Funktionalanalysis I - Cheatsheet

Definition und Beispiele von Banachräumen

Definition:

Ein Banachraum ist ein vollständiger normierter Vektorraum.

Details:

• Vollständigkeit: Jede Cauchy-Folge in einem Banachraum konvergiert in diesem Raum.
• Beispiele: \( \mathbb{R}^n \) mit der euklidischen Norm, der Raum \( \ell^p \) (1 ≤ p ≤ ∞), der Raum \( L^p(\mu) \) (1 ≤ p ≤ ∞).
• Wichtige Normen: \( \|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right)^{1/2} \) für \( \mathbb{R}^n \), \( \|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p} \) für \( \ell^p \, \|f\|_p = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p} \) für \( L^p(\mu) \).

Satz von Banach-Steinhaus

Definition:

Der Satz von Banach-Steinhaus (auch als Satz vom gleichmäßigen Beschränksein bekannt) besagt, dass eine Punktweise beschränkte Familie stetiger linearer Operatoren auf einem Banachraum gleichmäßig beschränkt ist.

Details:

• Grundlage: Familie von beschränkten linearen Operatoren \(T_n\) auf Banachraum \(X\)
• Punktweise beschränkt: \sup_n \|T_n(x)\| < \infty \text{ für alle } x \in X
• Schlussfolgerung: \sup_n \|T_n\| < \infty
• Wichtig für Funktionalanalysis, da es Bedingungen für die Gleichmäßigkeit der Operatorenfamilie gibt.

Orthogonalität und Orthogonalprojektionen in Hilberträumen

Definition:

Ortogonalität beschreibt zwei Vektoren, deren inneres Produkt null ist: \(\langle x, y \rangle = 0\). Ein Hilbertraum \(\mathcal{H}\) ist ein vollständiger innerer Produktraum. Eine Orthogonalprojektion projiziert einen Vektor auf einen Unterraum, so dass der Fehlervektor orthogonal ist.

Details:

• Zwei Vektoren \(x, y\) in \mathcal{H}\ sind orthogonal, wenn \(\langle x, y \rangle = 0\).
• Für einen Unterraum \(\mathcal{U}\) in \mathcal{H}\ gibt es eine eindeutige Orthogonalprojektion \(P: \mathcal{H} \to \mathcal{U}\), sodass \(P(x)\) der nächste Punkt in \mathcal{U}\ an \(x\) ist.
• Die Projektion erfüllt: \(P^2 = P\) und \(P^* = P\).
• Für \(x \in \mathcal{H}\) und \(u \in \mathcal{U}\), \(e = x - P(x)\) ist orthogonal zu allen \(u \in \mathcal{U}\).

Riesz'scher Darstellungssatz

Definition:

Riesz'scher Darstellungssatz stellt eine wichtige Verbindung zwischen linearen Funktionalen und Vektorräumen in Hilberträumen her.

Details:

• Jedes stetige lineare Funktional auf einem Hilbertraum kann durch ein inneres Produkt dargestellt werden.
• Sei H ein Hilbertraum und f ein stetiges lineares Funktional auf H, dann existiert ein eindeutiges Element y in H, sodass gilt: \(f(x) = \langle x, y \rangle\) für alle \(x \in H\).
• Oft genutzt zur Lösung praktischer Probleme in der Analysis und numerischen Mathematik.

Eigenwerte und Eigenvektoren in der Spektraltheorie

Definition:

Eigenwerte und Eigenvektoren beschreiben spezielle Skalare und Vektoren, die die Transformation eines Operators in der Spektraltheorie charakterisieren.

Details:

• Sei \( T \) ein linearer Operator auf einem Vektorraum \( V \).
• Ein Vektor \( v \in V \) ist ein Eigenvektor von \( T \), wenn \( T(v) = \lambda v \) für ein \( \lambda \in \mathbb{C} \).
• \( \lambda \) wird als Eigenwert von \( T \) bezeichnet.
• Spektrum \( \sigma(T) \) umfasst alle Eigenwerte von \( T \).
• Eigenschaften von Eigenwerten und Eigenvektoren sind zentral für die Analyse des Verhaltens von Operatoren auf Funktionenräumen.

Satz von Hahn-Banach

Definition:

Satz über die Fortsetzung linearer Funktionale.

Details:

• Sei \(p: V \rightarrow \textbf{R}\) eine sublineare Funktion auf einem Vektorraum \(V\).
• Gegeben \(U \rightarrow V\) Unterraum von \(V\) und \(f: U \rightarrow \textbf{R}\) ein lineares Funktional mit \(f(u) \leq p(u) \; \forall u \in U\).
• Dann existiert eine Fortsetzung von \(f\) auf ganz \(V\) (\(\bar{f}: V \rightarrow \textbf{R}\)) mit \(\bar{f}(v) \leq p(v) \; \forall v \in V\).

Schwache Konvergenz und schwache Topologien

Definition:

Beschreibt Konvergenz einer Folge in einem normierten Raum basierend auf Funktionalauswertungen statt der Norm.

Details:

• Schwache Konvergenz: Folge \(x_n\) konvergiert schwach gegen \(x\) wenn \(f(x_n)\rightarrow f(x)\) für alle \(f \in X^*\).
• Schwache Topologie: Schwächste Topologie, in der alle stetigen linearen Funktionale weiterhin stetig sind.
• Notation: \(x_n \rightharpoonup x\).
• Eigenschaften: Schwache Konvergenz impliziert nicht starke Konvergenz (Norm-Konvergenz), starke Konvergenz jedoch schwache.
• Schwache Topologie basiert auf Netz- und Filtersystemen.

Funktionalkalkül

Definition:

Funktionalkalkül: Grundlage für die Auswertung von Funktionen von Operatoren, insbesondere in der Funktionalanalysis.

Details:

• Spectraler Funktionalkalkül für normale Operatoren in Hilberträumen
• Polynomfunktionalkalkül basiert auf der Auswertung von Polynomen an Operatoren
• Peter-Weyl-Theorem für kompakte Operatoren
• Polynom und rationaler Funktionalkalkül in klassischer Funktionalanalysis
• Formel: Für eine Funktion f und einen Operator A gilt \[ f(A)v = \sum_{i} f(\lambda_i) e_i \] wo \( (\lambda_i, e_i) \) das Spektrum von A repräsentiert
• Hauptwerkzeug im Spektralsatz: Zerlegung eines Operators anhand seines Spektrums