Funktionalanalysis I - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die folgenden normierten Vektorräume:

• Der Raum der n-dimensionalen reellen Vektoren \(\mathbb{R}^n\) mit der euklidischen Norm \(\|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right)^{1/2}\).
• Der Raum \(\ell^p\) (1 ≤ p ≤ ∞) der absolut p-summierbaren Folgen mit der Norm \(\|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p}\).
• Der Raum \(L^p(\mu)\) (1 ≤ p ≤ ∞) der p-integrierbaren Funktionen bezüglich eines Maßes \(\mu\) mit der Norm \(\|f\|_p = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p}\).

Zeige, dass diese normierten Vektorräume vollständig sind, und untersuche ihre Eigenschaften im Kontext der Banachräume.

a)

Zeige zuerst die Vollständigkeit von \(\mathbb{R}^n\) mit der euklidischen Norm. Nutze dazu die Definition einer Cauchy-Folge. Sei \( (x^k)_k \) eine Cauchy-Folge in \(\mathbb{R}^n\), das bedeutet, für jedes \( \epsilon > 0 \) gibt es ein \( N \), sodass für alle \( m, n \geq N \) gilt \(|x^m - x^n| < \epsilon\). Zeige, dass diese Cauchy-Folge in \(\mathbb{R}^n\) konvergiert, und geben den Grenzwert explizit an.

Lösung:

Betrachte die folgenden normierten Vektorräume:

• Der Raum der n-dimensionalen reellen Vektoren \( \mathbb{R}^n \) mit der euklidischen Norm \( \|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right)^{1/2} \).
• Der Raum \( \ell^p \) (1 ≤ p ≤ \infty\) der absolut p-summierbaren Folgen mit der Norm \( \|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p} \).
• Der Raum \( L^p(\mu) \) (1 ≤ p ≤ \infty\) der p-integrierbaren Funktionen bezüglich eines Maßes \( \mu \) mit der Norm \( \|f\|_p = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p} \).

Zeige, dass diese normierten Vektorräume vollständig sind, und untersuche ihre Eigenschaften im Kontext der Banachräume.Zeige zuerst die Vollständigkeit von \( \mathbb{R}^n \) mit der euklidischen Norm:Nutze dazu die Definition einer Cauchy-Folge. Sei \( (x^k)_k \) eine Cauchy-Folge in \( \mathbb{R}^n \). Das bedeutet, für jedes \( \epsilon > 0 \) gibt es ein \( N \), sodass für alle \( m, n \geq N \) gilt \( |x^m - x^n| < \epsilon \).Für \( x^k = (x_1^k, x_2^k, \ldots, x_n^k) \), wobei \( x_i^k \) die i-te Komponente von \( x^k \) ist, bedeutet dies in Komponenten: \( \| x^m - x^n \|_2 = \left( \sum_{i=1}^n | x_i^m - x_i^n |^2 \right)^{1/2} < \epsilon \) für alle \( m, n \geq N \).Da \( (x^k)_k \) eine Cauchy-Folge ist, bedeutet dies, dass jede Komponente \( (x_i^k)_k \) eine Cauchy-Folge in \( \mathbb{R} \) ist. Der Raum \( \mathbb{R} \) ist vollständig, daher konvergiert jede Folge \( (x_i^k)_k \) in \( \mathbb{R} \). Sei \( x_i \) der Grenzwert von \( (x_i^k)_k \).Definiere \( x := (x_1, x_2, \ldots, x_n) \). Wir müssen zeigen, dass \( x^k \) gegen \( x \) konvergiert. Sei \( \epsilon > 0 \) gegeben. Da \( (x_i^k)_k \) konvergiert, gibt es für jedes \( i \) ein \( N_i \), sodass für alle \( k \geq N_i \) gilt \( |x_i^k - x_i| < \frac{\epsilon}{\sqrt{n}} \).Setze \( N = \max(N_1, N_2, \ldots, N_n) \). Dann gilt für alle \( k \geq N \):\( \| x^k - x \|_2 = \left( \sum_{i=1}^n | x_i^k - x_i |^2 \right)^{1/2} < \left( \sum_{i=1}^n \left( \frac{\epsilon}{\sqrt{n}} \right)^2 \right)^{1/2} = \left( \frac{\epsilon^2}{n} \cdot n \right)^{1/2} = \epsilon \)Also konvergiert \( (x^k)_k \) gegen \( x \) in der euklidischen Norm. Damit ist \( \mathbb{R}^n \) mit der euklidischen Norm vollständig.

b)

Zeige nun die Vollständigkeit des Raums \(\ell^p\) für \((1 \leq p < \infty)\). Sei \((x^k)_k\) eine Cauchy-Folge in \ell^p. Da \(\ell^p\) eine normierte Folge ist, gibt es ein \( N \), sodass für alle \( m, n \geq N \) gilt: \(\|x^m - x^n\|_p < \epsilon\). Zeige, dass für eine beliebige solche Cauchy-Folge \( (x^k)_k \) ein Grenzwert \( x \in \ell^p existiert und dass \( (x^k)_k\) gegen diesen Grenzwert konvergiert.

Lösung:

Betrachte die folgenden normierten Vektorräume:

• Der Raum der n-dimensionalen reellen Vektoren \( \mathbb{R}^n \) mit der euklidischen Norm \( \|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right)^{1/2} \).
• Der Raum \( \ell^p \) (1 ≤ p ≤ \infty) der absolut p-summierbaren Folgen mit der Norm \( \|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p} \).
• Der Raum \( L^p(\mu) \) (1 ≤ p ≤ \infty) der p-integrierbaren Funktionen bezüglich eines Maßes \( \mu \) mit der Norm \( \|f\|_p = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p} \).

Zeige, dass diese normierten Vektorräume vollständig sind, und untersuche ihre Eigenschaften im Kontext der Banachräume.Zeige nun die Vollständigkeit des Raums \( \ell^p \) für \(1 \leq p < \infty\):Sei \((x^k)_k\) eine Cauchy-Folge in \( \ell^p \). Das bedeutet, für jedes \( \epsilon > 0 \) gibt es ein \( N \), sodass für alle \( m, n \geq N \) gilt: \( \|x^m - x^n\|_p < \epsilon \).Für \( x^k = (x_1^k, x_2^k, \ldots) \), bedeutet dies: \( \| x^m - x^n \|_p = \left( \sum_{i=1}^\infty | x_i^m - x_i^n |^p \right)^{1/p} < \epsilon \) für alle \( m, n \geq N \).Da \((x^k)_k\) eine Cauchy-Folge ist, bedeutet dies, dass jede Komponente \((x_i^k)_k\) eine Cauchy-Folge in \( \mathbb{R} \) ist. Der Raum \( \mathbb{R} \) ist vollständig, daher konvergiert jede Folge \((x_i^k)_k\) in \( \mathbb{R} \). Sei \( x_i \) der Grenzwert von \((x_i^k)_k\).Definiere \( x := (x_1, x_2, \ldots) \). Wir müssen zeigen, dass \( x \in \ell^p \) und dass \((x^k)_k\) gegen \( x \) in \( \ell^p \)-Norm konvergiert.1. Zeigen, dass \( x \in \ell^p \):Für \( m \geq N \) haben wir:\( \| x^m - x \|_p = \left( \sum_{i=1}^\infty | x_i^m - x_i |^p \right)^{1/p} < \epsilon \).Da \( (x_i^k)_k \) in \( \mathbb{R} \) konvergiert, gilt für den Grenzwert \( x \):\( | x_i^m - x_i | < \frac{\epsilon}{2^{i+1}} \) für alle \( i \geq 1 \) und ausreichend große \( m \). Daher haben wir: \( \sum_{i=1}^\infty | x_i^m - x_i |^p < \sum_{i=1}^\infty \left( \frac{\epsilon}{2^{i+1}} \right)^p < \sum_{i=1}^\infty \frac{\epsilon^p}{2^{p(i+1)}} = \frac{\epsilon^p}{2^p - 1} < \infty \).Das zeigt, dass \( x \in \ell^p \).2. Zeigen, dass \((x^k)_k\) gegen \( x \) in \( \ell^p \)-Norm konvergiert:Da \( \| x^m - x \|_p \to 0 \) mit \( m \to \infty \), gilt für jedes \( \epsilon > 0 \), dass es ein \( N_1 \) gibt, sodass für alle \( m \geq N_1 \)\( \| x^m - x \|_p < \epsilon \).Da \( (x^k)_k \) eine Cauchy-Folge ist, gibt es für jedes \( \epsilon > 0 \) ein \( N_2 \) , sodass für alle \( m, n \geq N_2 \) gilt:\( \| x^m - x^n \|_p < \epsilon \).Sei \( N = \max(N_1, N_2) \). Dann gilt für alle \( k \geq N \), dass \( \| x^k - x \|_p \leq \| x^k - x^m \|_p + \| x^m - x \|_p < 2\epsilon \).Also konvergiert \( (x^k) \) gegen \( x \) in \( \ell^p \)-Norm. Damit ist \( \ell^p \) vollständig.

c)

Betrachte schließlich den Raum \(L^p(\mu)\) (1 ≤ p ≤ ∞). Zeige analog zur Vorgehensweise in den vorherigen Teilaufgaben, dass dieser Raum vollständig ist. Sei hierzu \((f^k)_k\) eine Cauchy-Folge in \(L^p(\mu)\). Verwende die Definition der Norm in \(L^p(\mu)\) und zeige, dass diese Folge gegen eine Funktion \(f\) in \(L^p(\mu)\) konvergiert.

Lösung:

Betrachte die folgenden normierten Vektorräume:

• Der Raum der n-dimensionalen reellen Vektoren \( \mathbb{R}^n \) mit der euklidischen Norm \( \|x\|_2 = \left( \sum_{i=1}^n |x_i|^2 \right)^{1/2} \).
• Der Raum \( \ell^p \) (1 ≤ p ≤ \infty) der absolut p-summierbaren Folgen mit der Norm \( \|x\|_p = \left( \sum_{i=1}^\infty |x_i|^p \right)^{1/p} \).
• Der Raum \( L^p(\mu) \) (1 ≤ p ≤ \infty) der p-integrierbaren Funktionen bezüglich eines Maßes \( \mu \) mit der Norm \( \|f\|_p = \left( \int |f|^p d\mu \right)^{1/p} \).

Zeige, dass diese normierten Vektorräume vollständig sind, und untersuche ihre Eigenschaften im Kontext der Banachräume.Betrachte schließlich den Raum \( L^p(\mu) \) (1 ≤ p ≤ \infty):Sei \((f^k)_k\) eine Cauchy-Folge in \( L^p(\mu) \). Das bedeutet, für jedes \( \epsilon > 0 \) gibt es ein \( N \), sodass für alle \( m, n \geq N \) gilt: \( \| f^m - f^n \|_p = \left( \int | f^m - f^n |^p d\mu \right)^{1/p} < \epsilon \).Da \((f^k)_k\) eine Cauchy-Folge in \( L^p(\mu) \) ist, müssen wir zeigen, dass sie gegen eine Funktion \( f \in L^p(\mu) \) konvergiert.1. Definieren der Grenzfunktion \( f \):Da \((f^k(x))_k\) für fast jedes \( x \) eine Cauchy-Folge in \( \mathbb{R} \) ist, können wir die Funktion \( f(x) \) definieren als\( f(x) = \lim_{k \to \infty} f^k(x) \)für fast alle \( x \).2. Zeigen, dass \( f \in L^p(\mu) \):Wir müssen zeigen, dass \( \int |f|^p d\mu < \infty \).Nutze die Fatou'sche Lemma:\( \int |f|^p d\mu \leq \liminf_{k \to \infty} \int |f^k|^p d\mu \).Da \( (f^k)_k \) eine Cauchy-Folge in \( L^p(\mu) \) ist, gibt es eine Konstante \( C \), sodass für alle \( k \) gilt:\( \| f^k \|_p < C \).Also ist \( \int |f|^p d\mu \leq \liminf_{k \to \infty} C = C < \infty \), und daher \( f \in L^p(\mu) \).3. Zeigen, dass \((f^k)_k\) gegen \( f \) in \( L^p(\mu) \) konvergiert:Nutze die Dreiecksungleichung und die Definition einer Cauchy-Folge:Für \( \epsilon > 0 \) gibt es ein \( N \), sodass für alle \( m, n \geq N \) gilt:\( \| f^m - f^n \|_p < \epsilon \).Dann gilt für \( m \geq N \):\( \| f^m - f \|_p \leq \| f^m - f^n \|_p + \| f^n - f \|_p < \epsilon + \| f^n - f \|_p \).Da \( f^n \) gegen \( f \) punktweise konvergiert, folgt aus der Dominated Convergence Theorem, dass \( \| f^n - f \|_p \to 0 \). Daher konvergiert \( \| f^m - f \|_p \) auch gegen 0.Das bedeutet, dass \( f^k \) gegen \( f \) in \( L^p(\mu) \)-Norm konvergiert.Damit ist \( L^p(\mu) \) für \( 1 \leq p < \infty \) vollständig.

Aufgabe 2)

Satz von Banach-Steinhaus: Der Satz von Banach-Steinhaus (auch als Satz vom gleichmäßigen Beschränksein bekannt) besagt, dass eine punktweise beschränkte Familie stetiger linearer Operatoren auf einem Banachraum gleichmäßig beschränkt ist.

• Grundlage: Familie von beschränkten linearen Operatoren \(T_n\) auf Banachraum \(X\)
• Punktweise beschränkt: \(\sup_n \|T_n(x)\| < \infty \text{ für alle } x \in X\)
• Schlussfolgerung: \(\sup_n \|T_n\| < \infty\)
• Wichtig für Funktionalanalysis, da es Bedingungen für die Gleichmäßigkeit der Operatorenfamilie gibt.

a)

(a) Sei \(X\) ein Banachraum und \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine Familie stetiger linearer Operatoren auf \(X\). Zeige, dass wenn \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) punktweise beschränkt ist, also \[ \sup_n \|T_n(x)\| < \infty \quad \text{für alle } x \in X, \] dann ist diese Familie gleichmäßig beschränkt, das heißt, es gibt ein \(C > 0\) derart dass \(\|T_n\| \leq C\) für alle \(n \in \mathbb{N}\).

Lösung:

Lösung:(a)Um zu zeigen, dass eine punktweise beschränkte Familie stetiger linearer Operatoren auf einem Banachraum gleichmäßig beschränkt ist, verwenden wir den Satz von Banach-Steinhaus. Der Beweis verläuft Schritt für Schritt wie folgt:

• Schritt 1: Gegebenes ProblemSei \(X\) ein Banachraum und \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) eine Familie stetiger linearer Operatoren auf \(X\). Angenommen, diese Familie ist punktweise beschränkt, d.h.\[\sup_n \|T_n(x)\| < \infty \quad \text{für alle } x \in X,\]wir müssen zeigen, dass diese Familie gleichmäßig beschränkt ist.
• Schritt 2: Einführung der BeschränkungsfunktionWir definieren die Operatornorm für jeden \(n\) als:\[\|T_n\| = \sup_{\|x\| = 1} \|T_n(x)\|.\]Wir müssen zeigen, dass \(\sup_n \|T_n\|\) endlich ist.
• Schritt 3: Punktweise Beschränkung nutzenNach Annahme ist die Familie \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) punktweise beschränkt, das heißt:\[\sup_n \|T_n(x)\| < \infty \quad \text{für alle } x \in X.\]Definiere für jedes \(x \in X\) die Funktion \(f_x: \mathbb{N} \to \mathbb{R}\), indem wir setzen \(f_x(n) = \|T_n(x)\|\). Laut Annahme ist \(\sup_n f_x(n)\) endlich.
• Schritt 4: Einführung der Menge der normierten ElementeBetrachte die Einheitskugel \(B(0, 1)\) in \(X\), also die Menge aller Elemente in \(X\), deren Norm höchstens 1 ist.Definiere eine Funktion \(\phi: B(0, 1) \to \mathbb{R}\) durch\[\phi(x) = \sup_n \|T_n(x)\|.\]Laut Annahme ist \(\phi(x)\) für jedes \(x \in B(0, 1)\) endlich.
• Schritt 5: Anwendung der Punktweise BeschränkungNun ist \(\phi\) eine Funktion auf der kompakten Menge \(B(0, 1)\), und für jedes \(x \in B(0, 1)\) ist \(\phi(x)\) endlich. Da \(\phi\) auf einer kompakten Menge definiert ist, ist \(\phi\) gleichmäßig beschränkt. Das bedeutet, dass es ein \(C > 0\) gibt, so dass\[\sup_{x \in B(0, 1)} \phi(x) = \sup_{x \in B(0, 1)} \sup_n \|T_n(x)\| \leq C.\]
• Schlussfolgerung:Da \(\|T_n\| = \sup_{\|x\| = 1} \|T_n(x)\|\) für alle \(n \in \mathbb{N}\), folgt daraus\[\sup_n \|T_n\| \leq C.\]Daher ist die Familie \((T_n)_{n \in \mathbb{N}}\) gleichmäßig beschränkt, das heißt, es gibt ein \(C > 0\) derart, dass\[\|T_n\| \leq C \quad \text{für alle } n \in \mathbb{N}.\]

c)

(c) Sei \(X = c_0\), der Banachraum der Nullfolgen. Zeige, dass die Familie von Operatoren \((T_n)\) definiert durch \(T_n(x) = (x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, 0, x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots)\) für \(x = (x_1, x_2, x_3, \ldots) \in c_0\) punktweise beschränkt ist. Finde eine obere Schranke \(C\) für \(\|T_n\|\).

Lösung:

Lösung:(c)Sei \(X = c_0\), der Banachraum der Nullfolgen. Eine Folge \(x \in c_0\) ist eine Folge von reellen oder komplexen Zahlen, die gegen Null konvergiert. Wir betrachten die Familie von Operatoren \((T_n)\), definiert durch:\[T_n(x) = (x_1, x_2, \ldots, x_{n-1}, 0, x_{n+1}, x_{n+2}, \ldots)\]für \(x = (x_1, x_2, x_3, \ldots) \in c_0\). Das bedeutet, \(T_n\) setzt das \(n\)-te Element der Folge auf Null. Unsere Aufgabe besteht darin zu zeigen, dass diese Familie von Operatoren punktweise beschränkt ist und eine obere Schranke \(C\) für \(\|T_n\|\) zu finden.

• Schritt 1: Punktweise BeschränktheitBetrachte eine beliebige Folge \(x = (x_1, x_2, x_3, \ldots) \in c_0\). Wir müssen zeigen, dass:\[\sup_n \|T_n(x)\| < \infty.\]Die Norm in \(c_0\) ist die Supremumsnorm:\[\|x\| = \sup_{k \geq 1} |x_k|.\]Nun gilt:\[\|T_n(x)\| = \sup_{k \geq 1; k eq n} |x_k|.\]Da die Folge \(x \in c_0\) ist, konvergiert sie gegen Null, d.h. für alle \(\epsilon > 0\) gibt es ein \(N \in \mathbb{N}\), sodass für alle \(k > N\) gilt: \(|x_k| < \epsilon\). Das bedeutet, dass das Supremum der Folge ohne ein bestimmtes Glied immer noch endlich ist. Somit ist:\[ \sup_n \|T_n(x)\| \leq \|x\| < \infty. \]Dies zeigt, dass die Familie von Operatoren \((T_n)\) punktweise beschränkt ist.
• Schritt 2: Finden einer oberen Schranke \(C\) für \(\|T_n\|\)Die Operatornorm \(\|T_n\|\) ist definiert als:\[\|T_n\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|T_n(x)\|.\]Für jede Folge \(x \in c_0\) mit \(\|x\| \leq 1\) gilt:\[\|T_n(x)\| = \sup_{k \geq 1; k eq n} |x_k| \leq \sup_{k \geq 1} |x_k| = \|x\| \leq 1.\]Daher gilt:\\[\|T_n\| \leq 1.\]Also haben wir eine obere Schranke \(C = 1\) für \(\|T_n\|\) gefunden und gezeigt, dass:\[ \|T_n\| \leq 1 \quad \text{für alle } n \in \mathbb{N}.\]

Zusammenfassend haben wir gezeigt, dass die Familie von Operatoren \((T_n)\) punktweise beschränkt ist und eine obere Schranke \(C = 1\) für die Operatornorm \(\|T_n\|\) existiert.

d)

(d) Sei \(X\) ein Banachraum und \((T_n)\) eine Familie stetiger linearer Operatoren auf \(X\). Es sei bekannt, dass \((T_n)\) punktweise beschränkt ist, jedoch nicht, dass es gleichmäßig beschränkt ist. Zeige, das in diesem Fall die Funktion \(T(x, t) = T_n(x)\) für \(x \in X\) und \(t \in [0, 1]\) mit \(t = \frac{1}{n}\) messbar ist.

Lösung:

Lösung:(d)Sei \(X\) ein Banachraum und \((T_n)\) eine Familie stetiger linearer Operatoren auf \(X\). Es sei bekannt, dass \((T_n)\) punktweise beschränkt ist, d.h.\[ \sup_n \|T_n(x)\| < \infty \quad \text{für alle } x \in X. \]Wir wollen zeigen, dass die Funktion \(T(x, t) = T_n(x)\) für \(x \in X\) und \(t \in [0, 1]\) mit \(t = \frac{1}{n}\) messbar ist.Hier ist die messbare Funktion, die wir betrachten wollen:\[ T : X \times [0, 1] \to X, \quad T(x, t) = T_n(x) \quad \text{wobei} \quad t = \frac{1}{n}. \]Wir müssen zeigen, dass \(T(x, t)\) messbar ist. Dafür müssen wir überprüfen, dass \(T\) als Funktion der beiden Variablen \(x\) und \(t\) messbar ist.

• Schritt 1: Definition der MessbarkeitWir wollen zeigen, dass für jedes Borel-Mengen \(B \subset X\) die Menge\[T^{-1}(B) = \{(x, t) \in X \times [0, 1] : T(x, t) \in B\}\]eine messbare Menge in \(X \times [0, 1]\) ist.
• Schritt 2: Eigenschaften der Operatoren \(T_n\)Für die gegebenen Operatoren \(T_n\) gilt, dass sie stetig und linear auf dem Banachraum \(X\) sind. Das bedeutet insbesondere, dass für jede stetige und lineare Abbildung eine Menge \(\{x \in X : T_n(x) \in B\}\) für jede Borel-Menge \(B\) offen oder abgeschlossen und somit messbar ist.
• Schritt 3: Diskrete Natur der Parameter \(t\)Da \(t \in [0, 1]\) der Form \(t = \frac{1}{n}\) (für \(n \in \mathbb{N}\)) ist, ist \(t\) auf den diskreten Werten \(\left\{ \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \dots \right\}\) definiert. Das bedeutet, dass wir eine abzählbare Menge von Werten für \(t\) haben.Betrachte jeweils den Fall \(t = \frac{1}{n}\) und wir schreiben:\[T(x, t) = T_n(x)\].Für jede natürliche Zahl \(n\), definiere die Funktion \(T_n: X \to X\) durch:\[T_n(x) = T_n(x)\].Da jede Funktion \(T_n\) stetig und linear ist, ist sie messbar.
• SchlussfolgerungDa \(t\) auf einer abzählbaren Menge von diskreten Werten \(\left\{ \frac{1}{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}\) definiert ist und durch die Punktweise Beschränktheit gegeben, und \(T_n\) für jede Borel-Menge \(B\) in \(X\) als messbare Funktion betrachtet wird. Resultiert das \(\mathbf{T(x, t)}\) messbar ist.

Zusammenfassend dürfen wir ableiten, dass \(T(x, t)\) als messbare Funktion bezüglich der Sigma-Algebra auf \(X \times [0, 1]\), was beweist, dass die Funktion \(T(x, t) = T_n(x)\) messbar ist.

Aufgabe 4)

Riesz'scher Darstellungssatz:

• Jedes stetige lineare Funktional auf einem Hilbertraum kann durch ein inneres Produkt dargestellt werden.
• Sei H ein Hilbertraum und f ein stetiges lineares Funktional auf H, dann existiert ein eindeutiges Element y in H, sodass gilt: \(f(x) = \langle x, y \rangle\) für alle \(x \in H\).
• Oft genutzt zur Lösung praktischer Probleme in der Analysis und numerischen Mathematik.

b)

b) Angenommen, \(H\) sei ein Hilbertraum von quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Intervall \([0,1]\) mit dem Standardinnerprodukt \(\langle f, g\rangle = \int_0^1 f(t)g(t) dt\). Sei \(f(x) = \int_0^1 x(t) dt\) ein lineares Funktional auf diesem Raum. Finde das eindeutig zu \(f\) gehörende Element \(y \in H\).

Lösung:

Lösung:Die gegebene Aufgabe erfordert es, das eindeutig zugehörige Element y im Hilbertraum H der quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Intervall [0,1] mit dem Standardinnerprodukt \(\langle f, g \rangle = \int_0^1 f(t)g(t) dt\) zu finden. Das lineare Funktional f ist gegeben durch: f(x) = \int_0^1 x(t) dt.

• Ansatz:

Dank des Riesz'schen Darstellungssatzes wissen wir, dass es ein eindeutiges y in H gibt, sodass:

• \( f(x) = \langle x, y \rangle \) für alle x \in H.

Also müssen wir y so finden, dass:

• \( \int_0^1 x(t) dt = \int_0^1 x(t)y(t) dt \) für alle x \in H.

Wählen wir eine spezielle Funktion x, z.B. x(t) = 1, bekommen wir:

• \( f(1) = \int_0^1 1 dt = 1 \)
• \( \langle 1, y \rangle = \int_0^1 y(t) dt \)

Setzen wir beides gleich, erhalten wir:

• \( 1 = \int_0^1 y(t) dt \)

Betrachten wir das Innerprodukts auch für eine allgemeine Funktion x, stellen wir fest, dass dies ebenfalls erfüllt sein muss:

• \( \int_0^1 x(t) dt = \int_0^1 x(t)y(t) dt \)

• Die Lösung y muss daher eine Funktion sein, die das Integral dieser Beziehung erfüllt.

Eine mögliche Lösung, die alle Bedingungen erfüllt, ist:

• \( y(t) = 1 \) für alle t in [0,1].

Da diese Wahl von y das Funktional erfüllt:

• \( \int_0^1 x(t) dt = \int_0^1 x(t)1 dt = \int_0^1 x(t) dt \)

• haben wir gezeigt, dass:
• y = 1

die eindeutig zu f zugehörige Funktion im Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf dem Intervall [0,1] ist.

c)

c) In der Numerischen Mathematik wird der Riesz'sche Darstellungssatz häufig verwendet, um Approximationen zu finden. Gib ein praktisches Beispiel aus der numerischen Mathematik, bei dem der Riesz'sche Darstellungssatz nützlich ist. Beschreibe, wie der Satz angewandt wird und welche Rolle das in Frage stehende Element \(y\) spielt.

Lösung:

Beispiel aus der Numerischen Mathematik:Ein praktisches Beispiel, bei dem der Riesz'sche Darstellungssatz nützlich ist, ist die Lösung der Galerkin-Methode zur Approximation von Lösungen partieller Differentialgleichungen (PDGs).

• Galerkin-Methode:
Die Galerkin-Methode ist eine Methode zur numerischen Lösung von PDGs, bei der das Differentialproblem in ein Finite-Dimensionales Problem umgewandelt wird.
• Schritt-für-Schritt:
• Gegeben sei eine PDG der Form:
• \( Lu = f \)
• wobei \( L \) ein Differentialoperator und \( f \) eine gegebene Funktion ist.
• Die Lösung \( u \) liegt in einem Hilbertraum \( H \).
• Wir wählen eine endliche Basis \( \{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n\} \) aus \( H \).
• Jede Approximation \( u_n \) kann als Linearkombination der Basisfunktionen geschrieben werden:
• \( u_n = \sum_{i=1}^n c_i \varphi_i \)
• Die Koeffizienten \( c_i \) werden so bestimmt, dass die Residuals orthogonal zu den Basisfunktionen sind:
• \( \int_0^1 (Lu_n - f) \varphi_j \, dt = 0 \quad \text{für alle} \; j = 1, 2, ..., n \)
• Dies führt zu einem linearen System von Gleichungen für die Koeffizienten \( c_i \).
• Anwendung des Riesz'schen Darstellungssatzes:
• Im Kontext der Galerkin-Methode verwenden wir den Riesz'schen Darstellungssatz, um das stetige lineare Funktional zu definieren:
• \( f(x) = \int_0^1 (Lu - f) \varphi_j \, dt \)
• Unsere Lösung \( u_n \) ist dann die Linearkombination der \( \varphi_j \), die dieses Funktional minimiert.
• Rolle des Elements \( y \):
• Das Element \( y \) im Riesz'schen Darstellungssatz repräsentiert die \