Funktionentheorie I - Cheatsheet

Komplexe Konjugation und Betragsbildung

Definition:

Definition der komplexen Konjugation und Betragsbildung

Details:

• Komplexe Konjugation: Sei \( z = a + ib \) mit \( a, b \in \mathbb{R} \). Die komplex konjugierte Zahl ist \( \bar{z} = a - ib \).
• Betrag: Der Betrag einer komplexen Zahl \( z = a + ib \) ist \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \).

Polardarstellung und Eulersche Form

Definition:

Komplexe Zahlen lassen sich in Polarkoordinaten und Euler’scher Form darstellen, um ihre trigonometrischen Eigenschaften auszunutzen.

Details:

• Polardarstellung: \( z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi) \) wobei \( r \) der Betrag und \( \varphi \) das Argument ist.
• Euler'sche Form: \( z = re^{i\varphi} \).
• Verbindung: \( e^{i\varphi} = \cos\varphi + i\sin\varphi \).
• Betrag: \( r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2} \).
• Argument: \( \varphi = \arg(z) = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) \).

Cauchy-Riemann-Gleichungen

Definition:

Cauchy-Riemann-Gleichungen sind Bedingungen an die partiellen Ableitungen, die notwendig sind, damit eine komplexe Funktion holomorph ist.

Details:

• Funktion: \( f(z) = u(x,y) + i \, v(x,y) \), wobei \( z = x + i \, y \)
• Bedingungen: \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \), \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)
• Notwendig für Holomorphie von \( f(z) \) in einem Gebiet

Laurent-Reihen und Taylor-Reihen

Definition:

Laurent-Reihen und Taylor-Reihen sind Darstellungen analytischer Funktionen in komplexer Analysis.

Details:

• Taylor-Reihe: Darstellung einer analytischen Funktion um den Punkt \( z_0 \) durch Potenzreihe \[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \] mit \[ a_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} \]
• Laurent-Reihe: Erweiterte Form der Taylor-Reihe, die auch negative Potenzen umfasst. Darstellung um Punkt \( z_0 \) als \[ f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} a_n (z - z_0)^n \]
• Die Laurent-Reihe teilt sich in zwei Teile: Hauptteil (negative Potenzen) und reguläre Teil (nicht-negative Potenzen).
• Singularitäten: Taylor-Reihe existiert nur in Bereichen ohne Singularitäten, Laurent-Reihe kann auch in Gebieten mit Isolierten Singularitäten verwendet werden.
• Anwendung: Laurent-Reihen sind nützlich für Residuenkalkül und die Untersuchung von Funktionensingularitäten.

Kurvenintegrale und Parameterdarstellung

Definition:

Ein Kurvenintegral ist das Integral einer Funktion entlang einer Kurve. Die Parameterdarstellung erlaubt, die Kurve durch eine oder mehrere Funktionen eines Parameters zu beschreiben.

Details:

• Kurve durch \( \textbf{\gamma}(t) = (\gamma_1(t), \gamma_2(t))\, t \in [a, b] \) gegeben.
• Kurvenintegral einer stetigen Funktion \( f \) über \( \textbf{\gamma} \) definiert als \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \, \gamma'(t) \, dt \]
• Parameterdarstellung vereinfacht die Berechnung von Kurvenintegralen.
• Kanalunabhängigkeit: Für holomorphe Funktionen in einem einfach zusammenhängenden Gebiet sind Kurvenintegrale unabhängig vom Weg.
• Cauchyscher Integralsatz gilt unter bestimmten Bedingungen: \[ \int_\gamma f(z) \, dz = 0 \]

Cauchyscher Integralsatz und Integralformel

Definition:

Fundamentale Resultate in der komplexen Analysis, welche Aussagen über Integrale holomorpher Funktionen entlang Kurven treffen.

Details:

• Cauchyscher Integralsatz: Für eine holomorphe Funktion \( f \) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \( G \) und eine geschlossene Kurve \( \gamma \) in \( G \) gilt: \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = 0 \]
• Cauchysche Integralformel: Für eine holomorphe Funktion \( f \) und \( z_0 \) in einem einfach zusammenhängenden Gebiet \( G \), wobei \( \gamma \) eine geschlossene Kurve in \( G \) ist, die \( z_0 \) umschließt, gilt: \[ f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{z - z_0} \, dz \]
• Folgerung: Jede holomorphe Funktion ist beliebig oft differenzierbar.

Riemannsche Abbildungssatz

Definition:

Riemannsche Abbildungssatz: Jeder einfach zusammenhängende, offene Teilmenge der komplexen Ebene, die nicht die ganze Ebene ist, ist biholomorph äquivalent zur offenen Einheitskreisscheibe.

Details:

• Sei 𝑈 eine einfach zusammenhängende, offene Teilmenge der komplexen Ebene, 𝐷 die Einheitskreisscheibe.
• Es existiert eine bijektive, biholomorphe Abbildung 𝑓:𝑈→𝐷.
• Die Abbildung ist eindeutig bis auf eine Möbiustransformation.