Geometrie - Cheatsheet

Grundaxiome und Postulate der euklidischen Geometrie

Definition:

Grundsätze der euklidischen Geometrie; Set von unbewiesenen Aussagen, Basis für Beweisführungen.

Details:

• Axiom von der Geraden: Durch zwei Punkte verläuft genau eine Gerade.
• Axiom vom Kreismittelpunkt: Um jeden Punkt als Mittelpunkt kann ein Kreis mit beliebigem Radius gezeichnet werden.
• Axiom der Schnittpunkte: Zwei sich schneidende Geraden schneiden sich in genau einem Punkt.
• Axiom der Parallelen: Zu einer gegebenen Geraden und einem Punkt außerhalb dieser Geraden existiert genau eine Parallele durch den Punkt.
• Axiom der Verhältnisse: Rechte Linien können verlängert und verkürzt werden.
• Diese fünf Grundaxiome dienen als Fundament für alle weiteren Beweise und Konstruktionen in der euklidischen Geometrie.

Geometrische Konstruktionen (z.B. mit Zirkel und Lineal)

Definition:

Geometrische Konstruktionen sind präzise Zeichnungen geometrischer Figuren mittels Zirkel und Lineal.

Details:

• Elementare Konstruktionen: Punkte, Strecken, Winkel, Kreise
• Grundregeln: Nur Zirkel und Lineal verwenden, keine Maßeinheiten
• Konstruktionen: Winkelhalbierung, Lot fällen, Parallele ziehen
• Theoreme: Dreiecks-Konstruktionen (SSS, SAS, SAA), Mittelsenkrechte
• Unmögliche Konstruktionen: z.B. Winkel-Drittelung, Kreisquadrierung
• Methoden: Euklidische Konstruktionen basieren auf axiomatic system
• Hilfreich: Software für geometrische Konstruktionen (z.B. GeoGebra)

Homogene Koordinaten und ihre Anwendung

Definition:

Erweiterung des kartesischen Koordinatensystems durch eine zusätzliche Dimension.

Details:

• Homogene Darstellung eines Punktes: $x,y,z$ wird durch $(x,y,z,1)$.
• Ermöglicht Modellierung von Translationen mit Matrizen.
• Verwendung projektiver Geometrie um Punkte im Unendlichen zu behandeln.
• Matrixdarstellung von Transformationen: $$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }{w}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccccccccccc}a& b& c& de& f& g& hi& j& k& lm& n& o& p\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}xyzw\end{array}\right)$$

Kreuzverhältnis und projektive Transformationen

Definition:

Kreuzverhältnis: Invariante Größe unter projektiven Transformationen, wichtig in der projektiven Geometrie. Projektive Transformationen: Abbildungen, die Geraden in Geraden überführen und das Kreuzverhältnis invariant lassen.

Details:

• Kreuzverhältnis von vier Punkten A, B, C, D: $$(A,B;C,D)=\frac{(A-C)(B-D)}{(A-D)(B-C)}$$
• Kreuzverhältnis bleibt unter projektiven Transformationen invariant.
• Projektive Transformationen beinhalten Translation, Skalierung, Drehung und perspektivische Abbildungen.
• Darstellung einer projektiven Transformation mittels Matrix: $$P^{\prime }=H\times P$$ wobei $P$ und $P^{\prime }$ Punkte im homogenen Koordinatensystem und $H$ eine nicht-singuläre 3x3-Matrix ist.

Krümmung und Torsion von Kurven

Definition:

Krümmung misst die Änderung der Tangentenrichtung entlang der Kurve; Torsion gibt die Drehung der Kurve um ihre Tangente an.

Details:

• Krümmung $\kappa (t)=\left|\frac{dT}{ds}\right|$ mit Tangentenvektor $T$ und Bogenlänge $s$.
• Torsion $\tau (t)=\frac{(T^{\prime }\times T^{″})\cdot T^{‴}}{{|T^{\prime }\times T^{″}|}^2}$ mit den Ableitungen des Tangentenvektors.
• Für regelmäßige Raumkurven: $r(t)=(x(t),y(t),z(t))$ mit nicht verschwindendem Tangentialvektor $T(t)=r^{\prime }(t)$.
• Hauptnormalvektor: $N(t)=\frac{T^{\prime }(t)}{|T^{\prime }(t)|}$.
• Binormalvektor: $B(t)=T(t)\times N(t)$.
• Frenet-Formeln: $T^{\prime }=\kappa N,N^{\prime }=-\kappa T+\tau B,B^{\prime }=-\tau N$.

Riemannsche Geometrie: Grundlagen und Anwendungen

Definition:

Theorie der gekrümmten Räume in der Differentialgeometrie.

Details:

• Grundlagen: Mannigfaltigkeit, Tangentialräume, Metrik, Levi-Civita-Zusammenhang.
• Krümmung: Riemann-Tensor, Ricci-Tensor, Skalar-Krümmung.
• Geodätische: Krümmungseinfluss auf kürzeste Wege.
• Anwendungen: Relativitätstheorie, Stringtheorie, Optimierungsprobleme.
• Formeln: $$g_{ij}\text{ (Metrik)},R_{lij}^k\text{ (Riemann-Tensor)},R_{ij}\text{ (Ricci-Tensor)},R\text{ (Skalar-Krümmung)}$$

Fundamentalgruppen und ihre Relevanz in der Topologie

Definition:

Beschreibt die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes, wichtig für das Studium von dessen topologischen Eigenschaften.

Details:

• Fundamentalgruppe ${\pi }_1(X,x_0)$ erfasst Schleifen mit Basispunkt $x_0$ bis auf Homotopie.
• Schleifenoperation gibt Gruppenstruktur: Verkettung von Schleifen.
• Homöomorphe Räume haben isomorphe Fundamentalgruppen.
• Relevanz: Unterscheidung nicht-homöomorpher Räume, Studium von Überlagerungen und Klassifikation von Faserbündeln.

Beweisstrategien in der euklidischen Geometrie

Definition:

verschiedene Techniken, um geometrische Aussagen zu beweisen. Essenziell für den Aufbau und das Verständnis der euklidischen Geometrie.

Details:

• Direkter Beweis: Start mit bekannten Fakten und logische Schlussfolgerungen ziehen.
• Indirekter Beweis (Widerspruchsbeweis): Annahme des Gegenteils und Herbeiführung eines Widerspruchs.
• Beweis durch Zerlegung: Problem in Teilprobleme zerlegen und einzeln beweisen.
• Geometrische Konstruktion: Konstruktion von Hilfsfiguren zur Verdeutlichung des Beweises.
• Nutzung geometrischer Sätze: Anwendung bereits bekannter Sätze (z.B. Satz des Pythagoras, Kongruenzsätze).
• Ziele: Richtigkeit zeigen, strukturierter Aufbau, logische Folgerichtigkeit.