Geometrie - Exam

Aufgabe 1)

Grundaxiome der euklidischen Geometrie Gegeben sei ein ebenes Koordinatensystem, in dem alle Punkte, Geraden und Kreise innerhalb der Ebene liegen. Verwende die fünf Grundaxiome der euklidischen Geometrie, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

a)

Beweise, dass sich jede Gerade und jeder Kreis in höchstens zwei Punkten schneiden können. Verwende dazu das Axiom der Schnittpunkte und das Axiom vom Kreismittelpunkt.

Lösung:

• Grundaxiome der euklidischen Geometrie Gegeben sei ein ebenes Koordinatensystem, in dem alle Punkte, Geraden und Kreise innerhalb der Ebene liegen. Verwende die fünf Grundaxiome der euklidischen Geometrie, um die folgenden Aufgaben zu lösen:
• Beweise, dass sich jede Gerade und jeder Kreis in höchstens zwei Punkten schneiden können. Verwende dazu das Axiom der Schnittpunkte und das Axiom vom Kreismittelpunkt.

Beweis:

• Axiom der Schnittpunkte: Zwei Geraden in einer Ebene schneiden sich in höchstens einem Punkt.
• Axiom vom Kreismittelpunkt: Ein Kreis ist definiert als die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt, denselben Abstand haben.

Um zu zeigen, dass sich eine Gerade und ein Kreis in höchstens zwei Punkten schneiden können, betrachten wir folgendes:

• Eine Gerade ist eine unendlich lange Linie in einer Ebene ohne Krümmung.
• Ein Kreis ist die Menge aller Punkte, die von einem festen Punkt (dem Mittelpunkt) einen konstanten Abstand (den Radius) haben.
• Mathematisch kann dies folgendermaßen ausgedrückt werden: Sei der Kreis gegeben durch die Gleichung \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\), wobei (a, b) der Mittelpunkt und r der Radius ist. Eine Gerade wird durch eine Gleichung der Form \Ax + By + C = 0\ beschrieben.

Um die Schnittpunkte zu finden, setzen wir die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein:

• Isoliere y aus der Geradengleichung und setze sie in die Kreisgleichung ein:

  y = \frac{{ - C - Ax }}{B}

• Substituiere y in die Kreisgleichung:

  (x - a)^2 + \left(\frac{{ - C - Ax }}{B} - b\right)^2 = r^2

• Daraus ergibt sich eine quadratische Gleichung in der Form \ Kx^2 + Lx + M = 0\, deren Lösungen durch die Mitternachtsformel gegeben sind.

Die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmen die x-Koordinaten der Schnittpunkte. Da jede quadratische Gleichung höchstens zwei Lösungen haben kann, ergibt sich:

Die Gerade und der Kreis können sich in höchstens zwei Punkten schneiden.

b)

Konstruiere den Umkreis (einen Kreis, der durch alle Eckpunkte geht) eines gegebenen Dreiecks ABC in einem ebenen Koordinatensystem. Beschreibe alle notwendigen Schritte der Konstruktion und erkläre, welches Axiom in jedem dieser Schritte verwendet wird.

Lösung:

• Grundaxiome der euklidischen Geometrie Gegeben sei ein ebenes Koordinatensystem, in dem alle Punkte, Geraden und Kreise innerhalb der Ebene liegen. Verwende die fünf Grundaxiome der euklidischen Geometrie, um die folgenden Aufgaben zu lösen:
• Konstruiere den Umkreis (einen Kreis, der durch alle Eckpunkte geht) eines gegebenen Dreiecks ABC in einem ebenen Koordinatensystem. Beschreibe alle notwendigen Schritte der Konstruktion und erkläre, welches Axiom in jedem dieser Schritte verwendet wird.

Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks ABC:

• Schritt 1: Bestimme die Mittelsenkrechten der Seiten des Dreiecks
  • Für jede Seite des Dreiecks (AB, BC und CA) bestimme die Mittelsenkrechte. Die Mittelsenkrechte einer Seite ist die Linie, die senkrecht durch den Mittelpunkt der Seite verläuft.
  • Axiom der Gleichheit (Axiom 1): Jeder Linie kann eine andere Linie gleichen Länge zugeordnet werden. Das bedeutet, dass wir den Mittelpunkt der Seite durch das Messen und Teilen der Länge der Seite bestimmen können.
• Schritt 2: Bestimme den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten
  • Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, den Mittelpunkt des Umkreises.
  • Axiom der Parallelen (Axiom 5): Es kann nur eine Linie parallel zu einer gegebenen Linie und durch einen Punkt außerhalb dieser Linie gezogen werden, wodurch wir bestimmen können, dass die Mittelsenkrechten sich nur in einem Punkt schneiden können.
• Schritt 3: Bestimme den Radius des Umkreises
  • Der Radius des Umkreises ist die Entfernung vom Mittelpunkt des Dreiecks zu einem der Eckpunkte (A, B oder C).
  • Axiom der Strecke (Axiom 2): Jeder Punkt kann durch eine Strecke verbunden werden, um die Entfernung zwischen zwei Punkten zu messen.
• Schritt 4: Zeichne den Umkreis
  • Zeichne einen Kreis mit dem zuvor bestimmten Radius und dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten als Mittelpunkt. Der so gezeichnete Kreis ist der Umkreis des Dreiecks ABC.
  • Axiom des Kreises (Axiom 3): Es kann ein Kreis durch eine definierte Strecke von einem festen Punkt, dem Zentrum, gezeichnet werden, was uns ermöglicht, den Umkreis nach dem Messen des Radius zu zeichnen.

Zusammenfassung: Um den Umkreis eines Dreiecks ABC zu konstruieren, müssen wir die Mittelsenkrechten aller drei Seiten des Dreiecks bestimmen, deren Schnittpunkt als Mittelpunkt des Kreises verwenden und dann einen Kreis mit dem Radius ziehen, der von diesem Mittelpunkt zu einem der Eckpunkte des Dreiecks geht. Jeder dieser Schritte basiert auf den Grundaxiomen der euklidischen Geometrie.

c)

Zeige mit Hilfe des Parallelenaxioms und des Axioms von der Geraden, dass durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden genau eine Parallele existiert, die diese Gegeben durch den Punkt nie berührt. Skizziere in einer Zeichnung den Beweis und erläutere jeden Schritt.

Lösung:

• Grundaxiome der euklidischen Geometrie Gegeben sei ein ebenes Koordinatensystem, in dem alle Punkte, Geraden und Kreise innerhalb der Ebene liegen. Verwende die fünf Grundaxiome der euklidischen Geometrie, um die folgenden Aufgaben zu lösen:
• Zeige mit Hilfe des Parallelenaxioms und des Axioms von der Geraden, dass durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden genau eine Parallele existiert, die diese Gegeben durch den Punkt nie berührt. Skizziere in einer Zeichnung den Beweis und erläutere jeden Schritt.

Beweis:

• Axiom der Geraden (Axiom 1): Zu zwei Punkten kann genau eine Linie gezeichnet werden.
• Parallelenaxiom (Axiom 5): Durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Linie kann genau eine Linie gezeichnet werden, die mit der gegebenen Linie parallel ist (sich nie schneidet).

Um zu beweisen, dass durch einen Punkt außerhalb einer gegebenen Geraden genau eine Parallele existiert, die diese Geraden nie berührt, führen wir die folgenden Schritte aus:

• Schritt 1: Zeichne eine gegebene Gerade, nenne sie l, und einen Punkt P, der nicht auf der Geraden l liegt. Dies ist der Ausgangspunkt unseres Beweises und der Skizze.
• Schritt 2: Mit dem Axiom der Geraden (Axiom 1) wissen wir, dass durch zwei beliebige Punkte genau eine Gerade gezeichnet werden kann. Betrachte den Punkt P und jeden Punkt Q auf der Geraden l.
• Schritt 3: Zeichne die Gerade durch den Punkt P und den Punkt Q. Dies ist die Linie, die durch beide Punkte verläuft. Beachte, dass diese Linie die Gerade l schneidet.
• Schritt 4: Nach dem Parallelenaxiom (Axiom 5) existiert genau eine Linie durch den Punkt P, die parallel zur gegebenen Geraden l ist. Diese Linie nennen wir m.
• Schritt 5: Zeichne die Parallele m durch den Punkt P, die parallel zur Geraden l verläuft. Diese Linie berührt die Gerade l nie, da sie parallel ist.

Skizze:

1. Zeichne eine Linie l und markiere einen beliebigen Punkt P außerhalb von l.
2. Ziehe eine Linie durch P, die parallel zu l ist. Diese Linie ist m.
3. Beachte, dass m niemals l berühren wird, da sie parallel sind.

Zusammenfassung: Mit Hilfe des Parallelenaxioms (Axiom 5) und des Axioms der Geraden (Axiom 1) haben wir bewiesen, dass durch einen Punkt P außerhalb einer gegebenen Geraden l genau eine Parallele m existiert, die diese Gegeben durch den Punkt nie berührt.

Aufgabe 2)

Zirkel und Lineal - Geometrische KonstruktionenEine geometrische Konstruktion dient dazu, präzise Figuren und Formen unter Verwendung von Zirkel und Lineal zu erstellen. In diesem Kontext sind elementare Konstruktionen wie Punkte, Strecken, Winkel und Kreise möglich. Verschiedene wichtige Grundregeln und Techniken, wie die Winkelhalbierung, das Fällen eines Lots und das Ziehen paralleler Linien, gehören dabei zum Handwerkszeug. Ein besonderes Augenmerk sollte auf den Dreiecks-Konstruktionen (SSS, SAS, SAA) und der Mittelsenkrechten liegen. Beachte dabei bitte: Es gibt auch Konstruktionen, die unmöglich sind, wie die Winkel-Drittelung oder die Kreisquadrierung. Diese theoretischen Konstruktionen basieren auf einem axiomatic system, was bedeutet, dass jede Konstruktion sich auf definierte Grundsätze stützt. Spezialsoftware wie GeoGebra kann dabei sehr hilfreich sein.

a)

Konstruiere ein Dreieck ABC mit den gegebenen Seitenlängen: AB = 7 cm, BC = 5 cm und CA = 6 cm. Verwende hierfür ausschließlich Zirkel und Lineal. Dokumentiere jeden Konstruktionsschritt ausführlich, insbesondere den Einsatz der SSS-Methode. Erkläre auch, warum diese Methode hier anwendbar ist.

Lösung:

Konstruktionsschritte für ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = 7 cm, BC = 5 cm und CA = 6 cm

Im Folgenden wird ausführlich erläutert, wie ein Dreieck mit den Seitenlängen AB = 7 cm, BC = 5 cm und CA = 6 cm konstruiert wird. Wir verwenden dabei die SSS-Methode (Seite-Seite-Seite), die besagt, dass ein Dreieck eindeutig bestimmt ist, wenn drei Seitenlängen gegeben sind.

Schritt-für-Schritt Anleitung:

• Schritt 1: Zeichne die Strecke AB mit einer Länge von 7 cm. Nimm ein Lineal und zeichne eine gerade Linie von Punkt A zu Punkt B, wobei die Strecke genau 7 cm lang sein muss.
• Schritt 2: Bestimme den Punkt C anhand der Längen AC und BC mit einem Zirkel. - Setze die Spitze des Zirkels in Punkt A und stelle den Radius auf 6 cm ein. - Zeichne einen Kreisbogen, der Punkt C beschreibt. - Setze dann die Spitze des Zirkels in Punkt B und stelle den Radius auf 5 cm ein. - Zeichne einen Kreisbogen, der ebenfalls Punkt C beschreibt.Der Schnittpunkt der beiden Kreislinien ist Punkt C.
• Schritt 3: Verbinde die Punkte. - Verbinde Punkt A mit Punkt C, - und Punkt B mit Punkt C.Du hast nun ein Dreieck ABC, bei dem die Seiten AB, BC und CA den Längen 7 cm, 5 cm und 6 cm entsprechen.
• Warum die SSS-Methode anwendbar ist: Die SSS-Methode ist hier anwendbar, da alle drei Seitenlängen des Dreiecks gegeben sind. Nach dem Seiten-Seiten-Seiten (SSS) Satz ist ein Dreieck eindeutig bestimmt, wenn die Längen seiner drei Seiten bekannt sind. Das bedeutet, es gibt nur ein solches Dreieck, das diese Bedingungen erfüllt, wodurch die Konstruktion möglich und eindeutig ist.
• Zusätzlicher Hinweis: Diese Konstruktion beruht auf grundlegenden Prinzipien der euklidischen Geometrie und kann mit Zirkel und Lineal durchgeführt werden. Spezialsoftware wie GeoGebra kann ebenfalls nützlich sein, um die Konstruktion zu visualisieren und zu überprüfen.

b)

Nach der Konstruktion des Dreiecks ABC, konstruiere die Mittelsenkrechte der Seite BC und dokumentiere den Schritt. Beschreibe, welchen Zweck die Mittelsenkrechte in der Geometrie erfüllt und nenne ein Beispiel, bei dem die Verwendung der Mittelsenkrechten notwendig ist.

Lösung:

Konstruktion der Mittelsenkrechten der Seite BC im Dreieck ABC

Nachdem das Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = 7 cm, BC = 5 cm und CA = 6 cm konstruiert wurde, geht es nun darum, die Mittelsenkrechte der Seite BC zu konstruieren.Die Mittelsenkrechte einer Seite eines Dreiecks ist die Linie, die die Seite senkrecht in zwei gleich lange Teile teilt. Diese Linie geht durch den Mittelpunkt der Seite und steht senkrecht auf ihr.

Schritt-für-Schritt Anleitung:

• Schritt 1: Lokalisierung des Mittelpunkts von BC - Setze die Spitze des Zirkels in Punkt B und stelle den Radius auf mehr als die Hälfte der Länge von BC ein (also mehr als 2,5 cm). - Zeichne einen Kreisbogen oberhalb und unterhalb der Seite BC. - Wiederhole diesen Vorgang mit der Zirkelspitze in Punkt C, wobei der gleiche Radius verwendet wird.Die beiden Kreisbögen schneiden sich oberhalb und unterhalb der Seite BC.
• Schritt 2: Zeichne die Mittelsenkrechte - Verbinde die Schnittpunkte der beiden Kreisbögen oberhalb und unterhalb der Seite BC.Diese Linie ist die Mittelsenkrechte der Seite BC. Sie teilt BC genau in der Mitte und steht senkrecht auf BC.
• Funktion der Mittelsenkrechten in der Geometrie: Die Mittelsenkrechte einer Seite eines Dreiecks hat mehrere funktionale Aspekte: - Sie teilt die Seite in zwei gleiche Teile. - Sie steht senkrecht auf der Seite, was bedeutet, dass sie einen rechten Winkel (90 Grad) mit der Seite bildet. - Alle Punkte auf der Mittelsenkrechten sind gleich weit von den Endpunkten der Seite entfernt. Das bedeutet beispielsweise, dass jeder Punkt auf der Mittelsenkrechten gleich weit von Punkt B und Punkt C entfernt ist.
• Beispiel für die Anwendung: Die Mittelsenkrechte wird in verschiedenen geometrischen Konstruktionen und Problemlösungen verwendet. Ein typisches Beispiel ist die Konstruktion des Umkreises eines Dreiecks. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der drei Seiten eines Dreiecks ist der Mittelpunkt des Umkreises (der Kreis, der durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks geht). Der Umkreismittelpunkt ist gleich weit von allen drei Eckpunkten des Dreiecks entfernt.

Aufgabe 3)

• Homogene Darstellung eines Punktes: \(x, y, z\) wird durch \( (x, y, z, 1)\).
• Ermöglicht Modellierung von Translationen mit Matrizen.
• Verwendung projektiver Geometrie um Punkte im Unendlichen zu behandeln.
• Matrixdarstellung von Transformationen: \[ \begin{pmatrix} x' \ y' \ z' \ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c & d \ e & f & g & h \ i & j & k & l \ m & n & o & p \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \ y \ z \ w \end{pmatrix} \]

a)

Gegeben ist der Punkt \(P(2, 3, 4)\) in kartesischen Koordinaten.

• a) Stelle diesen Punkt in homogenen Koordinaten dar.
• b) Gegeben sei die Transformationsmatrix: \[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] Transformation des Punktes durch diese Matrix berechnen.

Lösung:

Um die Aufgaben zu lösen, gehen wir schrittweise vor:

• a)

Gegeben ist der Punkt \(P(2, 3, 4)\) in kartesischen Koordinaten. Um diesen Punkt in homogenen Koordinaten darzustellen, fügen wir einfach eine zusätzliche Koordinate mit dem Wert 1 hinzu:

Der Punkt in homogenen Koordinaten ist:

\[ P_{homogen} = (2, 3, 4, 1) \]

• b)

Gegeben sei die Transformationsmatrix:

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Um die Transformation des Punktes \(P_{homogen} = (2, 3, 4, 1)\) durch diese Matrix zu berechnen, wenden wir die Matrixmultiplikation an:

\[ \begin{pmatrix} x' \ y' \ z' \ w' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 1 & 3 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \ 3 \ 4 \ 1 \end{pmatrix} \]

Die Rechnung erfolgt wie folgt:

\[ x' = 1 \times 2 + 0 \times 3 + 0 \times 4 + 1 \times 1 = 3 \]

\[ y' = 0 \times 2 + 1 \times 3 + 0 \times 4 + 2 \times 1 = 5 \]

\[ z' = 0 \times 2 + 0 \times 3 + 1 \times 4 + 3 \times 1 = 7 \]

\[ w' = 0 \times 2 + 0 \times 3 + 0 \times 4 + 1 \times 1 = 1 \]

Der transformierte Punkt in homogenen Koordinaten lautet daher:

\[ P'_{homogen} = (3, 5, 7, 1) \]

In kartesischen Koordinaten ist dies:

\[ P' = (3, 5, 7) \]

b)

Punkte im Unendlichen behandeln.

• a) Erläutere kurz, wie homogene Koordinaten verwendet werden, um Punkte im Unendlichen zu repräsentieren.
• b) Gegeben ist die homogene Darstellung eines Punktes: \(Q(5, 6, 7, 0)\). Bestimme die kartesischen Koordinaten dieses Punktes und erläutere deren Interpretation in der projektiven Geometrie.

Lösung:

Um die Aufgaben zu lösen, gehen wir schrittweise vor:

• a)

Homogene Koordinaten werden verwendet, um Punkte im Unendlichen zu repräsentieren, indem die vierte Koordinate \(w\) genutzt wird. In homogenen Koordinaten wird ein Punkt \( (x, y, z, w)\) dargestellt. Wenn \(w = 1\), lassen sich die kartesischen Koordinaten direkt als \( (x, y, z)\) interpretieren. Punkte im kartesischen Koordinatensystem entsprechen Punkten der Form \( (x, y, z, 1)\) in homogenen Koordinaten.

Wenn die vierte Koordinate \(w = 0\) ist, bedeutet dies, dass der Punkt im Unendlichen liegt. Diese Punkte lassen sich als Richtungen interpretieren, anstatt als konkrete Ortsangaben. Solche Darstellungen sind in der projektiven Geometrie nützlich, da sie erlauben, Parallelitäten und Unendlichkeitspunkte elegant zu handhaben.

• b)

Gegeben ist die homogene Darstellung eines Punktes: \(Q(5,6,7,0)\). Um die kartesischen Koordinaten dieses Punktes zu bestimmen, beachten wir die Tatsache, dass die vierte Koordinate \(w=0\) ist. Das impliziert, dass der Punkt im Unendlichen liegt:

Da \(w=0\), sind die kartesischen Koordinaten dieses Punktes nicht definierbar im traditionellen Sinn, wie wäre falls \(w=1\).

Dieser Punkt kann stattdessen als die Richtung des Vektors \((5, 6, 7)\) interpretiert werden, also eine Richtung, die unendlich weit vom Ursprung entfernt ist.

In der projektiven Geometrie repräsentiert dieser Punkt eine Richtung im Raum und nicht einen festen Punkt. Daher findet diese Darstellung Anwendung, um parallele Linien und Fluchtpunkte zu modellieren.

Aufgabe 4)

Betrachte vier Punkte A, B, C und D in der projektiven Ebene. Gegeben sei das Kreuzverhältnis dieser vier Punkte durch folgende Formel:

das

Das Kreuzverhältnis von vier Punkten A, B, C, D ist definiert als:

\[ (A, B; C, D) = \frac{(A - C)(B - D)}{(A - D)(B - C)}\]

In dieser Aufgabe sollen verschiedene Aspekte und Anwendungen des Kreuzverhältnisses sowie projektiver Transformationen untersucht werden. Insbesondere wird die Invarianz des Kreuzverhältnisses unter verschiedenen Transformationen verifiziert.

a)

1. Berechne das Kreuzverhältnis der Punkte \(A = 1\), \(B = 2\), \(C = 3\) und \(D = 4\).

Zeige alle Zwischenschritte und erkläre, wie das Kreuzverhältnis unter dieser Berechnung definiert ist.

Lösung:

Um das Kreuzverhältnis der Punkte A = 1, B = 2, C = 3 und D = 4 zu berechnen, folge diesen Schritten:

Das Kreuzverhältnis von vier Punkten A, B, C und D ist definiert als:

• \[ (A, B; C, D) = \frac{(A - C)(B - D)}{(A - D)(B - C)} \]

Setzen wir nun {A=1, B=2, C=3, D=4} in die Gleichung ein:

• \[ (1, 2; 3, 4) = \frac{(1 - 3)(2 - 4)}{(1 - 4)(2 - 3)} \]
• Dies vereinfacht sich zu: \[ (1, 2; 3, 4) = \frac{(-2)(-2)}{(-3)(-1)} \]
• Weiter vereinfacht ergibt sich: \[ (1, 2; 3, 4) = \frac{4}{3} \]

Daraus ergibt sich das Kreuzverhältnis der vier Punkte A = 1, B = 2, C = 3 und D = 4 wie folgt:

• \[ (1, 2; 3, 4) = \frac{4}{3} \]

Wie man erkennen kann, haben wir die Gleichung einzeln mit den Werten A, B, C, und D ausgefüllt, die Ausdrücke schrittweise vereinfacht und das Endergebnis als Kreuzverhältnis erhalten.

b)

2. Gegeben sei eine projektive Transformation, dargestellt durch die Matrix:

\[ H = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\ 0 & 1 & 0\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Transformiere die Punkte \( A = (1, 1)\), \( B = (2, 1)\), \( C = (3, 1)\) und \( D = (4, 1)\) mittels dieser Matrix. Was sind die neuen Koordinaten der Punkte nach der projektiven Transformation?

Verifiziere, ob das ursprüngliche Kreuzverhältnis invariant bleibt unter dieser Transformation.

Lösung:

Um die Punkte A = (1, 1), B = (2, 1), C = (3, 1) und D = (4, 1) mittels der projektiven Transformation, die durch die Matrix

\[ H = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

dargestellt wird, zu transformieren, müssen wir die homogenen Koordinaten der Punkte verwenden. Diese Koordinaten sind:

• A = (1, 1, 1)
• B = (2, 1, 1)
• C = (3, 1, 1)
• D = (4, 1, 1)

Für die Transformation multiplizieren wir jeden Punkt mit der Matrix:

• Für Punkt A = (1, 1, 1): \[ H \begin{pmatrix} 1 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + 2 \times 1 + 1 \times 1 \ 0 \times 1 + 1 \times 1 + 0 \times 1 \ 0 \times 1 + 0 \times 1 + 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \]
• Für Punkt B = (2, 1, 1): \[ H \begin{pmatrix} 2 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 + 1 \times 1 \ 0 \times 2 + 1 \times 1 + 0 \times 1 \ 0 \times 2 + 0 \times 1 + 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \]
• Für Punkt C = (3, 1, 1): \[ H \begin{pmatrix} 3 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 3 + 2 \times 1 + 1 \times 1 \ 0 \times 3 + 1 \times 1 + 0 \times 1 \ 0 \times 3 + 0 \times 1 + 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \]
• Für Punkt D = (4, 1, 1): \[ H \begin{pmatrix} 4 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 1 \ 0 \times 4 + 1 \times 1 + 0 \times 1 \ 0 \times 4 + 0 \times 1 + 1 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \ 1 \ 1 \end{pmatrix} \]

Die neuen Koordinaten der Punkte nach der projektiven Transformation sind:

• A' = (4, 1, 1)
• B' = (5, 1, 1)
• C' = (6, 1, 1)
• D' = (7, 1, 1)

Nun überprüfen wir das ursprüngliche Kreuzverhältnis sowie das Kreuzverhältnis nach der Transformation.

Das ursprüngliche Kreuzverhältnis ist:

• \[ (A, B; C, D) = \frac{(1 - 3)(2 - 4)}{(1 - 4)(2 - 3)} = \frac{4}{3} \]

Das neue Kreuzverhältnis nach der Transformation ist:

• \[ (A', B'; C', D') = \frac{(4 - 6)(5 - 7)}{(4 - 7)(5 - 6)} = \frac{(-2)(-2)}{(-3)(-1)} = \frac{4}{3} \]

Daraus ergibt sich, dass das Kreuzverhältnis invariant bleibt unter der Transformation:

• \[ (A, B; C, D) = (A', B'; C', D') = \frac{4}{3} \]

Wir haben somit die Invarianz des Kreuzverhältnisses unter der gegebenen projektiven Transformation erfolgreich verifiziert.

c)

3. Zeige, dass das Kreuzverhältnis von vier beliebigen Punkten invariant ist unter einer Translation. Verwende dazu die allgemeine Form einer Translationsmatrix und wende sie auf die vier Punkte an. Der Ansatz der Translationsmatrix ist wie folgt:

\[ T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x\ 0 & 1 & t_y\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]Nutze diese Matrix, um die Translation auf die vier Punkte anzuwenden und zeige die Invarianz des Kreuzverhältnisses.

Lösung:

Um zu zeigen, dass das Kreuzverhältnis von vier beliebigen Punkten unter einer Translation invariant ist, verwenden wir die allgemeine Form einer Translationsmatrix:

\[T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]

Wir nehmen vier allgemeine Punkte in der projektiven Ebene und verwenden homogene Koordinaten:

• A = (a_x, a_y, 1)
• B = (b_x, b_y, 1)
• C = (c_x, c_y, 1)
• D = (d_x, d_y, 1)

Die Translation wird auf die Punkte mittels der Matrix \(T\) angewendet. Dadurch ergeben sich folgende translatierte Punkte:

• Für A: \[ T \begin{pmatrix} a_x \ a_y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_x \ a_y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_x + t_x \ a_y + t_y \ 1 \end{pmatrix} \]
• Für B: \[ T \begin{pmatrix} b_x \ b_y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} b_x \ b_y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b_x + t_x \ b_y + t_y \ 1 \end{pmatrix} \]
• Für C: \[ T \begin{pmatrix} c_x \ c_y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c_x \ c_y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} c_x + t_x \ c_y + t_y \ 1 \end{pmatrix} \]
• Für D: \[ T \begin{pmatrix} d_x \ d_y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & t_x \ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} d_x \ d_y \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_x + t_x \ d_y + t_y \ 1 \end{pmatrix} \]

Nun berechnen wir das Kreuzverhältnis der neuen, translatierte Punkte:

• \[ (A', B'; C', D') = \frac{(a_x + t_x - c_x - t_x)(b_x + t_x - d_x - t_x)}{(a_x + t_x - d_x - t_x)(b_x + t_x - c_x - t_x)} \]

Die Verschiebungen \(t_x\) und \(t_y\) heben sich im Zähler und Nenner auf, sodass sich das Kreuzverhältnis zu:

• \[ (A', B'; C', D') = \frac{(a_x - c_x)(b_x - d_x)}{(a_x - d_x)(b_x - c_x)} \]

Dies ist das gleiche Kreuzverhältnis wie vor der Translation:

• \[ (A, B; C, D) = \frac{(a_x - c_x)(b_x - d_x)}{(a_x - d_x)(b_x - c_x)} \]

Daher bleibt das Kreuzverhältnis unter der Translation invariant.

d)

4. Diskutiere die geometrische Bedeutung des Kreuzverhältnisses. Warum ist es für die projektive Geometrie von Bedeutung? Erläutere dies anhand eines Beispiels, in dem das Kreuzverhältnis verwendet wird, um zu beweisen, dass vier Punkte kollinear sind.

Beziehe dich dabei auch auf Anwendungen in der Computer Vision oder Robotik.

Lösung:

Das Kreuzverhältnis ist für die projektive Geometrie von großer Bedeutung, da es eine projektive Invariante darstellt. Das bedeutet, dass das Kreuzverhältnis unter projektiven Transformationen, wie Translation, Skalierung, Rotation und allgemeinen projektiven Transformationen, invariant bleibt. Diese Eigenschaft macht das Kreuzverhältnis zu einem kraftvollen Instrument in der Analyse von geometrischen Strukturen und deren Transformationen.

Die geometrische Bedeutung des Kreuzverhältnisses liegt in seiner Fähigkeit, die relativen Positionen von vier Punkten auf einer projektiven Linie zu beschreiben. Durch das Kreuzverhältnis können wir eine formale und quantitative Beziehung zwischen diesen Punkten ausdrücken.

Ein Beispiel, um die Bedeutung des Kreuzverhältnisses zu erläutern, ist die Verwendung des Kreuzverhältnisses, um zu beweisen, dass vier Punkte kollinear sind:

Betrachte vier Punkte A, B, C und D. Wenn diese vier Punkte auf einer Linie liegen (kollinear sind), bleibt ihr Kreuzverhältnis konstant (und insbesondere, das Kreuzverhältnis der Punkte kann durch das Verhältnis ihrer Abstände beschrieben werden).

Wenn die Punkte beispielsweise in der affinen Ebene auf der x-Achse liegen, können wir deren Koordinaten als A(x₁), B(x₂), C(x₃) und D(x₄) angeben. Das Kreuzverhältnis beträgt dann:

\[(A, B; C, D) = \frac{(x₁ - x₃)(x₂ - x₄)}{(x₁ - x₄)(x₂ - x₃)}\]

Bleibt dieses Verhältnis invariant bei Projektionen oder anderen projektiven Transformationen, bestätigt das die Kollinearität dieser vier Punkte.

In der Computer Vision wird das Kreuzverhältnis verwendet, um die Konsistenz von Punktkorrespondenzen zwischen verschiedenen Bildern sicherzustellen. Zum Beispiel:

• Merkmalserkennung: Bei der Erkennung und Matching von Merkmalen in verschiedenen Ansichten einer Szene kann das Kreuzverhältnis helfen, die Kopfbezogenheit der gefundenen Punktkorrespondenzen zu überprüfen.
• Epipolare Geometrie: In der Stereobildverarbeitung bleiben Epipolarlinien in beiden Ansichten konstant (projektive Invarianz), was durch das Kreuzverhältnis unterstützt wird.
• Fundamental Matrix: Das Kreuzverhältnis kann verwendet werden, um die epipolare Geometrie zwischen zwei Kamerabildern zu verstehen und zu berechnen, die in der Fundamental Matrix codiert ist.

In der Robotik wird das Kreuzverhältnis genutzt, um die Bewegungen und Transformationen von Robotergliedern zu analysieren und um die relative Positionierung und Bewegung von Objekten zu bestimmen.

Zusammengefasst ermöglicht das Kreuzverhältnis innerhalb der projektiven Geometrie präzise und konsistente Analysen, die sich auf einer Reihe von Anwendungen in der Computer Vision und Robotik erstrecken, indem es eine Transformation unabhängig von der Projektionsmatrix analysiert und verifiziert.