Funktionentheorie I - Exam

Aufgabe 1)

Betrachte die komplexe Zahl \( z = 3 + 4i \). Nutze diese Zahl, um die folgenden Aufgaben zu lösen.

a)

Berechne die komplex konjugierte Zahl \( \bar{z} \). Zeige deinen Rechenweg.

Lösung:

Um die komplex konjugierte Zahl \( \bar{z} \) der komplexen Zahl \( z = 3 + 4i \) zu berechnen, folge diesen Schritten:

• Gegeben ist die komplexe Zahl \( z = 3 + 4i \).
• Die komplex konjugierte Zahl einer komplexen Zahl \( z = a + bi \) erhält man, indem man das Vorzeichen des Imaginärteils ändert.
• In unserem Fall ist \(a = 3\) und \(b = 4\). Also ändern wir das Vorzeichen des Imaginärteils.
• Daraus ergibt sich die komplex konjugierte Zahl \( \bar{z} = 3 - 4i \).

b)

Bestimme den Betrag \( |z| \) der komplexen Zahl \( z \). Zeige auch hier deinen Rechenweg.

Lösung:

Um den Betrag \( |z| \) der komplexen Zahl \( z = 3 + 4i \) zu berechnen, folge diesen Schritten:

• Gegeben ist die komplexe Zahl \( z = 3 + 4i \).
• Der Betrag einer komplexen Zahl \( z = a + bi \) wird mit der Formel \( |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \) berechnet.
• In unserem Fall ist \( a = 3 \) und \( b = 4 \).
• Setze die Werte in die Formel ein:
• \( |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} \) \( |z| = \sqrt{9 + 16} \) \( |z| = \sqrt{25} \) \( |z| = 5 \).

Daher ist der Betrag der Zahl \( z \) gleich 5.

c)

Sei \( w = \bar{z} \cdot z \). Berechne \( w \) und beschreibe, was du bemerkst. Ist das Ergebnis allgemein interpretierbar? Begründe deine Antwort.

Lösung:

Um \( w = \bar{z} \cdot z \) zu berechnen, folge diesen Schritten:

• Gegeben ist die komplexe Zahl \( z = 3 + 4i \) und ihre komplex konjugierte Zahl \( \bar{z} = 3 - 4i \).
• Setze beide Zahlen in die Definition von \( w \) ein:
• \( w = (3 - 4i) \cdot (3 + 4i) \).
• Berechne das Produkt. Nutze dafür die Regel: \((a + bi)(a - bi) = a^2 - (bi)^2\):
• \( w = 3^2 - (4i)^2 \) \( w = 9 - (16i^2) \) Da \( i^2 = -1 \), ergibt sich: \( w = 9 - 16(-1) \) \( w = 9 + 16 \) \( w = 25 \).
• Das heißt, das Ergebnis ist eine reelle Zahl, in diesem Fall 25.

Interpretation:

• Wenn man eine komplexe Zahl mit ihrer komplex konjugierten Zahl multipliziert, erhält man immer eine reelle Zahl. Diese reelle Zahl ist der Betrag der komplexen Zahl z².
• Allgemein gilt, dass für eine komplexe Zahl \( z = a + bi \) das Produkt mit ihrer konjugierten Zahl \( \bar{z} \) immer \( z \cdot \bar{z} = a^2 + b^2 \) ergibt. Dies ist der Betrag \( |z|^2 \) der komplexen Zahl \( z \).

Aufgabe 2)

Gegeben ist die komplexe Zahl

• Eine komplexe Zahl in der Form: \( z = x + yi \) mit \( x \) und \( y \) als reelle Zahlen.
• Verwende die Polardarstellung und die Euler'sche Form, um die Eigenschaften und Operationen von komplexen Zahlen zu untersuchen.

a)

a) Bestimme die Polardarstellung der komplexen Zahl

• Berechne den Betrag \( r \) der komplexen Zahl \( z = x + yi \) als: \[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \].
• Berechne das Argument \( \varphi \) der komplexen Zahl als: \[ \varphi = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) \], wobei du die richtige Quadranteinteilung beachtest.
• Schreibe die Polardarstellung der komplexen Zahl: \[ z = r( \cos \varphi + i\sin \varphi ) \].
• Beispiel: Bestimme die Polardarstellung für die komplexe Zahl \( z = 1 + i \).

Lösung:

Gegeben ist die komplexe Zahl

• Eine komplexe Zahl in der Form: \( z = x + yi \) mit \( x \) und \( y \) als reelle Zahlen.
• Verwende die Polardarstellung und die Euler'sche Form, um die Eigenschaften und Operationen von komplexen Zahlen zu untersuchen.

• Berechne den Betrag \( r \) der komplexen Zahl \( z = x + yi \) als: \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \).
• Berechne das Argument \( \varphi \) der komplexen Zahl als: \( \varphi = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) \), wobei du die richtige Quadranteinteilung beachtest.
• Schreibe die Polardarstellung der komplexen Zahl: \( z = r( \cos \varphi + i\sin \varphi ) \).
• Beispiel: Bestimme die Polardarstellung für die komplexe Zahl \( z = 1 + i \).

• Schritt 1: Betrag berechnenFür die komplexe Zahl \( z = 1 + i \) haben wir \( x = 1 \) und \( y = 1 \). Der Betrag \( r \) berechnet sich wie folgt:\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2} \]
• Schritt 2: Argument berechnenDas Argument \( \varphi \) berechnet sich wie folgt:\[ \varphi = \tan^{-1}(\frac{y}{x}) = \tan^{-1}(\frac{1}{1}) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \]
• Polardarstellung der komplexen Zahl Die Polardarstellung der komplexen Zahl \( z \) lautet:\[ z = r( \cos \varphi + i\sin \varphi ) = \sqrt{2}( \cos \frac{\pi}{4} + i\sin \frac{\pi}{4} ) \]

b)

b) Verwende die Euler'sche Form zur Bestimmung von Potenzen und Produkten

• Zeige, dass die komplexe Zahl \( z = x + yi \) in der Euler'schen Form geschrieben werden kann als: \[ z = re^{i\varphi} \] wobei \( r \) der Betrag und \( \varphi \) das Argument ist.
• Bestimme \( z^n \) für eine positive ganze Zahl \( n \) in der Euler'schen Form als: \[ z^n = (re^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi} \].
• Berechne das Produkt zweier komplexer Zahlen \( z_1 = r_1 e^{i\varphi_1} \) und \( z_2 = r_2 e^{i\varphi_2} \) in der Euler'schen Form und zeige, dass: \[ z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \].
• Beispiel: Berechne \( (1 + i)^4 \) mit Hilfe der Euler'schen Form.

Lösung:

Gegeben ist die komplexe Zahl

• Eine komplexe Zahl in der Form: \( z = x + yi \) mit \( x \) und \( y \) als reelle Zahlen.
• Verwende die Polardarstellung und die Euler'sche Form, um die Eigenschaften und Operationen von komplexen Zahlen zu untersuchen.

• Zeige, dass die komplexe Zahl \( z = x + yi \) in der Euler'schen Form geschrieben werden kann als: \[ z = re^{i\varphi} \] wobei \( r \) der Betrag und \( \varphi \) das Argument ist.
• Bestimme \( z^n \) für eine positive ganze Zahl \( n \) in der Euler'schen Form als: \[ z^n = (re^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi} \].
• Berechne das Produkt zweier komplexer Zahlen \( z_1 = r_1 e^{i\varphi_1} \) und \( z_2 = r_2 e^{i\varphi_2} \) in der Euler'schen Form und zeige, dass: \[ z_1 z_2 = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \].
• Beispiel: Berechne \( (1 + i)^4 \) mit Hilfe der Euler'schen Form.

• Schritt 1: Umwandlung in Euler'sche FormFür die komplexe Zahl \( z = 1 + i \) haben wir bereits die Polardarstellung:\[ r = \sqrt{2} \]und\[ \varphi = \frac{\pi}{4} \].Deshalb können wir \( z \) in der Euler'schen Form schreiben als:\[ z = \sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}} \].
• Schritt 2: Potenz berechnenUm \( (1 + i)^4 \) zu berechnen, verwenden wir:\[ z^n = (re^{i\varphi})^n = r^n e^{in\varphi} \].Setze \( r = \sqrt{2} \), \( \varphi = \frac{\pi}{4} \) und \( n = 4 \):\[ (\sqrt{2} e^{i\frac{\pi}{4}})^4 = (\sqrt{2})^4 e^{i4\frac{\pi}{4}} = 4 e^{i\pi} \].Da \( e^{i\pi} = -1 \), erhalten wir:\[ 4(-1) = -4 \].
• Schritt 3: Produkt zweier komplexer Zahlen berechnenSeien \( z_1 = r_1 e^{i\varphi_1} \) und \( z_2 = r_2 e^{i\varphi_2} \). Das Produkt ist:\[ z_1 z_2 = (r_1 e^{i\varphi_1})(r_2 e^{i\varphi_2}) = r_1 r_2 e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)} \].Dies zeigt, dass das Produkt der Beträge der Faktoren gleich dem Betrag des Produkts ist und dass sich die Argumente addieren.

Aufgabe 3)

Kontext: Betrachte die Funktion f(z) auf einem Gebiet \Omega \subset \mathbb{C}, wobei die komplexe Funktion f(z) in der Form u(x,y) + i v(x,y) geschrieben werden kann. Hierbei sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen und z = x + i \cdot y. Um die Holomorphie der Funktion f(z) zu beweisen, müssen die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sein, die lauten:

• \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}
• \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}

a)

• Betrachte die Funktion f(z) = z^2 und schreibe sie in der Form u(x,y) + i v(x,y). Berechne danach die partiellen Ableitungen dieser Funktionen.

Lösung:

Kontext: Betrachte die Funktion f(z) auf einem Gebiet \(\Omega \subset \mathbb{C}\), wobei die komplexe Funktion f(z) in der Form u(x,y) + i v(x,y) geschrieben werden kann. Hierbei sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen und z = x + i \cdot y. Um die Holomorphie der Funktion f(z) zu beweisen, müssen die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sein, die lauten:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)

Teilaufgabe: Betrachte die Funktion f(z) = z^2 und schreibe sie in der Form u(x,y) + i v(x,y). Berechne danach die partiellen Ableitungen dieser Funktionen.

Schritte zur Lösung

1. Betrachte die Funktion f(z) = z^2.
2. Schreibe z in der Form x + i y um: \(f(z) = (x + i y)^2\).
3. Erweitere den Ausdruck: \[ f(z) = (x + i y)^2 = x^2 + 2 x i y - y^2 + i^2 y^2 = x^2 - y^2 + 2 x i y \]

Hierbei erhalten wir:

• Reale Funktion: \(u(x,y) = x^2 - y^2\)
• Imaginäre Funktion: \(v(x,y) = 2 x y\)

Berechnung der partiellen Ableitungen:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 - y^2) = 2x\)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 - y^2) = -2y\)
• \(\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(2xy) = 2y\)
• \(\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(2xy) = 2x\)

Überprüfung der Cauchy-Riemann-Gleichungen:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x\) und \(\frac{\partial v}{\partial y} = 2x\). Dies bedeutet, dass \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\).
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y\) und \(\frac{\partial v}{\partial x} = 2y\). Dies bedeutet, dass \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\).

Da beide Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind, ist die gegebene Funktion f(z) = z^2 holomorph.

b)

• Überprüfe, ob die partiellen Ableitungen von u(x,y) und v(x,y) die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen.

Lösung:

Kontext: Betrachte die Funktion f(z) auf einem Gebiet \(\Omega \subset \mathbb{C}\), wobei die komplexe Funktion f(z) in der Form u(x,y) + i v(x,y) geschrieben werden kann. Hierbei sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen und z = x + i \cdot y. Um die Holomorphie der Funktion f(z) zu beweisen, müssen die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sein, die lauten:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)

Zeige anhand der folgenden Teilaufgaben, dass die gegebene Funktion f(z) holomorph ist.

Teilaufgabe:

• Überprüfe, ob die partiellen Ableitungen von u(x,y) und v(x,y) die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen.

Schritte zur Lösung:

Erinnern wir uns zunächst an die gegebene Funktion aus der vorigen Aufgabe:

• f(z) = z^2
• In der Form u(x,y) + i v(x,y) lautet diese Funktion:
• \(u(x,y) = x^2 - y^2\)
• \(v(x,y) = 2xy\)

Berechnung der partiellen Ableitungen:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = 2x\)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = -2y\)
• \(\frac{\partial v}{\partial x} = 2y\)
• \(\frac{\partial v}{\partial y} = 2x\)

Überprüfung der Cauchy-Riemann-Gleichungen:

• Die erste Cauchy-Riemann-Gleichung: \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)Beweis: In diesem Fall erhalten wir \(2x = 2x\), was wahr ist.
• Die zweite Cauchy-Riemann-Gleichung: \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)Beweis: In diesem Fall ergibt sich \(-2y = -2y\), was ebenfalls wahr ist.

Da beide Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind, können wir schließen, dass die gegebene Funktion f(z) = z^2 holomorph ist.

c)

• Betrachte jetzt eine allgemeine Funktion f(z) = e^{z}. Teile f(z) in die reellen und imaginären Anteile auf und berechne deren partielle Ableitungen.

Lösung:

Kontext: Betrachte die Funktion f(z) auf einem Gebiet \(\Omega \subset \mathbb{C}\), wobei die komplexe Funktion f(z) in der Form u(x,y) + i v(x,y) geschrieben werden kann. Hierbei sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen und z = x + i \cdot y. Um die Holomorphie der Funktion f(z) zu beweisen, müssen die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sein, die lauten:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)

Zeige anhand der folgenden Teilaufgaben, dass die gegebene Funktion f(z) holomorph ist.

Teilaufgabe:

• Betrachte jetzt eine allgemeine Funktion f(z) = e^{z}. Teile f(z) in die reellen und imaginären Anteile auf und berechne deren partielle Ableitungen.

Schritte zur Lösung:

• Betrachte die Funktion f(z) = e^z.
• Schreibe z in der Form x + i y um: \(z = x + i y\).
• Setze dies in die Exponentialfunktion ein: \(f(z) = e^{x + iy} = e^x \, e^{iy}\).
• Nutze Eulersche Formel für den Ausdruck \(e^{iy}\): \(e^{iy} = \cos(y) + i \sin(y)\).
• Ersetze dies in \(f(z)\): \(f(z) = e^x \, ( \cos(y) + i \sin(y) )\). Daraus ergibt sich: \(f(z) = u(x,y) + i v(x,y)\) wobei: \(u(x,y) = e^x \, \cos(y)\) und \(v(x,y) = e^x \, \sin(y)\)

Berechnung der partiellen Ableitungen:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x \, \cos(y)) = e^x \, \cos(y)\)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x \, \cos(y)) = -e^x \, \sin(y)\)
• \(\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x \, \sin(y)) = e^x \, \sin(y)\)
• \(\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x \, \sin(y)) = e^x \, \cos(y)\)

Überprüfung der Cauchy-Riemann-Gleichungen:

• Die erste Cauchy-Riemann-Gleichung: \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)Beweis: Hier ergibt sich \(e^x \, \cos(y) = e^x \, \cos(y)\), was wahr ist.
• Die zweite Cauchy-Riemann-Gleichung: \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)Beweis: Hier ergibt sich \(-e^x \, \sin(y) = -e^x \, \sin(y)\), was ebenfalls wahr ist.

Da beide Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind, können wir schließen, dass die Funktion f(z) = e^z holomorph ist.

d)

• Zeige, dass diese partiellen Ableitungen ebenfalls die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen, sodass f(z) = e^{z} ebenfalls in \Omega holomorph ist.

Lösung:

Kontext: Betrachte die Funktion f(z) auf einem Gebiet \(\Omega \subset \mathbb{C}\), wobei die komplexe Funktion f(z) in der Form u(x,y) + i v(x,y) geschrieben werden kann. Hierbei sind u(x,y) und v(x,y) reelle Funktionen und z = x + i \cdot y. Um die Holomorphie der Funktion f(z) zu beweisen, müssen die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sein, die lauten:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)

Zeige anhand der folgenden Teilaufgaben, dass die gegebene Funktion f(z) holomorph ist.

Teilaufgabe:

• Zeige, dass diese partiellen Ableitungen ebenfalls die Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllen, sodass f(z) = e^{z} ebenfalls in \(\Omega\) holomorph ist.

Schritte zur Lösung:

Erinnern wir uns an die gegebene Funktion f(z) = e^{z}, die in der Form u(x,y) + i v(x,y) geschrieben werden kann:

• f(z) = e^z
• In der Form u(x,y) + i v(x,y) lautet diese Funktion:
• \(u(x,y) = e^x \cos(y)\)
• \(v(x,y) = e^x \sin(y)\)

Berechnung der partiellen Ableitungen:

• \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x \cos(y)) = e^x \cos(y)\)
• \(\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x \cos(y)) = -e^x \sin(y)\)
• \(\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(e^x \sin(y)) = e^x \sin(y)\)
• \(\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(e^x \sin(y)) = e^x \cos(y)\)

Überprüfung der Cauchy-Riemann-Gleichungen:

• Die erste Cauchy-Riemann-Gleichung: \(\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}\)Beweis: \(e^x \cos(y) = e^x \cos(y)\), was wahr ist.
• Die zweite Cauchy-Riemann-Gleichung: \(\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\)Beweis: \(-e^x \sin(y) = -e^x \sin(y)\), was ebenfalls wahr ist.

Da beide Cauchy-Riemann-Gleichungen erfüllt sind, kann geschlossen werden, dass die Funktion f(z) = e^z in \(\Omega\) holomorph ist.

Aufgabe 4)

Betrachte die Funktion

\( f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \ \ . \)

Untersuche diese Funktion im Kontext von Laurent-Reihen und Taylor-Reihen und gehe dabei auf die analytischen Eigenschaften und Singularitäten der Funktion ein. Verwende dabei die in der Vorlesung 'Funktionentheorie I' behandelten Konzepte und Techniken.

a)

Teilaufgabe (a): Bestimme die Taylor-Reihe der Funktion \( f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \) um den Punkt \( z_0 = 0 \). Vergiss nicht, den Konvergenzradius der Taylor-Reihe anzugeben.

Lösung:

Um die Taylor-Reihe der Funktion \( f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \) um den Punkt \( z_0 = 0 \) zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Wir zerlegen die Funktion zunächst in Partialbrüche:

 \( \frac{1}{(z-1)(z-2)} = \frac{A}{z-1} + \frac{B}{z-2} \) 

• Um die Koeffizienten \( A \) und \( B \) zu bestimmen, multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit \( (z-1)(z-2) \) und setzen wir bestimmte Werte von \( z \) ein:

 \( 1 = A(z-2) + B(z-1) \) 

• Setze \( z = 1 \):

 \( 1 = A(1-2) + B(1-1) \rightarrow A = -1 \)

• Setze \( z = 2 \):

 \( 1 = A(2-2) + B(2-1) \rightarrow B = 1 \)

• Damit ist die Partialbruchzerlegung:

 \( f(z) = \frac{-1}{z-1} + \frac{1}{z-2} \) 

• Nun entwickeln wir \( \frac{-1}{z-1} \) und \( \frac{1}{z-2} \) zu Reihen um den Punkt \( z_0 = 0 \):

 \( \frac{1}{z-2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{z}{2}} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z}{2} \right)^n = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n} \)

• Damit erhalten wir schließlich den Ausdruck:

 \( f(z) = -\sum_{n=0}^{\infty} z^n - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{2^n} = -\sum_{n=0}^{\infty} z^n - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{2}\right)^n \) 

• Da der Konvergenzradius der einzelnen Reihen jeweils durch den Abstand zur nächsten Singularität bestimmt wird, konvergieren beide Teilreihen innerhalb ihres jeweiligen Konvergenzradiuses:

 \[ f(z) = -\sum_{n=0}^{\infty} z^n - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{z}{2}\right)^n \] 

• Der Konvergenzradius dieser Taylor-Reihe ist der Mindestabstand zu den Singularitäten (\( z=1 \) und \( z=2 \)), und daher beträgt der Konvergenzradius:

\( R = 1 \)

b)

Teilaufgabe (b): Entwickle die Funktion \( f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \) als Laurent-Reihe um \( z_0 = 1 \) und bestimme den Bereich der Konvergenz dieser Laurent-Reihe. Gehe dabei auf den Hauptteil und den regulären Teil der Reihe ein.

Lösung:

Teilaufgabe (b):Um die Funktion \( f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \) als Laurent-Reihe um \( z_0 = 1 \) zu entwickeln und den Bereich der Konvergenz zu bestimmen, gehen wir Schritt für Schritt vor:

• Funktion umformen: Wir beginnen mit der Anpassung der Funktion, sodass eine Reihe um \( z_0 = 1 \) gebildet werden kann:

 \[ f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \] 

 \[ f(z) = \frac{1}{z-1} \cdot \frac{1}{z-2} \] 

• Nun transformieren wir den zweiten Bruch weiter:

 \[ \frac{1}{z-2} = \frac{1}{(z-1) - 1} = - \frac{1}{1 - (z-1)} \] 

• Um dies um\( z_0 = 1 \) weiterzuentwickeln, nutzen wir die geometrische Reihe:

 \[ \frac{1}{1 - (z-1)} = \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^n \] 

• Damit wird \( \frac{1}{z-2} \) zu:

 \[ \frac{1}{z-2} = - \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^n \] 

• Einsetzen in die ursprüngliche Funktion:

 \[ f(z) = \frac{1}{z-1} \cdot \left(- \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^n \right) = - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(z-1)^n}{z-1} \] 

• Vereinfachung der Terme:

 \[ f(z) = - \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^{n-1} \] 

• Dieser Ausdruck enthält den Hauptteil (negative Potenzen von \( z-1 \)) und den regulären Teil:
• Hauptteil: Dies umfasst den Term mit negativen Potenzen:

 \[ -\frac{1}{z-1} \] 

• Regulärer Teil: Dies umfasst die Terme mit nicht-negativen Potenzen:

 \[ -1 - (z-1) - (z-1)^2 - (z-1)^3 - \ldots \] 

• Bereich der Konvergenz: Der Konvergenzradius der geometrischen Reihe \( \sum_{n=0}^{\infty} (z-1)^n \) ist 1, da die Reihe bei \( z = 2 \) divergiert. Somit ist der Bereich der Konvergenz der Laurent-Reihe:

 \[ 0 < |z-1| < 1 \] 

c)

Teilaufgabe (c): Zeige für die Funktion \( f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \) die Anwendung des Residuenkalküls, um die Kontur-Integrale \( \frac{1}{2\text{π}i} \int_{\text{C}} \frac{dz}{(z-1)(z-2)} \ \ \ zu berechnen, wobei \ C \ ein Kreis um \ z = 1 \ ist. Bestimme das Residuum der Funktion im Inneren des Kreises und beweise Deine Ergebnisse.

Lösung:

Teilaufgabe (c):Um das Kontur-Integral \( \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{dz}{(z-1)(z-2)} \) mithilfe des Residuenkalküls zu berechnen, wobei \( C \) ein Kreis um \( z = 1 \) ist, gehen wir wie folgt vor:

• Betrachte die Funktion:

 \[ f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)} \] 

• Diese Funktion hat Pole (Singularitäten) an \( z = 1 \) und \( z = 2 \).

• Da der Kreis \( C \) um \( z = 1 \) liegt, werden wir das Residuum der Funktion bei \( z = 1 \) berechnen.

• Um das Residuum zu finden, nutzen wir die Formel für das Residuum einer einfachen Polstelle:

 \[ \text{Residuum bei } z = 1 = \lim_{z \to 1} (z-1) f(z) \] 

• Setze \( f(z) \) ein und berechne:

 \[ \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{1}{(z-1)(z-2)} = \lim_{z \to 1} \frac{1}{z-2} = \frac{1}{1-2} = -1\] 

• Das Residuum der Funktion \( f(z) \) bei \( z = 1 \) ist also:

 \[ \text{Residuum bei } z = 1 = -1 \] 

• Nun verwenden wir das Residuenkalkül, um das Kontur-Integral zu berechnen:

 \[ \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{dz}{(z-1)(z-2)} = \sum \text{(Residua im Inneren von } C) \] 

• Da wir nur ein Residuum im Inneren des Kreises \( C \) haben, nämlich bei \( z = 1 \), ergibt sich:

 \[ \frac{1}{2\pi i} \int_{C} \frac{dz}{(z-1)(z-2)} = \frac{1}{2\pi i} \cdot (-1) = -\frac{1}{2\pi i} \] 

• Daher ist das Kontur-Integral:

 \[ \boxed{-\frac{1}{2\pi i}} \]