Introduction to Abstract Harmonic Analysis - Exam

Aufgabe 2)

Es sei f eine integrierbare Funktion auf \( \mathbb{R}\ \). Die Fourier-Transformation \( \mathcal{F}(f) = \hat{f}(\xi)\) dieser Funktion ist gegeben durch:

\( \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \)

Verwende die Definition und Eigenschaften der Fourier-Transformation, um die folgenden Aufgaben zu lösen:

b)

• Untersuche die Verschiebungseigenschaft: Sei f eine integrierbare Funktion auf \( \mathbb{R}\ \) und a eine Konstante. Beweise, dass die Fourier-Transformation einer verschobenen Funktion wie folgt aussieht:
• \( \mathcal{F}(f(x-a)) = e^{-2\pi i a \xi} \mathcal{F}(f) \)

Lösung:

Um die Verschiebungseigenschaft der Fourier-Transformation zu untersuchen, beweisen wir, dass für eine integrierbare Funktion f auf \( \mathbb{R} \) und eine Konstante a die folgende Gleichung gilt:

\( \mathcal{F}(f(x-a))(\xi) = e^{-2\pi i a \xi} \mathcal{F}(f)(\xi) \)

Hierzu nehmen wir die Definition der Fourier-Transformation:

\( \mathcal{F}(f(x-a))(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x-a) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \)

Führen wir nun eine Variablentransformation durch. Setze \( u = x - a \), dann ist \( du = dx \). Das Integral wird nun wie folgt umgeschrieben:

\( \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2\pi i (u+a) \xi} \, du \)

Nun splitten wir den Exponentialterm auf:

\( = \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2\pi i u \xi} e^{-2\pi i a \xi} \, du \)

Da \( e^{-2\pi i a \xi} \) unabhängig von der Integrationsvariablen u ist, können wir diesen Term vor das Integral ziehen:

\( = e^{-2\pi i a \xi} \int_{-\infty}^{\infty} f(u) e^{-2\pi i u \xi} \, du \)

Das verbleibende Integral ist per Definition die Fourier-Transformation von f:

\( = e^{-2\pi i a \xi} \mathcal{F}(f)(\xi) \)

Damit haben wir die Verschiebungseigenschaft der Fourier-Transformation bewiesen:

\( \mathcal{F}(f(x-a))(\xi) = e^{-2\pi i a \xi} \mathcal{F}(f)(\xi) \)

c)

• Anwendung des Parseval'schen Theorems: Sei f eine integrierbare Funktion auf \( \mathbb{R}\ \). Zeige, dass die folgende Identität gilt:
• \( \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 \, d\xi \)

Lösung:

Um das Parseval'sche Theorem anzuwenden, zeigen wir, dass für eine integrierbare Funktion f auf \( \mathbb{R} \), die folgende Identität gilt:

\( \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 \, d\xi \)

Das Parseval'sche Theorem besagt, dass die Energie einer Funktion im Zeitbereich gleich der Energie ihrer Fourier-Transformation im Frequenzbereich ist.

Betrachten wir die Fourier-Transformation von f:

\( \hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-2\pi i x \xi} \, dx \)

Um das Parseval'sche Theorem zu beweisen, verwenden wir folgende Schritte:

1. Berechne das Produkt \( f(x) \overline{f(x)} \), wobei \( \overline{f(x)} \) die komplex konjugierte von f(x) ist.

2. Transformiere das Produkt in den Frequenzbereich.

3. Verwende die Definition der Fourier-Transformation auf das Produkt.

1. Im Zeitbereich ist das Integral der Energie gegeben durch:

\( E(f) = \int_{-\infty}^\infty |f(x)|^2 \, dx \)

2. Im Frequenzbereich ist die Energie der Fourier-Transformation \(\hat{f}(\xi)\) gegeben durch:

\( E(\hat{f}) = \int_{-\infty}^\infty |\hat{f}(\xi)|^2 \, d\xi \)

3. Analog zur Energie im Zeitbereich können wir dies auf das Integral der Fourier-Transformierten anwenden:

Das Parseval'sche Theorem in seiner Matrizierungsform besagt:

\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{g(x)} \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi) \overline{\hat{g}(\xi)} \, d\xi \)

Indem wir \( g(x) = f(x) \) setzen, erhalten wir:

\( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \overline{f(x)} \, dx = \int_{-\infty}^\infty \hat{f}(\xi) \overline{\hat{f}(\xi)} \, d\xi \)

Da \(\overline{f(x)} = f(x)\) und \(\overline{\hat{f}(\xi)} = \hat{f}(\xi)\), erhalten wir:

\( \int_{-\infty}^{\infty} |f(x)|^2 \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} |\hat{f}(\xi)|^2 \, d\xi \)

Damit ist das Parseval'sche Theorem bewiesen.

Aufgabe 3)

Erinnerung: Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe \( G \), ausgestattet mit einer Topologie, sodass die Gruppenoperationen, also die Verknüpfung \( G \times G \to G \), \( (g,h)\mapsto gh \), und die Inversion \( G \to G \), \( g\mapsto g^{-1} \), stetig sind. Beispiele sind die reellen Zahlen \( \mathbb{R} \), die allgemeine lineare Gruppe \( GL(n, \mathbb{R}) \), und der Einheitskreis \( \mathbb{T} \). Die Topologie muss mit der algebraischen Struktur kompatibel sein.

a)

Sei \( G = \mathbb{R} \) mit der Standardaddition und der Standardtopologie. Zeige, dass \( G \) eine topologische Gruppe ist. Überprüfe die Stetigkeit der Verknüpfung \( +: \mathbb{R} \times \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) und der Inversion \( -: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \).

Lösung:

Erinnerung: Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe G, ausgestattet mit einer Topologie, sodass die Gruppenoperationen, also die Verknüpfung G x G → G, (g,h) ↦ gh, und die Inversion G → G, g ↦ g^-1, stetig sind. Beispiele sind die reellen Zahlen ℝ, die allgemeine lineare Gruppe GL(n, ℝ), und der Einheitskreis 𝕋. Die Topologie muss mit der algebraischen Struktur kompatibel sein.Aufgabe: Sei G = ℝ mit der Standardaddition und der Standardtopologie. Zeige, dass G eine topologische Gruppe ist. Überprüfe die Stetigkeit der Verknüpfung + : ℝ x ℝ → ℝ und der Inversion - : ℝ → ℝ.Lösung:

• Um zu zeigen, dass ℝ eine topologische Gruppe ist, müssen wir überprüfen, ob die beiden Operationen, Addition und Inversion, stetig sind.
• Stetigkeit der Verknüpfung:
  • Die Verknüpfung in ℝ ist die Addition, definiert durch + : ℝ x ℝ → ℝ, (x, y) ↦ x + y.
  • Um die Stetigkeit zu zeigen, müssen wir die Funktion f(x, y) = x + y in Bezug auf die Standardtopologie überprüfen.
  • Eine Funktion f : ℝ x ℝ → ℝ ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge in ℝ unter f eine offene Menge in ℝ x ℝ ist.
  • Sei U eine offene Menge in ℝ. Dann ist f^-1(U) eine offene Menge in ℝ x ℝ, weil jede offene Menge in ℝ als ein Intervall (oder Vereinigung von Intervallen) dargestellt werden kann und die Addition stetig in ℝ ist.
  • Intuitiv bedeutet dies, dass wenn (x, y) nahe genug an (x₀, y₀) liegt, dann wird x + y nahe bei x₀ + y₀ liegen, was die Stetigkeit der Addition zeigt.
• Stetigkeit der Inversion:
  • Die Inversionsoperation in ℝ ist die Negation, definiert durch - : ℝ → ℝ, x ↦ -x.
  • Um die Stetigkeit zu zeigen, überprüfen wir die Funktion g(x) = -x in Bezug auf die Standardtopologie.
  • Eine Funktion g : ℝ → ℝ ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge in ℝ unter g eine offene Menge in ℝ ist.
  • Sei V eine offene Menge in ℝ. Dann ist g^-1(V) eine offene Menge in ℝ, weil die Negation als Spiegelung an der Nullachse definiert ist und die Spiegelung eine stetige Operation ist.
  • Auch das bedeutet intuitiv, dass wenn x nahe genug an x₀ liegt, dann wird -x nahe bei -x₀ liegen, was die Stetigkeit der Inversion zeigt.

Fazit: Da sowohl die Addition als auch die Inversion in ℝ stetig sind, ist ℝ mit der Standardaddition und der Standardtopologie eine topologische Gruppe.

b)

Betrachte die allgemeine lineare Gruppe \( GL(n, \mathbb{R}) \) mit der Topologie der punktweisen Konvergenz. Zeige, dass \( GL(n, \mathbb{R}) \) eine topologische Gruppe ist, indem Du die Stetigkeit der Matrixmultiplikation und der Matrixinversion überprüfst.

Lösung:

Erinnerung: Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe \( G \), ausgestattet mit einer Topologie, sodass die Gruppenoperationen, also die Verknüpfung \( G \times G \to G \), \( (g,h) \mapsto gh \), und die Inversion \( G \to G \), \( g \mapsto g^{-1} \), stetig sind. Beispiele sind die reellen Zahlen \( \mathbb{R} \), die allgemeine lineare Gruppe \( GL(n, \mathbb{R}) \), und der Einheitskreis \( \mathbb{T} \). Die Topologie muss mit der algebraischen Struktur kompatibel sein.Aufgabe: Betrachte die allgemeine lineare Gruppe \( GL(n, \mathbb{R}) \) mit der Topologie der punktweisen Konvergenz. Zeige, dass \( GL(n, \mathbb{R}) \) eine topologische Gruppe ist, indem Du die Stetigkeit der Matrixmultiplikation und der Matrixinversion überprüfst.Lösung:

• Um zu zeigen, dass \( GL(n, \mathbb{R}) \) eine topologische Gruppe ist, müssen wir die Stetigkeit zweier Operationen überprüfen: die Matrixmultiplikation und die Matrixinversion.
• Die Topologie der punktweisen Konvergenz entspricht der Standardtopologie, bei der die Konvergenz jeder Matrixkomponente geprüft wird.
• Stetigkeit der Matrixmultiplikation:
  • Die Matrixmultiplikation in \( GL(n, \mathbb{R}) \) wird als eine Abbildung \( f: GL(n, \mathbb{R}) \times GL(n, \mathbb{R}) \to GL(n, \mathbb{R}) \), \( (A, B) \mapsto AB \) definiert.
  • Sei \( A = (a_{ij}) \) und \( B = (b_{ij}) \) Matrizen in \( GL(n, \mathbb{R}) \). Dann ist das Produkt \( AB = (c_{ij}) \), wobei \( c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} b_{kj} \).
  • Wir müssen zeigen, dass die Funktion \( f(A, B) \) stetig ist. Das bedeutet, dass wenn \( (A_n, B_n) \) gegen \( (A, B) \) konvergiert, dann konvergiert auch \( A_n B_n \) gegen \( AB \).
  • Da die Topologie der punktweisen Konvergenz verwendet wird, bedeutet dies, dass jeder Eintrag der Matrix \( A_n \) gegen den entsprechenden Eintrag der Matrix \( A \) und jeder Eintrag der Matrix \( B_n \) gegen den entsprechenden Eintrag der Matrix \( B \) konvergiert.
  • Angesichts der Linearität der Multiplikation von Matrizen folgt daraus, dass \( c_{ij,n} = \sum_{k=1}^n a_{ik,n} b_{kj,n} \) ebenfalls gegen \( c_{ij} \) konvergiert. Daher ist die Matrixmultiplikation in \( GL(n, \mathbb{R}) \) stetig.
• Stetigkeit der Matrixinversion:
  • Die Matrixinversion in \( GL(n, \mathbb{R}) \) ist definiert als eine Abbildung \( g: GL(n, \mathbb{R}) \to GL(n, \mathbb{R}) \), \( A \mapsto A^{-1} \).
  • Es ist bekannt, dass die Matrixinversion eine stetige Funktion ist, solange \( A \) in \( GL(n, \mathbb{R}) \) liegt, d.h. solange \( A \) eine invertierbare Matrix ist.
  • Da \( GL(n, \mathbb{R}) \) die Menge aller invertierbaren \( n \times n \)-Matrizen mit Einträgen in \( \mathbb{R} \) ist, bedeutet dies, dass kein Matrixeintrag in \( A \) eine Singularität besitzt.
  • Die Stetigkeit der Funktion \( g \) bedeutet, dass wenn \( A_n \) gegen \( A \) konvergiert, dann konvergiert auch \( A_n^{-1} \) gegen \( A^{-1} \).
  • Dies folgt daraus, dass die Inversion als eine algebraische Operation, die durch den Determinanten und die Adjunkte definiert ist, stetig auf der Menge der invertierbaren Matrizen ist.

Fazit: Da sowohl die Matrixmultiplikation als auch die Matrixinversion in \( GL(n, \mathbb{R}) \) stetig sind, ist \( GL(n, \mathbb{R}) \) mit der Topologie der punktweisen Konvergenz eine topologische Gruppe.

c)

Zeige, dass der Einheitskreis \( \mathbb{T} = \{ z \,|\, z \in \mathbb{C}, |z| = 1 \} \) mit der Subraumtopologie von \( \mathbb{C} \) eine topologische Gruppe ist. Überprüfe die Stetigkeit der Multiplikation und der Inversion auf \( \mathbb{T} \).

Lösung:

Erinnerung: Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe \( G \), ausgestattet mit einer Topologie, sodass die Gruppenoperationen, also die Verknüpfung \( G \times G \to G \), \( (g,h)\mapsto gh \), und die Inversion \( G \to G \), \( g\mapsto g^{-1} \), stetig sind. Beispiele sind die reellen Zahlen \( \mathbb{R} \), die allgemeine lineare Gruppe \( GL(n, \mathbb{R}) \), und der Einheitskreis \( \mathbb{T} \). Die Topologie muss mit der algebraischen Struktur kompatibel sein.Aufgabe: Zeige, dass der Einheitskreis \( \mathbb{T} = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} \) mit der Subraumtopologie von \( \mathbb{C} \) eine topologische Gruppe ist. Überprüfe die Stetigkeit der Multiplikation und der Inversion auf \( \mathbb{T} \).Lösung:

• Um zu zeigen, dass \( \mathbb{T} \) eine topologische Gruppe ist, müssen wir überprüfen, ob die beiden Operationen, die Multiplikation und die Inversion, stetig sind.
• Die Subraumtopologie von \( \mathbb{C} \) auf \( \mathbb{T} \) bedeutet, dass eine Menge in \( \mathbb{T} \) offen ist, wenn sie als Schnitt einer offenen Menge in \( \mathbb{C} \) mit \( \mathbb{T} \) dargestellt werden kann.
• Stetigkeit der Multiplikation:
  • Die Multiplikation auf \( \mathbb{T} \) ist definiert durch \( m : \mathbb{T} \times \mathbb{T} \to \mathbb{T} \), \( (z_1, z_2) \mapsto z_1 z_2 \).
  • Wir müssen zeigen, dass die Funktion \( m(z_1, z_2) = z_1 z_2 \) in Bezug auf die Subraumtopologie von \( \mathbb{C} \) stetig ist.
  • Eine Funktion \( f : \mathbb{T} \times \mathbb{T} \to \mathbb{T} \) ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge in \( \mathbb{T} \) unter \( f \) eine offene Menge in \( \mathbb{T} \times \mathbb{T} \) ist.
  • Da \( \mathbb{T} \subset \mathbb{C} \) und die Multiplikation in \( \mathbb{C} \) stetig ist, ist auch die Einschränkung dieser Multiplikation auf \( \mathbb{T} \) stetig.
  • Das bedeutet, dass wenn \( (z_1(t), z_2(t)) \) gegen \( (z_1,z_2) \) konvergiert, dann konvergiert auch \( z_1(t)z_2(t) \) gegen \( z_1z_2 \).
• Stetigkeit der Inversion:
  • Die Inversion in \( \mathbb{T} \) ist definiert durch \( i : \mathbb{T} \to \mathbb{T} , z \mapsto z^{-1} = \frac{1}{z} \).
  • Da \( |z| = 1 \) für alle \( z \in \mathbb{T} \), ist \( z^{-1} \) ebenfalls auf \( \mathbb{T} \).
  • Eine Funktion \( f : \mathbb{T} \to \mathbb{T} \) ist stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge in \( \mathbb{T} \) unter \( f \) eine offene Menge in \( \mathbb{T} \) ist.
  • Da die Inversion in \( \mathbb{C} \) stetig ist und \( \mathbb{T} \subset \mathbb{C} \) , bedeutet dies, dass wenn \( z(t) \) gegen \( z \) konvergiert, dann konvergiert auch \( z^{-1}(t) \) gegen \( z^{-1} \).

Fazit: Da sowohl die Multiplikation als auch die Inversion auf \( \mathbb{T} \) stetig sind, ist \( \mathbb{T} \) mit der Subraumtopologie von \( \mathbb{C} \) eine topologische Gruppe.

Aufgabe 4)

Homomorphismen und Isomorphismen in topologischen GruppenDu betrachtest zwei topologische Gruppen, G und H, und die Darstellungen von Abbildungen zwischen ihnen, die sowohl die Gruppen- als auch die topologische Struktur erhalten. Sei dir der folgenden Definitionen bewusst:

• Homomorphismus: Eine Abbildung \( f: G \rightarrow H \) zwischen topologischen Gruppen, die die Gruppenoperation erhält: \( f(g_1 g_2) = f(g_1)f(g_2) \) für alle \( g_1, g_2 \in G \).
• Isomorphismus: Ein bijektiver Homomorphismus, dessen Umkehrung ebenfalls ein Homomorphismus ist, d.h. sowohl struktur- als auch topologietreu.
• Ein Homomorphismus ist stetig, wenn er eine stetige Funktion bezüglich der Topologien der Gruppen ist.
• Ein Isomorphismus ist eine bijektive, stetige Abbildung mit einer ebenfalls stetigen Umkehrabbildung.

a)

Sei \(f: G \rightarrow H\) ein Homomorphismus zwischen den topologischen Gruppen \(G\) und \(H\). Zeige, dass falls \(f\) stetig ist, für jede Teilmenge \(A \subseteq G\) das Urbild \(f^{-1}(A)\) offen in \(G\) ist, wenn \(A\) offen in \(H\) ist.

Lösung:

Lösungsschritte:

1. Betrachte den Homomorphismus f: G → H zwischen den topologischen Gruppen G und H. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass das Urbild einer offenen Menge unter einem stetigen Homomorphismus ebenfalls offen ist.
2. Sei A eine offene Teilmenge von H. Da f ein Homomorphismus ist, erhalten wir für jede Teilmenge B von H, dass f⁻¹(B) eine Teilmenge von G ist.
3. Weil f stetig ist, gibt es für jede offene Menge A in H eine offene Menge f⁻¹(A) in G. Das bedeutet, dass das Urbild jeder offenen Menge unter einer stetigen Abbildung ebenfalls offen ist.
4. Da f stetig ist, erfüllen wir also die Bedingung, dass das Urbild einer jeden offenen Menge in H unter f ebenfalls eine offene Menge in G ist.
5. Daraus folgt, dass wenn A eine offene Teilmenge von H ist, das Urbild f⁻¹(A) offen in G ist. Dies bedeutet, dass stetige Homomorphismen zwischen topologischen Gruppen tatsächlich die Offenheit von Mengen erhalten.

b)

Sei \(f: G \rightarrow H\) ein bijektiver, stetiger Homomorphismus. Zeige, dass für jede offene Teilmenge \(V \subseteq H\) das Bild \(f(U)\) einer offenen Menge \(U \subseteq G\) ebenfalls offen in \(H\) ist. Was folgt daraus über die Umkehrabbildung \(f^{-1}\)?

Lösung:

Lösungsschritte:

1. Gegeben: Sei f: G → H ein bijektiver, stetiger Homomorphismus zwischen den topologischen Gruppen G und H.
2. Wir sollen zeigen, dass für jede offene Teilmenge V ⊆ H das Bild f(U) einer offenen Menge U ⊆ G ebenfalls offen in H ist.
3. Da f ein Homomorphismus ist, erhalten wir \textit{für jedes} U ⊆ G von H, dass f(U) eine Teilmenge von H ist. Wegen der Bijektivität von f existiert für jedes f(U) ⊆ H eine eindeutige U ⊆ G.
4. Weil f ein stetiger Homomorphismus ist, erhalten wir aus der Definition der Stetigkeit und des Homomorphismus für jede offene Menge V in H, dass f⁻¹(f(U)) offen in G ist. Da f bijektiv ist, lässt sich f⁻¹(f(U)) mit U als offen in G identifizieren.
5. Weil die Stetigkeit von f auch auf die Offenheit jeder offenen Menge in G wirkt, folgt, dass die Abbildung f(U) offen in H ist.
6. Der Satz besagt, dass wenn U eine offene Teilmenge von G ist, das Bild f(U) als eine offene Menge in H bezeichnet wird. Dies bedeutet, dass bijektive, stetige Homomorphismen die Offenheit der Mengen erhalten.
7. Darüber hinaus folgt daraus, dass die Umkehrabbildung f⁻¹ ebenfalls stetig ist, weil sie das Urbild offener Mengen in offenen Mengen bewahrt. Das heißt, f⁻¹: H → G ist auch ein stetiger Homomorphismus, und damit ist f ein Homomorphismus (Isomorphismus), da beide Richtungen stetig und bijektiv sind.

c)

Betrachte zwei topologische Gruppen \(G\) und \(H\) mit Homomorphismen \( \theta: G \rightarrow H \) und \( \tau: H \rightarrow G \), so dass \( \theta \tau = \text{id}_H \) und \( \tau \theta = \text{id}_G \). Zeige, dass \(G\) und \(H\) isomorphe topologische Gruppen sind.

Lösung:

Lösungsschritte:

1. Gegeben: Zwei topologische Gruppen G und H mit Homomorphismen \(\theta: G \rightarrow H\) und \(\tau: H \rightarrow G\), so dass \(\theta \tau = \text{id}_H\) und \(\tau \theta = \text{id}_G\).
2. Wir müssen zeigen, dass G und H isomorphe topologische Gruppen sind.
3. Da \(\theta \tau = \text{id}_H\) ist, bedeutet das, dass für jedes \(h \in H\), \(\theta(\tau(h)) = h\). Dies zeigt, dass \(\theta\) surjektiv ist (d.h. jedes Element von H wird durch \(\tau\) auf ein Element von G abgebildet und dann durch \(\theta\) zurück nach H).
4. Da \(\tau \theta = \text{id}_G\) ist, bedeutet das, dass für jedes \(g \in G\), \(\tau(\theta(g)) = g\). Dies zeigt, dass \(\tau\) surjektiv ist (d.h. jedes Element von G wird durch \(\theta\) auf ein Element von H abgebildet und dann durch \(\tau\) zurück nach G).
5. Die Surjektivität von \(\theta\) und \(\tau\) kombiniert mit der Tatsache, dass die Kompositionen die Identität sind, zeigt, dass \(\theta\) und \(\tau\) bijektiv sind. Das bedeutet, dass \(\theta\) und \(\tau\) Inversen voneinander sind.
6. Da \(\theta\) und \(\tau\) Homomorphismen (d.h. strukturtreu) sind, erhalten wir, dass sie Gruppenoperationen respektieren.
7. Da \(\theta\) und \(\tau\) stetig sind, respektieren sie auch die topologische Struktur.
8. Weil wir gezeigt haben, dass \(\theta\) und \(\tau\) bijektiv, Homomorphismen (strukturtreu) und stetig sind, folgt daraus, dass G und H isomorphe topologische Gruppen sind.

d)

Zeige anhand eines Beispiels, dass ein Homomorphismus zwischen zwei topologischen Gruppen nicht notwendigerweise ein Isomorphismus ist. Veranschauliche diesen Unterschied, indem Du spezifische Gruppen und Abbildungen wählst, bei denen der Homomorphismus nicht bijektiv ist.

Lösung:

Beispiel:

1. Wähle die topologischen Gruppen:
   • Gruppe G: Die Gruppe der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) mit der Addition als Gruppenoperation und der Standardtopologie.
   • Gruppe H: Die Gruppe der positiven reellen Zahlen \(\mathbb{R}_{>0}\) mit der Multiplikation als Gruppenoperation und der Standardtopologie.
2. Definiere den Homomorphismus:
   • Betrachte die Abbildung \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}\) definiert durch \(f(x) = e^x\).
   • Wir müssen zeigen, dass \(f\) ein Homomorphismus ist. Da \(f(x+y) = f(x)f(y)\), gilt:\(f(x + y) = e^{x + y} = e^x e^y = f(x)f(y)\).
   • Also ist \(f\) ein Homomorphismus, da er die Gruppenoperationen erhält.
3. Untersuche die Bijektivität:
   • Bei der Bijektivität müssen wir zeigen, dass jedes Element von \(\mathbb{R}_{>0}\) ein Urbild in \(\mathbb{R}\) hat (Surjektivität) und dass \(f\) injektiv ist.
   • \