Introduction to Statistics and Statistical Programming - Exam

Aufgabe 1)

Gegeben sei eine Datenreihe, die die Noten von 20 Studierenden in einer Statistik-Klausur beschreibt:

 [2, 3, 4, 5, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2] 

c)

Bestimme den Modus (oder die Modi) dieser Datenreihe und erkläre, was der Modus in diesem Kontext über die Notenverteilung aussagt.

Lösung:

Lösung der Teilaufgabe:

Modus berechnen:

Der Modus ist der Wert oder die Werte, die in einer Datenreihe am häufigsten vorkommen. Um den Modus der gegebenen Notenreihe zu bestimmen, müssen wir die Häufigkeit jedes Wertes ermitteln.

Gegebene Notenreihe:

[2, 3, 4, 5, 2, 1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2]

Schritt-für-Schritt-Anleitung:

Schritt 1: Zähle die Häufigkeit jedes Wertes:

• 1: 1-mal
• 2: 4-mal
• 3: 3-mal
• 4: 3-mal
• 5: 3-mal
• 6: 2-mal
• 7: 2-mal
• 8: 2-mal
• 9: 1-mal

Schritt 2: Bestimme den oder die Werte mit der höchsten Häufigkeit:

In dieser Notenreihe kommt die Note 2 am häufigsten vor, nämlich 4-mal.

Der Modus der gegebenen Notenreihe ist also 2.

Interpretation des Modus im Kontext der Notenverteilung:

• Der Modus zeigt uns den häufigsten Wert in der Datenreihe. In diesem Fall ist die Note 2 die am häufigsten vergebene Note.
• Das bedeutet, dass mehr Studierende (im Vergleich zu anderen Noten) eine 2 in der Statistik-Klausur erhalten haben.
• Im Kontext der Notenverteilung kann dies darauf hinweisen, dass es eine größere Anzahl von Studierenden gibt, die das Niveau „ausreichend“ (entsprechend der Note 2) erreicht haben.

Zusammengefasst:

• Der Modus gibt uns ein Gefühl dafür, welche Note am häufigsten vorkommt und somit eine gewisse „Norm“ oder „Gemeinsamkeit“ in der Verteilung darstellt. Während das arithmetische Mittel von 4,7 und der Median von 4,5 uns Informationen über den Durchschnitt und die Mitte der Datenreihe geben, bietet der Modus einen Einblick in die häufigsten Leistungen der Studierenden.

Aufgabe 2)

In einer Fabrik werden Bauteile hergestellt. Es gibt zwei Maschinen, Maschine A und Maschine B. Maschine A produziert 60% aller Bauteile und hat eine Ausschussquote (Defektwahrscheinlichkeit) von 2%. Maschine B produziert die restlichen 40% der Bauteile und hat eine Ausschussquote von 5%. Ein zufällig ausgewähltes Bauteil wird als defekt befunden.

a)

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Bauteil von Maschine B stammt. Hierzu kannst Du das Bayes'sche Theorem verwenden. Zeige alle Berechnungen und Schritte ausführlich.

Lösung:

a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Bauteil von Maschine B stammt. Hierzu kannst Du das Bayes'sche Theorem verwenden. Zeige alle Berechnungen und Schritte ausführlich.

Gegebenen Informationen zur Verfügung:

• Maschine A: Produziert 60% der Bauteile mit einer Ausschussquote von 2%.
• Maschine B: Produziert 40% der Bauteile mit einer Ausschussquote von 5%.

Wir bezeichnen:

• P(A) = Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil von Maschine A stammt = 60% = 0.6
• P(B) = Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil von Maschine B stammt = 40% = 0.4
• P(D|A) = Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil von Maschine A defekt ist = 2% = 0.02
• P(D|B) = Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil von Maschine B defekt ist = 5% = 0.05

Zuerst berechnen wir die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein defektes Bauteil produziert wird. Dies tun wir, indem wir die Wahrscheinlichkeiten der defekten Bauteile von beiden Maschinen addieren:

• P(D) = P(D|A) * P(A) + P(D|B) * P(B)

Wir setzen die gegebenen Werte ein:

P(D) = (0.02 * 0.6) + (0.05 * 0.4)P(D) = 0.012 + 0.02P(D) = 0.032

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil defekt ist, beträgt also 3.2% bzw. 0.032.

Nun verwenden wir das Bayes’sche Theorem, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass ein defektes Teil von Maschine B stammt:

• P(B|D) = \frac{P(D|B) * P(B)}{P(D)}

Setzen wir die Werte ein:

P(B|D) = \frac{0.05 * 0.4}{0.032}P(B|D) = \frac{0.02}{0.032}P(B|D) ≈ 0.625

Die Wahrscheinlichkeit, dass das defekte Bauteil von Maschine B stammt, beträgt also etwa 62.5%.

b)

b) Bestimme, ob die Ereignisse 'Das Bauteil stammt von Maschine A' und 'Das Bauteil ist defekt' unabhängig sind. Begründe deine Antwort mathematisch.

Lösung:

b) Bestimme, ob die Ereignisse 'Das Bauteil stammt von Maschine A' und 'Das Bauteil ist defekt' unabhängig sind. Begründe deine Antwort mathematisch.

Um festzustellen, ob zwei Ereignisse unabhängig sind, müssen wir überprüfen, ob die bedingte Wahrscheinlichkeit des einen Ereignisses gleich der unbedingten Wahrscheinlichkeit des anderen Ereignisses ist. Die beiden Ereignisse sind unabhängig, wenn:

• P(D|A) = P(D)

Wir überprüfen dies mit den gegebenen Wahrscheinlichkeiten:

• P(A) = Die Wahrscheinlichkeit, dass das Teil von Maschine A stammt = 60% = 0.6
• P(D|A) = Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil von Maschine A defekt ist = 2% = 0.02
• P(D) = Die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass ein Bauteil defekt ist.

Wir haben P(D) bereits aus Teil a) berechnet:

P(D) = (0.02 * 0.6) + (0.05 * 0.4)P(D) = 0.012 + 0.02P(D) = 0.032

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Teil defekt ist, beträgt 3.2% bzw. 0.032.

Vergleichen wir nun P(D|A) mit P(D):

• P(D|A) = 0.02
• P(D) = 0.032

Da P(D|A) ≠ P(D), sind die Ereignisse 'Das Bauteil stammt von Maschine A' und 'Das Bauteil ist defekt' nicht unabhängig.

Aufgabe 3)

Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gemeinsame Verteilungen und BeispielverteilungenAngenommen, Du hast zwei Zufallsvariablen, X und Y. X folgt einer diskreten Binomialverteilung mit Parametern n und p, und Y folgt einer stetigen Normalverteilung mit dem Mittelwert \(\mu\) und der Standardabweichung \(\sigma\). Nehmen wir an, dass X und Y unabhängig voneinander sind.

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a)

Leite die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y ab. Hinweis: Nutze die Eigenständigkeit der beiden Zufallsvariablen und die gegebenen Verteilungen (Binomial- und Normalverteilung).

Lösung:

Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gemeinsame Verteilungen und BeispielverteilungenAufgabe:Angenommen, Du hast zwei Zufallsvariablen, X und Y. X folgt einer diskreten Binomialverteilung mit Parametern n und p, und Y folgt einer stetigen Normalverteilung mit dem Mittelwert \( \mu \) und der Standardabweichung \( \sigma \). Nehmen wir an, dass X und Y unabhängig voneinander sind.

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Teilaufgabe:Leite die gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y ab. Hinweis: Nutze die Eigenständigkeit der beiden Zufallsvariablen und die gegebenen Verteilungen (Binomial- und Normalverteilung).

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Lösungsschritte:

• 1. Da X und Y unabhängig sind, lässt sich die gemeinsame Verteilungsfunktion als Produkt der individuellen Verteilungsfunktionen schreiben.
• 2. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für X lautet:\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] wobei \( k = 0, 1, 2, \, \ldots, \, n \) ist.
• 3. Die Dichtefunktion der Normalverteilung für Y lautet:\[ f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}}\exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \]
• 4. Die gemeinsame Verteilung von X und Y ist daher:\[ P(X = k, Y = y) = P(X = k) \times f_Y(y) = \left( \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \right) \]

b)

Bestimme eine Formel zur Berechnung der marginalen Verteilung der Zufallsvariable X. Erkläre jeden Schritt ausführlich.

Lösung:

Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gemeinsame Verteilungen und BeispielverteilungenAufgabe:Angenommen, Du hast zwei Zufallsvariablen, X und Y. X folgt einer diskreten Binomialverteilung mit Parametern n und p, und Y folgt einer stetigen Normalverteilung mit dem Mittelwert \( \mu \) und der Standardabweichung \( \sigma \). Nehmen wir an, dass X und Y unabhängig voneinander sind.

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Teilaufgabe:Bestimme eine Formel zur Berechnung der marginalen Verteilung der Zufallsvariable X. Erkläre jeden Schritt ausführlich.

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Lösungsschritte:

• 1. Definition der marginalen Verteilung: Die marginale Verteilung einer Zufallsvariablen ist die Summe (bei diskreten Variablen) oder das Integral (bei stetigen Variablen) der gemeinsamen Verteilung über die andere Zufallsvariable. In diesem Fall ist X eine diskrete Variable, während Y eine stetige Variable ist.
• 2. Gemeinsame Verteilungsfunktion: Die gemeinsame Verteilung von X und Y, \( P(X = k, Y = y) \), kann aufgrund der Unabhängigkeit von X und Y als Produkt ihrer individuellen Verteilungen geschrieben werden.\[ P(X = k, Y = y) = P(X = k) \, f_Y(y) \] Die Wahrscheinlichkeitsmassefunktion (PMF) für X (Binomialverteilung) ist:\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \] Die Dichtefunktion (PDF) für Y (Normalverteilung) ist:\[ f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \]
• 3. Integrationsschritt: Die marginale Verteilung von X, \( P(X = k) \), wird durch Integration der gemeinsamen Verteilung \( P(X = k, Y = y) \) über alle möglichen Werte von Y berechnet:\[ P(X = k) = \int_{-\infty}^{\infty} P(X = k, Y = y) \, dy \]
• 4. Substitution der gemeinsamen Verteilung: Setzen wir die gemeinsame Verteilungsfunktion \( P(X = k, Y = y) \) in das Integral ein:\[ P(X = k) = \int_{-\infty}^{\infty} \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \, dy \]
• 5. Koeffizienten vor das Integral ziehen: Die Binomialverteilungskoeffizienten sind unabhängig von y und können daher vor das Integral gezogen werden:\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \, dy \]
• 6. Erkennen der Normalverteilungs-Integralstruktur: Das Integral innerhalb der Formel ist die Definition der Verteilungsfunktion der Normalverteilung, welche über ihr gesamtes Definitionsbereich integriert gleich 1 ist:\[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right) \, dy = 1 \]
• 7. Berechnung der marginalen Verteilung von X: Dadurch vereinfacht sich die Berechnung zu:\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]
• 8. Ergebnis: Somit ist die marginale Verteilung von X identisch mit der ursprünglichen Binomialverteilung:\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \]

c)

Bestimme die gemeinsame Dichtefunktion von X und Y. Erkläre den Unterschied zwischen der Verteilungsfunktion und der Dichtefunktion in diesem spezifischen Kontext.

Lösung:

Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gemeinsame Verteilungen und BeispielverteilungenAufgabe:Angenommen, Du hast zwei Zufallsvariablen, X und Y. X folgt einer diskreten Binomialverteilung mit Parametern n und p, und Y folgt einer stetigen Normalverteilung mit dem Mittelwert \( \mu \) und der Standardabweichung \( \sigma \). Nehmen wir an, dass X und Y unabhängig voneinander sind.

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Teilaufgabe:Bestimme die gemeinsame Dichtefunktion von X und Y. Erkläre den Unterschied zwischen der Verteilungsfunktion und der Dichtefunktion in diesem spezifischen Kontext.

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Lösung:

• 1. Verteilungsfunktion vs. Dichtefunktion:
  • Verteilungsfunktion (CDF): Die Verteilungsfunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich einem bestimmten Wert annimmt. Formal ist die kumulative Verteilungsfunktion für eine Zufallsvariable X definiert als:
    • Für eine diskrete Zufallsvariable X: \(F_X(x) = P(X \leq x)\)
    • Für eine stetige Zufallsvariable Y: \(F_Y(y) = P(Y \leq y)\)
  • Dichtefunktion (PDF/PMF): Die Dichtefunktion beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte (bei stetigen Variablen) oder die Wahrscheinlichkeitsmasse (bei diskreten Variablen) an einem bestimmten Punkt. Formal ist die Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) für eine diskrete Zufallsvariable X und die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) für eine stetige Zufallsvariable Y definiert als:
    • Für eine diskrete Zufallsvariable X: \(P(X = x)\)
    • Für eine stetige Zufallsvariable Y: \(f_Y(y)\)
• 2. Bestimmung der gemeinsamen Dichtefunktion:
  • Da X und Y unabhängig sind, kann die gemeinsame Dichtefunktion als Produkt der individuellen Dichtefunktionen geschrieben werden:
  • Für X (diskret, Binomialverteilung):\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
  • Für Y (stetig, Normalverteilung):\[f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right)\]
• 3. Gemeinsame Dichtefunktion:Die gemeinsame Dichtefunktion \(f_{X,Y}(k,y)\) ergibt sich als Produkt der individuellen Dichtefunktionen:\[f_{X,Y}(k,y) = P(X = k) \, f_Y(y)\]
  • Einsetzen der jeweiligen Verteilungen ergibt:\[f_{X,Y}(k,y) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right)\]

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Unterschied zwischen Verteilungsfunktion und Dichtefunktion in diesem spezifischen Kontext:

• Die Verteilungsfunktion (CDF) beschreibt die kumulative Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariablen X und Y Werte annehmen, die kleiner oder gleich bestimmten Werten sind. Sie liefert uns die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bis zu einem bestimmten Punkt.
• Die Dichtefunktion (PMF für X und PDF für Y) beschreibt die Wahrscheinlichkeitsdichte oder -masse an einem spezifischen Punkt. Für X gibt uns die PMF die Wahrscheinlichkeit, dass X genau einen bestimmten Wert annimmt, während uns die PDF für Y die Dichte der Wahrscheinlichkeit am Punkt Y gibt.

d)

Nutzt deine Ergebnisse der vorherigen Teile, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass X = k und Y in einem Intervall [a, b] liegt. Berechne ein Beispiel mit n=10, p=0.5, k=5, \(a=0\), und \(b=1\).

Lösung:

Diskrete und stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen: Gemeinsame Verteilungen und BeispielverteilungenAufgabe:Angenommen, Du hast zwei Zufallsvariablen, X und Y. X folgt einer diskreten Binomialverteilung mit Parametern n und p, und Y folgt einer stetigen Normalverteilung mit dem Mittelwert \( \mu \) und der Standardabweichung \( \sigma \). Nehmen wir an, dass X und Y unabhängig voneinander sind.

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Teilaufgabe:Nutzt deine Ergebnisse der vorherigen Teile, um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass X = k und Y in einem Intervall [a, b] liegt. Berechne ein Beispiel mit n=10, p=0.5, k=5, \(a=0\), und \(b=1\).

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Lösungsschritte:

• 1. Gemeinsame Verteilungsfunktion von X und Y: In den vorherigen Teilaufgaben haben wir die gemeinsame Verteilungsfunktion wie folgt bestimmt:\[f_{X,Y}(k,y) = P(X = k) \, f_Y(y)\]
  • Für X (diskret, Binomialverteilung):\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]
  • Für Y (stetig, Normalverteilung):\[f_Y(y) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp\left(-\frac{(y - \mu)^2}{2 \sigma^2}\right)\]
• 2. Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass X = k und Y im Intervall [a, b] liegt: Um die Wahrscheinlichkeit zu berechnen, dass X = k und Y im Intervall [a, b] liegt, integrieren wir die gemeinsame Dichtefunktion \(f_{X,Y}(k,y)\) über das Intervall [a, b]:\[P(X = k, \, a \leq Y \leq b) = P(X = k) \int_{a}^{b} f_Y(y) \, dy\]
• 3. Einsetzen der spezifischen Werte: Setzen wir n=10, p=0.5, k=5, \(a=0\), und \(b=1\) ein:
  • Für X = 5 (Binomialverteilung):\[P(X = 5) = \binom{10}{5} (0.5)^5 (0.5)^{5} = \binom{10}{5} (0.5)^{10} = 252 \, (0.5)^{10} = \frac{252}{1024} = 0.2461\]
  • Für Y im Intervall [0, 1] unter der Annahme \( \mu=0 \) und \( \sigma=1 \) (Standardnormalverteilung):\[\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right) \, dy\]
  • Diese Integralwert ergibt normalerweise die Fläche unter der Standardnormalverteilung innerhalb des Intervalls [0, 1]. Dieser Wert wird oft mittels numerischer Methoden oder Tabellen der Standardnormalverteilung berechnet. Für eine Standard-Normalverteilung (\( \mu=0 \), \( \sigma=1 \)):\[\text{CDF}(1) - \text{CDF}(0) \]
  • Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Standardnormalverteilung für y=1 beträgt ungefähr 0.8413.
  • Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) der Standardnormalverteilung für y=0 beträgt 0.5.
  • Daher: \[\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right) \, dy ≈ 0.8413 - 0.5 = 0.3413\]

4. Berechnung der endgültigen Wahrscheinlichkeit:Multipliziere P(X=5) mit dem Bereichs-Integral der Normalverteilung:\[P(X = 5, \, 0 \leq Y \leq 1) = 0.2461 \, \times \, 0.3413 ≈ 0.0840\]

Aufgabe 4)

Konfidenzintervalle: Berechnung und InterpretationKonfidenzintervalle werden genutzt, um den Bereich anzugeben, in dem ein unbekannter Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt. Ein Konfidenzintervall wird durch die folgende Formel berechnet:

• Berechnung: \(\hat{\theta} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)
• \(\hat{\theta}\): Punktschätzer
• \(z_{\alpha/2}\): kritischer Wert
• \(\sigma\): Standardabweichung
• \(n\): Stichprobenumfang

Ein 95% Konfidenzintervall bedeutet, dass wir in 95% der Fälle erwarten, dass es den wahren Parameterwert enthält.

a)

Eine Firma möchte das durchschnittliche Gewicht von Produkten in einer Produktionsreihe bestimmen. Es wurde eine Stichprobe von 50 Produkten genommen, die ein durchschnittliches Gewicht von 200 Gramm mit einer Standardabweichung von 10 Gramm aufweist. Berechne das 95% Konfidenzintervall für das durchschnittliche Gewicht der Produkte in dieser Produktionsreihe.

Lösung:

Konfidenzintervalle: Berechnung und Interpretation

Berechnung des 95% Konfidenzintervalls für das durchschnittliche Gewicht der ProdukteUm das 95% Konfidenzintervall für das durchschnittliche Gewicht der Produkte zu berechnen, verwenden wir die angegebene Formel:

• Berechnung: \( \hat{\theta} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \)
• \( \hat{\theta} \): Punktschätzer
• \( z_{\alpha/2} \): kritischer Wert
• \( \sigma \): Standardabweichung
• \( n \): Stichprobenumfang

Ein 95% Konfidenzintervall bedeutet, dass wir in 95% der Fälle erwarten, dass es den wahren Parameterwert enthält.Gegebene Werte:

• Durchschnittliches Gewicht (\( \hat{\theta} \)): 200 Gramm
• Standardabweichung (\( \sigma \)): 10 Gramm
• Stichprobenumfang (\( n \)): 50
• z-Wert für 95% Konfidenzintervall (\( z_{\alpha/2} \)): 1.96

Setzen wir die Werte in die Formel ein:

\( 200 \pm 1.96 \cdot \frac{10}{\sqrt{50}} \)

Berechnen wir zunächst den Standardfehler:

\( \frac{10}{\sqrt{50}} = \frac{10}{7.071} \approx 1.4142 \)

Nun multiplizieren wir den Standardfehler mit dem z-Wert:

1.96 \cdot 1.4142 \approx 2.7718

Schließlich bestimmen wir das Konfidenzintervall:

200 \pm 2.7718

Das ergibt:

• Untergrenze: 200 - 2.7718 ≈ 197.23 Gramm
• Obergrenze: 200 + 2.7718 ≈ 202.77 Gramm

Das 95% Konfidenzintervall für das durchschnittliche Gewicht der Produkte in dieser Produktionsreihe liegt daher bei:

• Untergrenze: 197.23 Gramm
• Obergrenze: 202.77 Gramm

b)

Vergleiche das Konfidenzintervall, das Du im vorherigen Schritt berechnet hast, mit einem Konfidenzintervall, das unter der Annahme berechnet wurde, dass die Standardabweichung nur 5 Gramm beträgt. Welche Unterschiede erkennst Du und was bedeuten diese Unterschiede?

Lösung:

Konfidenzintervalle: Berechnung und Interpretation

Vergleich der Konfidenzintervalle: Unterschiedliche StandardabweichungenWir haben bereits das 95% Konfidenzintervall für das durchschnittliche Gewicht der Produkte berechnet unter der Annahme einer Standardabweichung von 10 Gramm. Nun vergleichen wir dies mit einem Konfidenzintervall, das unter der Annahme berechnet wurde, dass die Standardabweichung nur 5 Gramm beträgt.Gegebene Werte für den neuen Fall:

• Durchschnittliches Gewicht (\( \hat{\theta} \)): 200 Gramm
• Standardabweichung (\( \sigma \)): 5 Gramm
• Stichprobenumfang (\( n \)): 50
• z-Wert für 95% Konfidenzintervall (\( z_{\alpha/2} \)): 1.96

Setzen wir die neuen Werte in die Formel ein:

\( 200 \pm 1.96 \cdot \frac{5}{\sqrt{50}} \)

Berechnen wir erneut den Standardfehler:

\( \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{7.071} \approx 0.7071 \)

Nun multiplizieren wir den Standardfehler mit dem z-Wert:

1.96 \cdot 0.7071 \approx 1.3859

Schließlich bestimmen wir das Konfidenzintervall:

200 \pm 1.3859

Das ergibt:

• Untergrenze: 200 - 1.3859 ≈ 198.61 Gramm
• Obergrenze: 200 + 1.3859 ≈ 201.39 Gramm

Das 95% Konfidenzintervall für das durchschnittliche Gewicht der Produkte unter der Annahme einer Standardabweichung von 5 Gramm liegt daher bei:

• Untergrenze: 198.61 Gramm
• Obergrenze: 201.39 Gramm

Vergleich der beiden Konfidenzintervalle:

• Standardabweichung 10 Gramm: Intervall [197.23, 202.77] Gramm
• Standardabweichung 5 Gramm: Intervall [198.61, 201.39] Gramm

Unterschiede und Bedeutung:

• Das Konfidenzintervall mit einer Standardabweichung von 5 Gramm ist schmaler als das mit einer Standardabweichung von 10 Gramm.
• Eine kleinere Standardabweichung führt zu einem geringeren Standardfehler, was wiederum zu einem engeren Konfidenzintervall führt. Dies bedeutet, dass wir mit größerer Präzision den Bereich angeben können, in dem der wahre Parameterwert liegt.

c)

Diskutiere die Aussagekraft eines 95% Konfidenzintervalls im Vergleich zu einem 99% Konfidenzintervall. Welche praktischen Implikationen ergeben sich bei der Interpretation der jeweiligen Konfidenzintervalle?

Lösung:

Konfidenzintervalle: Berechnung und Interpretation

Aussagekraft eines 95% Konfidenzintervalls im Vergleich zu einem 99% KonfidenzintervallEin Konfidenzintervall gibt den Bereich an, in dem ein unbekannter Parameter mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt. Das Konfidenzniveau (z.B. 95% oder 99%) gibt dabei an, wie sicher wir uns sind, dass dieser Bereich den wahren Parameterwert enthält. 95% Konfidenzintervall:

• Bedeutet, dass in 95 von 100 Fällen das Intervall den wahren Parameterwert enthält.
• Das Intervall ist typischerweise enger (schmaler) als ein 99% Konfidenzintervall.
• Wird oft verwendet, weil es eine gute Balance zwischen Präzision und Zuverlässigkeit bietet.

99% Konfidenzintervall:

• Bedeutet, dass in 99 von 100 Fällen das Intervall den wahren Parameterwert enthält.
• Das Intervall ist breiter als das 95% Konfidenzintervall, da wir mehr Sicherheit haben wollen, dass der wahre Parameterwert enthalten ist.
• Wird verwendet, wenn eine höhere Sicherheit erforderlich ist.

Praktische Implikationen:

• Das 95% Konfidenzintervall ist präziser, aber weniger sicher als das 99% Konfidenzintervall. Es ist typischerweise enger und gibt einen engeren Bereich an, in dem der Parameter liegt, jedoch mit geringerer Sicherheit als das 99% Intervall.
• Das 99% Konfidenzintervall bietet mehr Sicherheit, dass der wahre Parameterwert enthalten ist, ist aber breiter. Dies bedeutet, dass es einen größerem Bereich abdeckt, in dem der Parameter liegen könnte, was weniger präzise ist.

Wann welches Konfidenzintervall verwenden:

• 95% Konfidenzintervall: Angemessen bei vielen Anwendungen, da es eine gute Balance zwischen Präzision und Sicherheit bietet. Geeignet für explorative Studien und weniger kritische Anwendungen.
• 99% Konfidenzintervall: Besser geeignet für kritische Entscheidungen oder Studien, bei denen eine höhere Sicherheit erforderlich ist. Zum Beispiel in der medizinischen Forschung, wo falsche Entscheidungen schwerwiegende Folgen haben könnten.

d)

Angenommen, die Firma entscheidet sich, eine größere Stichprobe von 200 Produkten zu nehmen. Berechne das neue 95% Konfidenzintervall unter der Annahme, dass der Punktschätzer und die Standardabweichung gleich bleiben (200 Gramm und 10 Gramm). Was fällt Dir auf, wenn Du dieses Konfidenzintervall mit dem ersten Konfidenzintervall vergleichst?

Lösung:

Konfidenzintervalle: Berechnung und Interpretation

Berechnung des neuen 95% Konfidenzintervalls bei einer größeren StichprobeDie Firma entscheidet sich, eine größere Stichprobe von 200 Produkten zu nehmen. Die Werte für den Punktschätzer und die Standardabweichung bleiben gleich:

• Durchschnittliches Gewicht (\( \hat{\theta} \)): 200 Gramm
• Standardabweichung (\( \sigma \)): 10 Gramm
• Stichprobenumfang (\( n \)): 200
• z-Wert für 95% Konfidenzintervall (\( z_{\alpha/2} \)): 1.96

Um das neue 95% Konfidenzintervall zu berechnen, verwenden wir erneut die Formel:

\( 200 \pm 1.96 \cdot \frac{10}{\sqrt{200}} \)

Berechnen wir den Standardfehler:

\( \frac{10}{\sqrt{200}} = \frac{10}{14.142} \approx 0.7071 \)

Nun multiplizieren wir den Standardfehler mit dem z-Wert:

1.96 \cdot 0.7071 \approx 1.3859

Schließlich bestimmen wir das Konfidenzintervall:

200 \pm 1.3859

Das ergibt:

• Untergrenze: 200 - 1.3859 ≈ 198.61 Gramm
• Obergrenze: 200 + 1.3859 ≈ 201.39 Gramm

Das neue 95% Konfidenzintervall für das durchschnittliche Gewicht der Produkte, basierend auf einer Stichprobe von 200 Produkten, liegt daher bei:

• Untergrenze: 198.61 Gramm
• Obergrenze: 201.39 Gramm

Vergleich der Konfidenzintervalle:

• Erste Stichprobe (n=50): Intervall [197.23, 202.77] Gramm
• Zweite Stichprobe (n=200): Intervall [198.61, 201.39] Gramm

Beobachtungen und Schlussfolgerungen:

• Das Konfidenzintervall wird bei einer größeren Stichprobe enger. Das bedeutet, dass wir den wahren Parameterwert genauer schätzen können.
• Ein größerer Stichprobenumfang reduziert den Standardfehler, was zu präziseren Schätzungen führt. In diesem Fall ist der Standardfehler bei n=200 kleiner als bei n=50.
• Dies zeigt die Bedeutung einer größeren Stichprobe bei der Schätzung von Parametern. Größere Stichproben liefern präzisere und zuverlässigere Ergebnisse.