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Alle Lernmaterialien für deinen Kurs Funktionentheorie I

Egal, ob Zusammenfassung, Altklausur, Karteikarten oder Mitschriften - hier findest du alles für den Studiengang Bachelor of Science Mathematik

Karteikarten Zusammenfassungen Altklausuren Test Forum

Universität Erlangen-Nürnberg

Bachelor of Science Mathematik

Prof. Dr.

2024

Karteikarten Zusammenfassungen Altklausuren Test Forum

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Funktionentheorie I - Cheatsheet
Funktionentheorie I - Cheatsheet Komplexe Konjugation und Betragsbildung Definition: Definition der komplexen Konjugation und Betragsbildung Details: Komplexe Konjugation: Sei \( z = a + ib \) mit \( a, b \in \mathbb{R} \). Die komplex konjugierte Zahl ist \( \bar{z} = a - ib \). Betrag: Der Betrag einer komplexen Zahl \( z = a + ib \) ist \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \). Polardarstellung und Eulersc...

Funktionentheorie I - Cheatsheet

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Funktionentheorie I - Exam
Funktionentheorie I - Exam Aufgabe 1) Betrachte die komplexe Zahl \( z = 3 + 4i \). Nutze diese Zahl, um die folgenden Aufgaben zu lösen. a) Berechne die komplex konjugierte Zahl \( \bar{z} \). Zeige deinen Rechenweg. Lösung: Um die komplex konjugierte Zahl \( \bar{z} \) der komplexen Zahl \( z = 3 + 4i \) zu berechnen, folge diesen Schritten: Gegeben ist die komplexe Zahl \( z = 3 + 4i \). Die ko...

Funktionentheorie I - Exam

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Was ist die Definition der komplexen Konjugation?

Wie berechnet man den Betrag einer komplexen Zahl \( z = a + ib \)?

Welche der folgenden Gleichungen beschreibt eine komplexe Zahl?

Was ist die Polardarstellung einer komplexen Zahl?

Wie lautet die Euler'sche Form einer komplexen Zahl?

Was ist der Zusammenhang zwischen der Euler'schen Form und der Polardarstellung?

Was sind die Cauchy-Riemann-Gleichungen?

Welche Funktion wird bei den Cauchy-Riemann-Gleichungen betrachtet?

Welche Bedingungen müssen die partiellen Ableitungen von \( u \) und \( v \) für die Holomorphie erfüllen?

Was ist eine Taylor-Reihe?

Was umfasst die Laurent-Reihe zusätzlich zur Taylor-Reihe?

Für welchen Zweck ist die Laurent-Reihe besonders nützlich?

Was ist ein Kurvenintegral?

Welche Rolle spielt die Parameterdarstellung bei Kurvenintegralen?

Was besagt der Cauchysche Integralsatz unter bestimmten Bedingungen?

Was besagt der Cauchysche Integralsatz für eine holomorphe Funktion \( f \) und eine geschlossene Kurve \( \gamma \) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \( G \)?

Wie lautet die Cauchysche Integralformel für eine holomorphe Funktion \( f \) und \( z_0 \) im einfach zusammenhängenden Gebiet \( G \) mit der geschlossenen Kurve \( \gamma \), die \( z_0 \) umschließt?

Welche wichtige Folgerung ergibt sich aus der Cauchyschen Integralformel für holomorphe Funktionen?

Was besagt der Riemannsche Abbildungssatz?

Was ist eine Möbiustransformation?

Was bedeutet 'biholomorph'?

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Diese Konzepte musst du verstehen, um Funktionentheorie I an der Universität Erlangen-Nürnberg zu meistern:

01
01

Komplexe Zahlen

In diesem Abschnitt lernst Du die grundlegenden Eigenschaften und Operationen von komplexen Zahlen kennen.

  • Definition und Darstellung von komplexen Zahlen
  • Komplexe Konjugation und Betragsbildung
  • Polardarstellung und Eulersche Form
  • Wurzeln und Potenzen komplexer Zahlen
  • Anwendungen in unterschiedlichen mathematischen Kontexten
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02
02

Analytische Funktionen

Dieser Abschnitt behandelt analytische Funktionen und deren besonderen Eigenschaften.

  • Definition und Beispiele analytischer Funktionen
  • Cauchy-Riemann-Gleichungen
  • Holomorphie und deren Konsequenzen
  • Laurent-Reihen und Taylor-Reihen
  • Singularitäten und Residuensatz
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03
03

Integration in der komplexen Ebene

Hier wirst Du die Prinzipien und Techniken der Integration über komplexe Pfade erlernen.

  • Kurvenintegrale und Parameterdarstellung
  • Cauchyscher Integralsatz und Integralformel
  • Integralberechnungen mithilfe der Residuenrechnung
  • Anwendung auf reale Integrale
  • Satz von Goursat und seine Implikationen
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04
04

Konforme Abbildungen

In diesem Abschnitt befasst Du Dich mit konformen Abbildungen und ihren Eigenschaften.

  • Definition konformer Abbildungen
  • Wichtige konforme Abbildungen: Möbiustransformationen
  • Eigenschaften und Anwendungen der Möbiustransformationen
  • Riemannsche Abbildungssatz
  • Anwendungen in geometrischen und physikalischen Problemen
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Alles Wichtige zu diesem Kurs an der Universität Erlangen-Nürnberg

Funktionentheorie I an Universität Erlangen-Nürnberg - Überblick

Funktionentheorie I ist eine zentrale Vorlesung im Studiengang Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg. In diesem Kurs lernst Du die Grundlagen der komplexen Analysis kennen, einem wichtigen Teilgebiet der Mathematik. Die Vorlesung bietet eine umfassende Einführung in die Welt der komplexen Zahlen und analytischen Funktionen. Über das Semester hinweg wirst Du zudem mit der Integration in der komplexen Ebene und konformen Abbildungen vertraut gemacht. Dieser Kurs legt somit das Fundament für weiterführende Studien und Anwendungen in der theoretischen ebenso wie in der angewandten Mathematik.

Wichtige Informationen zur Kursorganisation

Kursleiter: Prof. Dr.

Modulstruktur: Das Modul besteht aus Vorlesungen und Übungen. Die Vorlesungen finden zweimal wöchentlich statt, begleitet von wöchentlichen Übungen.

Studienleistungen: Am Ende des Semesters gibt es eine schriftliche Klausur.

Angebotstermine: Das Modul wird im Wintersemester angeboten.

Curriculum-Highlights: Komplexe Zahlen, Analytische Funktionen, Integration in der komplexen Ebene, Konforme Abbildungen

So bereitest Du Dich optimal auf die Prüfung vor

Beginne frühzeitig mit dem Lernen, idealerweise schon zu Beginn des Semesters, um Dir die nötige theoretische Basis anzueignen.

Nutze verschiedene Ressourcen, wie Bücher, Übungsaufgaben, Karteikarten und Probeklausuren, um dein Wissen zu vertiefen.

Schließe Dich Lerngruppen an und tausche Dich mit anderen Studierenden aus, um gemeinsam Lösungsstrategien zu entwickeln.

Vergiss nicht, regelmäßige Pausen einzulegen und in diesen Zeiten komplett abzuschalten, um eine Überbelastung zu vermeiden.

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