Introduction to Abstract Harmonic Analysis - Cheatsheet

Grundlagen der Fourier-Reihen

Definition:

Darstellung periodischer Funktionen durch eine Summe von Sinus- und Kosinusfunktionen.

Details:

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  Fourier-Transformation und ihre Eigenschaften

  Definition:

  Fourier-Transformation: Methode zur Zerlegung von Funktionen in ihre Frequenzkomponenten. Weit verbreitet in der Signalverarbeitung und Analyse.

  Details:

  • Definition: Die Fourier-Transformation einer Funktion \( f(x) \) ist definiert als \( \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \).
  • Lineare Eigenschaft: \( \mathcal{F}(af + bg) = a \mathcal{F}(f) + b \mathcal{F}(g) \).
  • Verschiebungseigenschaft: \( \mathcal{F}(f(x-a)) = e^{-2\pi i a \xi} \mathcal{F}(f) \).
  • Skalierungseigenschaft: \( \mathcal{F}(f(ax)) = \frac{1}{|a|} \mathcal{F}(\frac{\xi}{a}) \).
  • Faltungseigenschaft: \( \mathcal{F}(f * g) = \mathcal{F}(f) \cdot \mathcal{F}(g) \), wobei \( f * g \) die Faltung von \( f \) und \( g \) ist.
  • Parseval's Theorem: \( \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 \, d\xi \).

  Definition und Beispiele topologischer Gruppen

  Definition:

  Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe \( G \) ausgestattet mit einer Topologie, sodass die Gruppenoperationen, also die Verknüpfung \( G \times G \to G \), \( (g,h)\mapsto gh \), und die Inversion \( G \to G \), \( g\mapsto g^{-1} \), stetig sind.

  Details:

  • Beispiel: Die reellen Zahlen \( \mathbb{R} \) mit der Standardaddition und der Standardtopologie.
  • Beispiel: Allgemeine lineare Gruppe \( GL(n, \mathbb{R}) \) mit der Topologie der punktweisen Konvergenz.
  • Beispiel: Kreiskomplexität \( \mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \} \) mit der Topologie, die durch die Inklusion in \( \mathbb{C} \) induziert wird.
  • Die Topologie muss mit der algebraischen Struktur kompatibel sein.

  Homomorphismen und Isomorphismen in topologischen Gruppen

  Definition:

  Abbildungen zwischen topologischen Gruppen, die sowohl die Gruppen- als auch die topologische Struktur erhalten.

  Details:

  • Homomorphismus: Eine Abbildung \( f: G \rightarrow H \) zwischen topologischen Gruppen, die die Gruppenoperation erhält: \( f(g_1 g_2) = f(g_1)f(g_2) \) für alle \( g_1, g_2 \in G \).
  • Isomorphismus: Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrung ebenfalls ein Homomorphismus ist, d.h. sowohl struktur- als auch topologietreu.
  • Ein Homomorphismus ist stetig, wenn er eine stetige Funktion bezüglich der Topologien der Gruppen ist.
  • Ein Isomorphismus ist eine bijektive, stetige Abbildung mit einer ebenfalls stetigen Umkehrabbildung.

  Einführung in unitäre Darstellungen

  Definition:

  Einheitliche und nicht-reduzierte Darstellungen von Unitärgruppen mit Anwendung im Rahmen der harmonischen Analyse. Verwende \textit{Hilberträume} und \textit{Operatoren} auf diesen Räumen.

  Details:

  • \textbf{Unitäre Darstellung:} Lineare Abbildung \textit{U} auf einem Hilbertraum, die Längentreue und Erhaltung des inneren Produkts im Raum gewährleistet.
  • \textbf{Hilbertraum:} Vollständiger \textit{innerproduktierter Raum}, oft als Basis für analytische Konstruktionen verwendet.
  • \textbf{Unitäre Gruppe:} Gruppe von Operatoren, die unitär sind (bezüglich der Abbildung \textit{U}).
  • \textbf{Operator:} Abbildung von einem Vektorraum in sich selbst, oft linear.

  Irreduzible Darstellungen und ihre Klassifikationen

  Definition:

  Irreduzible Darstellungen: Darstellungen einer Gruppe, die keine nicht-triviale invariante Unterräume besitzen.

  Details:

  • Darstellung: Gruppenhomomorphismus von einer Gruppe nach GL(V).
  • Irreduzibel: Kein nicht-trivialer invarianter Unterraum.
  • Komplettreduzibel: Jede Darstellung ist direktes Summen von irreduziblen Darstellungen.
  • Charakter: Spur der Darstellungs-Matrix.
  • Klassifikation: Schur's Lemma - für irreduzible komplexe Darstellungen linearer Operator nur skalar.
  • Beispiele: Darstellung der symmetrischen Gruppe, Quaternionengruppe.

  Definition und Grundlagen der Pontrjagin-Dualität

  Definition:

  Pontrjagin-Dualität stellt eine Dualität zwischen einer lokal kompakten abelschen Gruppe und ihrer Dualgruppe her.

  Details:

  • Jede lokal kompakte abelsche Gruppe G hat eine Dualgruppe \(\hat{G}\), bestehend aus den stetigen Homomorphismen von G nach \(\mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} : |z| = 1 \}\).
  • Es gibt eine kanonische Abbildung \(\tau: G \to \hat{\hat{G}}\), definiert durch \(\tau(x)(\chi) = \chi(x)\) für \(x \in G\) und \(\chi \in \hat{G}\).
  • Für jede lokal kompakte abelsche Gruppe G ist \(\tau\) ein Isomorphismus, sodass \(G \cong \hat{\hat{G}}\).
  • Beispiele: \(\mathbb{R} \leftrightarrow \mathbb{R}\), \(\mathbb{Z} \leftrightarrow \mathbb{T}\), \(\mathbb{T} \leftrightarrow \mathbb{Z}\).

  Formulierung und Beweis des Plancherel-Satzes

  Definition:

  Der Plancherel-Satz ist ein grundlegendes Resultat in der harmonischen Analyse, das besagt, dass die Fourier-Transformation eine isometrische Abbildung auf den Hilbertraum der quadratsummierbaren Funktionen ist.

  Details:

  • Sei \( f \in L^2(\mathbb{R}) \). Dann gilt: \( \|f\|_2 = \|\hat{f}\|_2 \).
  • Für die Fourier-Transformation: \( \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi i x \xi} \, dx \).
  • Der Beweis verwendet Parseval's Identität und die Eigenschaft der Fourier-Reihen.
  • Folge: Die Fourier-Transformation erhält das innere Produkt: \( \langle f, g \rangle = \langle \hat{f}, \hat{g} \rangle \).