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Egal, ob Zusammenfassung, Altklausur, Karteikarten oder Mitschriften - hier findest du alles für den Studiengang Bachelor of Science Mathematik

Karteikarten Zusammenfassungen Altklausuren Test Forum

Universität Erlangen-Nürnberg

Bachelor of Science Mathematik

Prof. Dr.

2024

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Körpertheorie - Cheatsheet
Körpertheorie - Cheatsheet Definition von Körpern und Beispiele Definition: Ein Körper ist eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge, auf der zwei Verknüpfungen definiert sind: Addition und Multiplikation. Diese müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, z.B.: Assoziativität, Kommutativität, Existenz von neutralen Elementen und Inversen. Details: Notation: \((K, +, \cdot)\) Assoziativität d...

Körpertheorie - Cheatsheet

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Körpertheorie - Exam
Körpertheorie - Exam Aufgabe 2) Betrachte die Körperhomomorphismen und -isomorphismen zwischen den Körpern K und L . Ein Körperhomomorphismus φ : K → L ist eine Abbildung, die Addition und Multiplikation respektiert, das heißt für alle a , b in K gilt: φ ( a + b ) = φ ( a ) + φ ( b ) φ ( a · b ) = φ ( a ) · φ ( b ) Ein Körperisomorphismus ist ein bijektiver Körperhomomorphismus. Falls es einen Iso...

Körpertheorie - Exam

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Was ist ein Körper in der Algebra?

Welche Beispiele von Körpern gibt es?

Welche Eigenschaften muss die Multiplikation in einem Körper erfüllen?

Was ist ein Köperhomomorphismus?

Welche Eigenschaften hat ein Körperisomorphismus?

Was bedeutet es, wenn zwei Körper isomorph sind?

Was ist ein irreduzibles Polynom?

Wie berechnet man den größten gemeinsamen Teiler (ggT) zweier Polynome?

Wann endet der euklidische Algorithmus bei der Bestimmung des ggT?

Was ist der Grad einer Körpererweiterung \(L/K\)?

Was ist ein Minimalpolynom \(m(x)\) einer Zahl \(\alpha\) in einer Körpererweiterung \(L/K\)?

Welche Eigenschaft hat das Minimalpolynom von \(\alpha\) über \(K\) in \(K[x]\)?

Was ist eine algebraische Erweiterung in der Körpertheorie?

Was ist eine transzendente Erweiterung in der Körpertheorie?

Geben Sie ein Beispiel für ein Element, das algebraisch über \((\textbf{Q}\)) ist.

Was beschreibt die Galoisgruppe \( \text{Gal}(E/F) \)?

Wann ist eine Körpererweiterung \( E/F \) galoissch?

Was ist der Fundamentalsatz der Galoistheorie?

Was ist ein endlicher Körper?

Wie ist die Form eines endlichen Körpers?

Welche Eigenschaften besitzt die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers?

Welche mathematische Grundlage bietet die Körpertheorie in der Kryptographie?

Wie werden endliche Körper in der Kryptographie verwendet?

Welches kryptographische Verfahren nutzt algebraische Strukturen für sichere Kommunikation?

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Diese Konzepte musst du verstehen, um Körpertheorie an der Universität Erlangen-Nürnberg zu meistern:

01
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Grundlagen der Körpertheorie

In diesem Abschnitt wirst Du die grundsätzlichen Definitionen und Konzepte der Körpertheorie kennenlernen. Dazu gehört das Verständnis fundamentaler Aussagen über Körper.

  • Definition von Körpern und Beispiele
  • Grundlegende algebraische Strukturen
  • Körperhomomorphismen und -isomorphismen
  • Polynome und ihre Rolle in der Körpertheorie
  • Euklidischer Algorithmus und irreduzible Polynome
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Erweiterungen von Körpern

Dieser Teil der Vorlesung behandelt Erweiterungen von Körpern und die Eigenschaften solcher Erweiterungen, einschließlich ihrer Anwendung in der Mathematik.

  • Definition und Beispiele von Körpererweiterungen
  • Grad einer Erweiterung
  • Algebraische und transzendente Erweiterungen
  • Minimalpolynome und Normen
  • Erweiterungstürme und ihre Eigenschaften
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Galoistheorie

Die Galoistheorie verbindet die Theorie der Körper mit der Theorie der Gruppen und ermöglicht eine tiefere Analyse algebraischer Gleichungen.

  • Fundamentalsätze der Galoistheorie
  • Galoisgruppen und Fixkörper
  • Normal- und separable Erweiterungen
  • Zyklische, abelsche und einfache Galoisgruppen
  • Anwendungen der Galoistheorie auf algebraische Gleichungen
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Endliche Körper

Hier wirst Du alles über endliche Körper lernen, die in vielen Bereichen der Mathematik und Informatik Anwendung finden.

  • Definition und Eigenschaften endlicher Körper
  • Struktur endlicher Körper und ihre Klassifikation
  • Primitive Elemente und Konstruktionsmethoden
  • Anwendungen in Codierungstheorie und Kryptographie
  • Exponentialdarstellungen und Logarithmen in endlichen Körpern
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Anwendungen und vertiefende Themen

In diesem Abschnitt werden fortgeschrittene Themen und Anwendungen der Körpertheorie in verschiedenen Gebieten der Mathematik und Informatik behandelt.

  • Körpertheorie in der Algebraischen Geometrie
  • Körpererweiterungen in der Zahlentheorie
  • Anwendungen in der Codierungstheorie
  • Verwendung in der Kryptographie
  • Weiterführende Konzepte und aktuelle Forschungsthemen
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Alles Wichtige zu diesem Kurs an der Universität Erlangen-Nürnberg

Körpertheorie an Universität Erlangen-Nürnberg - Überblick

Die Vorlesung Körpertheorie an der Universität Erlangen-Nürnberg bietet Dir einen tiefgehenden Einblick in die faszinierende Welt der Körpertheorie. In dieser Vorlesung lernst Du die Grundlagen und erweiterten Konzepte der Körpertheorie kennen und setzt Dich mit erweiterten Themen wie Galoistheorie und endlichen Körpern auseinander. Diese Vorlesung zielt darauf ab, Dein Verständnis für abstrakte mathematische Strukturen zu vertiefen und Dich auf weiterführende Studiengänge oder berufliche Herausforderungen im Bereich der Mathematik vorzubereiten.

Wichtige Informationen zur Kursorganisation

Kursleiter: Prof. Dr.

Modulstruktur: Diese Vorlesung umfasst Vorlesungen und Übungen mit einer Zeitaufteilung von 3 SWS Vorlesung und 2 SWS Übung.

Studienleistungen: Die Leistungskontrolle erfolgt durch eine schriftliche Prüfung am Ende des Semesters.

Angebotstermine: Diese Vorlesung wird im Wintersemester angeboten.

Curriculum-Highlights: Grundlagen der Körpertheorie,Erweiterungen von Körpern,Galoistheorie,Endliche Körper

So bereitest Du Dich optimal auf die Prüfung vor

Beginne frühzeitig mit dem Lernen, idealerweise schon zu Beginn des Semesters, um Dir die nötige theoretische Basis anzueignen.

Nutze verschiedene Ressourcen, wie Bücher, Übungsaufgaben, Karteikarten und Probeklausuren, um dein Wissen zu vertiefen.

Schließe Dich Lerngruppen an und tausche Dich mit anderen Studierenden aus, um gemeinsam Lösungsstrategien zu entwickeln.

Vergiss nicht, regelmäßige Pausen einzulegen und in diesen Zeiten komplett abzuschalten, um eine Überbelastung zu vermeiden.

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