Einführung in die Darstellungstheorie - Exam

Aufgabe 2)

Context of the exercise: Du sollst die Struktur und Eigenschaften der symmetrischen Gruppe S_n und allgemeinen endlichen Gruppen anhand ihrer Darstellungen und Charaktertabellen analysieren.Im Folgenden betrachtest du Darstellungen als Homomorphismen von Gruppen in die allgemeine lineare Gruppe GL(V), wobei V ein Vektorraum ist. Endliche Gruppen haben endlich viele Elemente, und die symmetrische Gruppe S_n besteht aus allen Permutationen von n Elementen. Dabei werden die Gruppenelemente als Matrizen in GL(n, K) dargestellt.Du betrachtest irreduzible Darstellungen, die keine nicht-trivialen invariant Unterräume haben, und verwendest die Charaktertabelle, die die Charaktere (Spur der Darstellungsmatrizen) irreduzibler Darstellungen einer Gruppe enthält.Bearbeite die folgenden Aufgaben:

a)

• (a) Zeige, dass die symmetrische Gruppe S₃ sechs Elemente hat, indem du alle Permutationen der drei Elemente auflistest. Bestimme dann die Ordnung jedes Elements in S₃.
• Hinweis: Verwende die Definition der Permutation und die Zyklenschreibweise der Elemente.

Lösung:

• (a) Zeige, dass die symmetrische Gruppe S₃ sechs Elemente hat, indem du alle Permutationen der drei Elemente auflistest. Bestimme dann die Ordnung jedes Elements in S₃. Lösung:

Die symmetrische Gruppe S₃ besteht aus allen Permutationen der Menge \{1, 2, 3\}. Eine Permutation ist eine Anordnung oder Umgestaltung der Elemente in einer bestimmten Reihenfolge. 1. Permutationen der drei Elemente auflisten:

• (1 2 3) - Identität: \(1\rightarrow1, 2\rightarrow2, 3\rightarrow3\)
• (1 3 2) - Transposition: \(1\rightarrow1, 2\rightarrow3, 3\rightarrow2\)
• (2 1 3) - Transposition: \(1\rightarrow2, 2\rightarrow1, 3\rightarrow3\)
• (2 3 1) - Zyklus: \(1\rightarrow2, 2\rightarrow3, 3\rightarrow1\)
• (3 1 2) - Zyklus: \(1\rightarrow3, 2\rightarrow1, 3\rightarrow2\)
• (3 2 1) - Transposition: \(1\rightarrow3, 2\rightarrow2, 3\rightarrow1\)

Insgesamt gibt es sechs Elemente in S₃: 2. Ordnung jedes Elements:

• (1 2 3) - Identität - Ordnung: 1
  • Die Identität ist \(e\), sie bleibt unverändert und hat daher Ordnung 1.
• (1 3 2) - Transposition - Ordnung: 2
  • Diese Permutation tauscht die Positionen von 2 und 3, und wenn du sie zwei Mal hintereinander anwendest, kommst du wieder zur Identität zurück.
• (2 1 3) - Transposition - Ordnung: 2
  • Diese Permutation tauscht die Positionen von 1 und 2, und wenn du sie zwei Mal hintereinander anwendest, kommst du wieder zur Identität zurück.
• (2 3 1) - Zyklus - Ordnung: 3
  • Diese Permutation verschiebt 1 zu 2, 2 zu 3 und 3 zu 1. Wenn du diesen Zyklus drei Mal hintereinander anwendest, kommst du wieder zur Identität zurück.
• (3 1 2) - Zyklus - Ordnung: 3
  • Diese Permutation verschiebt 1 zu 3, 3 zu 2 und 2 zu 1. Wenn du diesen Zyklus drei Mal hintereinander anwendest, kommst du wieder zur Identität zurück.
• (3 2 1) - Transposition - Ordnung: 2
  • Diese Permutation tauscht die Positionen von 1 und 3, und wenn du sie zwei Mal hintereinander anwendest, kommst du wieder zur Identität zurück.

d)

• (d) Wähle eine endliche Gruppe G, die keine symmetrische Gruppe ist (z.B. die zyklische Gruppe Z₄). Bestimme die irreduziblen Darstellungen und erstelle die Charaktertabelle von G. Vergleiche diese Tabelle mit der von S₃ und diskutiere die Unterschiede in Bezug auf die Gruppenstruktur.
• Hinweis: Achte auf die Anzahl und Dimension der irreduziblen Darstellungen sowie auf die Struktur der Charaktere.

Lösung:

• (d) Wähle eine endliche Gruppe G, die keine symmetrische Gruppe ist (z.B. die zyklische Gruppe Z₄). Bestimme die irreduziblen Darstellungen und erstelle die Charaktertabelle von G. Vergleiche diese Tabelle mit der von S₃ und diskutiere die Unterschiede in Bezug auf die Gruppenstruktur.Lösung:

1. Wahl der Gruppe:Wählen wir die zyklische Gruppe \(Z_4\). Die Gruppe \(Z_4\) besteht aus den Elementen \{0, 1, 2, 3\} unter der Addition modulo 4.2. Irreduzible Darstellungen und ihre Charaktere:Da \(Z_4\) abelsch ist, sind alle irreduziblen Darstellungen eindimensional. Für jedes \(k \text{ in } \{0, 1, 2, 3\}\) gibt es ein \(\chi_k\), das durch \( \chi_k(n) = e^{2\pi i kn/4} \) gegeben ist. Die irreduziblen Darstellungen und ihre Charaktere sind:

Elemente	e (0)	1	2	3
Charakter \(\chi_0\)	1	1	1	1
Charakter \(\chi_1\)	1	i	-1	-i
Charakter \(\chi_2\)	1	-1	1	-1
Charakter \(\chi_3\)	1	-i	-1	i

3. Erstellung der Charaktertabelle:Die Charaktertabelle von \(Z_4\) lautet:

Elemente	0 (e)	1	2	3
Charakter \(\chi_0\)	1	1	1	1
Charakter \(\chi_1\)	1	i	-1	-i
Charakter \(\chi_2\)	1	-1	1	-1
Charakter \(\chi_3\)	1	-i	-1	i

4. Vergleich und Diskussion:

• Die Anzahl der irreduziblen Darstellungen:
• \(S_3\) hat drei irreduzible Darstellungen: die triviale, die alternierende und eine zweidimensionale Darstellung.
• \(Z_4\) hat vier irreduzible eindimensionale Darstellungen.
• Dimension der irreduziblen Darstellungen:
• Bei \(S_3\) gibt es eine zweidimensionale Darstellung.
• Bei \(Z_4\) sind alle Darstellungen eindimensional.
• Struktur der Charaktere:
• Die Charaktertabelle von \(S_3\) enthält sowohl positive als auch negative Einsen und Nullen.
• Die Charaktertabelle von \(Z_4\) enthält komplexe Zahlen (i und -i), da \(Z_4\) abelsch ist und zyklische Gruppen Charaktäre auf komplexen Exponentialen basieren.
• Gruppenstruktur:
• \(S_3\) ist nicht abelsch, da die Transpositionen und 3-Zyklen verschiedenen Konjugationsklassen angehören.
• \(Z_4\) ist abelsch, da alle Elemente kommutativ sind.

Aufgabe 3)

Charaktere und Charaktertafeln sind Werkzeuge zur Untersuchung der Darstellungen von endlichen Gruppen, indem sie die Spur von Darstellungsmatrizen verwenden. Der Charakter eines Gruppenelements in einer Darstellung ist definiert als die Spur der entsprechenden Matrix, also \( \chi(g) = \text{tr}(\rho(g)) \). Charaktere haben spezielle Eigenschaften wie konjugationsklassenspezifisch zu sein und besitzen eine Orthogonalitätsbeziehung untereinander. Eine Charaktertafel ist eine symmetrische Matrix, die die Charaktere in den Spalten und die Gruppenelemente (bzw. deren Konjugationsklassen) in den Zeilen aufführt. Charaktertafeln sind wichtig, um die Struktur von Gruppen zu untersuchen, irreduzible Darstellungen zu identifizieren und Darstellungen in irreduzible Komponenten zu zerlegen.

a)

• Gegeben sei die symmetrische Gruppe \(S_3\). Bestimme die Charaktertafel von \(S_3\). Führe die Rechnung Schritt für Schritt aus, angefangen bei der Bestimmung der Konjugationsklassen.

Lösung:

Lösung des Unterexerzitiums

Um die Charaktertafel der symmetrischen Gruppe S₃ zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor.

1. Bestimmung der Konjugationsklassen von S₃

   Die symmetrische Gruppe S₃ besteht aus 6 Elementen, die wir als Permutationen angeben können: {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}. Diese Elemente fallen in drei Konjugationsklassen:

   • {(1)} - Identität
   • {(12), (13), (23)} - Transpositionen (Paare von 2-Zyklen)
   • {(123), (132)} - 3-Zyklen
2. Identifikation der irreduziblen Darstellungen von S₃

   Es gibt drei irreduzible Darstellungen von S₃:

   • D₁ (triviale Darstellung): Jedes Gruppenelement wird auf 1 abgebildet.
   • D₂ (Vorzeichen-Darstellung): Jedes Gruppenelement wird auf sein Vorzeichen abgebildet.
   • D₃ (zweidimensionale Darstellung): Eine nicht-triviale Darstellung auf einem zweidimensionalen Vektorraum.
3. Berechnung der Charaktere

• Triviale Darstellung D₁:
  • χ₁((1)) = 1
  • χ₁((12), (13), (23)) = 1
  • χ₁((123), (132)) = 1
• Vorzeichen-Darstellung D₂:
  • χ₂((1)) = 1
  • χ₂((12), (13), (23)) = -1
  • χ₂((123), (132)) = 1
• Zweidimensionale Darstellung D₃:
  • χ₃((1)) = 2
  • χ₃((12), (13), (23)) = 0
  • χ₃((123), (132)) = -1

Aufstellung der Charaktertafel

Nun fassen wir die Charaktere in einer Charaktertafel zusammen:

Klassentyp	{(1)}	{(12), (13), (23)}	{(123), (132)}
χ1(trivial)	1	1	1
χ2(Vorzeichen)	1	-1	1
χ3(zweidimensional)	2	0	-1

Aufgabe 4)

Orthogonalitätssatz von Charakteren: Der Orthogonalitätssatz von Charakteren gibt an, wann Charaktere von Darstellungen orthogonal zueinander sind. Gegeben ist eine Gruppe G und die irreduziblen Darstellungen \( \rho_i \) und \( \rho_j \) dieser Gruppe. Der Satz besagt:

• Für irreduzible Darstellungen \( \rho_i \) und \( \rho_j \) einer Gruppe \( G \) gilt: \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i(g)} \chi_j(g) = \delta_{ij} \]
• Für Klassenfunktionen \( \theta, \phi \) gilt: \[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\theta(g)} \phi(g) = \langle \theta, \phi \rangle \]
• Bijektivität der Charaktere irreduzibler Darstellungen über den \( C(G) \)-Raum

Basierend auf diesem Theoriekontext sind folgende Aufgaben zu lösen:

b)

Sei \( \theta \) eine Klassenfunktion auf einer Gruppe \( G \) mit der Eigenschaft, dass \( \sum_{g \in G} \theta(g) = 0 \). Zeige, dass \( \theta \) orthogonal zur konstanten Funktion 1 ist.

Lösung:

Um zu zeigen, dass die Klassenfunktion \( \theta \) orthogonal zur konstanten Funktion 1 ist, müssen wir das Skalarprodukt zwischen \( \theta \) und der konstanten Funktion 1 berechnen und zeigen, dass dieses Skalarprodukt null ist.

Gegeben haben wir:

\[\sum_{g \in G} \theta(g) = 0\]

Der Orthogonalitätssatz für Klassenfunktionen besagt:

\[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\theta(g)} \phi(g) = \langle \theta, \phi \rangle \]

Da die konstante Funktion den Wert 1 für jedes g in G hat, setzen wir \phi(g) = 1:

\[ \langle \theta, 1 \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\theta(g)} \cdot 1 \]

Da \theta(g) reellwertig ist, benötigen wir keine Konjugation:

\[ \langle \theta, 1 \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \theta(g) \]

Wir wissen jedoch, dass:

\[ \sum_{g \in G} \theta(g) = 0 \]

Setzen wir dies in unsere Formel ein:

\[ \langle \theta, 1 \rangle = \frac{1}{|G|} \cdot 0 = 0 \]

Somit haben wir gezeigt, dass:

\[ \langle \theta, 1 \rangle = 0 \]

Dies bedeutet, dass die Klassenfunktion \( \theta \) orthogonal zur konstanten Funktion 1 ist.

c)

Gib ein Beispiel einer endlichen nichtabelschen Gruppe \( G \). Bestimme die Charaktertafel von \( G \) und zeige, dass die Charaktere der irreduziblen Darstellungen orthogonal zueinander sind. Begründe, warum dies der Fall ist.

Lösung:

Eine bekannte endliche nichtabelsche Gruppe ist die symmetrische Gruppe \(S_3\), die aus den Permutationen von drei Elementen besteht. \(S_3\) hat 6 Elemente und ist die kleinste nichtabelsche Gruppe. Sie hat drei Konjugationsklassen und dementsprechend drei irreduzible Darstellungen.

Die Elemente von \(S_3\) sind:

• e (die Identität)
• (12) (Transposition)
• (13) (Transposition)
• (23) (Transposition)
• (123) (Zykel)
• (132) (Zykel)

Die Konjugationsklassen von \(S_3\) sind:

• {e}
• {(12), (13), (23)}
• {(123), (132)}

Die Charaktertafel von \(S_3\) ist wie folgt:

Darstellung	{e}	{(12), (13), (23)}	{(123), (132)}
\(\chi_1\)	1	1	1
\(\chi_2\)	1	-1	1
\(\chi_3\)	2	0	-1

Nun zeigen wir, dass die Charaktere dieser irreduziblen Darstellungen orthogonal zueinander sind. Wir nutzen dazu den Orthogonalitätssatz der Charaktere:

\[\frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i(g)} \chi_j(g) = \delta_{ij}\]

Wir überprüfen dies für die Charaktertafelwerte.

\(\chi_1\) und \(\chi_2\):

\[\frac{1}{6}((1 \cdot 1) + 3(1 \cdot (-1)) + 2(1 \cdot 1)) = \frac{1}{6}(1 - 3 + 2) = 0\]

\(\chi_1\) und \(\chi_3\):

\[\frac{1}{6}((1 \cdot 2) + 3(1 \cdot 0) + 2(1 \cdot (-1))) = \frac{1}{6}(2 + 0 - 2) = 0\]

\(\chi_2\) und \(\chi_3\):

\[\frac{1}{6}((1 \cdot 2) + 3((-1) \cdot 0) + 2(1 \cdot (-1))) = \frac{1}{6}(2 + 0 - 2) = 0\]

Da alle Skalarprodukte 0 sind, sind die Charaktere orthogonal zueinander.

Dies ist der Fall, weil wir den Orthogonalitätssatz der Charaktere angewendet haben, der besagt, dass die Charaktere irreduzibler Darstellungen einer endlichen Gruppe paarweise orthogonal sind.

d)

Beweise, dass die Anzahl der irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe \( G \) gleich der Anzahl der Konjugationsklassen in \( G \) ist. Nutze dazu die Orthogonalität der Charaktere und die Eigenschaft der Bijektivität der Charaktere im \( C(G) \)-Raum.

Lösung:

Um zu beweisen, dass die Anzahl der irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe \( G \) gleich der Anzahl der Konjugationsklassen in \( G \) ist, nutzen wir den Orthogonalitätssatz der Charaktere und die Eigenschaft der Bijektivität der Charaktere im \( C(G) \)-Raum.

Zunächst sei:

• \(n\) die Anzahl der irreduziblen Darstellungen von \( G \)
• \(k\) die Anzahl der Konjugationsklassen in \( G \)

Orthogonalitätssatz der Charaktere:Für irreduzible Darstellungen \( \rho_i \) und \( \rho_j \) einer Gruppe \( G \) gilt:

\[ \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\chi_i(g)} \chi_j(g) = \delta_{ij} \]

Bijektivität der Charaktere im \( C(G) \)-Raum:Die Charaktere irreduzibler Darstellungen bilden eine Basis des \mathbb{C}(G)\-Raums der Klassenfunktionen.

Um die Behauptung zu beweisen, zeigen wir, dass die Dimension des \mathbb{C}(G)\-Raums gleich der Anzahl der Konjugationsklassen ist.

Skalarprodukt der Charaktere:Für jede Klassenfunktion \phi\ und \theta\ gilt:

\[ \langle \phi, \theta \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \overline{\phi(g)} \theta(g) \]

Die Charaktere irreduzibler Darstellungen sind orthogonal zueinander, das heißt:

\[ \langle \chi_i, \chi_j \rangle = \delta_{ij} \]

Da die Charaktere irreduzibler Darstellungen orthogonal sind, bilden sie ein orthonormales System im \mathbb{C}(G)\-Raum und spannen diesen vollständig auf. Dies impliziert, dass die Anzahl der irreduziblen Darstellungen gleich der Dimension des \mathbb{C}(G)\-Raums ist.

Die Dimension des \mathbb{C}(G)\-Raums ist gleich der Anzahl der Konjugationsklassen in \( G \), da jede Klassenfunktion durch ihren Wert auf den Konjugationsklassen eindeutig bestimmt wird.

Somit folgt:

\[ \text{Anzahl der irreduziblen Darstellungen} = \text{Anzahl der Konjugationsklassen} \]

Dies beweist, dass die Anzahl der irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe \( G \) gleich der Anzahl der Konjugationsklassen in \( G \) ist.