Einführung in die Darstellungstheorie - Cheatsheet

Definitionen und grundlegende Begriffe der Darstellungstheorie

Definition:

Darstellungstheorie untersucht die Art und Weise, wie Gruppen durch lineare Transformationen auf Vektorräumen wirken.

Details:

• Darstellung: Homomorphismus \( \varphi: G \rightarrow \text{GL}(V) \), wobei \( G \) eine Gruppe und \( V \) ein Vektorraum ist.
• Irreduzible Darstellung: Darstellung, die keinen echten, \( G \)-invarianten Untervektorraum besitzt.
• Treue Darstellung: Injektive Darstellung, d.h. \( \ker(\varphi) = \{e\} \).
• Charakter: Spur der Matrix, die ein Gruppenelement darstellt: \( \chi(g) = \text{Tr}(\varphi(g)) \).
• Maschke's Theorem: Jede Darstellung einer endlichen Gruppe über einem Körper der Charakteristik \( 0 \) oder \( p \) (\text{nicht teilt } |G|) ist vollständig reduzierbar.
• Schur's Lemma: Ein zwischen irreduziblen Darstellungen linearer Operator ist entweder Null oder isomorph.

Darstellung von symmetrischen und endlichen Gruppen

Definition:

Studie der Struktur von symmetrischen und endlichen Gruppen durch ihre Gruppenhomomorphismen in Vektorräumen.

Details:

• Eine Darstellung einer Gruppe G ist ein Homomorphismus von G in die allgemeine lineare Gruppe GL(V).
• Endliche Gruppen haben endlich viele Elemente.
• Symmetrische Gruppe S_n besteht aus allen Permutationen von n Elementen.
• Matrixdarstellungen: Gruppenelemente werden als Matrizen in GL(n, K) dargestellt.
• Darstellungsmodul: Vektorraum, auf dem die Gruppe wirkt.
• Irreduzible Darstellung: Darstellung, die keine nicht-trivialen invariant Unterräume hat.
• Charaktertabelle: Tabelle, die die Charaktere (Spur der Darstellungsmatrizen) irreduzibler Darstellungen einer Gruppe enthält.
• Maschinerie der Darstellungstheorie hilft, Gruppen zu studieren, indem Struktur und Verhalten von Gruppen durch ihre Darstellungen analysiert werden.

Charaktere von Gruppen und Charaktertafeln

Definition:

Character und Charaktertafeln sind Werkzeuge zur Untersuchung der Darstellungen von endlichen Gruppen, indem sie die Spur von Darstellungsmatrizen verwenden.

Details:

• Charakter eines Gruppenelements in einer Darstellung: Spur der entsprechenden Matrix \( \chi(g) = \text{tr}(\rho(g)) \)
• Eigenschaften von Charakteren: konjugationsklassenspezifisch, orthogonalität unter Charakteren
• Charaktertafel: symmetrische Matrix, die Charaktere in den Spalten und Gruppenelemente (bzw. deren Konjugationsklassen) in den Zeilen aufführt
• Verwendung: Untersuchung der Struktur von Gruppen, Darstellungstheorie
• Wichtigkeit: Bestimmung der Irreduzibilität von Darstellungen, Zerlegung von Darstellungen in irreduzible Komponenten

Orthogonalitätssatz von Charakteren

Definition:

Der Orthogonalitätssatz von Charakteren gibt an, wann Charaktere von Darstellungen orthogonal zueinander sind.

Details:

• Für irreduzible Darstellungen \(\rho_i\) und \(\rho_j\) einer Gruppe \(G\) gilt: \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i(g)} \chi_j(g) = \delta_{ij} \]
• Für Klassenfunktionen \(\theta, \phi\) gilt: \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\theta(g)} \phi(g) = \langle \theta, \phi \rangle \]
• Bijektivität der Charaktere irreduzibler Darstellungen über \(C(G)\)-Raum

Burnside-Satz

Definition:

Burnside-Satz: Ein endliche Gruppe ist auflösbar, wenn ihre Ordnung das Produkt von höchstens zwei verschiedenen Primzahlen ist.

Details:

• Endliche Gruppen
• Ordnung der Gruppe
• Primzahlenprodukt
• Auflösbarkeit
• Beispiel: Gruppe der Ordnung p*q (prim)

Schur's Lemma

Definition:

Schurs Lemma: Ein Darstellungshomomorphismus zwischen irreduziblen Darstellungen ist entweder ein Isomorphismus oder Nullabbildung.

Details:

• Falls ein Homomorphismus \(\theta \) zwischen irreduziblen Darstellungen \(\rho\) und \(\tau\) existiert, dann ist \(\theta\) entweder invertierbar oder \(\theta = 0\).
• Für \( \rho = \tau \) ist jeder Endomorphismus ein skalares Vielfaches der Identität.
• Schurs Lemma ist fundamental im Beweis vieler Resultate in der Darstellungstheorie.

Maschkes Theorem

Definition:

Maschkes Satz besagt, dass jede Darstellung einer endlichen Gruppe über einem Körper, dessen Charakteristik nicht den Gruppenordnung teilt, vollständig reduzibel ist.

Details:

• Voraussetzung: Der Körper hat Charakteristik 0 oder eine Primzahl, die die Gruppenordnung nicht teilt.
• Folge: Jede Darstellung zerfällt in eine direkte Summe irreduzibler Darstellungen.
• Wichtig für die Zerlegung in irreduzible Komponenten: Anwendungen in der Modulardarstellungstheorie und in der Charaktertheorie.
• Formel: Wenn \( V \) eine Darstellung der Gruppe \( G \) ist, dann gibt es irreduzible Darstellungen \( V_i \) mit \( V \cong \bigoplus V_i \).

Gruppen und Symmetrieoperationen in der Physik

Definition:

Untersuchen der Symmetrien in physikalischen Systemen mit Hilfe der Gruppentheorie.

Details:

• Gruppe G: Menge von Symmetrieoperationen mit Verknüpfung.
• Symmetrieoperation: Abbildung, die ein physikalisches System unverändert lässt (z. B. Rotation, Spiegelung).
• Darstellung einer Gruppe: Matrizendarstellung der Gruppenelemente.
• Wichtige Gruppen in der Physik: Lie-Gruppen (kontinuierliche Symmetrien), Punktgruppen (diskrete Symmetrien).
• Noethers Theorem: Zusammenhang zwischen Symmetrien und Erhaltungssätzen.
• Drehgruppe SO(3): Gruppe aller Rotationen im 3D-Raum.
• Spezielle unitäre Gruppe SU(2): Wichtig in Quantenmechanik und Teilchenphysik.