Geometrie - Cheatsheet

Grundaxiome und Postulate der euklidischen Geometrie

Definition:

Grundsätze der euklidischen Geometrie; Set von unbewiesenen Aussagen, Basis für Beweisführungen.

Details:

• Axiom von der Geraden: Durch zwei Punkte verläuft genau eine Gerade.
• Axiom vom Kreismittelpunkt: Um jeden Punkt als Mittelpunkt kann ein Kreis mit beliebigem Radius gezeichnet werden.
• Axiom der Schnittpunkte: Zwei sich schneidende Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
• Axiom der Parallelen: Zu einer gegebenen Geraden und einem Punkt außerhalb dieser Geraden existiert genau eine Parallele durch den Punkt.
• Axiom der Verhältnisse: Rechte Linien können verlängert und verkürzt werden.
• Diese fünf Grundaxiome dienen als Fundament für alle weiteren Beweise und Konstruktionen in der euklidischen Geometrie.

Geometrische Konstruktionen (z.B. mit Zirkel und Lineal)

Definition:

Geometrische Konstruktionen sind präzise Zeichnungen geometrischer Figuren mittels Zirkel und Lineal.

Details:

• Elementare Konstruktionen: Punkte, Strecken, Winkel, Kreise
• Grundregeln: Nur Zirkel und Lineal verwenden, keine Maßeinheiten
• Konstruktionen: Winkelhalbierung, Lot fällen, Parallele ziehen
• Theoreme: Dreiecks-Konstruktionen (SSS, SAS, SAA), Mittelsenkrechte
• Unmögliche Konstruktionen: z.B. Winkel-Drittelung, Kreisquadrierung
• Methoden: Euklidische Konstruktionen basieren auf axiomatic system
• Hilfreich: Software für geometrische Konstruktionen (z.B. GeoGebra)

Homogene Koordinaten und ihre Anwendung

Definition:

Erweiterung des kartesischen Koordinatensystems durch eine zusätzliche Dimension.

Details:

• Homogene Darstellung eines Punktes: \(x, y, z\) wird durch \( (x, y, z, 1) \).
• Ermöglicht Modellierung von Translationen mit Matrizen.
• Verwendung projektiver Geometrie um Punkte im Unendlichen zu behandeln.
• Matrixdarstellung von Transformationen: \[ \begin{pmatrix} x' \ y' \ z' \ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \ e & f & g & h \ i & j & k & l \ m & n & o & p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \ w \end{pmatrix} \]

Kreuzverhältnis und projektive Transformationen

Definition:

Kreuzverhältnis: Invariante Größe unter projektiven Transformationen, wichtig in der projektiven Geometrie. Projektive Transformationen: Abbildungen, die Geraden in Geraden überführen und das Kreuzverhältnis invariant lassen.

Details:

• Kreuzverhältnis von vier Punkten A, B, C, D: \[ (A, B; C, D) = \frac{(A - C)(B - D)}{(A - D)(B - C)} \]
• Kreuzverhältnis bleibt unter projektiven Transformationen invariant.
• Projektive Transformationen beinhalten Translation, Skalierung, Drehung und perspektivische Abbildungen.
• Darstellung einer projektiven Transformation mittels Matrix: \[ P' = H \times P \] wobei \( P \) und \( P' \) Punkte im homogenen Koordinatensystem und \( H \) eine nicht-singuläre 3x3-Matrix ist.

Krümmung und Torsion von Kurven

Definition:

Krümmung misst die Änderung der Tangentenrichtung entlang der Kurve; Torsion gibt die Drehung der Kurve um ihre Tangente an.

Details:

• Krümmung \( \kappa(t) = \left| \frac{dT}{ds} \right| \) mit Tangentenvektor \( T \) und Bogenlänge \( s \).
• Torsion \( \tau(t) = \frac{(T' \times T'') \cdot T'''}{\left| T' \times T'' \right|^2} \) mit den Ableitungen des Tangentenvektors.
• Für regelmäßige Raumkurven: \( r(t) = (x(t), y(t), z(t)) \) mit nicht verschwindendem Tangentialvektor \( T(t) = r'(t) \).
• Hauptnormalvektor: \( N(t) = \frac{T'(t)}{\left| T'(t) \right|} \).
• Binormalvektor: \( B(t) = T(t) \times N(t) \).
• Frenet-Formeln: \( T' = \kappa N, N' = -\kappa T + \tau B, B' = -\tau N \).

Riemannsche Geometrie: Grundlagen und Anwendungen

Definition:

Theorie der gekrümmten Räume in der Differentialgeometrie.

Details:

• Grundlagen: Mannigfaltigkeit, Tangentialräume, Metrik, Levi-Civita-Zusammenhang.
• Krümmung: Riemann-Tensor, Ricci-Tensor, Skalar-Krümmung.
• Geodätische: Krümmungseinfluss auf kürzeste Wege.
• Anwendungen: Relativitätstheorie, Stringtheorie, Optimierungsprobleme.
• Formeln: \[ g_{ij} \text{ (Metrik)}, \quad R^k_{lij} \text{ (Riemann-Tensor)}, \quad R_{ij} \text{ (Ricci-Tensor)}, \quad R \text{ (Skalar-Krümmung)} \]

Fundamentalgruppen und ihre Relevanz in der Topologie

Definition:

Beschreibt die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes, wichtig für das Studium von dessen topologischen Eigenschaften.

Details:

• Fundamentalgruppe \(\pi_1(X, x_0)\) erfasst Schleifen mit Basispunkt \(x_0\) bis auf Homotopie.
• Schleifenoperation gibt Gruppenstruktur: Verkettung von Schleifen.
• Homöomorphe Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen.
• Relevanz: Unterscheidung nicht-homöomorpher Räume, Studium von Überlagerungen und Klassifikation von Faserbündeln.

Beweisstrategien in der euklidischen Geometrie

Definition:

verschiedene Techniken, um geometrische Aussagen zu beweisen. Essenziell für den Aufbau und das Verständnis der euklidischen Geometrie.

Details:

• Direkter Beweis: Start mit bekannten Fakten und logische Schlussfolgerungen ziehen.
• Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis): Annahme des Gegenteils und Herbeiführung eines Widerspruchs.
• Beweis durch Zerlegung: Problem in Teilprobleme zerlegen und einzeln beweisen.
• Geometrische Konstruktion: Konstruktion von Hilfsfiguren zur Verdeutlichung des Beweises.
• Nutzung geometrischer Sätze: Anwendung bereits bekannter Sätze (z.B. Satz des Pythagoras, Kongruenzsätze).
• Ziele: Richtigkeit zeigen, strukturierter Aufbau, logische Folgerichtigkeit.