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Egal, ob Zusammenfassung, Altklausur, Karteikarten oder Mitschriften - hier findest du alles für den Studiengang Bachelor of Science Mathematik

Karteikarten Zusammenfassungen Altklausuren Test Forum

Universität Erlangen-Nürnberg

Bachelor of Science Mathematik

Prof. Dr.

2024

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Introduction to Abstract Harmonic Analysis - Cheatsheet
Introduction to Abstract Harmonic Analysis - Cheatsheet Grundlagen der Fourier-Reihen Definition: Darstellung periodischer Funktionen durch eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen. Details: details of the topic in bullet points (necessary information only) (use ... html structure here Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften Definition: Fourier-Transformation: Methode zur Zerlegung von Fu...

Introduction to Abstract Harmonic Analysis - Cheatsheet

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Introduction to Abstract Harmonic Analysis - Exam
Introduction to Abstract Harmonic Analysis - Exam Aufgabe 2) Es sei f eine integrierbare Funktion auf \( \mathbb{R}\ \). Die Fourier-Transformation \( \mathcal{F}(f) = \hat{f}(\xi)\) dieser Funktion ist gegeben durch: \( \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \) Verwende die Definition und Eigenschaften der Fourier-Transformation, um die folgenden Aufgaben zu lösen: b)...

Introduction to Abstract Harmonic Analysis - Exam

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Was beschreibt die Definition der Fourier-Reihen?

Welche Art von Funktionen werden durch Fourier-Reihen dargestellt?

Welche mathematischen Funktionen werden zur Darstellung in Fourier-Reihen genutzt?

Was ist die Definition der Fourier-Transformation?

Welche Eigenschaft beschreibt die Faltungseigenschaft der Fourier-Transformation?

Wie lautet die Fourier-Transformation einer verschobenen Funktion \( \mathcal{F}(f(x-a)) \)?

Was ist eine topologische Gruppe?

Nennen Sie ein Beispiel für eine topologische Gruppe.

Welche Bedingung muss eine Topologie auf \( G \) erfüllen?

Was ist ein Homomorphismus in topologischen Gruppen?

Was macht einen Isomorphismus in topologischen Gruppen aus?

Wann ist ein Homomorphismus in topologischen Gruppen stetig?

Was ist eine unitäre Darstellung?

Definiere einen Hilbertraum.

Was ist ein Operator in der Mathematik?

Was ist eine irreduzible Darstellung?

Was ist der Charakter einer Darstellung?

Welches Lemma wird zur Klassifikation von irreduziblen komplexen Darstellungen verwendet?

Was beschreibt die Pontrjagin-Dualität?

Was ist die Dualgruppe \(\hat{G}\) einer lokal kompakten abelschen Gruppe \(G\)?

Was ist die kanonische Abbildung \(\tau\)?

Was besagt der Plancherel-Satz in der harmonischen Analyse?

Welche Identität wird im Beweis des Plancherel-Satzes verwendet?

Was ist der Ausdruck für die Fourier-Transformation einer Funktion?

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Diese Konzepte musst du verstehen, um Introduction to Abstract Harmonic Analysis an der Universität Erlangen-Nürnberg zu meistern:

01
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Fourier-Analyse

Die Fourier-Analyse ist ein zentrales Thema in der harmonischen Analyse und untersucht die Darstellung von Funktionen durch Fourier-Reihen und Fourier-Transformationen.

  • Grundlagen der Fourier-Reihen
  • Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften
  • Anwendung der Fourier-Analyse auf Differentialgleichungen
  • Konvergenz- und Divergenzkriterien der Fourier-Reihen
  • Spektralanalyse von Signalen durch Fourier-Transformation
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Topologische Gruppen

Topologische Gruppen verbinden Konzepte aus der Topologie und der Gruppentheorie und sind fundamental für das Verständnis der strukturellen Eigenschaften von kontinuierlichen Symmetrien.

  • Definition und Beispiele topologischer Gruppen
  • Homomorphismen und Isomorphismen in topologischen Gruppen
  • Quotientenräume und ihre topologischen Eigenschaften
  • Kompakte und lokalkompakte Gruppen
  • Anwendungen in der harmonischen Analyse
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Unitäre Darstellungen

Unitäre Darstellungen spielen eine wichtige Rolle in der Harmonischen Analyse, insbesondere bei der Untersuchung von Gruppen auf Hilberträumen.

  • Einführung in unitäre Darstellungen
  • Darstellungssätze und ihre Eigenschaften
  • Irreduzible Darstellungen und ihre Klassifikationen
  • Zusammenhang zwischen Darstellungen und Fourier-Analyse
  • Anwendungen in der Quantenmechanik und, Signalverarbeitung
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Pontrjagin-Dualität

Die Pontrjagin-Dualität ist ein Konzept, welches die strukturellen Eigenschaften von abelschen Gruppen durch deren Dualgruppen untersucht.

  • Definition und Grundlagen der Pontrjagin-Dualität
  • Dualitätssätze für lokalkompakte abelsche Gruppen
  • Anwendungen der Dualität in der Fourier-Analyse
  • Selbstdualität und konkrete Beispiele
  • Zusammenhang zur Plancherel-Formel
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Plancherel-Satz und Harmonische Analysis

Der Plancherel-Satz ist ein fundamentaler Satz in der harmonischen Analyse und beschreibt das Verhältnis zwischen Funktionen auf einer Gruppe und deren Fourier-Transformierten.

  • Formulierung und Beweis des Plancherel-Satzes
  • Anwendungen in der Theorie der quadratisch integrierbaren Funktionen
  • Zusammenhang zur Parseval-Gleichung
  • Anwendungen des Satzes auf lokalkompakte abelsche Gruppen
  • Wichtige Konsequenzen für die Spektralanalyse
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Alles Wichtige zu diesem Kurs an der Universität Erlangen-Nürnberg

Introduction to Abstract Harmonic Analysis an Universität Erlangen-Nürnberg - Überblick

In der Mathematik gibt es viele spannende Forschungsgebiete, und die abstrakte harmonische Analyse ist eines der faszinierendsten. Die Vorlesung 'Introduction to Abstract Harmonic Analysis' an der Universität Erlangen-Nürnberg bietet Dir die Möglichkeit, in dieses anspruchsvolle Thema einzutauchen. Du wirst die Grundlagen der Fourier-Analyse und ihre Anwendungen kennenlernen, die Theorie der topologischen Gruppen untersuchen und Dich mit unitären Darstellungen beschäftigen. Weitere wichtige Themen sind die Pontrjagin-Dualität und der Plancherel-Satz. Diese Vorlesung legt zudem einen besonderen Fokus auf die harmonische Analysis auf lokal kompakt abelschen Gruppen.

Wichtige Informationen zur Kursorganisation

Kursleiter: Prof. Dr.

Modulstruktur: Das Modul besteht aus Vorlesungen und Übungsblättern. Die wöchentliche Vorlesungszeit beträgt 2 Stunden.

Studienleistungen: Am Ende des Semesters findet eine schriftliche Prüfung statt.

Angebotstermine: Der Kurs wird im Wintersemester angeboten.

Curriculum-Highlights: Fourier-Analyse, Topologische Gruppen, Unitäre Darstellungen, Pontrjagin-Dualität, Plancherel-Satz, Harmonische Analysis auf lokal kompakt abelschen Gruppen

So bereitest Du Dich optimal auf die Prüfung vor

Beginne frühzeitig mit dem Lernen, idealerweise schon zu Beginn des Semesters, um Dir die nötige theoretische Basis anzueignen.

Nutze verschiedene Ressourcen, wie Bücher, Übungsaufgaben, Karteikarten und Probeklausuren, um dein Wissen zu vertiefen.

Schließe Dich Lerngruppen an und tausche Dich mit anderen Studierenden aus, um gemeinsam Lösungsstrategien zu entwickeln.

Vergiss nicht, regelmäßige Pausen einzulegen und in diesen Zeiten komplett abzuschalten, um eine Überbelastung zu vermeiden.

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