Körpertheorie - Cheatsheet

Definition von Körpern und Beispiele

Definition:

Ein Körper ist eine algebraische Struktur bestehend aus einer Menge, auf der zwei Verknüpfungen definiert sind: Addition und Multiplikation. Diese müssen bestimmte Bedingungen erfüllen, z.B.: Assoziativität, Kommutativität, Existenz von neutralen Elementen und Inversen.

Details:

• Notation: \((K, +, \cdot)\)
• Assoziativität der Addition und Multiplikation
• Kommutativität der Addition und Multiplikation
• Existenz eines additiven Identitätselements \(0\)
• Existenz eines multiplikativen Identitätselements \(1\)
• Existenz von additiven Inversen: \(\forall a \in K, \exists -a \in K \) mit \(a + (-a) = 0\)
• Existenz von multiplikativen Inversen: \(\forall a \in K \setminus \{0\}, \exists a^{-1} \in K \) mit \(a \cdot a^{-1} = 1\)
• Distributivgesetz: \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)
• Beispiele: \(\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}, \mathbb{F}_p\)

Körperhomomorphismen und -isomorphismen

Definition:

Körperhomomorphismen sind Abbildungen zwischen Körpern, die Addition und Multiplikation respektieren. Körperisomorphismen sind bijektive Körperhomomorphismen.

Details:

• Ein Körperhomomorphismus \( \phi: K \rightarrow L \) ist eine Abbildung mit \( \phi(a + b) = \phi(a) + \phi(b) \) und \( \phi(a \cdot b) = \phi(a) \cdot \phi(b) \) für alle \( a, b \) in \( K \).
• Ein Körperisomorphismus ist ein bijektiver Körperhomomorphismus.
• Wenn es einen Isomorphismus zwischen zwei Körpern gibt, sind sie algebraisch identisch (isomorph).

Irreduzible Polynome und der euklidische Algorithmus

Definition:

Irreduzible Polynome: Polynome, die sich nicht in Produkts von nicht-konstanten Polynomen zerlegen lassen. Euklidischer Algorithmus: Verfahren zur Berechnung des ggT (größter gemeinsamer Teiler) zweier Polynome.

Details:

• Ein Polynom f(x) über einem Körper K ist irreduzibel, wenn es keine teilt außer 1 und f(x) selbst.
• Verwendung des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des ggT von Polynomen f(x) und g(x) :
• Teilschritte: Division mit Rest, wobei Rest kleinerer Grad als Teiler ist.
• Algorithmus endet, wenn Rest 0 ist; letzter nicht-null Rest ist ggT.

Grad einer Erweiterung und Minimalpolynome

Definition:

Der Grad einer Erweiterung und Minimalpolynome sind grundlegende Konzepte in der Körpertheorie.

Details:

• Erweiterungskörper: Sei \(K\) ein Körper und \(L\) eine Körpererweiterung von \(K\). \(L\) wird auch als Erweiterungskörper von \(K\) bezeichnet.
• Grad einer Erweiterung: Der Grad der Erweiterung \(L/K\) ist \[ [L : K] = \text{dim}_K(L) \].
• Minimalpolynom: Sei \(L/K\) eine Körpererweiterung und \(\alpha \in\ L\), so ist das Minimalpolynom von \(\alpha\) das normierte Polynom kleinsten Grades über \(K\), das \(\alpha\) als Nullstelle hat.
• Eigenschaften des Minimalpolynoms: Das Minimalpolynom von \(\alpha\) über \(K\) ist irreduzibel in \(K[x]\).
• Zusammenhang: Der Grad des Minimalpolynoms von \(\alpha\) über \(K\) entspricht dem Grad von \( K(\alpha)/K \).

Algebraische und transzendente Erweiterungen

Definition:

Algebraische und transzendente Erweiterungen sind Kategorien von Körpererweiterungen, anhand derer Elemente in Bezug auf die Lösbarkeit von Polynomgleichungen charakterisiert werden.

Details:

• Sei K ein Körper und L eine Erweiterung von K.
• \textbf{Algebraische Erweiterung:} Ein Element \(\beta \in L\) ist algebraisch über K, wenn es ein nicht-null Polynom \(f \in K[x]\) gibt, sodass \(f(\beta) = 0\).
• \textbf{Transzendente Erweiterung:} Ein Element \(\beta \in L\) ist transzendent über K, wenn es kein solches Polynom gibt.
• Beispiele: \(\sqrt{2}\) ist algebraisch über \(\textbf{Q}\), und \(\pi\) ist transzendent über \(\textbf{Q}\).

Fundamentalsätze der Galoistheorie

Definition:

Zentrale Sätze der Galoistheorie, die die Beziehung zwischen Körpererweiterungen und Gruppenactionen durch Galoisgruppen beschreiben.

Details:

• Sei \( E/F \) eine endliche Körpererweiterung.
• \( E/F \) ist galoissch genau dann, wenn \( E \) Zerfällungskörper eines separablen Polynoms über \( F \) ist und \( E/F \) normal und separabel ist.
• Galoisgruppe \( \text{Gal}(E/F) \): Gruppe der Körperautomorphismen von \( E \), die \( F \) festlassen.
• Fundamentalsatz: Es besteht eine Bijektion zwischen den Zwischenkörpern von \( E/F \) und den Untergruppen der Galoisgruppe \( \text{Gal}(E/F) \).
• Zwischenkörper \( K \) entspricht der Untergruppe \( \text{Gal}(E/K) \).
• \( \text{Gal}(E/F) \) wirkt transitiv auf den Wurzeln eines irreduziblen Polynoms.

Endliche Körper und ihre Klassifikation

Definition:

Endliche Körper sind Körper mit endlich vielen Elementen. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Algebra und Anwendungen wie Kryptographie.

Details:

• Endlicher Körper: jeder endliche Körper hat die Form \( \mathbb{F}_{p^n} \) mit p Primzahl und n natürliche Zahl.
• Anzahl der Elemente: \( p^n \).
• Existenz: für jede Primzahl p und jede natürliche Zahl n existiert ein eindeutiger endlicher Körper \( \mathbb{F}_{p^n} \).
• Multiplikative Gruppe: die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers ist zyklisch.

Anwendungen der Körpertheorie in der Kryptographie

Definition:

Körpertheorie bietet mathematische Grundlagen für die Konstruktion und Analyse kryptographischer Verfahren.

Details:

• Konstruktion von endlichen Körpern, z.B. \(\mathbb{F}_{2^n}\), zur Definition von Blockchiffren und elliptischen Kurven.
• Verwendung von algebraischen Strukturen zur sicheren Kommunikation, z.B. bei Diffie-Hellman Schlüsselaustausch oder RSA-Verschlüsselung.
• Polynomarithmetik und Faktorisierungstechniken zur Sicherung von kryptographischen Algorithmen.
• Anwendung in fehlerkorrigierenden Codes (wie Reed-Solomon-Codes) zur Datenintegrität.