutionsstrategien: Algorithmen und Anwendungen

Definition:

Evolutionsstrategien (ES) sind stochastische Optimierungsverfahren, die sich an den genetischen Evolutionsprozessen orientieren.

Details:

• Algorithmus basiert auf einer Population von Lösungskandidaten, die iterativ weiterentwickelt werden.
• Mutation und Rekombination als Hauptoperatoren.
• Selektion wählt die besten Individuen für die nächste Generation aus.
• Varianz der Mutationen wird adaptiv angepasst (Rechenregel: \[ \text{Neuer\textunderscore Wert} = \text {Alter\textunderscore Wert} * e^{\tau*Z} \]).
• Gute Eignung für hochdimensionale Probleme und nichtlineare Funktionen.
• Anwendung: Maschinenlernen, Bildanalyse, Systemidentifikation.

Diskretisierungsfehler: Minimierungstechniken und Analyse

Definition:

Diskretisierungsfehler entstehen bei der Approximation kontinuierlicher Probleme durch diskrete Modelle.

Details:

• Diskretisierungsfehler sind Differenzen zwischen exakten Lösungen und diskreten Näherungen.
• Fehleranalyse: Untersuchung der Konvergenzordnung und Stabilität der Methoden.
• Minimierungstechniken: Gitterverfeinerung, adaptives Mesh-Refinement, höherwertige Methoden.
• Gitterverfeinerung: Aufteilung des Gitters in kleinere Segmente zur Verbesserung der Genauigkeit.
• Adaptives Mesh-Refinement: Dynamische Anpassung des Gitters basierend auf Fehlerabschätzungen.
• Höherwertige Methoden: Verwendung von Verfahren höherer Ordnung wie Finite-Elemente-Methoden (FEM) oder spektrale Methoden.
• Formeln:
• \text{Diskretisierungsfehler} = \text{exakte Lösung} - \text{numerische Lösung}

Stabilitäts- und Konvergenzanalyse in numerischen Methoden

Definition:

Untersuchung, ob numerische Methoden bei der Diskretisierung und Lösung von mathematischen Problemen stabile und zu den exakten Lösungen konvergente Ergebnisse liefern.

Details:

• Stabilität: Eine Methode ist stabil, wenn kleine Änderungen in den Eingabedaten nur kleine Änderungen in den Ausgabedaten verursachen.
• Konvergenz: Eine Methode ist konvergent, wenn die Lösung der diskretisierten Gleichungen der exakten Lösung der kontinuierlichen Gleichungen bei Verfeinerung der Diskretisierung immer näherkommt.
• Notwendige Bedingung: Eine Methode muss stabil sein, um konvergent zu sein (Lax-Äquivalenztheorem).
• Fehleranalyse: Untersuchung der Fehlerakkumulation und -verteilung entlang der Berechnung.