Gewöhnliche Differentialgleichungen - Cheatsheet

Definition und Klassifizierung von Differentialgleichungen

Definition:

Differentialgleichung: Eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitungen einer unbekannten Funktion enthält. Klassifizierung nach: Ordnung, Linearität, Homogenität, Art (gewöhnlich/partiell).

Details:

• Ordnung: Höchste Ableitung in der Gleichung
• Linearität: Linear, wenn alle Ableitungen der unbekannten Funktion linear sind
• Homogenität: Homogen, wenn keine unabhängige Terme vorhanden sind
• Art: Gewöhnliche Diff.gl. (eine unabhängige Variable), partielle Diff.gl. (mehrere unabhängige Variablen)

Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen

Definition:

Kriterien für das Vorhandensein und die Eindeutigkeit von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen.

Details:

• Existenz: Eine Lösung existiert lokal, wenn die Funktion f(t, y) stetig ist. (Satz von Peano)
• Eindeutigkeit: Eine Lösung ist eindeutig, wenn die Funktion f(t, y) Lipschitz-stetig in y ist. (Satz von Picard-Lindelöf)
• Initialwertproblem: \(y' = f(t, y), y(t_0) = y_0\)
• Lokale Existenz: Unter obigen Bedingungen gibt es eine Lösung in einem Intervall [t_0 - h, t_0 + h].
• Globale Existenz: Lösungen können unter bestimmten Bedingungen auf große Intervalle erweitert werden.
• Lipschitz-Bedingung: \| f(t,y_1) - f(t,y_2) | \leq L | y_1 - y_2 |\ für eine Konstante L.
• Iteration: Lösung kann durch sukzessive Approximationen angegangen werden (Picard-Iteration).

Prinzip der Variablentrennung

Definition:

Prinzip der Variablentrennung: Methode zur Lösung von Differentialgleichungen erster Ordnung, indem Variablen getrennt und dann integriert werden.

Details:

• Form der Differentialgleichung: \frac{dy}{dx} = g(x)h(y)
• Trennung der Variablen: \frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx
• Integration beider Seiten: \int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx
• Lösungen durch Auflösen der integralen Gleichung

Charakteristische Gleichungen: Theorie und Anwendungen

Definition:

Charakteristische Gleichungen sind algebraische Gleichungen, deren Lösungen die Eigenwerte einer Matrix darstellen und insbesondere bei der Lösung linearer Differentialgleichungen verwendet werden.

Details:

• Charakteristische Gleichung einer Matrix A: \[ \text{det}(A - \lambda I) = 0 \]
• Für lineare Differentialgleichungen der Form \[ y'' + ay' + by = 0 \]
• Ansatz: \[ y = e^{rt} \]
• Ergibt charakteristische Gleichung: \[ r^2 + ar + b = 0 \]
• Lösungen r sind die Wurzeln der charakteristischen Gleichung
• Je nach Diskriminante (\( D = a^2 - 4b \) ):
• \( D > 0 \) : Reelle Wurzeln - zwei reelle Lösungen
• \( D = 0 \) : Doppelte reelle Wurzel - eine reelle Lösung
• \( D < 0 \) : Komplexe Wurzeln - konjugiert komplexe Lösungen

Integrierender Faktor bei linearen Gleichungen erster Ordnung

Definition:

Zusatzfunktion zur Lösung linearer Differentialgleichungen 1. Ordnung

Details:

• Lineare DGL 1. Ordnung: \( y' + p(x)y = q(x) \)
• Integrierender Faktor: \( \text{IF}(x) = e^{\int p(x) \, dx} \)
• Multiplikation der gesamten DGL mit dem integrierenden Faktor
• Ergibt: \( \frac{d}{dx} [ \text{IF}(x) \, y ] = \text{IF}(x) \, q(x) \)
• Integration beider Seiten zur Bestimmung von \( y(x) \)

Lösungstechniken für homogene und inhomogene Gleichungen

Definition:

Lösungstechniken für homogene und inhomogene Gleichungen in der Vorlesung Gewöhnliche Differentialgleichungen.

Details:

• Homogene Gleichungen: Form \( L(y) = 0 \), Lösungsmethoden: Trennung der Variablen, Linearkombination der Basislösungen, Charakteristiken
• Inhomogene Gleichungen: Form \( L(y) = g(x) \), Lösungsmethoden: Methode der Variation der Konstanten, Unbestimmte Koeffizienten, Greensche Funktion
• Superpositionsprinzip: Lösung besteht aus homogener Lösung und partikulärer Lösung \( y = y_h + y_p \)
• Initialwertprobleme: Bestimmung spezifischer Lösungen unter gegebenen Anfangsbedingungen

Superposition und Partikulare Lösungen

Definition:

Superposition: Summe der Lösungen homogener Linear Differentialgleichung. Partikulare Lösung: Spezifische Lösung der inhomogenen Differentialgleichung.

Details:

• Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung: Summe der homogenen Lösung und einer partikularen Lösung.
• Homogene DGL: \( L[y] = 0 \).
• Inhomogene DGL: \( L[y] = f(x) \).
• Superposition: \( y = c_1 y_1 + c_2 y_2 + \ldots + c_n y_n \).
• Partikulare Lösung: \( y_p \), gefunden durch spez. Methoden (Variation der Konstanten, Undetermined Coefficients).

Stabilität und Grenzverhalten von Lösungen

Definition:

Untersuchung des Verhaltens von Lösungen von Differenzialgleichungen hinsichtlich ihrer Beständigkeit gegen kleine Störungen und ihr Verhalten für große Zeitwerte.

Details:

• Stabilität: Eine Lösung \(y(t)\) heißt stabil, wenn für jede \(\epsilon > 0\) ein \(\delta > 0\) existiert, sodass \(\|y_1(t_0) - y_2(t_0)\| < \delta \Rightarrow \|y_1(t) - y_2(t)\| < \epsilon \) für alle \( t > t_0 \).
• Asymptotische Stabilität: Eine Lösung \(y(t)\) ist asymptotisch stabil, wenn sie stabil ist und \(\|y_1(t) - y_2(t)\| \to 0 \) für \(t \to \infty \).
• Lyapunov-Funktion: Eine Funktion \(V(y)\), die dazu verwendet wird, die Stabilität von Gleichgewichtspunkten zu untersuchen.
• Grenzverhalten: Betrachtet das Verhalten von \(y(t)\) für \(t \to \infty \), insbesondere ob Lösungen gegen einen Grenzwert oder gegen Unendlich streben.