Gewöhnliche Differentialgleichungen - Exam

Aufgabe 1)

Betrachten wir die folgende Differentialgleichung:

\ \ y'' + 3yy' - 2 = 0 \(1\) \

Nutze das Wissen über Definitionen und Klassifikationen von Differentialgleichungen, um die Ordung, Linearität, Homogenität und Art der Gleichung zu bestimmen.

a)

Bestimme die Ordnung der Differentialgleichung \((1)\).

Lösung:

Um die Ordnung der Differentialgleichung zu bestimmen, musst Du den höchsten Grad der auftretenden Ableitungen betrachten. Die gegebene Differentialgleichung lautet:

\[y'' + 3yy' - 2 = 0\]

Hierbei steht \(y''\) für die zweite Ableitung von \(y\) nach \(x\). Da \(y''\) die höchste Ableitung ist, hat die Differentialgleichung die Ordnung 2.

• Ordnung: 2

b)

Handelt es sich bei der Differentialgleichung \((1)\) um eine lineare Gleichung? Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um festzustellen, ob es sich bei der Differentialgleichung um eine lineare Gleichung handelt, musst Du überprüfen, ob die abhängige Variable \(y\) und ihre Ableitungen (\(y', y''\) usw.) nur in der ersten Potenz und nicht multipliziert miteinander vorkommen.

Betrachten wir die gegebene Differentialgleichung:

\[y'' + 3yy' - 2 = 0\]

Hier sind die Terme wie folgt:

• \(y''\) ist die zweite Ableitung von \(y\) und steht allein, also linear.
• \(3yy'\) ist das Produkt der abhängigen Variablen \(y\) und ihrer ersten Ableitung \(y'\), was bedeutet, dass \(y\) und \(y'\) miteinander multipliziert werden.

Da \(3yy'\) ein Produkt von \(y\) und \(y'\) enthält, ist die Differentialgleichung nicht linear. Eine lineare Differentialgleichung würde solche Produkte nicht enthalten.

• Linearität: Nein, die Differentialgleichung ist nicht linear.

c)

Diskutiere die Homogenität der Gleichung \((1)\) und erkläre, warum sie homogen oder inhomogen ist.

Lösung:

Um zu diskutieren, ob die Differentialgleichung homogen oder inhomogen ist, müssen wir überprüfen, ob alle Terme der Gleichung nur von den abhängigen Variablen und deren Ableitungen abhängen oder ob es einen zusätzlichen Term gibt, der unabhängig vom Funktionswert und seinen Ableitungen ist.

Betrachten wir die gegebene Differentialgleichung:

\[y'' + 3yy' - 2 = 0\]

Die Terme sind wie folgt aufgeteilt:

• \(y''\) ist die zweite Ableitung von \(y\).
• \(3yy'\) ist das Produkt der abhängigen Variablen \(y\) und ihrer ersten Ableitung \(y'\).
• Der Term \(-2\) ist ein konstanter Term, der unabhängig von \(y\) und seinen Ableitungen ist.

Eine Differentialgleichung ist homogen, wenn sie ausschließlich aus den abhängigen Variablen und ihren Ableitungen besteht und keinen konstanten Term oder unabhängigen Term enthält. Da die Differentialgleichung \(y'' + 3yy' - 2 = 0\) den konstanten Term \(-2\) enthält, der unabhängig von \(y\) und seinen Ableitungen ist, ist die Gleichung inhomogen.

• Homogenität: Die Differentialgleichung ist inhomogen, weil sie den konstanten Term \(-2\) enthält.

Aufgabe 2)

Betrachten wir das Initialwertproblem (IVP) \[y' = f(t, y), \quad y(t_0) = y_0.\] Gegeben sei die Funktion \(f(t, y) = t \sin(y)\). Im Folgenden soll die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen dieses IVP untersucht werden.

a)

Zeige, dass die Funktion \(f(t, y) = t \sin(y)\) die Bedingungen des Satzes von Peano erfüllt. Überprüfe insbesondere die Stetigkeit der Funktion in \(t\) und \(y\).

Lösung:

Schritt-für-Schritt-Lösung:Um zu zeigen, dass die Funktion f(t, y) = t \sin(y) die Bedingungen des Satzes von Peano erfüllt, müssen wir insbesondere die Stetigkeit der Funktion in t und y überprüfen.Der Satz von Peano besagt, dass, falls eine Funktion f(t, y) im Gebiet kontinuierlich ist, es mindestens eine Lösung des Initialwertproblems (IVP) y' = f(t, y), y(t_0) = y_0 in einem Intervall um t_0 gibt.

• Überprüfung der Stetigkeit in t und y: f(t, y) = t \sin(y) lässt sich als Produkt der beiden Funktionen t und \sin(y) schreiben. Diese beiden Funktionen sind bekanntlich stetig in ihren jeweiligen Variablen:

• Stetigkeit von t:Die Funktion t ist in der gesamten reellen Achse \(\mathbb{R}\) stetig. Das bedeutet, für jede \(t_0 \in \mathbb{R}\): \[\lim_{t \to t_0} t = t_0 \]
• Stetigkeit von \sin(y):Die Funktion \sin(y) ist ebenfalls stetig auf \(\mathbb{R}\) . Das bedeutet, für jede \(y_0 \in \mathbb{R}\): \[\lim_{y \to y_0} \sin(y) = \sin(y_0)\]

Da die Funktion f(t, y) = t \sin(y) als das Produkt zweier stetiger Funktionen dargestellt werden kann, folgt daraus:\[f(t, y) = t \sin(y)\] ist stetig in jedem Punkt \((t, y)\) in \((t, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R}\)

• Fazit:Da f(t, y) = t \sin(y) stetig in t und y ist, erfüllt sie die Bedingungen des Satzes von Peano. Daher existiert mindestens eine Lösung des Initialwertproblems y' = f(t, y), y(t_0) = y_0 in einem Intervall um t_0.

b)

Zeige, ob die Funktion \(f(t, y) = t \sin(y)\) die Lipschitz-Bedingung in \(y\) erfüllt. Erinnere Dich: Die Funktion \(f(t, y)\) erfüllt die Lipschitz-Bedingung, wenn es eine Konstante \(L\) gibt, so dass folgendes gilt: \[| f(t,y_1) - f(t,y_2) | \leq L | y_1 - y_2 |\] für alle \( y_1, y_2\). Wenn die Funktion lipschitz-stetig ist, würde dies die Eindeutigkeit der Lösung nach dem Satz von Picard-Lindelöf garantieren.

Lösung:

Schritt-für-Schritt-Lösung:Um zu zeigen, ob die Funktion f(t, y) = t \sin(y) die Lipschitz-Bedingung in y erfüllt, müssen wir die Definition der Lipschitz-Stetigkeit überprüfen. Dies bedeutet, dass eine Konstante L existieren muss, so dass die folgende Ungleichung für alle y_1 und y_2 gilt:

• \[| f(t,y_1) - f(t,y_2) | \leq L | y_1 - y_2 |\]

Berechnung:Betrachten wir die Funktion f(t, y) = t \sin(y):

• Berechnung der Differenz:\[| f(t,y_1) - f(t,y_2) | = | t \sin(y_1) - t \sin(y_2) | = | t | \, | \sin(y_1) - \sin(y_2) |\]

• Verwendung der trigonometrischen Identität und der Lipschitz-Konstanten der Sinus-Funktion:

Für die Funktion \sin(y) gilt:

• | \sin(y_1) - \sin(y_2) | \leq | y_1 - y_2 |

Das ist die bekannte Lipschitz-Bedingung für die Sinus-Funktion mit der Lipschitz-Konstanten 1. Daher gilt:

• \[| f(t,y_1) - f(t,y_2) | = | t | \, | \sin(y_1) - \sin(y_2) | \leq | t | \, | y_1 - y_2 |\]

Daraus folgt:

• Die Konstante L in der Lipschitz-Bedingung ist | t |:

\[| f(t,y_1) - f(t,y_2) | \leq | t | \, | y_1 - y_2 |\]

• Fazit:Die Funktion f(t, y) = t \sin(y) erfüllt die Lipschitz-Bedingung in y jedoch nur für feste Werte von t, da L von t abhängig ist. Im Allgemeinen gibt es keine globale Konstante L, die für alle t und y gleichzeitig funktioniert. Dementsprechend was die Eindeutigkeit nur lokal garantiert.

c)

Bestimme für das gegebene Anfangswertproblem eine lokale Lösung auf dem Intervall \[t_0 - h, t_0 + h\]. Nutze hierbei eine Picard-Iteration (Iteration der sukzessiven Approximation). Beginne mit der Initialfunktion \(y_0(t) = y_0\) und gib mindestens die ersten beiden iterativen Näherungen \(y_1(t)\) und \(y_2(t)\) an.

Lösung:

Schritt-für-Schritt-Lösung:Um eine lokale Lösung des Anfangswertproblems (IVP) mittels Picard-Iteration zu finden, verwenden wir die Methode der sukzessiven Approximation. Dabei beginnen wir mit der Initialfunktion y_0(t) = y_0 und iterieren dann nach dem folgenden Schema:

• y_{n+1}(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(\tau, y_n(\tau)) \, d\tau

Die Funktion f(t, y) = t \sin(y) ist gegeben.### Schritt 1: Erste Iteration (\( y_0(t) = y_0 \))

• Berechnung von y_1(t):

\[ y_1(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(\tau, y_0) \, d\tau \]Da y_0 eine Konstante ist, vereinfacht sich f(\tau, y_0) = \tau \sin(y_0) zu:\[ y_1(t) = y_0 + \int_{t_0}^t \tau \sin(y_0) \, d\tau \]Integrieren wir dies:\[ y_1(t) = y_0 + \sin(y_0) \int_{t_0}^t \tau \, d\tau \]Dies ergibt:\[ y_1(t) = y_0 + \sin(y_0) \left[ \frac{\tau^2}{2} \right]_{t_0}^t \]\[ = y_0 + \sin(y_0) \left( \frac{t^2}{2} - \frac{t_0^2}{2} \right) \]### Schritt 2: Zweite Iteration (\( y_1(t) \))

• Berechnung von y_2(t):

\[ y_2(t) = y_0 + \int_{t_0}^t f(\tau, y_1(\tau)) \, d\tau \]Setzen wir y_1(t) in f(\tau, y_1(\tau)) ein:\[ y_2(t) = y_0 + \int_{t_0}^t \tau \sin \left( y_0 + \sin(y_0) \left( \frac{\tau^2}{2} - \frac{t_0^2}{2} \right) \right) \, d\tau \]Diese Integration ist komplexer und könnte im Allgemeinen keine geschlossene Form haben, daher berechnen wir sie numerisch oder benutzen eine Näherung.Zusammenfassung:1. Erste Näherung: \[ y_1(t) = y_0 + \sin(y_0) \left( \frac{t^2}{2} - \frac{t_0^2}{2} \right) \]2. Zweite Näherung: \[ y_2(t) = y_0 + \int_{t_0}^t \tau \sin \left( y_0 + \sin(y_0) \left( \frac{\tau^2}{2} - \frac{t_0^2}{2} \right) \right) \, d\tau \]Die iterative Vorgehensweise zeigt, dass und wie die Näherung sich bei jeder Iteration verbessert. Da der zweite Ausdruck aufgrund seiner Komplexität nicht einfach integrierbar ist, wird er in der Regel numerisch berechnet.

d)

Diskutiere die Bedingungen, unter denen die lokale Lösung zu einer globalen Lösung des IVP erweitert werden kann. Welche zusätzlichen Informationen über \(f(t, y)\) und die Lösung \(y(t)\) würde man benötigen, um die globale Existenz zu garantieren?

Lösung:

Diskussion der Bedingungen für die Erweiterung zu einer globalen Lösung:Damit die lokale Lösung eines Anfangswertproblems (IVP) zu einer globalen Lösung erweitert werden kann, müssen bestimmte Bedingungen erfüllt sein. Im Folgenden werden diese Bedingungen und die zusätzlich benötigten Informationen, um die globale Existenz der Lösung zu garantieren, diskutiert.1. Stetigkeit und Lipschitz-Bedingung:Damit eine lokale Lösung existiert, muss die Funktion f(t, y) stetig sein. Um die Eindeutigkeit der Lösung zu garantieren, muss die Funktion f(t, y) zudem die Lipschitz-Bedingung in y erfüllen:

• Eine Funktion f(t, y) erfüllt die Lipschitz-Bedingung, wenn es eine Konstante L gibt, so dass:\[ | f(t,y_1) - f(t,y_2) | \leq L | y_1 - y_2 | \] für alle y_1 und y_2.

Im Fall von f(t, y) = t \sin(y) ist die Funktion stetig, erfüllt aber global nicht die Lipschitz-Bedingung in y wegen der Verwendung von \sin(y), welche keine global Lipschitz-stetige Funktion ist.2. Beschränktheit der Lösung:Eine der wichtigsten Voraussetzungen für die Erweiterung der lokalen Lösung zu einer globalen Lösung ist, dass die Lösung y(t) auf dem gesamten Definitionsbereich beschränkt bleibt. Das bedeutet, dass y(t) nicht unendlich wird, solange t in einem unbeschränkten Intervall liegt.3. Wachstumseigenschaften von f(t, y):Um eine globale Lösung zu garantieren, sollte die Funktion f(t, y) bestimmte Wachstumseigenschaften erfüllen. Insbesondere sollte f(t, y) nicht schneller als linear in y wachsen. Eine übliche Bedingung ist, dass es Konstanten M und K gibt, so dass folgendes gilt:

• \[ |f(t, y)| \leq M |y| + K \]

für alle (t, y). Diese Bedingung sorgt dafür, dass die Lösung y(t) nicht explodiert.Für f(t, y) = t \sin(y) haben wir:\[ |f(t, y)| = |t \sin(y)| \]Da der Sinus-Wert immer zwischen -1 und 1 liegt, folgt daraus:\[ |t \sin(y)| \leq |t| \]Dies bedeutet, dass das Wachstum von f(t, y) tatsächlich durch |t| beschränkt ist und somit nicht schneller als linear in y wächst. Dies ist günstig für die globale Existenz.Zusätzliche Informationen über f(t, y) und y(t):

• Beschränktheit der Ableitungen: Wenn die Ableitung f(t, y) gegenüber y beschränkt ist, kann dies zur globalen Existenz beitragen. Insbesondere sollte \frac{\partial f}{\partial y} für alle t und y beschränkt sein. Im Fall von f(t, y) = t \sin(y) ist die Ableitung \frac{\partial f}{\partial y} = t \cos(y), die ebenfalls durch |t| beschränkt ist.
• Gleichmäßige Stetigkeit: Eine global gleichmäßig stetige Funktion f(t, y) unterstützt ebenfalls die Erweiterung der lokalen Lösung zu einer globalen Lösung. Für t \sin(y) scheint diese Bedingung erfüllt zu sein.
• Anfangsbedingungen: Die Anfangsbedingungen sollten so gewählt sein, dass die Lösung y(t) aus der Anfangsbedingung y(t_0) = y_0 stetig bleibt und nicht auf unbestimmte Werte explodiert.

Fazit:Zusammenfassend lässt sich sagen, dass die Existenz und Eindeutigkeit der lokalen Lösung durch die Stetigkeit und die Lipschitz-Bedingung gesichert sind. Um die lokale Lösung zu einer globalen Lösung zu erweitern, ist es notwendig zu gewährleisten, dass die Lösung y(t) beschränkt bleibt und die Funktion f(t, y) bestimmte Wachstumseigenschaften hat. Für die gegebene Funktion f(t, y) = t \sin(y) scheinen diese Bedingungen weitgehend erfüllt zu sein, was die Aussicht auf eine globale Lösung fördert.

Aufgabe 3)

Prinzip der Variablentrennung: Gegeben sei eine Differentialgleichung erster Ordnung in der Form \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\). Zur Lösung dieser Differentialgleichung werden die Variablen getrennt und dann integriert. Der Prozess im Detail:

• Form der Differentialgleichung: \(\frac{dy}{dx} = g(x)h(y)\)
• Trennung der Variablen: \(\frac{1}{h(y)} dy = g(x) dx\)
• Integration beider Seiten: \(\int \frac{1}{h(y)} dy = \int g(x) dx\)
• Lösungen durch Auflösen der resultierenden Gleichung

a)

Löse die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = x e^{-y}\) mit dem Prinzip der Variablentrennung. Finde die allgemeine Lösung und überprüfe diese Lösung, indem Du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.

Lösung:

Prinzip der Variablentrennung: Um die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = x e^{-y}\) zu lösen, verwenden wir das Prinzip der Variablentrennung. Hier sind die Schritte im Detail:

• Form der Differentialgleichung: \(\frac{dy}{dx} = x e^{-y}\).
• Trennung der Variablen: Zuerst bringen wir alle Terme, die y enthalten, auf die linke Seite und die Terme, die x enthalten, auf die rechte Seite: \(\frac{dy}{dx} = x e^{-y} \Rightarrow e^{y} dy = x dx\).
• Integration beider Seiten: Jetzt integrieren wir beide Seiten der Gleichung: \(\begin{aligned} \int e^{y} dy &= \int x dx \end{aligned}\).
  • Linke Seite: \(\begin{aligned} \int e^{y} dy &= e^y + C_1 \end{aligned}\).
  • Rechte Seite: \(\begin{aligned} \int x dx &= \frac{x^2}{2} + C_2 \end{aligned}\).
• Gleichung zusammenführen und Konstante anpassen: Da beide Seiten Gleichheitskonstanten enthalten, können wir diese zu einer einzelnen Konstante C kombinieren: \(\begin{aligned} e^y = \frac{x^2}{2} + C \end{aligned}\).
• Lösungen durch Auflösen der resultierenden Gleichung: Um auf y zu lösen, wenden wir den natürlichen Logarithmus auf beide Seiten an: \(\begin{aligned} y = \text{ln}\bigg| \frac{x^2}{2} + C \bigg| \end{aligned}\).

Nun überprüfen wir die erhaltene Lösung, indem wir sie in die ursprüngliche Differentialgleichung einsetzen:

• Zuerst ermitteln wir \(y\) durch Auflösen: \(\begin{aligned} y &= \text{ln}\bigg| \frac{x^2}{2} + C \bigg|. \end{aligned}\).
• Dann berechnen wir \(e^{-y}\): \(\begin{aligned} e^{-y} &= \frac{1}{\bigg| \frac{x^2}{2} + C \bigg|}. \end{aligned}\).
• Nun leiten wir \(y\) in Bezug auf \(x\) ab: \(\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= \frac{2x}{2x^2/2 + C} = \frac{x}{\frac{x^2}{2} + C}. \end{aligned}\).
• Arithmetisch vereinfacht erhalten wir: \(\begin{aligned} \frac{dy}{dx} &= x \bigg(\frac{1}{\frac{x^2}{2} + C}\bigg) = x e^{-y}. \end{aligned}\).
• Da die ursprüngliche Differentialgleichung wahr ist, ist die erhaltene Lösung korrekt.

Daher ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = x e^{-y}\) \(\begin{aligned} y &= \text{ln}\bigg| \frac{x^2}{2} + C \bigg|. \end{aligned}\).

b)

• Zerlegen der Variablen: Leite die Schritte ab, um die Variablen in der Gleichung \(\frac{dy}{dx} = (y^2 + 1)x\) zu trennen.
• Integrale berechnen und allgemeine Lösung finden: Berechne die notwendige Integrale nach dem Variablentrennungsprinzip und löse die resultierende Gleichung für die allgemeine Lösung.

Lösung:

Prinzip der Variablentrennung: Gegeben sei die Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (y^2 + 1)x\). Im Folgenden zeigen wir die Schritte, um diese Differentialgleichung zu lösen:

• Zerlegen der Variablen: Zuerst trennen wir die Variablen in der gegebenen Gleichung:

Form der Differentialgleichung: \(\frac{dy}{dx} = (y^2 + 1)x\)

• Wir teilen beide Seiten der Gleichung durch \(y^2 + 1\), um die y-Terme nach links und die x-Terme nach rechts zu bringen:

\(\frac{1}{y^2 + 1} dy = x dx\)

• Integrale berechnen und allgemeine Lösung finden: Jetzt integrieren wir beide Seiten der separierten Differentialgleichung:
• Integration der linken Seite:

\(\int \frac{1}{y^2 + 1} dy\)

Da \(\frac{1}{y^2 + 1}\) die Ableitung von \(\arctan(y)\) ist, erhalten wir:

\(\int \frac{1}{y^2 + 1} dy = \arctan(y) + C_1\)

• Integration der rechten Seite:

\(\int x dx\)

Das Integral von \(x\) ist \(\frac{x^2}{2}\), daher erhalten wir:

\(\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2\)

• Zusammenführen der Integrale:

Wir setzen die beiden Integrale zusammen und kombinieren die Konstanten \(C_1\) und \(C_2\) zu einer allgemeinen Konstante \(C\):

\(\arctan(y) = \frac{x^2}{2} + C\)

• Lösung durch Auflösen nach \(y\):

Um auf \(y\) zu lösen, wenden wir den Tangens auf beide Seiten an:

\(y = \tan\left(\frac{x^2}{2} + C\right)\)

• Überprüfung der allgemeinen Lösung:

Um zu überprüfen, ob unsere Lösung korrekt ist, setzen wir \(y = \tan\left(\frac{x^2}{2} + C\right)\) in die ursprüngliche Differentialgleichung ein:

\(\frac{dy}{dx} = (y^2 + 1)x\)

• Zuerst leiten wir \(y = \tan\left(\frac{x^2}{2} + C\right)\) ab:

\(\frac{dy}{dx} = \sec^2\left(\frac{x^2}{2} + C\right) \cdot x\)

• Ersetzen von \(y = \tan\left(\frac{x^2}{2} + C\right)\):

\(y^2 + 1 = \tan^2\left(\frac{x^2}{2} + C\right) + 1 = \sec^2\left(\frac{x^2}{2} + C\right)\)

• Daher wird die ursprüngliche Gleichung:

\(\frac{dy}{dx} = \sec^2\left(\frac{x^2}{2} + C\right) \cdot x = (y^2 + 1)x\)

• Dies zeigt, dass die gefundene Lösung korrekt ist.

Somit ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \(\frac{dy}{dx} = (y^2 + 1)x\) gegeben durch:

\[y = \tan\left(\frac{x^2}{2} + C\right)\]

Aufgabe 4)

Gegeben sei die folgende homogene lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

• \(y'' + 4y' + 5y = 0\)
• Mithilfe des Ansatzes \(y = e^{rt}\) kann die charakteristische Gleichung ermittelt werden:
• \(r^2 + ar + b = 0\)

Im Folgenden gilt es, verschiedene Eigenschaften und Lösungsansätze der Differentialgleichung zu untersuchen.

b)

Untersuche die Diskriminante der charakteristischen Gleichung. Welche Art von Lösungen erwartest Du aufgrund der Diskriminante (\(D = a^2 - 4b\))? Begründe Deine Antwort.

Lösung:

Um die Art der Lösungen der charakteristischen Gleichung zu bestimmen, untersuchen wir die Diskriminante. Die Diskriminante einer quadratischen Gleichung der Form \( r^2 + ar + b = 0 \) ist definiert als:

• \( D = a^2 - 4b \)

Gegeben ist die charakteristische Gleichung:

• \( r^2 + 4r + 5 = 0 \)

Um die Diskriminante zu berechnen, setzen wir die Werte für \ a \ und \ b \ ein:

• \( a = 4 \)
• \( b = 5 \)

Berechne die Diskriminante \( D \):

• \( D = 4^2 - 4 \times 5 \)
• \( D = 16 - 20 \)
• \( D = -4 \)

Da die Diskriminante \( D \) negativ ist (\( D < 0 \)), können wir folgende Schlussfolgerungen ziehen:

• Die charakteristische Gleichung hat zwei komplexe (imaginäre) Lösungen. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Wurzeln der Gleichung nicht-reell sind, wenn die Diskriminante negativ ist.
• Diese komplexen Lösungen treten als konjugierte Paare auf. Das bedeutet, dass wenn \( r_1 \) eine Lösung ist, dann \( r_2 = \bar{r_1} \), wobei \( \bar{r_1} \) das konjugierte von \( r_1 \) ist.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass aufgrund der negativen Diskriminante der charakteristischen Gleichung (\( D = -4 \)), wir zwei komplex-konjugierte Lösungen der Form \( r = -2 \pm i \) erwarten können.

c)

Leite die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \(y'' + 4y' + 5y = 0\) explizit her und beschreibe die Lösung. Falls die Lösungen komplex sind, formuliere die allgemeine Lösung unter Verwendung der Exponential- und trigonometrischen Funktionen.

Lösung:

Um die allgemeine Lösung der Differentialgleichung \(y'' + 4y' + 5y = 0\) herzuleiten, folgen wir diesen Schritten:

• Bestimme die charakteristische Gleichung:
• Die charakteristische Gleichung lautet: \(r^2 + 4r + 5 = 0\)
• Berechne die Wurzeln der charakteristischen Gleichung:
• Mittels der Mitternachtsformel \( r_{1,2} = \frac{-a \pm \sqrt{a^2 - 4b}}{2} \) setzen wir die Werte von \(a\) und \(b\) ein:
• \(a = 4\)
• \(b = 5\)
• \(r_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 20}}{2}\)
• \(r_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{-4}}{2}\)
• \(r_{1,2} = \frac{-4 \pm 2i}{2}\)
• \(r_{1,2} = -2 \pm i\)

Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung sind also \(r_1 = -2 + i\) und \(r_2 = -2 - i\).

Da die Wurzeln komplex sind, können wir die allgemeine Lösung der Differentialgleichung unter Verwendung der Exponential- und trigonometrischen Funktionen formulieren. Generell gilt für komplexe Lösungen der Form \(r = \text{Re}(r) \pm i\text{Im}(r)\) die Lösung:

• \( y(t) = e^{\text{Re}(r) t} \left(C_1 \cos(\text{Im}(r) t) + C_2 \sin(\text{Im}(r) t)\right) \)

Setzen wir die Werte \( \text{Re}(r) = -2 \) und \( \text{Im}(r) = 1 \) ein, erhalten wir:

• \( y(t) = e^{-2t} \left(C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t)\right) \)

Hierbei sind \( C_1 \) und \( C_2 \) Konstanten, die durch Anfangsbedingungen bestimmt werden.

Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung lautet also:

• \( y(t) = e^{-2t} \left(C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t)\right) \)

Diese Lösung beschreibt eine exponentiell abklingende Schwingung, wobei \( e^{-2t} \) für die Abklingung sorgt und \( \cos(t) \) bzw. \( \sin(t) \) die Schwingungsanteile darstellen.